辽宁省沈阳市浑南区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份辽宁省沈阳市浑南区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，八年级竞赛情况，从七等内容，欢迎下载使用。

第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．如果剧院里“5排2号”记作，那么表示（ ）
A．“7排9号”B．“9排7号”C．“7排7号”D．“9排9号”
2．以下正方形的边长是无理数的是（ ）
A．面积为的正方形B．面积为的正方形
C．面积为的正方形D．面积为的正方形
3．若，是方程的一组解，则k的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．在下列哪两个连续自然数之间（ ）
A．2和3B．3和4C．4和5D．5和6
5．在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A．点P（3，2）到x轴的距离是3
B．若ab＝0，则点P（a，b）表示原点
C．若A（2，﹣2）、B（2，2），则直线AB∥x轴
D．第三象限内点的坐标，横纵坐标同号
6．下列命题中是真命题的为（ ）
A．两锐角之和为钝角B．两锐角之和为锐角
C．钝角大于它的补角D．锐角大于它的余角
7．关于x、y的二元一次方程组，用代入法消去y后所得到的方程，正确的是（ ）
A．3x﹣x﹣5＝8B．3x+x﹣5＝8C．3x+x+5＝8D．3x﹣x+5＝8
8．已知点与点关于某条直线对称，则这条直线是（ ）
A．轴B．轴
C．过点且垂直于轴的直线D．过点且平行于轴的直线
9．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，，，则的度数为（）
A．B．C．D．
10．在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章中有一题：“今有开门去阃（kǔn）一尺，不合二寸，问门广几何？”大意是说：如图，推开双门（和），门边缘D，C两点到门槛的距离为1尺（1尺寸），双门间的缝隙为2寸，那么门的宽度（两扇门的和）为（ ）
A．103寸B．102寸C．101寸D．100寸
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．16的算术平方根是 ．
12．如图，在长方形中，动点从点出发，以相同的速度，沿方向运动到点处停止．设点运动的路程为，的面积为．如果与之间的关系如图所示，那么长方形的面积为 ．
13．学完“里程碑上的数”之后有这样一个问题：“小明家离学校1000米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路． 他跑步去学校共用时18分钟，已知小明上坡的平均速度为30米/分，下坡的平均速度为80米/分，小明上坡和下坡各用了多长时间？”小亮同学设出未知数后列出了方程组：，小颖也设出未知数后却列了和小亮不同的方程组：，则横线上应填的方程是 ． （写一个即可）
14．学校举办了一分钟跳绳比赛，据统计，所有参赛学生一分钟的跳绳数均不少于100次，现随机抽取了部分参赛学生一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据成绩分布情况，将抽取的全部成绩分成四组，并绘制了如下统计图表．若A组，B组，C组，D组参赛学生一分钟跳绳的平均次数（单位：次）分别为，估计该校参赛学生一分钟跳绳的平均次数约是 次．
被抽查学生一分钟跳绳测试结果统计表
被抽查学生一分钟跳绳测试结果统计图
15．已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，．以为边在第一象限内作三角形，且，，作的中垂线交直线于点，交轴于点G．设上有一点，且点与点位于直线的同侧，使得，则点的坐标为 ．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．计算
(1)；
(2)．
17．已知的三个顶点坐标分别为，，．
(1)请在平面直角坐标系内画出；
(2)在轴上找一点，使线段与的和最小，并求出点坐标（保留作图痕迹）．
18．为传承经典文化，某校开展了“诗词达人”竞赛活动．为了解七、八年级竞赛情况，从七、八年级各随机抽取10名学生成绩(单位：分)进行如下统计分析．
【收集数据】
七年级：90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；
八年级：85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．
【整理数据】
【分析数据】
根据以上信息回答下列问题：
(1)请直接写出表格中，，的值；
(2)求八年级学生成绩的方差；
(3)通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由．
19．周末，小亮帮奶奶去超市买菜，回家后与奶奶有一段对话：
小亮：牛肉和鸡蛋一共6斤，单价分别是元/斤和元/斤，您给了我元，现找回元．
奶奶：你肯定摘错了．
小亮：哦，我把自己口袋里的5元一起当作找回的钱款了．
奶奶：这就对了．
