2023年辽宁省沈阳市和平区南昌初级中学中考数学三模试卷（含解析）

2023年辽宁省沈阳市和平区南昌初级中学中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在，，，这四个数中，最大的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是由个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  某校女子排球队名队员的年龄分布如下表所示：

则该校女子排球队名队员年龄的众数、中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

6.  下列事件为必然事件的是(    )

A. 袋中有个蓝球，个绿球，共个球，随机摸出一个球是红球
B. 三角形的内角和为
C. 打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告
D. 抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上

7.  下列函数图象中，表示直线的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图自动扶梯的倾斜角为，大厅两层之间的距离为米，则自动扶梯的长约为(    )

 

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

9.  如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线，交于点，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，面积为的正方形内接于，则的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  分解因式：______．

12.  年月日，神舟十四号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功，飞船入轨后将按照预定程序与离地面约米的天宫空间站进行对接．请将米用科学记数法表示为______米．

13.  计算：______．

14.  关于，的二元一次方程组的解是，则的值为______ ．

15.  如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，点是轴正半轴上一点若的面积为，则的值为______ ．

16.  如图，四边形为矩形，，点为边上一点，将沿翻折，点的对应点为点，过点作的平行线交于点，交直线于点若点是边的三等分点，则的长是______．

三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
“双减”政策下，将课后服务作为学生核心素养培养的重要阵地，聚力打造高品质和高成效的服务课程，推动提升课后服务质量，助力学生全面健康成长某校确立了：科技：：运动；：艺术；：项目化研究四大课程领域每人限报一个、若该校小陆和小明两名同学各随机选择一个课程领域．
小陆选择项目化研究课程领域的概率是        ．
用画树状图或列表的方法，求小陆和小明选择同一个课程领域的概率．

19.  本小题分
如图，在平行四边形中，，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接．
求证：四边形是菱形；
若，，求菱形的面积．

20.  本小题分
商场销售某种冰箱．每台进货价为元．调查发现，当销售价为元时．平均每天能售出台：而当销售价每降低元时．平均每天就能多售出台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到元，这时每天销售的冰箱是多少台？

21.  本小题分
为了解学生对淮安传统文化的知晓程度，某校随机抽取了部分学生进行问卷，问卷有以下四个选项：十分了解；了解较多；了解较少；不了解要求每名被调查的学生必选且只能选择一项现将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：

本次被抽取的学生共有______ 名；
请补全条形图；
扇形图中的选项C了解较少部分所占扇形的圆心角的大小为______ ；
若该校共有名学生，请你根据上述调查结果估计该校对淮安传统文化“十分了解”和“了解较多”的学生共有多少名？

22.  本小题分
如图，是的直径，点在直径上与，不重合，，且，连接，与交于点，在上取一点，使得．
求证：是的切线；
若是的中点，，求的长．

23.  本小题分
在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上将沿轴向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，．
如图，当经过点时，求直线的函数表达式；
设，与矩形重叠部分的面积为；
如图，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，，用含有的式子表示 ______ ；直接写出的取值范围______ ；
请直接写出满足的所有的值______ ．

 

24.  本小题分
【特例感知】
如图，点是内一点，，，垂足分别为、，且，点在的______ 上
【类比迁移】
已知中，，，，现将绕着点逆时针旋转得到，设直线与直线相交于点，连接．
如图当于，
线段的长______ ；的长______ ；
求证：平分；
当点在边上时如图，直接写出的长______ ；
【方法运用】
在旋转过程中，连接，当的面积为时，直接写出的长______ ．
 

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
求该抛物线的函数表达式；
求直线的函数表达式；
点为线段上方抛物线上的一点，过点作轴交直线于点，过点作交直线于点，
直接写出的最大值时点的坐标______ ；
在的条件下，将抛物线沿射线方向平移，得到新抛物线，新抛物线和原抛物线交于点，点是轴负半轴上的一动点，点是新抛物线上的一点，若存在以点、、为顶点的三角形是以为斜边的等腰直角三角形，直接写出点的坐标______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
最大的数是．
故选：．
实数的比较，正数大于零，零大于负数，两个正数，绝对值大的数也较大．
此题主要考查了实数的比较大小，关键是掌握实数比较大小的原则．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了由三视图判断几何体及简单组合体的三视图，重点考查几何体的三视图及空间想象能力．
先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从正面看去，一共三列，左边有竖列，中间有竖列，右边是竖列，结合四个选项选出答案．
【解答】
解：从正面看去，一共三列，左边有竖列，中间有竖列，右边是竖列．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：选项，与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
故选：．
根据合并同类项判断选项；根据同底数幂的乘法判断选项；根据幂的乘方判断选项；根据同底数幂的除法判断选项．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：点与点关于轴对称，
点的坐标是：．
故选：．
直接利用关于轴对称点的性质，横坐标不变，纵坐标改变符号，进而得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．
根据众数和中位数的定义求解可得．
【解答】
解：这组数据中出现次，次数最多，
众数为岁，
中位数是第、个数据的平均数，
中位数为岁，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：袋中有个蓝球，个绿球，共个球，随机摸出一个球是红球是不可能事件；
B.三角形的内角和为是必然事件；
C.打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告是随机事件；
D.抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上是随机事件；
故选：．
一定会发生的事情称为必然事件．依据定义即可解答．
本题主要考查随机事件，关键是理解必然事件为一定会发生的事件。
 

