拓展六 圆锥曲线的定点、定值、定直线问题 （人教A版2019选择性必修第一册）讲义

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 拓展六：圆锥曲线的定点、定值问题



知识点1 圆锥曲线的定点问题
圆锥曲线中过定点问题常见有两种解法：
（1）求出圆锥曲线或直线的方程解析式，研究解析式，求出定点
（2）从特殊位置入手，找出定点，在证明该点符合题意（运用斜率相等或者三点共线）。
解题步骤：
第一步 把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零；
第二步 参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组；
第三步 方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，或者可以通过特例探求；
第四步 用一般化方法证明.
1、直线方程过定点
技巧方法：
(1)动直线l过定点问题，设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝f（k），或直接求出m的值，故而得出动直线过定点． 上述动直线也可设为：x＝ty＋m.(斜率不为0).
(2)直接推理、计算，找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式方程，从而得到定点.
(3)若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过顶点坐标，并带入直线方程进行检验.注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.
注：(1)对于椭圆()上异于右顶点的两动点,,以为直径的圆经过右顶点,则直线过定点.同理,当以为直径的圆过左顶点时,直线过定点.
(2)对于双曲线上异于右顶点的两动点,,以为直径的圆经过右顶点,则直线过定点.同理,对于左顶点,则定点为.
(3)对于抛物线上异于顶点的两动点,,若,则弦所在直线过点.同理,抛物线上异于顶点的两动点,,若,则直线过定点.
2、直线方程过已知定点
技巧方法：此类问题解决较未知定点更为简单，可采用的手法更多。
常见题型：（1）已知定点在x、y轴；（2）定点完全已知。
3、曲线过定点问题
技巧方法：动曲线C过定点问题，引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．


知识点2 圆锥曲线的定值问题
求定值问题常见的解题模板有两种：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
注：在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点(非顶点)与曲线上的两动点,满足直线与的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线的斜率为定值.
1、在椭圆中：已知椭圆,定点()在椭圆上,设,是椭圆上的两个动点,直线，的斜率分别为,,且满足.则直线的斜率
2、在双曲线:中，定点()在双曲线上,设,是双曲线上的两个动点,直线,的斜率分别为，,且满足.则直线的斜率
3、在抛物线：，定点()在抛物线上,设,是抛物线上的两个动点,直线,的斜率分别为,,且满足.则直线的斜率.


类型一 圆锥曲线的定点问题
（一） 直线过定点问题
1．（2022·河南安阳·高二期末（理））已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上在第一象限内的任意一点，且的周长为．
(1)求的方程；
(2)已知点，若不过点的直线与交于、两点，且，证明：直线过定点．
【解析】（1）解：的周长为，
由已知可得，解得，
因此，椭圆的方程为.
（2）
解：由可得.
若直线的斜率不存在，设点、，则，其中，
则，，
所以，，不合乎题意.
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立，得，
，即，
，
因为，，
由，得，
即，
则，
整理得，解得.
所以，直线的方程为，过定点．
2．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知椭圆的一个顶点为，离心率为.
(1)求椭圆的方程：
(2)过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，轴交于点，线段的中点为，直线过点且垂直于（其中为原点），证明直线过定点.
【解析】
（1）
依题意，，

又
椭圆的标准方程为.
（2）
由（1）知右焦点坐标为，设直线方程为，
由得，，


直线OP的斜率，
直线的斜率，令得点坐标为，
直线的方程为，即，
直线恒过定点.
3．（2022·北京市十一学校高二期末）已知椭圆C：（）右焦点为，为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且的周长为.P是椭圆上一动点，M是直线上一点，且直线轴.
(1)求椭圆C的方程：
(2)记直线与椭圆另一交点为Q，直线是否过x轴上一定点？若是，求出该定点：若否，请说明理由.
【解析】
（1）
解：因为椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，且，
所以，即，
又，，
解得，
所以椭圆方程为；
（2）
，易知直线PQ斜率为0时，QM为x轴，
则若QM过定点，则定点位于x轴上，
当直线PQ斜率不为0时，设，
与椭圆方程联立，得，
设，
则，
，
所以直线QM的方程为，
令，得，
因为，
所以，
故直线QM过定点N.
4．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校高二期末（文））在平面直角坐标系中， 椭圆：的左，右顶点分别为、，点是椭圆的右焦点，，．
(1)求椭圆的方程；
(2)不过点的直线交椭圆于、两点，记直线、、的斜率分别为、、.若，证明直线过定点， 并求出定点的坐标．
【解析】（1）由题意知，，，，
∵，，
∴，解得，从而，
∴椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，，．
直线不过点，因此．
由 ，得，
时，，，
∴

