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2023年辽宁省沈阳市皇姑区中考数学三模试卷（含解析）
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这是一份2023年辽宁省沈阳市皇姑区中考数学三模试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年辽宁省沈阳市皇姑区中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列实数中，最小的数是( )
A. −2 B. 3 C. 2 D. −3
2. 某市决定为全市中小学教室安装空调，今年预计投入资金126000000元，其中数字126000000用科学记数法可表示为( )
A. 12.6×107 B. 1.26×108 C. 1.26×109 D. 0.126×1010
3. 如图是由6个大小相同的正方形组成的几何体，它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
4. 下列运算结果正确的是( )
A. a2+a3=a5 B. a2⋅a3=a6 C. a3÷a2=a D. (a2)3=a5
5. 如图，直线a，b与直线c，d相交，若∠1=∠2，∠3=70°，则∠4的度数是( )
A. 35°
B. 70°
C. 90°
D. 110°
6. 已知一组数据：66，66，62，67，63，这组数据的众数和中位数分别是( )
A. 66，62 B. 66，66 C. 67，62 D. 67，66
7. 不等式2x>x+1的解集是( )
A. x>2 B. x<1 C. x>1 D. x<2
8. 下列说法正确的是( )
A. 袋中有3个蓝球，2个绿球，共5个球，随机摸出一个球是绿球是必然事件
B. 了解一批洗衣机的使用寿命，采取抽样调查的方式
C. 若甲、乙两组数据的平均数都是9，S甲2=0.3，S乙2=0.05，则甲组数据较稳定
D. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，第一次正面向上，第二次一定反面向上
9. 一次函数y=−x+4的图象经过( )
A. 第一二三象限 B. 第二三象限 C. 第一二四象限 D. 第二三四象限
10. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD.则∠CBD的度数是( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 分解因式：xy2−2xy+x=______．
12. 二元一次方程组x+2y=5y=2x的解是______．
13. 化简(3a−1a+1−1)⋅a2−1a−1= ______ ．
14. 如图，菱形OABC的顶点C的坐标为(3,4)，顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数y=kx(x>0)的图象经过顶点B，则k的值为______．
15. 如图，点E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE=BA，则∠DCE的度数为______ ．
16. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB′E，点B的对应点是点B′.若AB′⊥BD，BE=3，则BB′的长是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：−12023−|3− 12|+ 3tan30°+(−13)−2．
18. (本小题8.0分)
某超市进行感恩大回馈活动，购物满200元即可抽奖一次.抽奖箱内放有四个除颜色外都相同的球，其中两个白色球，一个红色球，一个蓝色球，一次随机摸出两个球，如果抽出的是红色和蓝色两个球可获得奖品一份.小明妈妈在超市购物花了218元，获得一次抽奖机会，请用树状图或列表的方法求出小明妈妈获得奖品的概率．
19. (本小题8.0分)
某文具店用200元购进第一批手账本，销售后供不应求，又用1000元购进第二批手账本，第二批的数量是第一批的4倍，但单价比第一批贵2元.求第一批手账本的进货单价是多少元？
20. (本小题8.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D是AC的中点，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥BD交BD的延长线于点F，连接AF，CE．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)当AB=4，AC=6时，直接写出四边形AECF的面积是______ ．
21. (本小题8.0分)
中考体育考试从2024年开始执行新的考试标准，某校为提高学生运动技能，将要开设以下五种体育课程：A足球，B篮球，C排球，D羽毛球，E乒乓球.每名学生都必须在这五种课程中选择一类喜欢的课程(只能选择一类)，学校对学生选择的课程进行了一次随机抽样调查，并将调查结果绘制成如下不完整统计图．
请你根据图中信息，回答下列问题：
(1)在扇形统计图中，“乒乓球”所在扇形的圆心角等于______ 度；
(2)直接在图中补全条形统计图；
(3)根据以上统计分析，估计该校1800名学生中最喜爱“足球”的人数．
22. (本小题8.0分)
如图，已知线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上不同于A，B的点，连接AC，BC，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点F，过点D作DE//CB交AB延长线于点E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径是 5，当tan∠E=12时，直接写出CF的长______ ．
23. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=−43x+8与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，直线BC交x轴于点C(−4,0)．
(1)求直线BC的解析式；
(2)一动点P从点B出发，沿折线B−O−A向终点A运动．
①若点P在线段BO上，连接PC，PA，当S△PAB=S△PAC时，求线段OP的长；
②若S△PAB=10，直接写出线段OP的长．
24. (本小题8.0分)
如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=21，AC=28，点D为BC边上一点，过点作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，且DE=DF．
