第三章 圆锥曲线的方程章末重点题型归纳 （人教A版2019选择性必修第一册）

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第三章 圆锥曲线的方程章末重点题型归纳



知识点1 椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
注：在椭圆的定义中必须要注意以下两个问题
(1)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．
(2)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆．
①若，M的轨迹为线段；
②若，M的轨迹无图形

知识点2 椭圆的方程及简单几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形


标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0),_ B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a), B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
长轴长＝，短轴长＝
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝
对称性
对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)
离心率
e＝(00)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则
(1)椭圆的定义：|PF1|＋|PF2|＝2a.
(2)余弦定理：4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ.
(3)面积公式：S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc.
重要结论：S△PF1F2=
推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ得



由三角形的面积公式可得
S△PF1F2=
=
注：S△PF1F2===（是三角形内切圆的半径）

(4)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
(5)在椭圆C：＋＝1(a>b>0)中,F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意的一点，当点P在短轴端点时，最大.

知识点4　点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上⇔＋＝1；点P在椭圆内部⇔＋1.
知识点5　直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法：
联立消y得一元二次方程．
当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；
当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；
当Δ0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
性质
图形


焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≤－a或 x≥a，y∈
y≤－a或 y≥a，x∈
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：；
虚轴：线段B1B2，长：；
半实轴长：，半虚轴长：
离心率
e＝∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±x
y＝±x

知识点9 双曲线的焦点三角形
双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理．
以双曲线上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则
(1)双曲线的定义：
(2)余弦定理：＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ.
(3)面积公式：S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，
重要结论：S△PF1F2=
推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ得



由三角形的面积公式可得
S△PF1F2=
=

知识点10 直线与双曲线的位置关系
1、把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式．
(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．
(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．
(3)Δ0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图象




性质
焦点
F
F
F
F
准线
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
O(0,0)
离心率
e＝1
开口方向
向右
向左
向上
向下

知识点13 直线与抛物线的位置关系
设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.
(1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦，

如图：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.
注：(1)x1·x2＝.
(2)y1·y2＝－p2.
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α是直线AB的倾斜角)．
(4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点)．
（5）求弦长问题的方法
①一般弦长：|AB|＝|x1－x2|，或|AB|＝|y1－y2|.
②焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.



题型一 圆锥曲线的定义
1．（2022·江苏镇江·高二期末）如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（    ）

A．圆 B．双曲线 C．抛物线 D．椭圆
【解析】由题意知，关于CD对称，所以，
故，
可知点P的轨迹是椭圆.
2．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二期末（理））已知两圆C1：（x-4）2+y2=169，C2：（x+4）2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是（    ）
A． B．
C． D．
【解析】设动圆的圆心，半径为
圆与圆:内切，与C2：外切.
所以.

由椭圆的定义，的轨迹是以为焦点，长轴为16的椭圆.
则，所以
动圆的圆心的轨迹方程为：
故选：D
3．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））平面上动点到点的距离与它到直线的距离之比为，则动点的轨迹是（   ）
A．双曲线 B．抛物线 C．椭圆 D．圆
【解析】设点，由题意可得，
化简可得，即，曲线为反比例函数图象，
故动点的轨迹是双曲线.
故选：A.


