2023年辽宁省沈阳市中考数学二模试卷（含解析）

2023年辽宁省沈阳市中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中，小于的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列立体图形中，它的三视图都相同的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如果，那么下列各式中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下面的计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，点，分别落在直线，上．若则的度数为(    )
 

A.  B.  C.  D.

6.  下面的四个命题中，真命题是(    )

A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B. 抽签中奖的概率为，则每抽次签，一定会有次中奖
C. 一组数据的方差越大，数据越稳定
D. 人中至少有两人的生日在同一天是必然事件

7.  某排球队名队员的年龄如表所示：该队队员年龄的众数与中位数分别是(    )

A. 岁，岁 B. 岁，岁 C. 岁，岁 D. 岁，岁

8.  已知反比例函数，下列说法中正确的是(    )

A. 该函数的图象分布在第一、三象限
B. 点在函数图象上
C. 随的增大而增大
D. 若点和在该函数图象上，则

9.  如图，是某大桥主塔的正面示意图，，，则桥面宽度单位：是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，四边形是正方形，以为边长向正方形外作等边，与相交于点，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  分解因式        ．

12.  不等式组的解集为______ ．

13.  如图，四边形是的内接四边形，连接，若，，则的度数为______

14.  在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，与关于点位似，与，与是对应顶点，且的面积等于面积的，则点的坐标为______ ．

15.  某商厦将进货单价为元的某种商品，按销售单价元出售时，每天能卖出个，通过市场调查发现，这种商品的销售单价每降价元，日销量就增加个，为了获取最大利润，该种商品的销售单价应降______ 元

16.  如图，在中，，，，点以每秒个单位的速度从点沿边向点运动，同时点以每秒个单位的速度从点沿边向点运动，当点到达终点时，点随之停止运动，连接，，设点，的运动时间为秒，当为等腰三角形时，的值为______ 秒

三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
为庆祝神舟十五号载人飞船发射成功，某中学组织志愿者周末到社区进行航天航空知识宜讲活动，现有，，，四名同学报名参加若从这四人中随机选取两人作为志愿者，请用列表或画树状图的方法求恰好选中，两名同学作为志愿者参加活动的概率．

19.  本小题分
如图，在矩形中，点，分别在边，上，连接，，，，且，求证：四边形是菱形．

20.  本小题分
为使学生通过义务教育阶段的数学学习，体会数学与其他学科之间的联系，会运用数学和其他学科的知识与方法分析和解决问题，培养学生学习数学的兴趣某校开展“数学与多学科融合”校本课程开发，并对一部分学生进行了问卷调查，问卷设置以下四种选项：“体育中的数学”，“化学中的数学”，“物理中的数学”，“地理中的数学”，每名学生必须且只能选择其中最感兴趣的一种课程，并将调查结果整理绘制成如图不完整的统计图．

根据统计图提供的信息，解答下列问题：
______ ， ______ ；
请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；
根据抽样调查的结果，请你估计该校名学生中有多少学生对“化学中的数学”最感兴趣．

21.  本小题分
某商场用元购进，两种商品若干件，全部售出后共获得利润元，它们的进价和售价如表：每件的利润每件的售价每件的进价

求该商场购进，两种商品各多少件．

22.  本小题分
如图，是的直径，弦交直径于点点不与点，点重合，，垂足为，．
求证：是的切线；
若，，请直接写出线段的长．

23.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，与直线交于点，点是轴正半轴上一动点，过点作轴的垂线，与直线，分别交于点，，设点的横坐标为．
求直线的函数表达式；
当的面积为时，求的值；
点为轴上一动点，当为等腰直角三角形时，请直接写出的值．

24.  本小题分
如图，在▱中，，，点是边上一点，，点是边上一个动点，将沿直线折叠得到，点的对应点是．
求的值；
当时，请直接写出线段的长；
连接，当点落在线段上时，求线段的长．
 

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，点是抛物线上对称轴左侧的动点，点的横坐标为，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，过点作轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点．
求抛物线的函数表达式；
当时，点在轴上，连接且，求线段的长；
连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，在点运动过程中，当与的面积之和为，且点与点分别位于轴两侧时，请直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
所以小于的数是，
故选：．
根据正数大于，负数小于判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较，解答此题的关键是要明确：正实数负实数．
 