，
由，可得，即，
故的方程为，恒过定点．

（二） 圆过定点问题
5．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆经过点，离心率为．
(1)求椭圆C的方程．
(2)直线与椭圆C交于A，B两点，点M是椭圆C的右顶点．直线AM与直线BM分别与y轴交于点P，Q，试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点？若是，求出定点坐标．若不是，说明理由．
【解析】（1）解：由题意得，解得，．
∴椭圆C的方程是．
（2）
解：以线段为直径的圆过轴上的定点．
直线代入椭圆可得．
设,，,，则有，．
又因为点是椭圆的右顶点，所以点．
由题意可知直线的方程为，故点．
直线的方程为，故点．
若以线段为直径的圆过轴上的定点，，则等价于恒成立．
又因为,，,，
所以恒成立．
又因为，
，
所以，解得．
故以线段为直径的圆过轴上的定点，．
6．（2022·江苏南通·高二阶段练习）已知点分别是椭圆的左、右顶点，过的右焦点作直线交于两点，
(1)设直线的斜率分别为，求和的值；
(2)若直线分别交椭圆的右准线于两点，证明：以为直径的圆经过定点.
【解析】
（1）
由已知，，，
直线的斜率不存在时，方程为，不妨设，，
，同理，，
，，
直线斜率存在时，设直线方程为，设，
由，得，
，，
，，，

，

因为，
所以，
所以，
综上，，；
（2）
由已知，，，右准线方程为，
由（1）知直线方程为，令得，同理，
由椭圆的对称性知，以为直径的圆有一个圆心轴上方的圆，则必定也有一个与之关于轴对称的圆，这两个圆的交点在轴上，以为直径的圆经过定点，这个定点必在轴上，设定点为，则，
由（1）得，
或，
所以以为直径的圆经过定点，．
7．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆，点，C分别是椭圆M的左焦点、左顶点，过点的直线l（不与x轴重合）交M于A，B两点．
(1)求M的离心率及短轴长；
(2)是否存在直线l，使得点B在以线段AC为直径的圆上？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
【解析】
（1）
由椭圆方程，得，．
∴椭圆M的短轴长为．
∵，∴，即M的离心率为；
（2）
解法1：由题意知，点C的坐标为，点的坐标为．
设点B，则．
∵，
设，
则函数在上单调递增，所以，
即，∴，
∴点B不在以AC为直径的圆上，即不存在直线l，使得点B在以AC为直径的圆上．
解法2：设直线l的方程为，．
由，可得．
∴，．
∴，
∵，∴．∴．
∴点B不在以AC为直径的圆上，即不存在直线l，使得点B在以AC为直径的圆上．

（三） 椭圆过定点问题
8．（2022·全国·高二专题练习）已知直线l：y＝x﹣1与椭圆C：1（a＞1，b＞0）相交于P，Q两点M，．
(1)证明椭圆过定点T（x0，y0），并求出的值；
(2)求弦长|PQ|的取值范围．
【解析】
(1)
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，整理得．
当时，，，
∵，
∴

∴，得．
∴，即椭圆过定点，，
；
(2)

．①
由2a2+b2＝a2b2，得0，
∴，代入①，得，
∵a2＞1，，，，
∴|PQ|的取值范围是．

（四） 确定定点使某个式子为定值
9．（2022·江西南昌·高二阶段练习（理））如图，长轴长为4的椭圆的左顶点为A，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于，两点，直线，与轴分别交于，两点，当直线的斜率为时，.

