2023年辽宁省沈阳市浑南区中考数学三模试卷（含解析）

这是一份2023年辽宁省沈阳市浑南区中考数学三模试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年辽宁省沈阳市浑南区中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −12023的绝对值是(    )
A. 12023 B. −12023 C. −2023 D. 2023
2. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是(    )
A.
B.
C.
D.


3. 五一假期，我市重点旅游景点接待游客数创历史新高，其中沈阳故宫接待游客173000人次，将173000用科学记数法表示应为(    )
A. 1.73×103 B. 17.3×104 C. 1.73×105 D. 0.173×106
4. 下列各式计算结果正确的是(    )
A. a+a=a2 B. (3a)2=6a2
C. (a+1)2=a2+1 D. a⋅a=a2
5. 下表是我省6个市今年某日的最高气温(℃)的统计结果：
城市
太原市
运城市
晋中市
吕梁市
临汾市
朔州市
气温(℃)
13
16
12
12
15
12
则该日最高气温(℃)的众数和中位数分别是(    )
A. 12，13 B. 12，12.5 C. 16，12 D. 12，12
6. 如图，AB//DE，把一块直角三角板BCD的直角顶点B落在AB上，顶点D落在DE上，∠C=60°，∠1=40°，则∠CDE的度数为(    )


A. 10° B. 30° C. 40° D. 50°
7. 下列事件中，必然事件是(    )
A. 通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰 B. 射击运动员射击一次，命中靶心
C. 汽车累计行驶5000公里，从未出现故障 D. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯
8. 把不等式组x+1>3−2x−6⩾−4中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为(    )
A. B.
C. D.
9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b与y=mx+n(a


A. 方程组y−ax=by−mx=n的解为x=2y=−3
B. n+b<0
C. 当x>−3时，ax+b>mx+n
D. 当x=0时，ax+b=−1
10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=(x−2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作BC//x轴，交抛物线于点C，过点A作AD//y轴，交BC于点D，点P在BC下方的抛物线上(不与点B，C重合)，连接PC，PD，设△PCD的面积为S，则S的最大值是(    )
A. 10 B. 8 C. 6 D. 4
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 分解因式：x3−9xy2=______．
12. 计算：x−1−x2x+1= ______ ．
13. 如图，已知⊙O是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆.大正方形边长为a，则图中阴影部分的面积为______ ．


14. 如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，若AB=8，AE=6，则ON的长______ ．


15. 已知双曲线y=kx(k>0)经过Rt△OAB中斜边OA的中点C，与直角边AB相交于点E，过点C作CD⊥x轴于点D，且与OE交于点F.若△OAE面积为3，则k= ______ ．

16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，P为斜边AB上的一个动点(不写点A，B重合)，连接PC，过点P作PD//BC交AC于点D，PE//AC交BC于点E，连接DE交PC于点Q，连接AQ，当△APQ为直角三角形时，AP的长是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：| 2−2|−(2023−π)0+4sin45°+(12)−2．
18. (本小题8.0分)
本市八年级生物学实验操作考试时，要求考生完成四个实验中的一个，并将改实验成绩列入中考总成绩.四个实验分别用字母代号表示为：A、B、C、D.主考教师把实验的字母代号分别写在四个大小相同、材质也相同的乒乓球上，并放在不透明的盒子中，考试现场，先由考生从中摸出一个乒乓球记下字母代号后放回，再开始对应的实验操作考试，现有甲、乙两名同学参加考试，请用列表法或画树状图求甲、乙两名学生恰好抽到同一实验的概率．
19. (本小题8.0分)
如图所示，点E在四边形ABCD的边AD上，连接CE，并延长CE交BA的延长线于点F，已知AE=DE、FE=CE，AD//BC，求证：四边形为ABCD为平行四边形．

20. (本小题8.0分)
为了解学生参加学校社团活动的情况，从报名参加A：篮球，B：舞蹈，C：书法，D：田径，E：绘画这五项活动的学生(每人必选且只能多加一项)中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如所示两幅不完整的统计图.根据所给的信息，解答下列问题：
(1)这次被调查的学生共有______ 人，表示“舞蹈”的扇形的圆心角度数______ ；
(2)请直接把条形统计图补充完整；
(3)若该校共有900名学生参加社团活动，请你估计这900名学生中有多少人参加书法社团．