题型二 圆锥曲线的标准方程
4．（2022·四川南充·高二期末（文））过椭圆：右焦点的直线：交于，两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为（    ）
A． B．
C． D．
【解析】依题意，焦点，即椭圆C的半焦距，设，，
则有，两式相减得：，
而，且，即有，
又直线的斜率，因此有，而，解得，经验证符合题意，
所以椭圆的方程为.
故选：A
5．（2022·黑龙江·哈九中高二期末）阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点、在轴上，椭圆的面积为，且离心率为，则的标准方程为（   ）
A． B． C． D．
【解析】设椭圆方程为，
由题意可知，椭圆的面积为，且、、均为正数，
即，解得，
因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为.
故选：A.
6．（2022·云南丽江·高二期末（理））已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（       ）
A． B．
C． D．
【解析】由椭圆的标准方程为，可得，即，
因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距，
又因为双曲线满足，即，
又由，即，解得，可得，
所以双曲线的方程为.
故选：A．
7．（2022·安徽·合肥工业大学附属中学高二期末）已知点分别是等轴双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线上，，的面积为8，则双曲线的方程为（    ）
A． B． C． D．
【解析】，是的中点，所以，
，则，
，解得，
所以双曲线方程为．
故选：D．
8．（2022·陕西咸阳·高二期末（理））已知双曲线的离心率，且双曲线C的两条渐近线与抛物线的准线围成的三角形的面积为3，则p的值为（    ）
A．1 B．2 C． D．4
【解析】根据题意，，可得，
所以双曲线的渐近线方程为，
抛物线的准线方程为，
设准线与抛物线的交点分别为M，N，则，可解得，
同理，
所以，解得.
故选：D．



题型三 圆锥曲线的几何性质
9．（2022·上海市控江中学高二期末）椭圆的一个短轴端点到一个焦点的距离为______．
【解析】由题意，即为一个短轴端点到一个焦点的距离，
故答案为：．
10．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期末（文））已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线E的焦距等于______.
【解析】∵双曲线的渐近线方程为，
∴，即，
∴，，
∴的焦距等于.
故答案为：.
11．（2022·安徽省皖西中学高二期末）已知抛物线上一点M（位于第一象限）到焦点F的距离等于，则直线的斜率为_______________．
【解析】因为抛物线上一点M与焦点F的距离，
所以，
所以，进而有或（舍去）
所以点M的坐标为，
所以直线MF的斜率为.
故答案为：.
12．（2022·上海中学东校高二期末）过椭圆右焦点F的圆与圆外切，该圆直径的端点Q的轨迹记为曲线C，若P为曲线C上的一动点，则长度最小值为（    ）
A．0 B． C．1 D．2
【解析】椭圆，，所以.
设以为直径的圆圆心为，如图所示：

因为圆与圆外切，所以，
因为，，
所以，
所以的轨迹为：以为焦点，的双曲线的右支.
即，曲线.
所以为曲线上的一动点，则长度最小值为.
故选：C
13．（2022·浙江·高二期末）已知是双曲线：（，）的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则（    ）
A．1 B． C． D．3
【解析】设.
过作与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，则，解得：，所以.
由双曲线可得渐近线为.
由对称性可知，到任一渐近线的距离均相等，不妨求到渐近线的距离，
所以.
因为，所以，解得：.
故选：B

题型四 圆锥曲线的离心率问题
14．（2022·福建省福州华侨中学高二期末）已知椭圆的一个顶点为，右焦点为F，直线BF与椭圆的另一个交点为M，且，则该椭圆的离心率是__________．
【解析】设M的坐标为，由题知

，
，即，
把点M的坐标代入椭圆的方程得
，，．
故答案为：．
15．（2022·云南·罗平县第一中学高二期末）已知双曲线 的一条渐近线与直线 垂直， 则 的离心率为____________．
【解析】由题意得的斜率为 ，
的渐近线方程为 ，
由于双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，可知 ，即，
故 ，
故答案为：
16．（2022·四川泸州·高二期末（理））双曲线C：的左焦点为F，过原点作一条直线分别交C的左右两支于A，B两点，若，，则此双曲线的离心率为（       ）
A． B． C． D．3
【解析】解：
设双曲线的右焦点为，连接，
根据椭圆的对称性可得，
由双曲线的定义可得所以
在中，，结合，可得，所以即，
在中， 即，所以，则，
故选：C
17．（2022·福建师大附中高二期末）已知椭圆的左右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线，与以坐标轴原点为圆心，椭圆半焦距为半径的圆交于点（不同于点），与椭圆在第一象限交于点，若，则椭圆的离心率为__________．
【解析】，
点A是线段的中点，
为直径所对的圆周角，
，
为线段的垂直平分线，
，，
过的直线的倾斜角为，
，
，
，为椭圆C的焦点，
，
且，
，
，
点B在椭圆C上，
，
，
，即，
故答案为：.
18．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【解析】设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为，
由椭圆和双曲线的定义可知，设，，，
椭圆和双曲线的离心率分别为，，
因是它们的一个公共点，且，则由余弦定理可得：
……①
在椭圆中，由定义知，①式化简为：……②
在双曲线中，由定义知，①式化简为：……③
由②③两式消去得：，等式两边同除得，
即，
由柯西不等式得，
.
故选：B
19．（2022·北京市十一学校高二期末）已知椭圆C：（）的左､右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ）
A． B． C． D．.
【解析】由题设，以线段为直径的圆为，与直线相交，
所以，可得，即，又，
所以.
故选：B