(1)求椭圆的方程.
(2)试问是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由.
【解析】（1）由题意可知，则椭圆方程即，
当直线的斜率为时，，
故设 ， ，解得，
将 代入得，即，
故 ，所以椭圆的标准方程为 ；
（2）设，则，
则 ，
由椭圆方程可得 ，∴直线方程为︰ ，
令 可得 ，
直线方程为： ，令得 ，
假设存在定点，使得，则定点必在以为直径的圆上，
以为直径的圆为 ,
即 ，
∵ ，即
∴ ，
令 ，则 ，解得，
∴以为直径的圆过定点 ，即存在定点，使得 ．
10．（2022·河南安阳·高二阶段练习）已知椭圆的长轴长为6，椭圆短轴的端点是，，且以为直径的圆经过点 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于两点．试问x轴上是否存在定点P，使PM平分 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为椭圆的长轴长为6，故，
椭圆短轴的端点是，，且以为直径的圆经过点，则，
所以椭圆C的方程是 ；
（2）设 ，直线的方程为，
将直线的方程与椭圆C的方程联立，
消去x得，因为M点在椭圆内，则必有，
所以，，
假设x轴上存在定点P，使平分，则直线的倾斜角互补，
所以 ，
设 ，则有 ，
将代入上式，整理得 ，
所以，
将 ，代入上式，整理得 ，
由于上式对任意实数m都成立，所以 ，
综上，存在定点 ，使平分 ．
11．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的离心率为，点和点都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．
(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）．
(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N．问：y轴上是否存在点Q，使得？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】（1）由题意知，代入点，得，∴．
由离心率为，知，则．
由，得．
∴椭圆C的方程是．
由点和的坐标，得出直线PA的方程为．
令，得，∴点M的坐标为．
（2）
点在椭圆上，有．
点B的坐标为，直线PB的方程为．
令，得，∴点N的坐标为．
设点Q的坐标是，则，．
∵，∴，即．
∴．
∴，点Q的坐标为，∴在y轴上存在点，使得．
12．（2022·四川·成都七中高二阶段练习（理））已知椭圆C：，长轴是短轴的3倍，点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴的正半轴上是否存在点，使得直线TM，TN斜率之积为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）解：由题意得a＝3b，故椭圆C为，
又点在C上，所以，得，，
故椭圆C的方程即为；
（2）解：由已知知直线l过，设l的方程为x＝my＋1，
联立两个方程得，消去x得：，
得，
设，，则（*），
，
将（*）代入上式，可得：，
要使为定值，则有，又∵，∴t＝3，
此时，
∴存在点，使得直线TM与TN斜率之积为定值，此时t＝3.
13．（2022·全国·高二专题练习）已知△ABC的顶点，，满足：．
(1)记点C的轨迹为曲线，求的轨迹方程；
(2)过点且斜率为k的直线l与相交于P，Q两点，是否存在与M不同的定点N，使得恒成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设，则，整理得，故的轨迹方程为；
（2）设直线l为，当时，可得点P，Q关于y轴对称，可得，要使恒成立，即成立，即点N在y轴上，可设为.
当时，联立方程组，整理得，设，则，
要使恒成立，即成立，由角平分线定理则只需使得y轴为的平分线，即只需，即，即，解得，
综上可得，存在与M不同的定点，使得恒成立
14．（2022·全国·高二专题练习（文））已知椭圆过点，且离心率为．
(1)求该椭圆的方程；
(2)在x轴上是否存在定点M，过该点的动直线l与椭圆C交于A，B两点，使得为定值？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，请说明理由.
【解析】（1），，\椭圆，将代入可得，故，
椭圆方程为：；
（2）当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，，，联立方程可得：，
，，为常数，代入韦达定理可知，即为常数，，故
且，直线l过定点
当直线l斜率为0时，可检验也成立，故存在定点.
15．（2022·山西大附中高二阶段练习）如图，椭圆：（，，是椭圆的左焦点，是椭圆的左顶点，是椭圆的上顶点，且，点是长轴上的任一定点，过点的任一直线交椭圆于两点.