(1)求证：四边形AEDF为正方形；
(2)如图2，将△CDF沿DF翻折，得△GDF，DG交AB于点H，求证：DH=DB；
(3)将(2)中的△BDH绕点D逆时针旋转α( 0°<α<180° )得△B′DH′(点B的对应点为B′，点H的对应点为H′，连接GH′，CB′，点M为线段GH′的中点，连接DM.当△B′DC为直角三角形时，直接写出线段DM的长．
25. (本小题8.0分)
如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y=2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=−x2+bx+c经过点A和点B.点P是第二象限抛物线上一点，过点P分别作PN//x轴交直线l于点N，PM//y轴交直线l于点M．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当MN=12AB时，求点P的坐标；
(3)如图2，连接OP交AB于点C，当点C是MN中点时，直接写出PCOC的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵|−2|=2，|−3|=3，2<3，
∴−3<−2，
∵3<4，
∴ 3< 4，
即 3<2，
那么−3<−2< 3<2，
则最小的数为：−3，
故选：D．
正数>0>负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小；一个正数越大，则其算术平方根越大；据此进行判断即可．
本题考查实数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2.【答案】B
【解析】解：数字126000000科学记数法可表示为1.26×108元．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】D
【解析】解：第一行第2列只有1个正方形，第二行4个正方形．故选D．
先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，俯视图是由上向下看，第一行第2列只有是1个正方形，第二行4个正方形．
考查学生对三视图的识别能力，准确判断图形的正视图、俯视图、侧视图．
4.【答案】C
【解析】解：A、a2与a3是加，不是乘，不能运算，故本选项错误；
B、a2⋅a3=a2+3=a5，故本选项错误；
C、a3÷a2=a3−2=a，故本选项正确；
D、(a2)3=a2×3=a6，故本选项错误．
故选：C．
根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘对各选项分析判断即可得解．
本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵∠1=∠2，
∴a//b，
∴∠3=∠5，
∵∠3=70°，
∴∠5=70°，
∴∠4=180°−70°=110°，
故选：D．
首先根据∠1=∠2，可根据同位角相等，两直线平行判断出a//b，可得∠3=∠5，再根据邻补角互补可以计算出∠4的度数．
此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定定理与性质定理，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系
6.【答案】B
【解析】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：62，63，66，66，67，
第3个数是66，
所以中位数是66，
在这组数据中出现次数最多的是66，
即众数是66，
故选：B．
把这组数据按照从小到大的顺序排列，第3个数是中位数，在这组数据中出现次数最多的是66，得到这组数据的众数．
此题考查了众数和中位数，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数．
7.【答案】C
【解析】解：∵2x>x+1，
∴2x−x>1，
则x>1，
故选：C．
先移项，再合并同类项即可得出答案．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
8.【答案】B
【解析】解：A.袋中有3个蓝球，2个绿球，共5个球，随机摸出一个球是绿球是随机事件，故此选项不合题意；
B.了解一批洗衣机的使用寿命，采取抽样调查的方式，故此选项符合题意；
C.若甲、乙两组数据的平均数都是9，S甲2=0.3，S乙2=0.05，则乙组数据较稳定，故此选项不合题意；
D.抛掷一枚质地均匀的硬币两次，第一次正面向上，第二次一定反面向上，是随机事件，故此选项不合题意．
故选：B．
分别利用随机事件、全面调查与抽样调查、方差的意义分别分析得出答案．
此题主要考查了随机事件、全面调查与抽样调查、方差的意义，正确掌握相关定义是解题关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵一次函数y=−x+4，k=−1<0，b=4>0，
∴该函数图象经过第一、二、四象限，
故选：C．
根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可知该函数图象经过哪几个象限．
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
10.【答案】A
【解析】解：∵在正六边形ABCDEF中，
∠BCD=(6−2)×180°6=120°，BC=CD，
∴∠CBD=12(180°−120°)=30°，
故选：A．
根据正六边形的内角和求得∠BCD，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记多边形的内角和是解题的关键．
11.【答案】x(y−1)2
【解析】解：xy2−2xy+x，
=x(y2−2y+1)，
=x(y−1)2．
先提公因式x，再对剩余项利用完全平方公式分解因式．
本题考查提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式，本题要进行二次分解因式，分解因式要彻底．
12.【答案】x=1y=2
【解析】解：x+2y=5①y=2x②，
将②代入①，得x+4x=5，
解得x=1，
将x=1代入②，得y=2，
∴方程组的解为x=1y=2,
故答案为：x=1y=2．
用代入消元法解二元一次方程组即可．
本题考查二元一次方程组，理解二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法是正确解答的关键．
13.【答案】2a−2
【解析】解：原式=(3a−1a+1−a+1a+1)⋅(a+1)(a−1)a−1
=2a−2a+1⋅(a+1)
=2a−2，
故答案为：2a−2．
先计算括号内分式的减法，再计算乘法即可得出答案．