7.【答案】 

【解析】解：，时，
直线经过一、二、三象限．
故选：．
根据一次函数的性质判断即可．
本题考查了一次函数的性质，当，时，函数的图象经过一、二、三象限．
 

8.【答案】 

【解析】解：在中，，米，
，
米，
故选：．
由锐角三角函数可以求得的长．
本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意可得为的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得．
故选：．
由题意可得为的角平分线，则，由，可得，即可得，由，可得，再结合三角形内角和定理可列出关于的方程，即可得出答案．
本题考查作图基本作图、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图

连接，，
四边形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，
正方形的面积是，
，
，
弧的长，
故选：．
连接、，则为等腰直角三角形，由正方形面积为，可求边长为，进而可得半径为，根据弧长公式可求弧的长．
本题考查了正多边形和圆、正方形的性质、弧长公式等知识，构造等腰直角三角形是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征：二项式；两项的符号相反；每项都能化成平方的形式．先提取公因式，再对余下的项利用平方差公式分解因式．
【解答】
解：，
，
．
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】解：米用科学记数法表示为米，
故答案为：．
根据科学记数法的形式改写即可．
本题主要考查科学记数法的知识，熟练掌握科学记数法的形式是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式，
，
，
．
故答案为：．
将分式化简后再进行加法运算即可．
本题主要考查了分式的加法运算，熟记运算法则是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：将代入原方程组得：，
解得：，
．
故答案为：．
将代入原方程组，解之可得出，的值，再将其代入中，即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的解，代入原方程组的解，求出，的值是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】
解：连接、，
轴，
轴，
，
由反比例函数系数的几何意义可得：，，
，
解得：，
故答案为：．
连接、，由题可得：，由反比例函数系数的几何意义可得，，所以，代入计算即可得出的值．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，利用等积转化将的面积转化为的面积是解决问题的关键．
 

16.【答案】或 

【解析】解：如图，过点作于点，

，，
四边形是平行四边形，
，
折叠，
，
，
即，
，
，
，，
≌，
，，
，
四边形是矩形，
，
中，，
，
，，
，
，
中，，
，
如图，当时，


同理可得，，
，
，
中，，
，
故答案为：或．
过点作于点，根据题意可得四边形是平行四边形，证明，等面积法求得，勾股定理求得，可得的长，进而即可求解．
本题考查了勾股定理，折叠，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，掌握以上知识，注意分类讨论是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：小陆选择项目化研究课程领域的概率是，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小陆和小明选同一个课程的结果有种，
小陆和小明选同一个课程的概率为． 

【解析】直接根据概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小陆和小明选同一个课程的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
，，
≌，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．

解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
． 

【解析】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
由≌，推出，可知四边形是平行四边形，再根据可得结论；
解直角三角形求出的长即可解决问题；
 

20.【答案】解：设销售单价降低元，则每台的销售利润为元，平均每天的销售量为台，
依题意得：，
整理得：，
解得：，
．
答：每天销售的冰箱是台． 

【解析】设销售单价降低元，则每台的销售利润为元，平均每天的销售量为台，利用每天销售冰箱获得的利润每台的利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：本次被抽取的学生共名，
故答案为：；
组的人数为：名，
补全条形图如下：

扇形图中的选项“了解较少”部分所占扇形的圆心角，
故答案为：；
该校对于淮安传统文化“十分了解”和“了解较多”的学生：名，
答：估计该校对于淮安传统文化“十分了解”和“了解较多”的学生共名．
根据组的人数除以占比求得总人数；
根据总人数减去其他选项的人数得出组的人数，进而补全统计图；
根据组的百分比乘以，即可求解；
根据样本估计总体，用对淮安传统文化“十分了解”和“了解较多”的占比即可求解．
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