(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在定点，使得为定值，若存在，试求出定点的坐标，并求出此定值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由已知知，解得，
所以椭圆方程为；
（2）假设存在满足题意，
设，，，
①当直线与轴不垂直时，设：，
代入并整理得
∴，



　　（*）
（*）式是与无关的常数，则
解得，此时为定值；
②当直线与垂直时，，，，
也成立，
所以存在定点，使得为定值．

类型二 圆锥曲线的定值问题
（一） 圆锥曲线面积为定值问题
16．（2023·全国·高二专题练习）平面直角坐标系中，已知椭圆，点，是椭圆上两个动点，直线，的斜率分别为，，若，，.
(1)求证：；
(2)试探求的面积是否为定值，并说明理由．
【解析】（1）证明：∵k1，k2均存在，∴x1x2≠0.
又＝0，∴＋y1y2＝0，即＝－y1y2，
∴k1·k2＝.
（2）
①当直线PQ的斜率不存在，即x1＝x2，y1＝－y2时，
由，得.
又∵点P(x1，y1)在椭圆上，∴，
∴|x1|＝，|y1|＝.∴S△POQ＝|x1||y1－y2|＝1.
②当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋b.
联立得方程组，
消去y并整理得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，
其中＝(8kb)2－4(4k2＋1)(4b2－4)＝16(1＋4k2－b2)>0，即b2<1＋4k2
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
∵＋y1y2＝0，
∴＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，得2b2－4k2＝1(满足>0).
∴S△POQ.
综合①②知△POQ的面积S为定值1.
17．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆：的左焦点为，上、下顶点分别为，，．
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆上有三点，，满足，证明：四边形的面积为定值．
【解析】（1）解：依题意，又，所以，
所以，
所以椭圆方程为.
（2）证明：设，，，因为，所以四边形为平行四边形，
且，所以，即，
又，，所以，
若直线的斜率不存在，与左顶点或右顶点重合，
则，所以，
所以，
若直线的斜率存在，设直线的方程为，代入椭圆方程整理得，
所以，，，
所以

所以，
整理得，
又，
又原点到的距离，
所以，
将代入得，
所以，
综上可得，四边形的面积为定值.
18．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，且焦距长为2，过且斜率为的直线与椭圆的一个交点在轴上的射影恰好为.

(1)求椭圆的方程；
(2)如图，下顶点为，过点作一条与轴不重合的直线，该直线交椭圆于两点，直线分别交轴于，两点，为坐标原点.求证：与的面积之积为定值，并求出该定值.
【解析】（1）由题意，，，故过且斜率为的直线的方程为，
令，得，由题意可得，解得，．
求椭圆的方程为；
（2）
证明：由题意知，直线的斜率存在，设直线，
，，，，
联立，得．
，，
由，得，
，
，
直线的方程为，令，解得，
则，，同理可得，，


19．（山西省临汾市等联考2023届高二上学期期中数学试题）已知椭圆的长轴长为，，为的左、右焦点，点在上运动，且的最小值为.连接，并延长分别交椭圆于，两点.

(1)求的方程；
(2)证明：为定值.
【解析】（1）由题意得，
设，的长分别为，，
则，当且仅当时取等号，
从而，得，，
则椭圆的标准方程为；
（2）由（1）得，，
设，，
设直线的方程为，直线的方程为，
由，得，
则，
，
同理可得，
所以.
所以为定值.

20．（2022·湖北·武汉市第一中学高二阶段练习）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值.
【解析】（1）由已知设椭圆方程为：，
代入，得，
故椭圆方程为.
（2）设直线，
由得，
，，
又，
故

，
由，得，
故或，
①当时，直线，过定点，与已知不符，舍去；
②当时，直线，过定点，即直线过左焦点，
此时，符合题意.
所以的周长为定值.


（二） 圆锥曲线中斜率为定值问题
21．（2022·重庆巴蜀中学高二阶段练习）已知椭圆的一个焦点为，点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若是椭圆上异于点的两动点，当的角平分线垂直于椭圆长轴时，试问直线的斜率是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）
依题意得，解得，
所以椭圆方程为.
（2）依题意可知直线和直线的斜率存在且互为相反数，
设直线的斜率为，则直线的斜率为，
直线的方程为，
由消去并化简得，
，
则，根据直线、直线的对称性可知.
设，则，
，则，
故，
以替换，得，
所以，
所以直线的斜率为定值.
22．（2022·湖南·新邵县教研室高二期末）设椭圆：的离心率为，焦距为2，过右焦点的直线与椭圆交于A，两点，点，设直线与直线的斜率分别为，.
(1)求椭圆的方程；
(2)随着直线的变化，是否为定值？请说明理由.
【解析】（1）因为焦距，所以，
因为离心率，所以，
所以，
所以椭圆的方程为.
（2）当直线l斜率为0，即为x轴时，
则，所以；
当直线l斜率不为0时，设直线的方程为：，，，
将直线l与椭圆联立，消x整理得，