本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
14.【答案】32
【解析】解：∵C(3,4)，
∴OC= 32+42=5，
∴CB=OC=5，
则点B的横坐标为3+5=8，
故B的坐标为：(8,4)，
将点B的坐标代入y=kx得，
4=k8，
解得：k=32．
故答案为：32．
根据点C的坐标以及菱形的性质求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出k的值．
本题考查了菱形的性质以及利用待定系数法求反比例函数解析式，解答本题的关键是根据菱形的性质求出点B的坐标．
15.【答案】22.5°
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠DBC=∠BDC=45°，
∵BE=BA=BC，
∴∠BEC=∠BCE=67.5°，
∴∠DCE=∠BCD−∠BCE=90°−67.5°=22.5°，
故答案为：22.5°．
由正方形的性质得到BC=CD，∠DBC=∠BDC=45°，根据BE=BC，根据三角形的内角和定理求出∠BEC=∠BCE=67.5°，根据∠DCE=∠BCD−∠BCE即可求出答案．
本题主要考查对正方形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据这些性质求出∠DCE的度数是解此题的关键，题型较好，难度适中．
16.【答案】3 2
【解析】解：∵菱形ABCD，
∴AB=AD，AD//BC，
∵∠BAD=60°，
∴∠ABC=120°，
∵AB′⊥BD，
∴∠BAB′=12∠BAD=30°，
∵将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB′E，
∴BE=B′E，AB=AB′，
∴∠ABB′=12×(180°−30°)=75°，
∴∠EBB′=∠ABE−∠ABB′=120°−75°=45°，
∴∠EB′B=∠EBB′=45°，
∴∠BEB′=90°，
在Rt△BEB′中，由勾股定理得：
BB′= 32+32=3 2，
故答案为：3 2．
根据菱形ABCD中，∠BAD=60°可知△ABD是等边三角形，结合三线合一可得∠BAB′=30°，求出∠ABB′=75°，可得∠EB′B=∠EBB′=45°，则△BEB′是直角三角形，借助勾股定理求出BB′的长即可．
本题考查了翻折的性质、菱形的性质、等腰三角形的性质、以及勾股定理等知识，明确翻折前后对应线段相等是解题的关键．
17.【答案】解：原式=−1−(2 3−3)+ 3× 33+9
=−1−2 3+3+1+9
=12−2 3．
【解析】直接利用绝对值的性质以及有理数的乘方运算法则、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18.【答案】解：列表如下：
白
白
红
蓝
白
(白，白)
(红，白)
(蓝，白)
白
(白，白)
(红，白)
(蓝，白)
红
(白，红)
(白，红)
(蓝，红)
蓝
(白，蓝)
(白，蓝)
(红，蓝)
由表知，共有12种等可能结果，其中抽出的是红色和蓝色两个球的有2种结果，
所以小明妈妈获得奖品的概率为212=16．
【解析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】解：设第一批手账本的进货单价是x元，则第二批手账本的进货单价是(x+2)元，
根据题意得：1000x+2=200x×4，
解得：x=8，
经检验，x=8是所列方程的解，且符合题意．
答：第一批手账本的进货单价是8元．
【解析】设第一批手账本的进货单价是x元，则第二批手账本的进货单价是(x+2)元，利用数量=总价÷单价，结合第二批的数量是第一批的4倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
20.【答案】21625
【解析】(1)证明：∵过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥BD交BD的延长线于点F，
∴∠AED=∠CFD=90°，
∴AE//CF，
∵点D是AC的中点，
∴AD=CD，
在△ADE与△CDF中，
∠AED=∠CFD=90°∠ADE=∠CDFAD=CD，
∴△ADE≌△CDF(AAS)，
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
(2)解：∵∠BAC=90°，点D是AC的中点，AB=4，AC=6，
∴S△ABC=12AB⋅AC=12×4×6=12，
∴AD=3，S△ABD=12S△ABC=6，
∴BD= AB2+AD2= 42+32=5，
∴AE=AB⋅ADBD=3×45=125，
∴ED= AD2−AE2= 32−(125)2=95，
∴四边形AECF的面积=4S△AED=4×12×125×95=21625．
故答案为：21625．
(1)根据AAS证明△ADE与△CDF全等，进而利用全等三角形的性质和平行四边形的判定解答即可；
(2)根据三角形的面积公式得出△ABC的面积，进而利用三角形中线得出△ABD的面积，进而得出AE，进而解答即可．
此题考查平行四边形的判定和性质，关键是利用全等三角形的性质和平行四边形的判定解答．
21.【答案】36
【解析】解：(1)32÷16%=200(人)，360°×20200=36°，
故答案为：36；
(2)喜欢“篮球”的人数：200×24%=48(人)，喜欢“排球”的人数：200−32−60−20−48=40(人)，补全条形统计图如下：
(3)1800×32200=288(人)，
答：该校1800名学生中最喜爱“足球”的大约有288人．
(1)由两个统计图表可知，喜欢“足球”的有32人，占被调查人数的16%，根据频率=频数总数可求出调查人数，进而求出“乒乓球”所占的百分比，再求出相应的圆心角的度数；
(2)求出喜欢“篮球”、“排球”的人数，即可补全条形统计图；
(3)求出喜欢“足球”所占的百分比，再根据频率=频数总数进行计算即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，掌握频率=频数总数是正确解答的前提．
22.【答案】 5−1
【解析】(1)证明：如图1，连接OD交BC于点I，
∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，
∴∠BAD=∠CAD，
∴BD=CD，
∴OD垂直平分BC，
∵DE//CB，
∴∠ODE=∠OIB=90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
(2)解：如图2，作FH⊥AB于点H，则∠BHF=90°，
∵线段AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴CF⊥AC，
∵AD平分∠BAC，
∴CF=HF，