21. (本小题8.0分)
某商品原来每件的售价为200元，经过两次降价后每件的售价为162元，并且每次降价的百分率相同，求该商品每次降价的百分率．
22. (本小题10.0分)
如图，△ABC中AB为⊙O上不过圆心的弦，AC交⊙O于点D，连接BD，BE为⊙O的直径.BE//AC，∠ABE=∠CBD．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若BC=2，sin∠CBD=13，请直接写出⊙O的半径．

23. (本小题10.0分)
已知：如图所示，在直角坐标系中，线段OC与直线BD交于点M，连接OB，BC，CD，OD得菱形OBCD，点B的横坐标为4，点C的坐标为(7,7)，P，Q分别是线段OB，CD上的动点.点P从点O出发，以每秒0.8个单位的速度向终点B移动；点Q从点D出发，以每秒2个单位的速度向点C移动，到达点C后立即以原速再向终点D移动；设P，Q同时出发，移动时间为t秒(t>0)，当其中一个点停止移动时，另一个点也随之停止移动．
(1)求直线BD的函数表达式；
(2)当t为何值时，直线PQ平分菱形ABCD的面积？
(3)若直线PQ与对角线OC的交点为N，E是OB边的中点，当0
24. (本小题12.0分)
已知：△ABC∽△DEC(各顶点字母均按逆时针顺序)且ABDE>1，现将△DEC绕点C旋转，射线AD与射线BE交于点F，连接CF．
(1)特例感知：
①如图1，∠ACB=60°，BC=AC点E在△ABC内部，且点D，E在AC两侧，则AF，BF，CF之间的数量关系是______ ；
②如图2，∠ACB=120°，BC=AC，点E在△ABC内部，且点D，E在AC两侧，则AF，BF，CF之间的数量关系是______ ；
(2)拓展探究：
如图3，AB=12，BC=7，AC=8，点D在△ABC的内部，且点D，E在BC两侧，请写出线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明你的结论．


25. (本小题12.0分)
已知：如图，抛物线y=−12x2+bx+c经过点A(1,0)，C(0,2)与x轴交于另一点B，连接AC，BC．
(1)求出抛物线y=−12x2+bx+c的函数表达式；
(2)点D为抛物线对称轴上一点，连接AD且∠CAD=45°，求点D的坐标；
(3)点P为直线BC上方的抛物线上的一点，过点P作PH⊥BC于点H，连接PC，若Rt△CPH的一个锐角等于∠ABC的2倍，请直接写出点P的横坐标．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：−12023的绝对值是12023．
故选：A．
负数的绝对值是它的相反数，由此即可得到答案．
本题考查绝对值，关键是掌握绝对值的意义．

2.【答案】B 
【解析】解：从左边看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：B．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．

3.【答案】C 
【解析】解：173000=1.73×105．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4.【答案】D 
【解析】解：A、是合并同类项，应为a+a=2a，故本选项错误；
B、应为(3a)2=9a2，故本选项错误；
C、应为(a+1)2=a2+2a+1，故本选项错误；
D、a⋅a=a2，正确．
故选：D．
根据积的乘方，把每个因式分别乘方，再把所得的积相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加；完全平方公式，对各选项分析后利用排除法求解．
本题主要考查幂的运算性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．

5.【答案】B 
【解析】解：将这组数据重新排列为12、12、12、13、15、16，
则该日最高气温(℃)的众数为12℃，中位数为12+132=12.5(℃)，
故选：B．
利用中位数和众数的定义求解即可．
本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握算术平均数、众数和中位数的定义．

6.【答案】A 
【解析】解：∵AB//DE，∠1=40°，
∴∠BDE=∠1=40°，
∵∠C=60°，∠CBD=90°，
∴∠BDC=30°，
∴∠CDE=∠BDE−∠BDC=10°．
故选：A．
由平行线的性质可得∠BDE=∠1=40°，再由题意可求得∠BDC=30°，即可求∠CDE的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．

7.【答案】A 
【解析】解：A、通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰，是必然事件，符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意；
C、汽车累计行驶5000公里，从未出现故障，是随机事件，不符合题意；
D、经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，是随机事件，不符合题意；
故选：A．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

