人教A版 (2019)3.2 双曲线导学案

这是一份人教A版 (2019)3.2 双曲线导学案，共11页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【自主学习】
一．双曲线的定义
思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)双曲线的定义中，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？
二．双曲线的标准方程
思考：如何从双曲线的标准方程判断焦点的位置？
【小试牛刀】
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( )
(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( )
(3)在双曲线标准方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1中，a＞0，b＞0且a≠b． ( )
(4)在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．( )
【经典例题】
题型一 求双曲线的标准方程
点拨：求双曲线标准方程的步骤
(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．
(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解．
提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn＜0.
例1 根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)a＝4，经过点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(4\r(10),3)))；
(2)焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2eq \r(6)，2eq \r(2))；
(3)过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(15,4)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(16,3)，5))且焦点在坐标轴上．
【跟踪训练】1 根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)以椭圆eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,5)＝1的焦点为顶点，顶点为焦点；
(2)焦距为2eq \r(6)，经过点(－5,2)，且焦点在x轴上。
题型二 双曲线中焦点三角形问题
点拨：求双曲线中的焦点△PF1F2面积的方法
(1)①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；
④利用公式＝eq \f(1,2)×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．
(2)利用公式＝eq \f(1,2)×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积．
例2 若F1，F2是双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的两个焦点．
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2)如图，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．
【跟踪训练】2 已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．
题型三 与双曲线有关的轨迹问题
点拨：双曲线轨迹问题的步骤
(1)列出等量关系，化简得到方程；
(2)寻找几何关系，结合双曲线的定义，得出对应的方程．
求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．
例3 如图所示，在△ABC中，已知|AB|＝4eq \r(2)，且三个内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
【跟踪训练】3 如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
【当堂达标】
1.(多选)双曲线＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（ ）
A．2B．7
C．17D．22
2.已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．直线 D．一条射线
3.已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长|AB|＝m，则△ABF2的周长为( )
A．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m
4.已知方程eq \f(x2,2＋m)－eq \f(y2,m＋1)＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是________．
5.已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于________．
6.已知双曲线与椭圆eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,36)＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求双曲线方程．
【参考答案】
【自主学习】
差的绝对值 F1，F2 两焦点间
思考：(1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(2)点M在双曲线的右支上．
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1 a2＋b2
思考：焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．
【小试牛刀】
× × × ×
【经典例题】
例1 解：(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)，
把点A的坐标代入，得b2＝－eq \f(16,15)×eq \f(160,9)<0，不符合题意；
当焦点在y轴上时，设所求标准方程为eq \f(y2,16)－eq \f(x2,b2)＝1(b>0)，
把点A的坐标代入，得b2＝9.
故所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,16)－eq \f(x2,9)＝1.
(2)因为焦点在x轴上，可设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
将点(4，－2)和(2eq \r(6)，2eq \r(2))代入方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(16,a2)－\f(4,b2)＝1， ①,\f(24,a2)－\f(8,b2)＝1， ②))解得a2＝8，b2＝4，
所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1.
(3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0.
因为点P，Q在双曲线上，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9A＋\f(225,16)B＝1，,\f(256,9)A＋25B＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＝－\f(1,16)，,B＝\f(1,9).))
故双曲线的标准方程为eq \f(y2,9)－eq \f(x2,16)＝1.
【跟踪训练】1 解：(1)依题意，得双曲线的焦点在x轴上,且a＝eq \r(3)，c＝2eq \r(2)，所以b2＝c2－a2＝5.
所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,5)＝1.
(2)因为焦点在x轴上，且c＝eq \r(6)，所以设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,6－a2)＝1,0＜a2＜6.
又因为过点(－5,2)，所以eq \f(25,a2)－eq \f(4,6－a2)＝1，解得a2＝5或a2＝30(舍去)．
所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,5)－y2＝1.
例2 解：双曲线的标准方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1，故a＝3，b＝4，c＝eq \r(a2＋b2)＝5.
(1)由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.
故点M到另一个焦点的距离为10或22.
(2)将|PF2|－|PF1|＝2a＝6两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
则|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理得
cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq \f(100－100,2×32)＝0，且∠F1PF2∈(0°，180°)，
所以∠F1PF2＝90°，
故＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq \f(1,2)×32＝16.
【跟踪训练】2 2eq \r(3) 解析：不妨设点P在双曲线的右支上，
因为PF1⊥PF2，所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝(2eq \r(2))2，
又|PF1|－|PF2|＝2，所以(|PF1|－|PF2|)2＝4，
可得2|PF1|·|PF2|＝4，则(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12，
所以|PF1|＋|PF2|＝2eq \r(3).
例3解：以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(－2eq \r(2)，0)，B(2eq \r(2)，0)．
由正弦定理，得sin A＝eq \f(|BC|,2R)，sin B＝eq \f(|AC|,2R)，sin C＝eq \f(|AB|,2R)(R为△ABC的外接圆半径)．
∵2sin A＋sin C＝2sin B，∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|，
即|AC|－|BC|＝eq \f(|AB|,2)＝2eq \r(2)<|AB|.
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．
由题意，设所求轨迹方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(x>a)，
∵a＝eq \r(2)，c＝2eq \r(2)，∴b2＝c2－a2＝6.
即所求轨迹方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,6)＝1(x>eq \r(2))．
【跟踪训练】3 解：圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1.
圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|.
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝eq \f(3,2)，c＝5，于是b2＝c2－a2＝eq \f(91,4).
故动圆圆心M的轨迹方程为eq \f(x2,\f(9,4))－eq \f(y2,\f(91,4))＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x≤－\f(3,2))).
【当堂达标】
1.AD 解析：因为a2＝25，所以a＝5．由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝10．由题意知|PF1|＝12，所以|PF1|－|PF2|＝±10，所以|PF2|＝22或2．故选：AD。
2.D解析：F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线．
3.C解析：不妨设|AF2|>|AF1|，由双曲线的定义，知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，
所以|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋4a＝m＋4a，于是△ABF2的周长l＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m.故选C.
4.(－∞，－2) 解析：由双曲线标准方程的特点知2＋m＜0且－(m＋1)＞0，解得m＜－2.即m的取值范围为(－∞，－2)．
5. 4 解析：在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cs 60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，即(2eq \r(2))2＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4.
6. 解：因为椭圆eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,36)＝1的焦点为(0，－3)，(0,3)，A点的坐标为(eq \r(15)，4)或(－eq \r(15)，4)，
设双曲线的标准方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝9，,\f(16,a2)－\f(15,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,b2＝5，))
所以所求的双曲线的标准方程为eq \f(y2,4)－eq \f(x2,5)＝1. 课程标准
学科素养
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.
2.掌握双曲线的标准方程及其求法.
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题．
1、直观想象
2、数学运算
3、逻辑推理
文字语言
平面内与两个定点F1，F2的距离的 等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹.
符号语言
||PF1|－|PF2||＝常数(常数＜|F1F2|)
焦点
定点
焦距
的距离
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
(a＞0，b＞0)
(a＞0，b＞0)
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
c2＝