∵∠ABC=∠E，
∴ACBC=tan∠ABC=tan∠E=12，
∴BC=2AC，
∵⊙O的半径是 5，
∴AB=2 5，
∵AB= AC2+BC2= AC2+(2AC)2= 5AC，
∴ 5AC=2 5，
∴AC=2，BC=4，
∵HFBF=ACAB=22 5=sin∠ABC，
∴BF= 5HF= 5CF，
∴ 5CF+CF=4，
解得CF= 5−1，
故答案为： 5−1．
(1)连接OD交BC于点I，由∠BAD=∠CAD，得BD=CD，由垂径定理得OD垂直平分BC，因为DE//CB，所以∠ODE=∠OIB=90°，即可证明DE是⊙O的切线；
(2)作FH⊥AB于点H，由线段AB是⊙O的直径，得∠ACB=90°，则CF⊥AC，由AD平分∠BAC，得CF=HF，由ACBC=tan∠ABC=tan∠E=12，得BC=2AC，因为AB=2 5，且AB= AC2+BC2= 5AC，所以 5AC=2 5，则AC=2，BC=4，由HFBF=ACAB=22 5=sin∠ABC，得BF= 5HF= 5CF，于是得 5CF+CF=4，则CF= 5−1，于是得到问题的答案．
此题重点考查垂径定理、切线的判定定理、平行线的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵直线y=−43x+8与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，
∴A(6,0)，B(0,8)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，点B(0,8)，C(−4,0)在直线上，
b=8−4k+b=0，解得b=8k=2，
∴直线BC的解析式为：y=2x+8．
(2)①∵A(6,0)，C(−4,0)，B(0,8)
∴AC=10，S△AOB=12OA⋅OB=24，
设p(0,m)，S△PAC=12AC×OP=5m，
S△PAB=S△AOB−S△AOP=24−3m，
当S△PAB=S△PAC时，即24−3m=5m，
∴m=3，即OP=3．
②若S△PAB=10，即24−3m=10，解得m=143，
∴OP=143．
【解析】(1)求出直线y=−43x+8与坐标轴交点A和B的坐标，待定系数法解出直线BC的解析式即可；
(2)①设P(0,m)，根据面积相等建立关于m的方程，解得m的值即是OP长；②S△PAB=10转化为24−3m=10，解出m值即为OP长．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式和一次函数图象上点的坐标特征，利用面积关系列出方程是解本题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵∠A=90°，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴四边形AEDF为矩形，
∵DE=DF，
∴四边形AEDF为正方形；
(2)证明：由翻折知，∠CDF=∠HDF，
∵∠EDF=90°，
∴∠CDF+∠BDE=∠HDF+∠GDE，
∴∠BDE=∠GDE，
在△HDE和△BDE中，
∠HDE=∠BDEDE=DE∠DEH=∠DEB，
∴△HDE≌△BDE(ASA)，
∴DH=DB；
(3)解：∵△B′DC为直角三角形，△BDH绕点D逆时针旋转α( 0°<α<180° )，
∴只存在∠B′CD=90°的情况，
此时△GDH′为直角三角形，
∵M是GH′的中点，
∴DM=12GH′，
设正方形AEDF的边长为x，则FC=28−x，EB=21−x，
∵∠ABC+∠C=90°，
∴tan∠ABC=cotC，
即x21−x=28−xx，
解得x=12，
∴BE=21−12=9，CF=28−12=16，
∴BD= 92+122=15，CD= 122+162=20，
由旋转和翻折知，DG=CD=20，DH′=DH=BD=15，
∴GH′= DG2+DH′2=25，
∴DM=12GH′=252．
【解析】(1)根据角是90°得出四边形AEDF为矩形，然后根据邻边相等得出四边形AEDF为正方形即可；
(2)根据ASA证△HDE≌△BDE即可得出结论；
(3)根据题意得出△GDH′为直角三角形，即DM=12GH′，设正方形AEDF的边长为x，利用三角函数得出x的值，然后利用勾股定理求出GH′的长度即可得出结论．
本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及三角函数等知识是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵直线l：y=2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，
当y=0时，2x+8=0，
解得：x=−4，
∴A(−4,0)，
当x=0时，y=8，
∴B(0,8)，
把A(−4,0)，B(0,8)代入y=−x2+bx+c，得：−16−4b+c=0c=8，
解得：b=−2c=8，
∴该抛物线的解析式为y=−x2−2x+8；
(2)∵A(−4,0)，B(0,8)，
∴OA=4，OB=8，
设直线AB的解析式为y=kx+d，则−4k+b=0b=8，
解得：k=2b=8，
∴直线AB的解析式为y=2x+8，
设P(t,−t2−2t+8)，则M(t,2t+8)，
∴PM=−t2−2t+8−(2t+8)=−t2−4t，
∵PM//y轴，PN//x轴，
∴∠PMN=∠ABO，∠PNM=∠BAO，
∴△PMN∽△OAB，
∴MNAB=PMOB，
∵MN=12AB，
∴12=−t2−4t8，
解得：t1=t2=−2，
∴P(−2,8)；
(3)∵点C是MN中点，
∴C(−2,4)，
设直线OC的解析式为y=k′x，则−2k′=4，
∴k′=−2，
∴直线OC的解析式为y=−2x，
联立得：−x2−2x+8=−2x，
解得：x=±2 2，
∵点P是第二象限抛物线上一点，
∴x=−2 2，
∴P(−2 2,4 2)，M(−2 2,−4 2+8)，
∴PM=4 2−(−4 2+8)=8 2−8，
∵PM//OB，
∴△PCM∽△OCB，
∴PCOC=PMOB=8 2−88= 2−1．
∴PCOC的值为 2−1．
【解析】(1)先求得A(−4,0)，B(0,8)，代入y=−x2+bx+c，即可求得抛物线的解析式；
(2)运用待定系数法可得直线AB的解析式为y=2x+8，设P(t,−t2−2t+8)，则M(t,2t+8)，PM=−t2−2t+8−(2t+8)=−t2−4t，再由△PMN∽△OAB，可得12=−t2−4t8，解方程即可求得答案；
(3)由点C是MN中点，可得C(−2,4)，利用待定系数法可得直线OC的解析式为y=−2x，联立方程组求解可得P(−2 2,4 2)，M(−2 2,−4 2+8)，PM=4 2−(−4 2+8)=8 2−8，再证明△PCM∽△OCB，即可求得答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，中点公式的应用，难度不大，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