2.【答案】 

【解析】解：球的三视图都是大小相同的圆，因此选项A符合题意；
圆锥的主视图、左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，因此选项B不符合题意；
三棱柱主视图、左视图是长方形，俯视图为三角形，因此选项C不符合题意；
圆柱的主视图、左视图是长方形，俯视图为圆，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据球体、圆锥体、圆柱体、三棱柱的三视图进行判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．
 

3.【答案】 

【解析】解：，则，所以选项不符合题意；
B.，则，所以选项不符合题意；
C.，则，所以选项不符合题意；
D.，则，所以选项符合题意．
故选：．
根据不等式的性质即可求出答案．
本题考查不等式的性质，解题的关键是正确理解不等式的性质，本题属于基础题型．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，
故本选项不符合题意；
B、不能合并，
故本选项不符合题意；
C、，
故本选项不符合题意；
D、，
故本选项符合题意；
故选：．
各项化简得到结果，即可得出结论．
本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，

故选：．
根据平行线的性质求得，再根据角的和差关系求得结果．
本题主要考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质．
 

6.【答案】 

【解析】解：、两条直线被第三条直线所截，同位角相等，是假命题，故A不符合题意；
B、抽签中奖的概率为，则每抽次签，一定会有次中奖，是假命题，故B不符合题意；
C、一组数据的方差越大，数据越稳定，是假命题，故C不符合题意；
D、人中至少有两人的生日在同一天是必然事件，是真命题，故D符合题意；
故选：．
根据概率的意义，方差，平行线的性质，随机事件，概率公式，逐一判断即可解答．
本题考查了概率的意义，方差，平行线的性质，随机事件，概率公式，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：出现了次，出现的次数最多，
该队队员年龄的众数是岁；
共有名队员，
中位数是第、个数的平均数，
中位数是；
故选：．
根据众数和中位数的定义分别进行解答即可．
此题考查了众数和中位数，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．
 

8.【答案】 

【解析】解：、，函数的图象在第一、三象限，选项说法正确，符合题意；
B、因为，所以点不在函数图象上，选项说法错误，不符合题意；
C、，在每个象限内，随着的增大而减小，选项说法错误，不符合题意；
D、，在每个象限内，随着的增大而减小，因为，则，选项说法错误，不符合题意；
故选：．
根据反比例函数的性质逐一进行判断即可得．
本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：过点作于点，

，
，
在中，
，，
，
，
，
故选：．
过点作于点，在中，利用三角函数求出，再利用等腰三角形性质即可求出．
本题考查解直角三角形的应用，解答时涉及等腰三角形性质，解题的关键是构造直角三角形，熟记三角函数定义．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
．
，
．
，
．
，
．
，
故选：．
由“”可证≌，可得，由等腰三角形的性质和外角的性质可求解．
本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
原式提取公因式即可得到结果．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
故答案为：．
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
，
四边形是的内接四边形，
，
．
故答案为：．
根据等腰三角形的性质得出，求出，再根据圆内接四边形的性质得出，再求出即可．
本题考查了等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质等知识点，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：与关于点位似，与，与是对应顶点，且的面积等于面积的，
与的位似比为．
，
或，即或符合题意．
故答案为：或．
根据位似变换的性质，分和在位似中心的同侧和异侧两种情况，根据位似比求解即可．
本题考查了位似变换，坐标与图形性质，熟记位似变换的性质是解题的关键，难点在于分两种情况讨论，作出图形更形象直观．
 

15.【答案】 

【解析】解：设该种商品的销售单价应降价元时，日销售可以获得利润为元，
由题意，得

，
，
当时，．
故答案为：．
设降价元时，则日销售可以获得利润为，由销售问题的数量关系表示出与之间的关系，根据关系式的性质就可以求出结论．
本题考查了销售问题的数量关系的运用，利润售价进价销量的运用，二次函数的顶点式的运用，解答时求出二次函数的解析式是解题的关键
 

16.【答案】 

【解析】解：为等腰三角形，
不成立，
不成立，
可能成立，
当时，作于点，
，
，
，，，
，
，
，
，，，
∽，
，
即，
解得，
故答案为：．
根据题意可知，存在三种情况，但是只有一种情况成立，这种情况是，然后根据勾股定理可以求得的长，再根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质，可以求得的值．
本题考查勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