根据上面的信息，请你列方程组求小亮买了牛肉和鸡蛋各多少斤．
20．我边防局接到情报，如图1，近海处有一可疑船只正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇追赶．图2中，，分别表示两船相对于海岸的距离与追赶时间之间的关系．
(1)预计快艇在距离海岸多少能追赶上可疑船只？
(2)为了对可疑船只实施有效检查，边防局同时派出快艇协助快艇追赶，快艇与快艇的出发地相同，且快艇可比快艇B提前追赶上，则快艇的速度为多少？
21．如图，已知等腰中，，，是边上一点，且，．
（1）求的长；
（2）求中边上的高．
22．【发现并提出问题】
手机已经成为现代人生活的一个重要组成部分，通讯公司提供两种手机话费收费套餐供客户选择．
套餐：按月收取租费15元，此外每分钟的费用是元；
套餐：无月租费，直接按通话时间计费，每分钟的费用是元．
小刚仔细阅读了宣传单上的方案说明，发现话费与通话时间有关联，进而想到两种套餐话费收费与时间分别有怎样的关系呢？怎样选择套餐更省钱呢？
【分析并建立模型】
小刚设采用套餐的费用为（元），采用套餐的费用为（元），通话时间为（分钟），并分析得出（元）与（分钟），（元）与（分钟）之间都是一次函数关系．
【解决问题】
(1)请直接写出（元）与（分），（元）与（分）之间的关系式．
(2)当通话时间为多少分钟时，两种套餐费用相同？
(3)小刚的父母都选用了套餐，小刚收集了两人近三个月的话费支出，整理汇总下表，
根据三个月话费统计的情况，两人选择的套餐省钱吗？说明理由．
23．【问题初探】
（1）在张老师的课堂上，正引导学生证明“三角形内角和定理”，如图1，已知：．求证：，结合之前拼摆的实践操作经验，学生们多用于下列两种证明思路：
①如图2，延长到，过点作射线，相当于把，都移到了顶点的位置，利用图形特点获得，，的数量关系；
②如图3，过点作直线，相当于把，都移到了顶点的位䈯，再利用图形特点获得，，的数量关系；
请你选择上述的一种证明思路，并写出证明过程．
【类比分析】
（2）在回顾解题思路时，张老师带领同学们重点总结了转化思想，两种解题思路都利用了“平行线”的等角转化的功能；为了帮助学生更好地感悟转化思想，将图3进行了变换并提出了下面问题，请你解答．
如图4，已知，过点作直线，为线段上一点，连接，，若，，，求的度数．
【学以致用】
（3）如图5，，，，若，，，请你判断，，三者之间的数量关系，并证明你的结论．
参考答案与解析
1．A
【分析】本题考查了坐标确定位置，解题关键是清楚有序数对与排号之间的关系，根据题意可前一个数表示排数，后一个数表示号数即可求解．
【详解】解：由“5排2号”记作可知，
有序数对与排号对应，
所以表示第7排9号．
故选：A．
2．D
【分析】本题考查了无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：A、面积为的正方形的边长为，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、面积为的正方形的边长为5，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、面积为的正方形的边长为7，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D、面积为的正方形的边长为，是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
3．C
【分析】将代入中，求解即可．
【详解】解：把代入，得：，
解得：；
故选C．
【点睛】本题考查二元一次方程的解．熟练掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．
4．B
【分析】先估算出的范围，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴在3和4之间．
故选：B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．
5．D
【分析】根据点的坐标的几何意义逐一进行判断即可得答案．
【详解】A.点P（3，2）到x轴的距离是2，故本选项不符合题意．
B.若ab＝0，则点P（a，b）表示原点或坐标轴上的点，故本选项不符合题意．
C.若A（2，﹣2）、B（2，2），则直线AB∥y轴，故本选项不符合题意．
D.第三象限内点的坐标，横纵坐标都是负号，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查点的坐标的几何意义，由坐标平面内的一点P分别向x轴，y轴作垂线，垂足M,N在x轴，y轴上的坐标分别为x和y，我们则说P点的横坐标为x,纵坐标是y，记作P(x，y)；熟练掌握相关定义是解题关键．
6．C
【分析】本题考查了补角、余角的定义，熟记概念：如果两个角的和是一个直角，那么称这两个角互为余角，如果两个角的和是等于，那么称这两个角互为补角，可以举具体角的度数来证明结合反例即可作出判断．
【详解】A、两个角的和是，是锐角，故不符合题意；
B、两个的角之和是，是钝角，故不符合题意；
C、钝角大于，它的补角小于，故符合题意；
D、锐角的余角是，故不符合题意．
故选：C．
7．A
【分析】把①代入②，即可求解．
【详解】解：，
把①代入②得：.