2023年辽宁省沈阳市皇姑区中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列实数中，最小的数是( )
A. −2 B. 3 C. 2 D. −3
2. 某市决定为全市中小学教室安装空调，今年预计投入资金126000000元，其中数字126000000用科学记数法可表示为( )
A. 12.6×107 B. 1.26×108 C. 1.26×109 D. 0.126×1010
3. 如图是由6个大小相同的正方形组成的几何体，它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
4. 下列运算结果正确的是( )
A. a2+a3=a5 B. a2⋅a3=a6 C. a3÷a2=a D. (a2)3=a5
5. 如图，直线a，b与直线c，d相交，若∠1=∠2，∠3=70°，则∠4的度数是( )
A. 35°
B. 70°
C. 90°
D. 110°
6. 已知一组数据：66，66，62，67，63，这组数据的众数和中位数分别是( )
A. 66，62 B. 66，66 C. 67，62 D. 67，66
7. 不等式2x>x+1的解集是( )
A. x>2 B. x<1 C. x>1 D. x<2
8. 下列说法正确的是( )
A. 袋中有3个蓝球，2个绿球，共5个球，随机摸出一个球是绿球是必然事件
B. 了解一批洗衣机的使用寿命，采取抽样调查的方式
C. 若甲、乙两组数据的平均数都是9，S甲2=0.3，S乙2=0.05，则甲组数据较稳定
D. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，第一次正面向上，第二次一定反面向上
9. 一次函数y=−x+4的图象经过( )
A. 第一二三象限 B. 第二三象限 C. 第一二四象限 D. 第二三四象限
10. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD.则∠CBD的度数是( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 分解因式：xy2−2xy+x=______．
12. 二元一次方程组x+2y=5y=2x的解是______．
13. 化简(3a−1a+1−1)⋅a2−1a−1= ______ ．
14. 如图，菱形OABC的顶点C的坐标为(3,4)，顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数y=kx(x>0)的图象经过顶点B，则k的值为______．
15. 如图，点E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE=BA，则∠DCE的度数为______ ．
16. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB′E，点B的对应点是点B′.若AB′⊥BD，BE=3，则BB′的长是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：−12023−|3− 12|+ 3tan30°+(−13)−2．
18. (本小题8.0分)
某超市进行感恩大回馈活动，购物满200元即可抽奖一次.抽奖箱内放有四个除颜色外都相同的球，其中两个白色球，一个红色球，一个蓝色球，一次随机摸出两个球，如果抽出的是红色和蓝色两个球可获得奖品一份.小明妈妈在超市购物花了218元，获得一次抽奖机会，请用树状图或列表的方法求出小明妈妈获得奖品的概率．
19. (本小题8.0分)
某文具店用200元购进第一批手账本，销售后供不应求，又用1000元购进第二批手账本，第二批的数量是第一批的4倍，但单价比第一批贵2元.求第一批手账本的进货单价是多少元？
20. (本小题8.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D是AC的中点，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥BD交BD的延长线于点F，连接AF，CE．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)当AB=4，AC=6时，直接写出四边形AECF的面积是______ ．
21. (本小题8.0分)
中考体育考试从2024年开始执行新的考试标准，某校为提高学生运动技能，将要开设以下五种体育课程：A足球，B篮球，C排球，D羽毛球，E乒乓球.每名学生都必须在这五种课程中选择一类喜欢的课程(只能选择一类)，学校对学生选择的课程进行了一次随机抽样调查，并将调查结果绘制成如下不完整统计图．
请你根据图中信息，回答下列问题：
(1)在扇形统计图中，“乒乓球”所在扇形的圆心角等于______ 度；
(2)直接在图中补全条形统计图；
(3)根据以上统计分析，估计该校1800名学生中最喜爱“足球”的人数．
22. (本小题8.0分)
如图，已知线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上不同于A，B的点，连接AC，BC，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点F，过点D作DE//CB交AB延长线于点E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径是 5，当tan∠E=12时，直接写出CF的长______ ．
23. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=−43x+8与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，直线BC交x轴于点C(−4,0)．
(1)求直线BC的解析式；
(2)一动点P从点B出发，沿折线B−O−A向终点A运动．
①若点P在线段BO上，连接PC，PA，当S△PAB=S△PAC时，求线段OP的长；
②若S△PAB=10，直接写出线段OP的长．
24. (本小题8.0分)
如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=21，AC=28，点D为BC边上一点，过点作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，且DE=DF．
(1)求证：四边形AEDF为正方形；
(2)如图2，将△CDF沿DF翻折，得△GDF，DG交AB于点H，求证：DH=DB；
(3)将(2)中的△BDH绕点D逆时针旋转α( 0°<α<180° )得△B′DH′(点B的对应点为B′，点H的对应点为H′，连接GH′，CB′，点M为线段GH′的中点，连接DM.当△B′DC为直角三角形时，直接写出线段DM的长．