题型五 直线与圆锥曲线的位置关系
20．（2022·河南洛阳·高二期末（文））已知双曲线，过点作直线l，若l与该双曲线只有一个公共点，这样的直线条数为（     ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】根据双曲线方程可知
右顶点为，使与有且只有一个公共点的情况为：
①当垂直轴时，此时过点的直线方程为，与双曲线只有一个公共点，
②当与轴不垂直时，可设直线方程为
联立方程可得
当即时，方程只有一个根，此时直线与双曲线只有一个公共点，
当时，，整理可得即
故选：D
21．（2022·河南新乡·高二期末（理））已知抛物线的焦点为F，准线为，过的直线与抛物线交于A，B两点，与准线交于C点，若，且，则（    ）
A．4 B．12 C．4或16 D．4或12
【解析】如图，过A，B向作垂线，垂足分别为D，E，则.
设，，因为，，
所以.因为，所以，.
设直线的方程为，
联立方程组得，则.
因为，
所以或.
因为，所以，故.

故选：A
22．（2022·湖北黄冈·高二期末）已知椭圆的上下顶点分别为，一束光线从椭圆左焦点射出，经过反射后与椭圆交于点，则直线的斜率为（    ）
A． B． C． D．
【解析】依题意，椭圆的上顶点，下顶点，左焦点，右焦点，
由椭圆的光学性质知，反射光线AD必过右焦点，于是得直线AD的方程为：，
由得点，则有，
所以直线的斜率为.
故选：B
23．（2022·四川雅安·高二期末（理））已知F是椭圆的左焦点，设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，则直线OP（O为原点）的斜率的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【解析】由椭圆方程 ,则 ，过点斜率为的直线方程为
由 ， ，即得 ，
过作 轴垂线与椭圆交于 ，
如图，当点在弧上时，符合题意，又 ，
所以斜率的取值范围是 .
故选:B.

24．（2022·福建宁德·高二期末）已知F是双曲线的右焦点，若直线与双曲线相交于A，B两点，且，则k的范围是（    ）
A． B．
C． D．
【解析】
焦点在x上

焦点坐标为
由双曲线的对称性可得
又



又

又
而

当时，整理得
又

又的渐近线方程为
又
k的取值范围为
故选：C



题型六 圆锥曲线中的弦长问题
25．（2022·新疆·乌市八中高二期末（理））过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若，则的值为（    ）
A． B．2 C． D．
【解析】如图所示，设，，
因为，所以点到准线的距离为3，
所以，得，
因为，
所以，
所以，得，
所以的值为，
故选：C

26．（2022·广西钦州·高二期末（文））已知点，在双曲线上，线段的中点，则（    ）
A． B． C． D．
【解析】设，，则可得方程组：，两式相减得：，即，其中因为的中点为，故，故，即直线的斜率为，故直线的方程为：，联立，解得：，由韦达定理得：，，则
故选：D
27．（2022·重庆·巫山县官渡中学高二期末）椭圆C的方程为，右焦点为，离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线与圆相切，与椭圆交于两点，且，求直线的方程．
【解析】（1）由椭圆C的方程为，右焦点为，离心率为，可得半焦距且，解得，又由，所以椭圆方程为.
（2）由（1）得，圆的方程为，设，
当直线的斜率不存在时，，不合题意；
当直线的斜率存在时，设直线，
由直线与曲线相切可得，所以，
联立方程组，可得，
所以，，
所以
， 解得或，
所以直线或.