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组得解法——代入消元法，加减消元法是解题的关键．
8．C
【分析】由题意PQ∥x轴，所以过PQ中点且垂直于x轴的直线即为所求的直线，然后根据选项内容进行判断．
【详解】解：∵点，点
∴PQ∥x轴，
设PQ的中点为M
则M点坐标为，即
∴点与点关于经过点且垂直于轴的直线对称
故选项A，B，D错误；
又∵在这条直线上，
∴选项C符合题意
故选：C．
【点睛】本题考查点的坐标及轴对称，掌握轴对称的性质，利用数形结合思想解题是关键．
9．D
【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．根据光在水中是平行的线，由平行线的性质即可求解．
【详解】解：如图，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
故选∶D．
10．C
【分析】画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：设OA=OB=AD=BC=r，过D作DE⊥AB于E，
则DE=10，OE= CD=1，AE=r-1．
在Rt△ADE中，
AE2+DE2=AD2，即（r-1）2+102=r2，
解得2r=101．
故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
11．4
【详解】解：∵
∴16的平方根为4和-4，
∴16的算术平方根为4，
故答案为：4
12．
【分析】本题根据题意结合图象得出、的长度，再求出面积即可．
【详解】解：由题知，当点在上运动时，的面积不变，
当点在上运动时，的面积逐渐变小，
当点在上运动时，的面积为0，
当点在上运动时，的面积逐渐变大，
由以上变化结合与之间的关系图可知，，，
所以长方形的面积为，
故答案为：．
13．
【分析】根据题意可得到本题的等量关系：上坡的路程+下坡的路程=1000，上坡的时间+下坡的时间=18，依题意列出方程求解．
【详解】设上坡的路程为米，下坡的路程为米，
依题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
14．
【分析】此题主要考查加权平均数，频率分布表和用样本估计总体解题的关键是根据扇形统计图得到进一步解题的有关信息．由A组的频数和A组所占的比例可得调查总人数，进而得出m的值，再根据加权平均数公式计算即可．
【详解】解∶调查总人数为∶(人)．
故，
故该校参赛学生一分钟跳绳的平均次数约是：
故答案为∶150．
15．
【分析】先求出、两点的坐标，根据是的中垂线，则点，当时，，即点，故可得出的长；设，求出的面积，由，得到，即可求解；
【详解】解：如图，
是的中垂线，
点，
当时，即，
设
解得：
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，涉及到三角形全等、中垂线的性质、勾股定理的运用，正确作出辅助线是解题的关键．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和运算顺序是解题的关键．
（1）根据立方根、绝对值、算术平方根计算即可；
（2）去括号，化为最简二次根式合并即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
17．(1)见详解
(2)图见详解，
【分析】本题考查了轴对称−最短路线问题，同时也考查了坐标和图形的性质，掌握“马饮水模型”是解题的关键．
（1）找到三点连接即可；
（2）作B关于y轴对称点，连接，与y轴交点为P．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）作B关于y轴对称点，
当共线时最小，
连接交轴于点，点即所求，
设直线解析式为：，
把代入得
，
解得：，
直线解析式为：，
令得：，
故点P坐标为：．
18．(1)，，．
(2)．
(3)八年级的学生成绩比较好，理由见解析．
【分析】本题考查数据的整理、中位数和众数的概念，方差的求解公式，利用统计量做决策等知识，掌握相关计算公式是解题的关键．
（1）本小题考查数据的整理、中位数和众数的概念，理解概念即可解题．注意在找中位数时，要先将数据按顺序排列，且还需注意数据个数的奇偶性；
（2）本小题考查方差的求解公式，灵活运用公式即可求解；
（3）本小题从平均数、中位数、众数、方差分析即可．
【详解】（1）解：由题知，七年级10个数据中有2个85，
，
由表格可知七年级出现次数最多的分数是90，
，
由题知，八年级有10个数据，将数据从小到大排列，第五位和第六位数据是90和90，
．
（2）解：由题知：．
（3）解：八年级的学生成绩比较好，理由如下：
七、八年级学生成绩的中位数和众数相同，但八年级的平均成绩比七年级高，且从方差看，八年级学生成绩更整齐，综上所述，八年级的学生成绩比较好．
19．小亮买了牛肉2斤,鸡蛋4斤
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.设小亮买了牛肉x斤，鸡蛋y斤,根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可.