8.【答案】B 
【解析】解：x+1>3−2x−6⩾−4
解不等式①得：x⩾2，
解不等式②得：x<−1，
将两不等式解集表示在数轴上如下：

故选：B．
先求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．

9.【答案】B 
【解析】解：∵一次函数y=ax+b与y=mx+n(a ∴方程组y−ax=by−mx=n的解为x=−3y=2，
故A不符合题意；
由图象可知，b=−2，0 ∴n+b<0，
故B符合题意；
由图象可知，当x>−3时，ax+b 故C不符合题意；
∵一次函数y=ax+b图象过点(0,−2)，
∴当x=0时，ax+b=−2，
故D不符合题意，
故选：B．
根据一次函数图象的交点坐标，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式的关系分别判断即可．
本题考查了一次函数的交点问题，一次函数与一元一次不等式，一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．

10.【答案】D 
【解析】解：∵抛物线的解析式为y=(x−2)2，
∴点A(2,0)，
∵点B在y轴上，
∴y=0，代入解析式可得，x=4，
∴B(0,4)，
∵BC//x轴，
∴点C(4,4)，
当点P在顶点时，S有最大值为12×2×4=4．
故选：D．
由解析式可得点A、点C的坐标，当S最大时，点P在A处，求出此时的面积即可．
本题考查二次函数的图象性质，确定面积最大时点P的位置是解题关键．

11.【答案】x(x+3y)(x−3y) 
【解析】解：x3−9xy2
=x(x2−9y2)
=x(x+3y)(x−3y)，
故答案为：x(x+3y)(x−3y)．
利用提公因式法和平方差公式进行分解，即可得出答案．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解决问题的关键．

12.【答案】−1x+1 
【解析】解：原式=(x+1)(x−1)−x2x+1
=−1x+1．
故答案为：−1x+1．
原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

13.【答案】(π−2)a24 
【解析】解：∵⊙O是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．大正方形的边长是a，
∴⊙O的半径为a2，小正方形的边长为 (a2)2+(a2)2= 2a2，
∴S阴影部分=14(S圆−S小正方形)，
=14(π×(a2)2− 2a2× 2a2
=(π−2)a24，
故答案为：(π−2)a24．
根据正多边形和圆、正方形的性质求出圆的半径和小正方形的边长，再根据S阴影部分=14(S圆−S小正方形)，进行计算即可．
本题考查正多边形和圆，正方形的性质，掌握正方形的性质、勾股定理以及正多边形和圆的性质是正确解答的前提．

14.【答案】254 
【解析】解：∵∠MOB=∠A=90°，∠ABE是公共角，
∴△BOM∽△BAE，
∴OM：AE=BO：BA，
∵AB=8，AE=6，
∴BE= AB2+AE2=10，
∴OM：6=5：8，
∴OM=154，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，AB//CD，∠A=∠D=90°，
又∵MF//AD，
∴四边形AMFD为矩形，
∴∠MFD=∠MFN=90°，
∴AD=MF，
∴AB=MF，
∵BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，

∴∠MFN=∠BAE=90°，∠FMN+∠BMO=∠BMO+∠MBO=90°，
∴∠FMN=∠MBO，
在△ABE和△FMN中，
∠A=∠MFNAB=MF∠ABO=∠FMN，
∴△ABE≌△FMN(ASA)，
∴NM=BE=10，
∴ON=MN−MO=254．
故答案为：254．
通过证明△BOM∽△BAE，可得OM：AE=BO：BA，可求OM的长，即可求解．
本题主要考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，综合性比较强，对于学生的要求比较高．

15.【答案】2 
【解析】解：∵CD⊥OB，AB⊥OB，
∴CD//AB，
∴△OCD∽△OAB，
∵点C为OA中点，
∴S△OCD：S△OAB=1：4，
设S△OCD=S△OEB=S，
∵△OAE面积为3，
∴S：(3+S)=1：4，
∴S=1，
∴|k|2=1，
∵k>0，
∴k=2．
故答案为：2．
证明△OCD与△OAB相似，设S△OCD=S△OEB=S，由面积比列方程即可．
本题考查了反比例函数的性质的应用，几何意义的应用及相似三角形的性质的应用是解题关键．