所以，，
所以，，
所以.
综上所述：为定值0.
23．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，为椭圆上的动点．当点与椭圆的上顶点重合时，．
(1)求的方程；
(2)当点为椭圆的左顶点时，过点的直线（斜率不为0）与椭圆的另外一个交点为，的中点为，过点且平行于的直线与直线交于点．试问：是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由．
【解析】（1）设椭圆E的半焦距为c，点，而，则，
即有，解得，又离心率，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）知，显然直线不垂直于坐标轴，设直线：，，
由消去x并整理得：，解得点，则点，
直线，则直线方程为：，点，直线的斜率，
直线的斜率，因此，，
所以是定值.
24．（2022·河南濮阳·高二阶段练习（理））已知椭圆：的右焦点为，圆：，过且垂直于轴的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为和.
(1)求的方程；
(2)过圆上一点（不在坐标轴上）作的两条切线，，记，的斜率分别为，，直线的斜率为，证明：为定值.
【解析】
（1）
设椭圆的半焦距为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的弦长分别为，则；过且垂直于轴的直线被圆所截得的弦长分别为，则，又，解得，所以的方程为.
（2）
设，则.①
设过点与椭圆相切的直线方程为，
联立得，
则，
整理得.②
由题意知，为方程②的两根，由根与系数的关系及①可得.
又因为，所以，所以为定值．
25．（2022·湖南衡阳·高二期末）已知A，B分别是椭圆E：的左、右顶点，P是直线上的一动点(P的纵坐标不为零且P不在椭圆E上)，直线AP与椭圆E的另一交点为M，直线BP与椭圆E的另一交点为N，直线MN与x轴的交点为Q，且△AMB面积的最大值为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线PQ的斜率为，直线BP的斜率为，证明为定值.
【解析】（1）解：当M为椭圆的上(下)顶点时，△AMB的面积最大，
则，解得，
所以椭圆E的方程为..
（2）证明：设P(－1，t)(且)，，，则直线AP的方程为，直线BP的方程为，
设点M(，)，N(，)，
联立方程组消去y，整理得.
则，因为，所以，.
同理可得.
因为且，所以，
则直线MN的方程为，
令，得.
则.
26．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右顶点分别是，过点的直线交于两点（异于）.当直线过点）时，恰好为的中点.
(1)求的离心率；
(2)若，直线与交于点，直线的斜率分别为，证明：是定值.
【解析】（1）
设.
因为为的中点，所以.
由题意知，
则，
即，
则.又，
所以，
故离心率.
（2）
证明：由题意知，所以，
故的方程为.
设直线的方程为，
联立消去得关于的一元二次方程，整理得：
.
因为与交于两点，
所以，即，
解得或，
故.
设，直线的方程为，
直线的方程为，
两式联立，得

（*）.
又，代入式，
得，
则，

故
即为定值2.

（三） 圆锥曲线中线段为定值问题
27．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的C的方程：．
(1)设P为椭圆C异于椭圆左右顶点上任一点，直线的斜率为，直线的斜率为，试证明为定值．
(2)求椭圆中所有斜率为1的平行弦的中点轨迹方程．
(3)设椭圆上一点，且点M，N在C上，且，D为垂足．证明：存在定点Q，使得为定值．
【解析】（1）设，因为P为椭圆C上一点，
所以，所以，
所以，
所以.
故为定值.
（2）设弦的两个端点分别为，的中点为.
则，①
，②
①减②得：，
.
又，.
由于弦中点轨迹在已知椭圆内，
联立
故斜率为的平行弦中点的轨迹方程：
（3）
设点，
若直线斜率存在时，设直线的方程为：，
代入椭圆方程消去并整理得：，
可得，，
因为，所以，即，
根据,代入整理可得：
，             
所以，
整理化简得，
因为不在直线上，所以，
故，于是的方程为，
所以直线过定点直线过定点.
当直线的斜率不存在时，可得，
由得：，
得，结合可得：，
解得：或（舍）.
此时直线过点.
令为的中点，即，
若与不重合，则由题设知是的斜边，故，
若与重合，则，故存在点，使得为定值.
28．（2022·全国·高二专题练习）设分别是圆的左､右焦点，M是C上一点，与x轴垂直.直线与C的另一个交点为N，且直线MN的斜率为
(1)求椭圆C的离心率.
(2)设是椭圆C的上顶点，过D任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A､B两点，过点D作线段AB的垂线，垂足为Q，判断在y轴上是否存在定点R，使得的长度为定值？并证明你的结论.
【解析】（1）由题意知，点在第一象限.是上一点且与轴垂直，
的横坐标为.当时，，即.
又直线的斜率为，所以，
即，即，
则，解得或（舍去），即.
（2）已知是椭圆的上顶点，则，椭圆的方程为，
易得直线AB的斜率必然存在，设直线的方程为，
由可得
所以，
又，.