25. (本小题8.0分)
如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y=2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=−x2+bx+c经过点A和点B.点P是第二象限抛物线上一点，过点P分别作PN//x轴交直线l于点N，PM//y轴交直线l于点M．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当MN=12AB时，求点P的坐标；
(3)如图2，连接OP交AB于点C，当点C是MN中点时，直接写出PCOC的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵|−2|=2，|−3|=3，2<3，
∴−3<−2，
∵3<4，
∴ 3< 4，
即 3<2，
那么−3<−2< 3<2，
则最小的数为：−3，
故选：D．
正数>0>负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小；一个正数越大，则其算术平方根越大；据此进行判断即可．
本题考查实数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2.【答案】B
【解析】解：数字126000000科学记数法可表示为1.26×108元．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】D
【解析】解：第一行第2列只有1个正方形，第二行4个正方形．故选D．
先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，俯视图是由上向下看，第一行第2列只有是1个正方形，第二行4个正方形．
考查学生对三视图的识别能力，准确判断图形的正视图、俯视图、侧视图．
4.【答案】C
【解析】解：A、a2与a3是加，不是乘，不能运算，故本选项错误；
B、a2⋅a3=a2+3=a5，故本选项错误；
C、a3÷a2=a3−2=a，故本选项正确；
D、(a2)3=a2×3=a6，故本选项错误．
故选：C．
根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘对各选项分析判断即可得解．
本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵∠1=∠2，
∴a//b，
∴∠3=∠5，
∵∠3=70°，
∴∠5=70°，
∴∠4=180°−70°=110°，
故选：D．
首先根据∠1=∠2，可根据同位角相等，两直线平行判断出a//b，可得∠3=∠5，再根据邻补角互补可以计算出∠4的度数．
此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定定理与性质定理，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系
6.【答案】B
【解析】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：62，63，66，66，67，
第3个数是66，
所以中位数是66，
在这组数据中出现次数最多的是66，
即众数是66，
故选：B．
把这组数据按照从小到大的顺序排列，第3个数是中位数，在这组数据中出现次数最多的是66，得到这组数据的众数．
此题考查了众数和中位数，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数．
7.【答案】C
【解析】解：∵2x>x+1，
∴2x−x>1，
则x>1，
故选：C．
先移项，再合并同类项即可得出答案．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
8.【答案】B
【解析】解：A.袋中有3个蓝球，2个绿球，共5个球，随机摸出一个球是绿球是随机事件，故此选项不合题意；
B.了解一批洗衣机的使用寿命，采取抽样调查的方式，故此选项符合题意；
C.若甲、乙两组数据的平均数都是9，S甲2=0.3，S乙2=0.05，则乙组数据较稳定，故此选项不合题意；
D.抛掷一枚质地均匀的硬币两次，第一次正面向上，第二次一定反面向上，是随机事件，故此选项不合题意．
故选：B．
分别利用随机事件、全面调查与抽样调查、方差的意义分别分析得出答案．
此题主要考查了随机事件、全面调查与抽样调查、方差的意义，正确掌握相关定义是解题关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵一次函数y=−x+4，k=−1<0，b=4>0，
∴该函数图象经过第一、二、四象限，
故选：C．
根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可知该函数图象经过哪几个象限．
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
10.【答案】A
【解析】解：∵在正六边形ABCDEF中，
∠BCD=(6−2)×180°6=120°，BC=CD，
∴∠CBD=12(180°−120°)=30°，
故选：A．
根据正六边形的内角和求得∠BCD，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记多边形的内角和是解题的关键．
11.【答案】x(y−1)2
【解析】解：xy2−2xy+x，
=x(y2−2y+1)，
=x(y−1)2．
先提公因式x，再对剩余项利用完全平方公式分解因式．
本题考查提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式，本题要进行二次分解因式，分解因式要彻底．
12.【答案】x=1y=2
【解析】解：x+2y=5①y=2x②，
将②代入①，得x+4x=5，
解得x=1，
将x=1代入②，得y=2，
∴方程组的解为x=1y=2,
故答案为：x=1y=2．
用代入消元法解二元一次方程组即可．
本题考查二元一次方程组，理解二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法是正确解答的关键．
13.【答案】2a−2
【解析】解：原式=(3a−1a+1−a+1a+1)⋅(a+1)(a−1)a−1
=2a−2a+1⋅(a+1)
=2a−2，
故答案为：2a−2．
先计算括号内分式的减法，再计算乘法即可得出答案．
本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
14.【答案】32
【解析】解：∵C(3,4)，
∴OC= 32+42=5，
∴CB=OC=5，
则点B的横坐标为3+5=8，