16.【答案】3或2 3 
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，
∴∠BAC=30°，
∴AB=2BC=2×2=4，
∴AC= AB2−BC2= 42−22=2 3，
当∠APQ=90°时，如图1，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，
∴∠BAC=30°，
∴AB=2BC=2×2=4，
∴AC= AB2−BC2= 42−22=2 3，
∴AP=3，
当∠AQP=90°时，如图2，

∵PD⊥AC，PE⊥BC，∠ACB=90°，
∴四边形DPEC是矩形，
∴CQ=QP，
∵∠AQP=90°，
∴AQ垂直平分CP，
∴AP=AC=2 3，
综上所述，当△APQ为直角三角形时，AP的长是3或2 3，
故答案为：3或2 3．
由已知求出AB=4，AC=2 3，再分∠APQ=90°和∠AQP=90°两种情况进行讨论，即可求出答案．
本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，分类讨论的数学思想是解决问题的关键．

17.【答案】解：| 2−2|−(2023−π)0+4sin45°+(12)−2
=2− 2−1+4× 22+22
=2− 2−1+2 2+4
=5+ 2．
故答案为：5+ 2． 
【解析】实数的运算：绝对值的结果为非负数，非零次指数幂结果为1，特殊三角函数数值，负整数指数幂的运算．
本题考查的是实数的混合运算，解题的关键是绝对值是非负数，任意非零数的零次幂都为1，特殊三角函数的记忆，负整数指数幂的计算．

18.【答案】解：画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中甲、乙两名学生恰好抽到同一实验的结果有4种，
∴甲、乙两名学生恰好抽到同一实验的概率为416=14． 
【解析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两名学生恰好抽到同一实验的结果有4种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

19.【答案】证明：在△AEF和△DEC中，
AE=DE∠AEF=∠DECFE=CE，
∴△AEF≌△DEC(SAS)；
∴∠AFE=∠DCE，
∴AB//CD，
∵AD//BC，
∴四边形ABCD为平行四边形． 
【解析】利用SAS定理证明△AEF≌△DEC，根据全等三角形的性质得到∠AFE=∠DCE，得到AB//CD，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明结论．
本题考查的是平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．

20.【答案】150  24° 
【解析】解：(1)这次被调查的学生共有：30÷20%=150(人)，
表示“舞蹈”的扇形的圆心角度数为：360°×10150=24°；
故答案为：150，24°；
(2)“田径”的人数为：150−30−10−60−10=40(人)，
补全条形统计图如下：

(3)900×60150=360(人)，
答：该校共有900名学生中约有360人参加书法社团．
(1)根据报名参加篮球人数除以占比，求得被调查的学生人数，用360°乘“舞蹈”的占比，可得“舞蹈”的扇形的圆心角度数；
(2)用样本容量分别减去其他项目的人数，可得“田径”的人数，进而补全条形统计图；
(3)用样本估计总体，用900乘以参加书法活动的占比即可求解．
本题考查的是条形统计图、扇形图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

21.【答案】解：设该商品每次降价的百分率为x，
根据题意得：200(1−x)2=162，
解得：x1=0.1=10%，x2=1.9(不符合题意，舍去)．
答：该商品每次降价的百分率为10%． 
【解析】设该商品每次降价的百分率为x，利用经过两次降价的售价=原价×(1−该商品每次降价的百分率)2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

22.【答案】(1)证明：∵BE//AC，
∴AE=BD，

∴AE=BD，
∴四边形AEBD为等腰梯形，
∴∠E=∠EBD．
∵BE为⊙O的直径，
∴∠EAB=90°，
∴∠AEB+∠ABE=90°，
∵∠ABE=∠CBD，
∴∠AEB+∠CBD=90°，
∴∠EBD+∠CBD=90°，
∴∠EBC=90°，
∴OB⊥BC，
∵OB是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
(2)解：∵OB⊥BC，BE//AC，
∴AC⊥BC．
在Rt△CBD中，
∵sin∠CBD=CDBD=13，
∴设CD=k，则BD=3k，
∴BC= BD2−CD2=2 2k=2，
∴k= 22．
∴BD=3k=3 22．
∴AE=BD=3 22．
∵∠ABE=∠CBD，
∴sin∠ABE=sin∠CBD=13，
在Rt△ABE中，
∵sin∠ABE=AEBE，
∴AEBE=13，
∴3 22BE=13，
∴BE=9 22．
∴⊙O的半径=12BE=9 24． 
【解析】(1)利用圆的平行弦所夹的弧相等，可得四边形AEBD为等腰梯形，由等腰梯形的性质可得∠E=∠EBD，利用直径所对的圆周角为直角，直角三角形的性质和等量代换的性质，得到∠EBC=90°，再利用圆的切线的判定定理解答即可；
(2)在Rt△CBD中，设CD=k，则BD=3k，利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理求得k值，则AE=BD=3 22，在Rt△ABE中，利用直角三角形的边角关系定理求得直径BE的长，则结论可求．
本题主要考查了圆的有关性质，圆的平行弦所夹的弧相等，圆周角定理，圆的切线的判定定理，平行线的性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．