，

化简整理有，得或.
当时，直线经过点，不满足题意；
当时满足方程中，故直线经过轴上定点.
又为过点作线段的垂线的垂足，故在以为直径的圆上，取的中点为，则为定值，且
29．（2023·全国·高二专题练习）动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)设是曲线上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交曲线于点，若直线的斜率均存在，并分别记为，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.
【解析】(1)由题意，点与定点的距离，点到直线的距离，所以，即，化简得，故曲线的方程为；
(2)由题意可得，直线的方程分别为，设.
由直线与圆相切可得.
，同理，
所以是方程的两个根，所以，
所以，，
因为是曲线上的一动点，所以，
则有，
联立方程，所以，
所以，同理
所以，
因为，所以，
所以.
30．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆为右焦点，直线与椭圆C相交于A，B两点，取A点关于x轴的对称点S，设线段与线段的中垂线交于点Q．
(1)当时，求；
(2)当时，求是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由．
【解析】（1）设，线段的中点M坐标为，联立得消去y可得：，所以
所以，代入直线方程，求得，
因为Q为三条中垂线的交点，所以，
有，直线方程为.
令，所以.
由椭圆可得右焦点，故．
（2）设，中点M坐标为．
相减得，.
又Q为的外心，故，
所以，直线方程为，
令，所以而,所以，
，同理，，
，所以当t变化时，为定值．
31．（2022·北京房山·高二开学考试）已知椭圆的长轴的两个端点分别为离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)M为椭圆C上除A，B外任意一点，直线交直线于点N，点O为坐标原点，过点O且与直线垂直的直线记为l，直线交y轴于点P，交直线l于点Q，求证：为定值．
【解析】（1）由已知，又，，所以，
椭圆标准方程为；
（2）设，，则，，
直线的方程为，令得，即，
,
,，直线的方程是，
直线的方程为，令得，即，
由，因为，故解得，即，
所以，
32．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的离心率为，若与圆相交于M，N两点，且圆E在内的弧长为．
(1)求的值；
(2)过椭圆的上焦点作两条相互垂直的直线，分别交椭圆于A，B、C，D，求证：为定值．
【解析】（1）圆的圆心为，半径为，
圆E在内的弧长为，可得，即有，
设在第一象限，可得，，即为，
将代入椭圆方程可得，
联立解得，
（2）
由（1）可得椭圆的方程为，，上焦点为，
①当直线（或）与轴平行时，可得，
将代入椭圆得，则，
则；
②当直线（或）与轴不平行时，设，则，
联立方程组，消去y并化简得，
设点，，∴，，
即有，
将k换为，可得，
则，
综上所述，为定值．

（四） 圆锥曲线中角度为定值问题
33．（2022·贵州·黔西南州金成实验学校高二期末（理））已知椭圆的离心率为，、分别是椭圆的右顶点和上顶点，的面积为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)设的椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点．求证：为定值．
【解析】（1）依题意，
又，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）设点，而，且，，
当时，直线AP：，点，
，
直线BP：，点，
，