题型七 圆锥曲线中的中点弦问题
28．（2022·河南安阳·高二期末（理））已知抛物线，过点的直线与抛物线交于A，B两点，若点是线段AB的中点，则直线的斜率为（    ）
A．4 B．2 C．1 D．
【解析】设，，∵是AB的中点，∴，
由，相减得，
所以直线的斜率，
故选：B．
29．（2022·广西·宾阳中学高二期末（文））若椭圆的弦恰好被点平分，则所在的直线方程为（    ）
A． B．
C． D．
【解析】显然点在椭圆内，设点，
依题意，，两式相减得：，
而弦恰好被点平分，即，
则直线AB的斜率，直线AB：，即，
所以所在的直线方程为.
故选：D
30．（2022·内蒙古包头·高二期末（文））已知点A，B在双曲线上，线段AB的中点为，则（    ）
A． B． C． D．
【解析】不妨设，，
从而，，
由两式相减可得，，
又因为线段AB的中点为，从而，，
故，即直线AB的斜率为，
直线AB的方程为：，即，
将代入可得，，
从而，，
故.
故选：C.
31．（2022·浙江宁波·高二期末）已知直线，椭圆．若直线l与椭圆C交于A，B两点，则线段AB的中点的坐标为（    ）
A． B．
C． D．
【解析】由题意知，
，消去y，得，
则，，
所以A、B两点中点的横坐标为：，
所以中点的纵坐标为：，
即线段AB的中点的坐标为.
故选：B

题型八 圆锥曲线中的面积问题
32．（2022·山东泰安·高二期末）已知椭圆的焦点分别为，，椭圆上一点P与焦点的距离等于6，则的面积为（    ）
A．24 B．36 C．48 D．60
【解析】由题意知，.
根据椭圆定义可知，是直角三角形，.
故选：A.
33．（2022·四川凉山·高二期末（理））已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，当取最大值时，三角形面积为（    ）
A． B． C．2 D．4
【解析】设点的坐标为，根据椭圆的焦半径公式可得：

则有：
根据椭圆的特点，可知：
可得：当时，取最大值
此时，点在椭圆的短轴上，则有：
故选：B
34．（2022·宁夏·平罗中学高二期末（文））已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为（    ）
A． B．
C． D．
【解析】因为，为上关于坐标原点对称的两点，且，
所以四边形为矩形，
设，，
由椭圆的定义可得，
所以，
因为，
即，
所以，
所以四边形的面积为．
故选：B
35．（2022·吉林·长春外国语学校高二期末）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知双曲线的左右焦点分别为，，直线经过，斜率为，与双曲线交于，两点，求的面积．
【解析】（1）设所求双曲线方程为，代入点得：，即，
双曲线方程为，即．
（2）由（1）知：，，即直线的方程为．
设，，联立，得，
满足且，，
由弦长公式得，
点到直线的距离．
所以．
36．（2022·贵州铜仁·高二期末（文））已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在坐标轴上，设是抛物线上一点．
(1)求抛物线方程；
(2)若抛物线的焦点在x轴上，过点M做两条直线分别交抛物线于A，B两点，若直线与的倾斜角互补，求面积的最大值．
【解析】（1）由题意抛物线过点，所以设抛物线方程为：或，带入点M得，或，抛物线方程为：或．
（2）由抛物线焦点在x轴上，抛物线方程为，设，因为直线与的倾斜角互补，所以，得，即，整理得，所以则设直线，即，点M到直线的距离为：，，所以，令，由，得，所以．因为是偶函数，所以只需讨论的情况．当时，令，则，所以在上单调递增，所以的最大值为，即的最大值为．综上可知，的面积的最大值为6．

题型九 圆锥曲线中的最值问题
37．（2022·江苏苏州·高二期末）椭圆上的点P到直线x+ 2y- 9= 0的最短距离为（　　）
A． B． C． D．
【解析】设与已知直线平行，与椭圆相切的直线为 ，则