23.【答案】解：(1)连接CE，过B作BF⊥x轴，如图：

∵四边形OBCD是菱形，
∴BD垂直平分OC，
∴OE=OC，
∵C的坐标为(7,7)，
∴∠COE=45°，
∴CE⊥OE，
∴E(7,0)，BF=EF，
∵OF=4，
∴BF=7−4=3，
∴B(4,3)，
设直线BD的解析式为y=kx+b，把B、E的坐标代入得：
4k+b=37k+b=0，解得k=−1b=7，
∴直线BD的解析式为y=−x+7；
(2)由题意知OC=7 2，OB=5，OM=7 22，
根据勾股定理可得BM= 22，
∴BD= 2，
∴菱形OBCD的面积为OC⋅BD=14，
以CD为底的菱形的高为145，
由题意知OP=0.8t，DQ=2t，
∵CD//OB，
∴四边形APQD为梯形，
∴梯形OPQD的面积为12×(DQ+OP)×145=3.92t，
∴2×3.92t=14，解得t=17598；
当t>2.5时，OP=0.8t，DQ=10−2t，
梯形OPQD的面积为12×(DQ+OP)×145=12.32t，
∴2×12.32t=14，解得t=175188(不合，舍去)，

∴t=17598；
(3)连接DE，交OC于点F，如图：

∵四边形OBCD是菱形，
∴OC垂直平分BD，
∴FD=FB，
当点N、F重合时，即D、N、E三点共线，△NEB的周长最小，
D(3,4)，E(2,32)，
此时直线DE的解析式为y=52x−72，
∴y=xy=52x−72，解得x=73y=73，
∴N(73,73)，
由两点间的距离公式可得DN= 299，EN= 296，
DQ=2t，OP=0.8t，PE=2.5−0.8t，
∵OB//DC，
∴DNNE=DQPE，
∴ 299 296=2t2.5−0.8t，
解得t=2538． 
【解析】(1)先求出点B、E的坐标即可求出解析式；
(2)先根据题意求出菱形的面积，再表示出DQ，OP，从而表示出梯形的面积，构造方程即可解答；
(3)先确定点N的位置，再求出DN，EN，根据相似三角形的性质即可列出方程解出t即可．
本题考查菱形的性质，一次函数的性质，相似三角形的性质，点的坐标等，熟练掌握以上知识是解题关键．

24.【答案】BF=CF+AF BF= 3CF+AF 
【解析】解：(1)①结论：BF=CF+AF．

理由：在FB上取一点T，使得FT=FA，连接AT，设AC交BD与点O，
∵∠ACB=60°，BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∵△ABC∽△DEC，
∴△DEC也是等边三角形，
∴∠ACB=∠ECD=60°，CB=CA，CE=CD，
∴∠BCE=∠ACD，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴∠CBE=∠CAD，
∵∠AOF=∠BOC，
∴∠AFB=∠BCE=60°，
∵AF=FT，
∴△AFT是等边三角形，
∴∠FAT=∠CAB=60°，AT=AD，
∴∠BAT=∠CAF，
∵AB=AC，
∴△BAT≌△CAF(SAS)，
∴BT=CF，
∴BF=BT+FT=CF+AF．
故答案为：BF=CF+AF；

②结论：BF= 3CF+AF．
理由：在FB上取一点K，使得FK=FA，连接AK，设AC交BD与点O，

∵∠ACB=120°，BC=AC，△ABC∽△DEC，
∴∠CDF=120°，DC=DF，
∴∠ACB=∠ECD=120°，
∴∠BCE=∠ACD，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴∠CBE=∠CAD，
∵∠AOF=∠BOC，
∴∠AFB=∠BCE=120°，
∵AF=FT，
∴∠FAK=∠CAB=30°，
∴∠BAK=∠CAF，
∵ABAC=AKAF= 3，
∴△BAK∽△CAF，
∴BKCF=ABAC= 3，
∴BF=BK+FK= 3CF+AF．
故答案为：BF= 3CF+AF；