故B的坐标为：(8,4)，
将点B的坐标代入y=kx得，
4=k8，
解得：k=32．
故答案为：32．
根据点C的坐标以及菱形的性质求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出k的值．
本题考查了菱形的性质以及利用待定系数法求反比例函数解析式，解答本题的关键是根据菱形的性质求出点B的坐标．
15.【答案】22.5°
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠DBC=∠BDC=45°，
∵BE=BA=BC，
∴∠BEC=∠BCE=67.5°，
∴∠DCE=∠BCD−∠BCE=90°−67.5°=22.5°，
故答案为：22.5°．
由正方形的性质得到BC=CD，∠DBC=∠BDC=45°，根据BE=BC，根据三角形的内角和定理求出∠BEC=∠BCE=67.5°，根据∠DCE=∠BCD−∠BCE即可求出答案．
本题主要考查对正方形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据这些性质求出∠DCE的度数是解此题的关键，题型较好，难度适中．
16.【答案】3 2
【解析】解：∵菱形ABCD，
∴AB=AD，AD//BC，
∵∠BAD=60°，
∴∠ABC=120°，
∵AB′⊥BD，
∴∠BAB′=12∠BAD=30°，
∵将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB′E，
∴BE=B′E，AB=AB′，
∴∠ABB′=12×(180°−30°)=75°，
∴∠EBB′=∠ABE−∠ABB′=120°−75°=45°，
∴∠EB′B=∠EBB′=45°，
∴∠BEB′=90°，
在Rt△BEB′中，由勾股定理得：
BB′= 32+32=3 2，
故答案为：3 2．
根据菱形ABCD中，∠BAD=60°可知△ABD是等边三角形，结合三线合一可得∠BAB′=30°，求出∠ABB′=75°，可得∠EB′B=∠EBB′=45°，则△BEB′是直角三角形，借助勾股定理求出BB′的长即可．
本题考查了翻折的性质、菱形的性质、等腰三角形的性质、以及勾股定理等知识，明确翻折前后对应线段相等是解题的关键．
17.【答案】解：原式=−1−(2 3−3)+ 3× 33+9
=−1−2 3+3+1+9
=12−2 3．
【解析】直接利用绝对值的性质以及有理数的乘方运算法则、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18.【答案】解：列表如下：
白
白
红
蓝
白
(白，白)
(红，白)
(蓝，白)
白
(白，白)
(红，白)
(蓝，白)
红
(白，红)
(白，红)
(蓝，红)
蓝
(白，蓝)
(白，蓝)
(红，蓝)
由表知，共有12种等可能结果，其中抽出的是红色和蓝色两个球的有2种结果，
所以小明妈妈获得奖品的概率为212=16．
【解析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】解：设第一批手账本的进货单价是x元，则第二批手账本的进货单价是(x+2)元，
根据题意得：1000x+2=200x×4，
解得：x=8，
经检验，x=8是所列方程的解，且符合题意．
答：第一批手账本的进货单价是8元．
【解析】设第一批手账本的进货单价是x元，则第二批手账本的进货单价是(x+2)元，利用数量=总价÷单价，结合第二批的数量是第一批的4倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
20.【答案】21625
【解析】(1)证明：∵过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥BD交BD的延长线于点F，
∴∠AED=∠CFD=90°，
∴AE//CF，
∵点D是AC的中点，
∴AD=CD，
在△ADE与△CDF中，
∠AED=∠CFD=90°∠ADE=∠CDFAD=CD，
∴△ADE≌△CDF(AAS)，
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
(2)解：∵∠BAC=90°，点D是AC的中点，AB=4，AC=6，
∴S△ABC=12AB⋅AC=12×4×6=12，
∴AD=3，S△ABD=12S△ABC=6，
∴BD= AB2+AD2= 42+32=5，
∴AE=AB⋅ADBD=3×45=125，
∴ED= AD2−AE2= 32−(125)2=95，
∴四边形AECF的面积=4S△AED=4×12×125×95=21625．
故答案为：21625．
(1)根据AAS证明△ADE与△CDF全等，进而利用全等三角形的性质和平行四边形的判定解答即可；
(2)根据三角形的面积公式得出△ABC的面积，进而利用三角形中线得出△ABD的面积，进而得出AE，进而解答即可．
此题考查平行四边形的判定和性质，关键是利用全等三角形的性质和平行四边形的判定解答．
21.【答案】36
【解析】解：(1)32÷16%=200(人)，360°×20200=36°，
故答案为：36；
(2)喜欢“篮球”的人数：200×24%=48(人)，喜欢“排球”的人数：200−32−60−20−48=40(人)，补全条形统计图如下：
(3)1800×32200=288(人)，
答：该校1800名学生中最喜爱“足球”的大约有288人．
(1)由两个统计图表可知，喜欢“足球”的有32人，占被调查人数的16%，根据频率=频数总数可求出调查人数，进而求出“乒乓球”所占的百分比，再求出相应的圆心角的度数；
(2)求出喜欢“篮球”、“排球”的人数，即可补全条形统计图；
(3)求出喜欢“足球”所占的百分比，再根据频率=频数总数进行计算即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，掌握频率=频数总数是正确解答的前提．
22.【答案】 5−1
【解析】(1)证明：如图1，连接OD交BC于点I，
∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，
∴∠BAD=∠CAD，
∴BD=CD，
∴OD垂直平分BC，
∵DE//CB，
∴∠ODE=∠OIB=90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
(2)解：如图2，作FH⊥AB于点H，则∠BHF=90°，
∵线段AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴CF⊥AC，
∵AD平分∠BAC，
∴CF=HF，
∵∠ABC=∠E，
∴ACBC=tan∠ABC=tan∠E=12，
∴BC=2AC，
∵⊙O的半径是 5，
∴AB=2 5，
∵AB= AC2+BC2= AC2+(2AC)2= 5AC，
∴ 5AC=2 5，
∴AC=2，BC=4，
∵HFBF=ACAB=22 5=sin∠ABC，