所以
所以椭圆上点P到直线的最短距离为
故选：A
38．（2022·陕西安康·高二期末（理））已知椭圆C：过点，且离心率．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点．求面积的最大值．
【解析】（1）∵，∴,
又椭圆C：过点，
∴，∴，,
故所求椭圆方程为;
（2）设l的方程为，，,
联立得,
由，解得,
由韦达定理，得，,
则．
点P到直线l的距离,
∴,
当且仅当，即时等号成立,
∴面积的最大值为2.
39．（2022·河南南阳·高二期末（理））已知抛物线的通径长为，若抛物线上有一动弦的中点为，且弦的长度为.
(1)求抛物线的方程；
(2)求点的纵坐标的最小值.
【解析】（1）由题意可知：，所以抛物线的方程为：；
（2） 由题意可知：直线斜率必存在，设其方程为：.
（3） 设，，.则：，
联立方程：得：.
所以，.
又知：，
得,
∴

当且仅当，即时取等号，
则点的纵坐标的最小值为.
40．（2022·云南·丽江市教育科学研究所高二期末）已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求的方程；
(2)若是上两点，直线与圆相切，求的取值范围．
【解析】（1）由题意得，
，解得，
所以的方程为.
（2）圆的圆心为，半径圆.
①当直线的斜率不存在时，方程为或，
于是有或
解得，
所以.                 
②当直线的斜率为时，方程为或，
于是有或
解得，
所以.                    
③当直线的斜率不为时，设斜率为，方程为，
因为直线与圆相切，所以，得
建立方程组，消并化简得，
.
设,,则,，
所以=



而，当且仅当，即时，等号成立.
所以 ，
所以.
综上所述，的取值范围是.
41．（2022·河南·沈丘县第一高级中学高二期末（文））已知点，，双曲线C上除顶点外任一点满足直线RM与QM的斜率之积为4.
(1)求C的方程；
(2)若直线l过C上的一点P，且与C的渐近线相交于A，B两点，点A，B分别位于第一、第二象限，，求的最小值.
【解析】（1）由题意得，即，
整理得，
因为双曲线的顶点坐标满足上式，
所以C的方程为.
（2）由（1）可知，曲线C的渐近线方程为，
设点，，，，，
由，得，
整理得，①，
把①代入，整理得②，
因为，
，
所以.由，得，
则，
当且仅当时等号成立，所以的最小值是1.

题型十 圆锥曲线中的向量问题
42．（2022·广西贵港·高二期末（文））已知椭圆的一个焦点与短轴的一个端点连线的倾斜角为，直线与椭圆相交于和两点，且为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求的取值范围.
【解析】(1)解：不妨设左焦点为，上顶点为，则，
所以，
因为直线与椭圆相交于和两点，且，
所以将点的坐标代入椭圆的方程，得，
联立方程组，解得，
所以椭圆的方程为；
(2)解：设，
若直线的斜率存在，设的方程为，联立方程组，
消去得，则，
又，所以，且，即，则，
因为，
所以，整理得，
则，且恒成立，
所以，
又，且，
所以，即；
当直线的斜率不存在时，，又，解得，
所以
综上，的取值范围为.
43．（2022·重庆九龙坡·高二期末）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过定点的直线交椭圆于不同的两点､(点在点､之间)，且满足，求的取值范围.
【解析】(1)由题意可知：，解得：
椭圆的标准方程为：．
(2)①当直线斜率不存在，方程为，则，.
②当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立  得：.
由得：.
设，，
则，，
又，，，则，

，所以，所以 ，解得：,
又，
综上所述：的取值范围为.
44．（2022·甘肃兰州·高二期末（理））若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点坐标分别为和，且该双曲线经过点P(3，1)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且，求直线l的斜率．
【解析】(1)
，解得，故双曲线方程为
(2)，故设直线方程为
则，由得：
故，
点在双曲线上，则，解得
直线l的斜率为