22.【答案】证明：连接，

，
，
，
，，
，，
，
，
是的半径，
是的切线：
解：连接，

，
，
是的中点，
，
，
在中，，
，
是的直径，
，
，，
∽，
，
，
，
，
的长为． 

【解析】连接，根据垂直定义可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质可得，，从而可得，最后利用平角定义可得，即可解答；
连接，根据已知可得，，从而在中，利用勾股定理求出，，然后利用直径所对的圆周角是直角可得，从而可证∽，进而利用相似三角形的性质可求出的长，最后进行计算即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】   和 

【解析】解：如图，当经过点时，

矩形的顶点，
，
由平移得：，，，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
点的坐标为；
将点，的坐标代入直线，
直线的函数表达式为：；
如图，当与矩形重叠部分为五边形时，

矩形中，，，，
四边形是矩形，
设，则，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
；
故答案为：，；
当时，与矩形重叠部分为三角形，如图，

重叠部分的面积为：，
，
，
解得：，
，
不符合题意，此时重叠部分面积不可能为；
当时，与矩形重叠部分为四边形梯形，如图，

则，，，
，
，
解得：，
，
符合题意；
当时，重叠部分为梯形，为定值，不能等于；
当时，与矩形重叠部分为五边形，
由知：，
，
解得：舍去，；
当时，重叠部分为矩形，如图，

，
，
当时，，不符合题意；
综上所述，满足的所有的值和．
故答案为：和．
由平移得：，，，根据等腰直角三角形性质可得，再由，即可得出点的坐标；
根据，即可求得，再结合题意列不等式组即可求得；
分五种情况讨论：当时，与矩形重叠部分为三角形，当时，与矩形重叠部分为四边形梯形，当时，重叠部分为梯形，当时，与矩形重叠部分为五边形，当时，重叠部分为矩形，分别画出图形，结合图形建立方程求解即可．
本题是矩形综合题，考查了矩形性质，等腰直角三角形的判定和性质，平移变换的性质，三角形、梯形、矩形面积等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想．
 

24.【答案】角平分线       或 

【解析】【特例感知】
解：，，，
点在的角平分线上；
故答案为：角平分线；
【类比迁移】
解：，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
解得：负值已舍去，
，，
，
，
故答案为：，；
证明：过点作垂足为，如图：

将绕着点逆时针旋转得到，
≌，
，
，，
全等三角形对应高相等，
平分；
解：在上截取，连接，过作，如图：

由可证平分，
，
，，
≌，
，
，
，
，
为的中点，即，
在中，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
解：当为锐角三角形时，过点，设交于，如图，

的面积为，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
，，，四点共圆，
，
设，
，
，，，
，
，
解得或，
，
，
，即；
如图，当为钝角三角形时，

同理可得，，
，，
，
，
解得或舍去，
；
故答案为：或．
【特例感知】由，，，知点在的角平分线上；
【类比迁移】
由，，得，由，知，设，则，由勾股定理列式可得得：，即得，，；
过点作垂足为，由≌，可得全等三角形对应高相等，故C平分；
在上截取，连接，过作，由平分，证明≌，得，在中，，在中，，即可得，，从而；
分两种情况：当为锐角三角形时，过点，设交于，由的面积为，可得，是等边三角形，即可得，，，，四点共圆，设，有，解得或，而，知，故B；当为钝角三角形时，同理可得．
本题考查几何变换综合应用，涉及锐角三角函数，三角形全等的判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

25.【答案】   

【解析】解：抛物线与轴交于点，，
，解得，
抛物线解析式为；
在中，当时，，
，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为；
如图所示，过点作轴交直线于，

设，则，
，
，，，
，，
，
，，
，
轴，轴，
，，
是等腰直角三角形，
；
，
，
∽，
，即，
，，
，
当最大时，的值最大，
，
当时，最大，最大为，
的值最大时点的坐标为，
故答案为：；
，
可设将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新抛物线，
，
平移后的抛物线与原抛物线交于点，
，
解得：或舍去，
平移后的抛物线解析式为；
设点的坐标为，
如图所示，当点在点左侧时，过点作轴于，过点作轴于，

，
以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
≌，
，，
，，
，，
，，
，
，
点在抛物线
上，
，
解得舍去或，
点的坐标为．
故答案为：．
利用待定系数法求解即可；
先求出，利用待定系数法求出直线的解析式为；
过点作轴交直线于，设，则，则，证明是等腰直角三角形，得到；证明∽，，则，当最大时，的值最大，据此求解即可；
由，可设将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新抛物线，再根据平移后的抛物线与原抛物线交于点，求出平移后的抛物线解析式为，设点的坐标为，然后分如图所示，过点作轴于，过点作轴于，证明≌，得到，，进而用含的式子表示出点的坐标，再根据，点在抛物线上进行代入求解即可．
本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，一次函数与几何综合等，正确作出辅助线并利用分类讨论的思想求解是解题的关键．