∴BF= 5HF= 5CF，
∴ 5CF+CF=4，
解得CF= 5−1，
故答案为： 5−1．
(1)连接OD交BC于点I，由∠BAD=∠CAD，得BD=CD，由垂径定理得OD垂直平分BC，因为DE//CB，所以∠ODE=∠OIB=90°，即可证明DE是⊙O的切线；
(2)作FH⊥AB于点H，由线段AB是⊙O的直径，得∠ACB=90°，则CF⊥AC，由AD平分∠BAC，得CF=HF，由ACBC=tan∠ABC=tan∠E=12，得BC=2AC，因为AB=2 5，且AB= AC2+BC2= 5AC，所以 5AC=2 5，则AC=2，BC=4，由HFBF=ACAB=22 5=sin∠ABC，得BF= 5HF= 5CF，于是得 5CF+CF=4，则CF= 5−1，于是得到问题的答案．
此题重点考查垂径定理、切线的判定定理、平行线的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵直线y=−43x+8与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，
∴A(6,0)，B(0,8)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，点B(0,8)，C(−4,0)在直线上，
b=8−4k+b=0，解得b=8k=2，
∴直线BC的解析式为：y=2x+8．
(2)①∵A(6,0)，C(−4,0)，B(0,8)
∴AC=10，S△AOB=12OA⋅OB=24，
设p(0,m)，S△PAC=12AC×OP=5m，
S△PAB=S△AOB−S△AOP=24−3m，
当S△PAB=S△PAC时，即24−3m=5m，
∴m=3，即OP=3．
②若S△PAB=10，即24−3m=10，解得m=143，
∴OP=143．
【解析】(1)求出直线y=−43x+8与坐标轴交点A和B的坐标，待定系数法解出直线BC的解析式即可；
(2)①设P(0,m)，根据面积相等建立关于m的方程，解得m的值即是OP长；②S△PAB=10转化为24−3m=10，解出m值即为OP长．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式和一次函数图象上点的坐标特征，利用面积关系列出方程是解本题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵∠A=90°，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴四边形AEDF为矩形，
∵DE=DF，
∴四边形AEDF为正方形；
(2)证明：由翻折知，∠CDF=∠HDF，
∵∠EDF=90°，
∴∠CDF+∠BDE=∠HDF+∠GDE，
∴∠BDE=∠GDE，
在△HDE和△BDE中，
∠HDE=∠BDEDE=DE∠DEH=∠DEB，
∴△HDE≌△BDE(ASA)，
∴DH=DB；
(3)解：∵△B′DC为直角三角形，△BDH绕点D逆时针旋转α( 0°<α<180° )，
∴只存在∠B′CD=90°的情况，
此时△GDH′为直角三角形，
∵M是GH′的中点，
∴DM=12GH′，
设正方形AEDF的边长为x，则FC=28−x，EB=21−x，
∵∠ABC+∠C=90°，
∴tan∠ABC=cotC，
即x21−x=28−xx，
解得x=12，
∴BE=21−12=9，CF=28−12=16，
∴BD= 92+122=15，CD= 122+162=20，
由旋转和翻折知，DG=CD=20，DH′=DH=BD=15，
∴GH′= DG2+DH′2=25，
∴DM=12GH′=252．
【解析】(1)根据角是90°得出四边形AEDF为矩形，然后根据邻边相等得出四边形AEDF为正方形即可；
(2)根据ASA证△HDE≌△BDE即可得出结论；
(3)根据题意得出△GDH′为直角三角形，即DM=12GH′，设正方形AEDF的边长为x，利用三角函数得出x的值，然后利用勾股定理求出GH′的长度即可得出结论．
本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及三角函数等知识是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵直线l：y=2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，
当y=0时，2x+8=0，
解得：x=−4，
∴A(−4,0)，
当x=0时，y=8，
∴B(0,8)，
把A(−4,0)，B(0,8)代入y=−x2+bx+c，得：−16−4b+c=0c=8，
解得：b=−2c=8，
∴该抛物线的解析式为y=−x2−2x+8；
(2)∵A(−4,0)，B(0,8)，
∴OA=4，OB=8，
设直线AB的解析式为y=kx+d，则−4k+b=0b=8，
解得：k=2b=8，
∴直线AB的解析式为y=2x+8，
设P(t,−t2−2t+8)，则M(t,2t+8)，
∴PM=−t2−2t+8−(2t+8)=−t2−4t，
∵PM//y轴，PN//x轴，
∴∠PMN=∠ABO，∠PNM=∠BAO，
∴△PMN∽△OAB，
∴MNAB=PMOB，
∵MN=12AB，
∴12=−t2−4t8，
解得：t1=t2=−2，
∴P(−2,8)；
(3)∵点C是MN中点，
∴C(−2,4)，
设直线OC的解析式为y=k′x，则−2k′=4，
∴k′=−2，
∴直线OC的解析式为y=−2x，
联立得：−x2−2x+8=−2x，
解得：x=±2 2，
∵点P是第二象限抛物线上一点，
∴x=−2 2，
∴P(−2 2,4 2)，M(−2 2,−4 2+8)，
∴PM=4 2−(−4 2+8)=8 2−8，
∵PM//OB，
∴△PCM∽△OCB，
∴PCOC=PMOB=8 2−88= 2−1．
∴PCOC的值为 2−1．
【解析】(1)先求得A(−4,0)，B(0,8)，代入y=−x2+bx+c，即可求得抛物线的解析式；
(2)运用待定系数法可得直线AB的解析式为y=2x+8，设P(t,−t2−2t+8)，则M(t,2t+8)，PM=−t2−2t+8−(2t+8)=−t2−4t，再由△PMN∽△OAB，可得12=−t2−4t8，解方程即可求得答案；
(3)由点C是MN中点，可得C(−2,4)，利用待定系数法可得直线OC的解析式为y=−2x，联立方程组求解可得P(−2 2,4 2)，M(−2 2,−4 2+8)，PM=4 2−(−4 2+8)=8 2−8，再证明△PCM∽△OCB，即可求得答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，中点公式的应用，难度不大，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
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