，
当时，，，，所以
所以是定值.
34．（2022·北京平谷·高二期末）已知椭圆过点，且点到其两个焦点距离之和为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为原点，点为椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于两点，且直线与轴不重合，直线分别与轴交于两点.求证：为定值.
【解析】（1）解：依题意，解得，所以椭圆方程为；
（2）解：由（1）可知，
当直线斜率不存在时，直线的方程为，代入椭圆方程得，解得，
不妨设此时，，
所以直线的方程为，即，
直线的方程为，即，
所以；
当直线斜率存在时，设直线的方程为，
由得，
依题意，，
设，，则，，
又直线的方程为，
令，得点的纵坐标为，即，
同理，得，
所以
，
综上可得，为定值，定值为．
35．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆与直线相切于点，且点在第一象限，若直线与轴、轴分别交于点、．若过原点O的直线与垂直交与点， 证明：定值．

【解析】依题意点在第一象限，
由于过点的切线方程为，斜率为，
直线与轴、轴分别交于点，
所以，则．
由于直线l1过原点O且与l垂直，故直线l1的方程为x＋ky＝0，其中，
所以点P到直线l1的距离，
即，
为定值（为椭圆的半焦距）．
36．（2021·北京·清华附中朝阳学校高二期中）动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)设为原点，点，过点的直线与的轨迹交于、两点，且直线与轴不重合，直线、分别与轴交于、两点，求证：为定值．
【解析】（1）解：设点，由题意可得，化简可得.
因此，动点的轨迹的方程为.
（2）解：因为直线与轴不重合，设直线的方程为，设点、，
联立可得，
，
由韦达定理可得，，
，直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，同理，
所以，
.
37．（2023·上海·高二专题练习）已知椭圆的右顶点坐标为A（2，0），左、右焦点分别为F1、F2，且|F1F2|＝2，直线l交椭圆Γ于不同的两点M和N．
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)若直线l的斜率为1，且以MN为直径的圆经过点A，求直线l的方程；
(3)若直线l与椭圆Γ相切，求证：点F1、F2到直线l的距离之积为定值．
【解析】（1）因为|F1F2|＝2c＝2，则c＝1，
因为a＝2，，
所以椭圆Γ的方程；
（2）因为直线l的斜率为1，故设直线l的方程为y＝x+m，设M（x1，y1），N（x2，y2），
由，消去y整理得，
则，，
因为以MN为直径的圆经过右顶点A，则，
所以，即
整理得
∴
整理得，解得或，
因为，
显然当或时，成立
所以直线l的方程为或；
（3）
证明：椭圆Γ的左、右焦点分别为，
①当直线l平行于y轴时，因为直线l与椭圆Γ相切，所以直线l的方程为x＝±2，
此时点F1、F2到直线l的距离分别为d1＝1，d2＝3，所以d1d2＝3，
②当直线l不平行与y轴时，设直线l的方程为y＝kx+b，
联立，消去y整理得，
所以，
因为直线l与椭圆Γ相切，则Δ＝0，所以，
因为到直线l的距离为，到直线l的距离为，
所以，
所以点F1、F2到直线l的距离之积为定值，且定值为3．
（五） 圆锥曲线数量积为定值问题
38．（2022·北京平谷·高二期末）已知椭圆的短轴的两个端点分别为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点，点为椭圆上异于的任意一点，过原点且与直线平行的直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：为定值.
【解析】（1）解：由题意可得，，，
解得，
所以椭圆的方程为：；
（2）解：设直线的方程为：，
则过原点的直线且与直线平行的直线为，
因为是直线与的交点，所以，
因为直线的方程与椭圆方程联立：
，整理可得：，
可得，，
即，因为，
直线的方程为：，
联立，解得：，由题意可得，
所以，，
所以，即，所以，即为定值；
39．（2022·湖南·郴州一中高二阶段练习）已知椭圆的离心率为，过坐标原点的直线交椭圆于两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接.当为椭圆的右焦点时，的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若为的延长线与椭圆的交点，试问：是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.
【解析】
（1）
椭圆离心率，，则，
当为椭圆右焦点时，；
，解得：，，
椭圆的方程为：.
（2）

由题意可设直线，，，
则，，，直线；
由得：，
，则，
，；
，又，
，则，
为定值.