题型十一 圆锥曲线中的定点问题
45．（2022·四川遂宁·高二期末（文））在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P到点F的距离比点P到x轴的距离大2，记P的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)A、B是C上的两点，直线OA、OB的斜率分别为 且，求证直线过定点．
【解析】（1）设C上任意一点P的坐标为，则有：，
当时，有；
当时，有，
所以C的方程为或；
（2）由题意知直线AB的斜率存在，设AB的直线方程为，，
联立方程，整理得，
所以，且，
又由，即，
由,
解得，
故直线的方程为，
所以直线恒过定点.
46．（2022·广东汕尾·高二期末）已知点，分别为双曲线C：的左、右焦点，点A为双曲线C的右顶点，已知，且点到一条渐近线的距离为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线：与双曲线C交于两点，，直线，的斜率分别记为，，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标.
【解析】(1)由题知，，其中一条渐近线为，即，
所以，解得
所以

(2)
设，将代入
整理得：
则
由得
因为

所以，得，即
所以直线的方程为
所以当，且时，直线过定点；
所以当，且时，直线过定点.
47．（2022·江苏盐城·高二期末）平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为F，点P为椭圆上的动点，OP的最小值为1，FP的最大值为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线上是否存在点Q，使得过点Q能作椭圆C的两条互相垂直的切线？若存在，请求出这样的点Q；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设点，则，
当时，OP取得最小值为，                             ．
，
则当时，FP取得最大值﹐
解得，则椭圆方程为．
（2）设点当或时，易得过点Q作椭圆的两条切线并不垂直，
故可设过点Q的椭圆的切线方程为，
联立方程组，消元可得
由可得，
又直线过点，则﹐于是
化简可得，
由两条切线互相垂直可知，该方程的两根之积               
则，即点Q在圆上，                          
由解得，故存在点满足题意，

题型十二 圆锥曲线中的定值问题
48．（2022·福建·莆田第二十五中学高二期末）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点的直线交抛物钱C于A，B两点，O为坐标原点，记直线OA，OB的斜率分别，，求证：为定值.
【解析】(1)将点代入得，，∴抛物线的标准方程为.
(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，，
将联立得，
，
由韦达定理得：，，

，
当直线AB的斜率不存在时，由直线过点,
则，，，
，
综上所述可知，为定值为.
49．（2022·广东湛江·高二期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，为椭圆上一动点，面积的最大值为2.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连接交椭圆于点，为坐标原点.证明：为定值.
【解析】（1）当P为短轴端点时，的面积最大，，故解得，故椭圆的方程为.
（2）由（1）知，,设直线，,，
联立整理得，
由得，，
,，
故为定值4.
50．（2022·江苏省镇江第一中学高二期末）已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的一个焦点坐标为(3，0)，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为，O为坐标原点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)直线l与x轴正半轴相交于一点D，与双曲线C右支相切(切点不为右顶点)，且l分别交双曲线C的两条渐近线于M、N两点，证明：△MON的面积为定值，并求出该定值．
【解析】（1）
由题可知，解得，则：；
（2）由于直线与双曲线右支相切(切点不为右顶点)，则直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为，，
令，则，则．
联立得，，
则，即．
双曲线两条渐近线方程为，
联立得，，
联立得，，

，
故的面积为定值．



题型十三 圆锥曲线中的定直线问题
51．（2022·北京八中高二期末）如图，已知椭圆的短轴端点为、，且，椭圆C的离心率，点，过点P的动直线l椭圆C交于不同的两点M、N与，均不重合），连接，，交于点T．