17.【答案】解：



． 

【解析】先算分式除法，再算分式的减法．
本题考查了分式的混合运算，掌握分式的运算法则和运算顺序是解决本题的关键．
 

18.【答案】解：列表如下：

由表格可知一共有种等可能性的结果数，其中恰好选中、两名同学参加活动的结果数有种，
恰好选中、两名同学参加活动的概率． 

【解析】先列出表格得到所有的等可能性的结果数，再找到恰好选中、两名同学参加活动的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
本题主要考查了简单的概率计算，树状图或列表法求求概率，解答本题的关键是明确题意，列出相应的表格，求出相应的概率．
 

19.【答案】证明：四边形是矩形，
，，，
在与中，
，
≌，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
▱是菱形． 

【解析】根据矩形的性质和全等三角形的判定和性质得出，，进而利用平行四边形的判定和菱形的判定解答即可．
此题考查矩形的性质、菱形的判定，关键是关键矩形的性质和菱形的判定解答．
 

20.【答案】   

【解析】解：由题意得，样本容量为：，
所以，即；
，即．
故答案为：；；
样本中的人数为：，的人数为：，
补全条形统计图如下：

名，
该校名学生中约有名学生对“化学中的数学”最感兴趣．
用的人数除以可得样本容量，再用的人数除以样本容量可得的值，然后用“”减去其它三种选项所占百分比可得的值；
用样本容量乘可得的人数，用样本容量乘所占百分比可得的人数，再补全条形统计图即可；
用乘样本中所占百分比即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图及用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】解：设该商场购进种商品件，种商品件，
由题意得：，
解得：，
答：该商场购进种商品件，种商品件． 

【解析】设该商场购进种商品件，种商品件，由题意：某商场用元购进，两种商品若干件，全部售出后共获得利润元，列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

22.【答案】证明：如图，连接，
，
，
又，，
，
，
，
，
，
即，
是半径，
是的切线；
解：是直径，
，，
∽，
，
即，
，
在中，
． 

【解析】根据等腰三角形的性质，圆周角定理以及切线的判定方法进行判断即可；
利用相似三角形的性质求出，再根据勾股定理求出即可．
本题考查切线的判定和性质，圆周角定理以及相似三角形，掌握切线的判定方法以及圆周角定理、相似三角形的判定和性质是正确解答的前提．
 

23.【答案】解：由题得：，
解得：，
；
由题意得：，，
，
的面积为：，
解得：或；
所以的值为：或；
当，时，，
解得：不合题意，舍去，或，
当时，，
解得：不合题意，舍去，或，
所以的值为或． 

【解析】根据待定系数法求解；
根据三角形的面积公式列方程求解；
分类讨论，结合图象，列方程求解．
本题考查了一次函数的应用，掌握分类讨论思想，数形结合思想，及待定系数法是解题的关键．
 

24.【答案】解：如图，过点作于，

，，
，
，
；
如图，过点作于，

，
，
，
将沿直线折叠得到，，
，
，
，
，，
；
如图，过点作于，过点作直线于，过点作直线于，设交于，

，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】由等腰三角形的性质可得，由勾股定理可求的长，即可求解；
由锐角三角函数和等腰直角三角形的性质可求，，即可求解；
由平行线分线段成比例可求，，由锐角三角函数可求解．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线分线段成比例，锐角三角函数，直角三角形的性质等知识，添加恰当恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

25.【答案】解：抛物线经过点和点，
，
解得：，
该抛物线的函数表达式为；
当时，即点的横坐标为，
当时，，
，
将线段绕点顺时针旋转得线段，
则，，
如图，过点作轴于点，设交轴于点，

则，
轴，
，
，，
，
≌，
，，
，
在中，，
，轴轴，即，且和均为锐角，
，
，
≌，
；
由题意得：，
，
抛物线的对称轴为直线，
点与点关于直线对称，
，
当时，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，如图，

则，，，
由旋转得：，，，
，
，
，
，
≌，
，
同理可得：≌，
，
，
，
，
解得：；
当时，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，如图，

则，，，
由旋转得：，，，
，
，
，
≌，
，
同理可得：≌，
，
，
，
，
解得：；
综上所述，的值为或． 

【解析】运用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式；
由题意得，根据旋转的性质可得，，过点作轴于点，设交轴于点，可证得≌，得出：，，，运用勾股定理可得，再证得≌，即可得出；
分两种情况：当时，当时，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，分别通过证明≌，≌，运用全等三角形性质得出和，再运用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，旋转变换的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形面积等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．