(2)结论：AF=87BF+127CF．

理由：设在FA上取一点H，使得FH=87BF，连接BH，设AF交BC与点O，
∵△ABC∽△DEC，
∴∠EBC=∠CAD，
∵∠BOF=∠AOC，
∴∠BFO=∠BCA，
∵BFFH=BCAC=78，
∴BFBC=FHAC，
∴△BFH∽△BCA，
∴BHAB=BFBC，∠FBH=∠ABC，
∴∠ABH=∠CBF，
∴△ABH∽△CBF，
∴AHCF=ABBC=127，
∴AH=127CF，
∴AF=FH+AH=87BF+127CF．
(1)①结论：BF=CF+AF.在FB上取一点T，使得FT=FA，连接AT，设AC交BD与点O，证明△BCE≌△ACD，推出∠CBE=∠CAD，推出∠AFB=∠BCE=60°，推出△AFT是等边三角形，再证明△BAT≌△CAF(SAS)，可得结论；
②结论：BF= 3CF+AF.在FB上取一点K，使得FK=FA，连接AK，设AC交BD与点O，证明△BCE≌△ACD，推出∠CBE=∠CAD，推出∠AFB=∠BCE=120°，再证明△BAK∽△CAF，推出BKCF=ABAC= 3，可得结论；
(2)结论：AF=87BF+127CF.设在FA上取一点H，使得FH=87BF，连接BH，设AF交BC与点O，证明△BFH∽△BCA，推出BHAB=BFBC，∠FBH=∠ABC，再证明△ABH∽△CBF，推出AHCF=ABBC=127，推出AH=127CF，可得结论．
本题属于相似形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

25.【答案】解：(1)由题意得：c=2−12×1+b+c=0，
解得：b=−32c=2，
故抛物线的表达式为：y=−12x2−32x+2；

(2)设AD交y轴于点S，过点S作ST⊥AC于点T，

在△ACS中，∠CAD=45°，tan∠OAC=12，AC= 1+22= 5，
设ST=x=AT，则CT=2x，
则AC=x+2x= 5，则x= 53，
则AS2=( 2x)2=109，AO=1，
由勾股定理得：OS= 109−1=13，即点S(0,13)，
由点A、H的坐标得，直线AS的表达式为：y=−13x+13，
当x=−32时，y=−13x+13=56，
即点D的坐标为：(−32,56)；

(3)由点B、C的坐标得，BC的表达式为：y=−12x+2，
作点C关于x轴的对称点D(0,−2)，连接BD，过点C作CT⊥BD于点T，

则∠CBD=2∠ABC，
则S△BCD=12×BD⋅CT=12×CD⋅OB，
即 22+42×CT=4×4，则CT=16 20，
则sin∠CBD=CTBC=16 20 20=45，
∵Rt△CPH的一个锐角等于∠ABC的2倍，
即sin∠PCH=45或35，
过点P作PN//y轴交BC于点N，
则∠PNH=∠BCO，
则tan∠PNH=tan∠BCO=24=12，则cos∠PNH=2 5，
则PH=PNcos∠PNH=2 5PN，
设点P(m,−12m2−32m+2)，则点N(m,−12m+2)，则PH=2 5(−12m2−32m+2+12m−2)=2 5(−12m2−2m)，
则sin∠PCH=PHPC=2 5(−12m2−2m) m2+(−12m2−32m)2=45或35，
解得：m=−2或−2911，
即点P的横坐标为：−2或−2911． 
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)在△ACS中，∠CAD=45°，tan∠OAC=12，AC= 1+22= 5，用解直角三角形的方法求出S(0,13)，即可求解；
(3)设点P(m,−12m2−32m+2)，则点N(m,−12m+2)，则PH=2 5(−12m2−32m+2+12m−2)=2 5(−12m2−2m)，由sin∠PCH=PHPC=2 5(−12m2−2m) m2+(−12m2−32m)2=45或35，即可求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、勾股定理、解直角三角形、面积的计算等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．