(1)求椭圆C的方程；
(2)求证：当直线l绕点P旋转时，点T总在一条定直线上运动；
(3)是否存在直线l，使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)解：由题意可得，解得，
所以所求椭圆的方程为.
(2)解：由题意，因为直线过点，可设直线的方程为，，
联立方程组，整理得，
可得，
因为直线与椭圆有两个交点，所以，解得，
设，因为在同一条直线上，则， ①
又由在同一条直线上，则，②
由①+②3所以，
整理得，解得，
所以点在直线，即当直线l绕点P旋转时，点T总在一条定直线上运动.
(3)
解：由（2）知，点在直线上运动，即，
设直线的方程为，且，
又由且，
可得，即，
联立方程组，整理得，
可得，
代入可得，解得，即，
此时直线的斜率不存在，不合题意，
所以不存在直线l，使得成立.
52．（2022·安徽蚌埠·高二期末）已知抛物线E：过点Q(1，2)，F为其焦点，过F且不垂直于x轴的直线l交抛物线E于A，B两点，动点P满足△PAB的垂心为原点O.
（1）求抛物线E的方程；
（2）求证：动点P在定直线m上，并求的最小值.
【解析】（1）将点坐标代入抛物线方程得，所以.
（2）由（1）知抛物线的方程为，所以，设直线的方程为，设，由消去得，所以.由于为三角形的垂心，所以，所以直线的方程为，即.同理可求得直线的方程为.由，结合，解得，所以在定直线上.
直线的方程为，到直线的距离为，到直线的距离为.所以，当且仅当时取等号.所以的最小值为.
53．（2022·吉林·梅河口市第五中学高二期末）已知椭圆C：的长轴长为，，是C的左､右焦点，R为直线l：上一点，是底角为30°的等腰三角形，直线l与x轴交于点T，过点T作直线交C于点A，B.
(1)求C的方程；
(2)设D，E是直线l上关于x轴对称的两点，问：直线AD与BE的交点是否在一条定直线上？若在，求出这条定直线的方程；若不在，请说明理由.
【解析】(1)因为椭圆C：的长轴长为，
所以.
又是底角为30°的等腰三角形，
所以，，
所以.
所以，即，
解得.所以，
所以椭圆C的方程为.
(2)由（1）知直线l的方程为，T（6，0）.
设D（6，t），，，，
①当过点T的直线AB的斜率不等于0时，设直线AB的方程为，
联立方程组消去x并整理得
，
所以，即，
，，则.
又由直线AD的方程是，
直线BE的方程是，
联立两直线的方程，并消去y得，
，
，
，
所以，
所以AD与BE的交点恒在定直线上.
②当过点T的直线AB的斜率等于0时.A，B是椭圆C的左､右两个顶点，不妨设，，则直线AD的方程是，
直线BE的方程是，
联立两直线的方程，并消去y得，
所以此时AD与BE的交点也在定直线上.
综上所述，直线AD与BE的交点恒在定直线上.

题型十四 圆锥曲线中的探索性问题
54．（2022·四川达州·高二期末（理））已知椭圆：（）的左､右焦点分别为，，点在椭圆上，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)是否存在过点的直线，交椭圆于，两点，使得？若存在，求直线的方程，若不存在，请说明理由.
【解析】(1)由题知，，，，
由椭圆定义知，即，
又，所以椭圆的标准方程为.
(2)存在满足题意的直线.
由题知直线的斜率存在，设的方程为，，，
联立，整理得，
其中，，
∵，∴，即，
化简得：，
即，解得，或.
当时，直线经过点，不满足题意，故舍去.
所以存在直线满足题意，其方程为.
55．（2022·上海市七宝中学附属鑫都实验中学高二期末）已知椭圆的右焦点为，短轴长为4，设，的左右有两个焦点．
求椭圆C的方程；
若P是该椭圆上的一个动点，求的取值范围；
是否存在过点的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明两点．
【解析】由题意可知,,则;
所以椭圆C的方程为:;
由题意可知,,设,
则,;
所以的取值范围是;
假设存在满足条件的直线,根据题意得直线的斜率存在;
则设直线的方程为：；
消化简得:;
,则;
；
设，则CD的中点为；
,；
，则;
，即;即,无解;
故满足条件的直线不存在.
56．（2022·河南郑州·高二期末（理））已知椭圆过点，且离心率，为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)判断是否存在直线，使得直线与椭圆相交于两点，直线与轴相交于点，且满足，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)由题意得：，解得：，椭圆的方程为；
(2)由题意知：直线斜率存在且不为零，可设，，，
由得：，则；
，，，
，，
解得：，，
满足条件的直线存在，方程为和.