【详解】设小亮买了牛肉斤，鸡蛋斤，
由题意得:,
解得:,
答:小亮买了牛肉2斤,鸡蛋4斤.
20．(1)快艇在距离海岸能追赶上可疑船只．
(2)快艇的速度为．
【分析】（1）本题考查的是实际问题与一次函数，设直线的解析式为，直线的解析式为，把函数图象中的已知坐标代入解析式求解．然后通过与的解析式，列方程求解即可．
（2）本题通过快艇与可疑船只离海岸距离相同，利用求出可疑船只所用的时间，再利用速度路程时间求解即可．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
当，时，有，解得，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
当，时，有，解得，
直线的解析式为，
当快艇追赶上可疑船只时，
有，解得，
把代入中，有，
所以快艇在距离海岸能追赶上可疑船只．
（2）解：快艇可比快艇B提前追赶上，
此时快艇与可疑船只距离海岸（），
即当时，有，解得，
21．（1）AD=cm；（2）cm
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理求出∠BDC=90°，求出∠ADC=90°，再根据勾股定理求出即可；
（2）根据等腰三角形的性质得出BE=CE=10cm，根据勾股定理求出AE即可．
【详解】解：（1）∵BC=20cm，且CD=16cm，BD=12cm，
∴BD2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
设AD=x cm，则AC=AB=(x+12)cm，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+CD2=AC2，
即x2+162=(x+12)2，
解得：x=，
即AD=cm；
（2）AB=AC=+12=（cm），
过A作AE⊥BC于E，则AE是△ABC的高，
∵AB=AC，BC=20cm，
∴BE=CE=10（cm），
在Rt△AEB中，由勾股定理得：AE=（cm），
即△ABC中BC边上的高是cm．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和勾股定理的逆定理等知识点，能根据勾股定理的逆定理得出∠BDC=90°是解此题的关键．
22．(1)，．
(2)当通话时间为分钟时，两种套餐费用相同．
(3)根据三个月话费统计的情况，小刚父亲选套餐不省钱，小刚母亲选套餐省钱．
【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，找出y与x之间的关系式．
（1）根据套餐每月的话费为月租加上通话费，套餐每月的话费为通话费，列出关系式即可．
（2）根据两种套餐费用相同，列出关于的方程，求解即可．
（3）根据关系式，列出当套餐每月的话费低于套餐每月的话费时的不等式，解出通话时间小于分钟时，套餐更省钱，再结合小刚的父母的消费情况，列式计算其通话时间进行比较，即可解题．
【详解】（1）解：由题知，，．
（2）解：因为两种套餐费用相同，有，解得，
所以当通话时间为分钟时，两种套餐费用相同．
（3）解：当套餐每月的话费低于套餐每月的话费时，
有，解得，即如果通话时间小于分钟时，选套餐更省钱．
小刚父亲：当时，有，解得，
小刚父亲每月最低通话时间为分钟，即通话时间大于分钟，
选套餐不省钱．
小刚母亲：当时，有，解得，
小刚母亲每月最高通话时间为分钟，即通话时间小于分钟，
选套餐省钱．
综上所述，根据三个月话费统计的情况，小刚父亲选套餐不省钱，小刚母亲选套餐省钱．
23．（1）证明见详解；（2）；（3），证明见详解
【分析】此题重点考查平行线的性质、三角形内角和定理的证明、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
（1）选择①，延长到，过点作射线平行于，则，所以
（2）作，则，，所以，则，所以；
（3）延长交于点，延长交于点，则，由，推导出，则，所以，则，由，得，而，于是得由此即可求解．
【详解】证明∶（1）选择①，证明如下：
如图2，
延长到，过点作射线，
．
（2）如图4，
作，则
，
，
，
，
，
．
故．
（3），
证明∶延长交于点，延长交于点，如图5
，
，
，
等级
次数
频数
A
2
B
6
C
7
D
80
85
90
95
100
七年级
2
3
2
1
八年级
1
2
4
2
1
统计量
平均数(分)
中位数(分)
众数(分)
方差
七年级
89
90
39
八年级
90
90
9月话费（元）
10月话费（元）
11月话费（元）
小刚父亲
72
75
78
小刚母亲
38
42
28