（六） 圆锥曲线距离积为定值问题
40．（2022·全国·高二专题练习）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点作直线交曲线于两点，试问在轴上是否存在点，使为定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，试说明理由.
【解析】(1)设，易得，直线的斜率为，直线的斜率为，
则，
整理得，则曲线E方程为；
(2)当直线的斜率为不为0时，设直线的方程为，设定点
联立方程组，消可得，
设，，
可得，，
所以


.
要使上式为定值，则，解得，
此时
当直线的斜率为0时，，，此时，也符合.
所以，存在点，使得为定值.
41．（2022·江苏省灌南高级中学高二阶段练习）已知椭圆中有两顶点为，，一个焦点为.
(1)若直线过点且与椭圆交于，两点，当时，求直线的方程；
(2)若直线过点且与椭圆交于，两点，并与轴交于点，直线与直线交于点，当点异，两点时，试问是否是定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由.
【解析】（1）∵椭圆的焦点在轴上，设椭圆的标准方程为，
由已知得，，所以，
椭圆的方程为，
当直线与轴垂直时与题意不符，
设直线的方程为，，，
将直线的方程代入椭圆的方程化简得，
则，，
∴，解得.
∴直线的方程为；
（2）当轴时，，不符合题意，
当与轴不垂直时，设：，则，
设，，联立方程组得，
∴，，
又直线：，直线：，
由可得，即，
，
，
，
，
，即，得，
∴点坐标为，
∴，
所以为定值.
42．（2022·河北·大名县第一中学高二阶段练习）己知椭圆的左、右焦点分别为，左顶点为，离心率为．
(1)求的方程；
(2)若直线与交于点，线段的中点分别为．设过点且垂直于轴的直线为，若直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：为定值．
【解析】（1）椭圆左顶点为，，又离心率，，
，的方程为：.
（2）设，，则，，
由得：，
则，
，；
直线方程为：，，；
同理可得：，又，
，，
，
为定值.
43．（2022·江苏·南京市燕子矶中学高二开学考试）已知点在圆上运动，点在轴上的投影为，动点满足
(1)求动点的轨迹方程
(2)过点的动直线与曲线交于两点，问：是否存在定点，使得的值是定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由
【解析】（1）解：设点，
因为，可得，
所以，所以，
即动点的轨迹的方程为.
（2）解：①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立方程组，可得，
则恒成立，且，
因为，
设，
可得，


，
要使得上式为定值，即与无关，则满足且，
所以，即点，此时；
②当直线的斜率不存在时，则直线为 ，可得，
所以，
综上可得，存在定点，使得

（七） 圆锥曲线点的坐标为定值问题
44．（2022·江西上饶·高二期末（理））已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由.
【解析】（1）由题可得,，又，
所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由题可得直线斜率存在，由（1）知设直线的方程为，则,消去，整理得：，
设，则，，
又，则，由可得，所以.
同理可得，.
所以

所以，为定值.
45．（河南省洛平许济联考2022-2023学年高二上学期第一次质量检测理科数学试题）已知椭圆的右焦点为F，离心率为，上顶点为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，与y轴交于点M，若，，判断是否为定值？并说明理由．
【解析】（1）由题意可得，解得，
故椭圆C的方程.
（2）为定值，理由如下：
由（1）可得，
由题意可知直线l的斜率存在，设直线l：，则，
联立方程，消去y得，
则，
，
∵，，则，可得，
（定值）.
46．（2022·甘肃·高台县第一中学高二阶段练习（理））椭圆的方程为，过椭圆左焦点且垂直于轴的直线在第二象限与椭圆相交于点，椭圆的右焦点为，已知，椭圆过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点，交轴于点，若，，求证：为定值．
【解析】（1）依题可知：，，
所以，即，
解得
又∵椭圆过点，则
联立可得，
椭圆的标准方程为．
（2）设点、，，
由题意可知，直线的斜率存在，可设直线的方程为，
联立，可得，
由于点在椭圆的内部，直线与椭圆必有两个交点，
由韦达定理可得，，
，，，
得，，
，，
．

（八） 圆锥曲线参数为定值问题
47．（2022·广东·高二期末）已知椭圆的离心率为，过C的右焦点且垂直于x轴的直线被C截得的线段长为2，A、B为椭圆C的上、下顶点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P的直线l交椭圆C于M、N两点（不同于A、B两点），若直线AN与直线BM交于点Q，试问点Q的纵坐标是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【解析】(1)椭圆的离心率为
则，则，，则椭圆方程可化为
又过C的右焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为2，
则点即点在椭圆C上
则，解之得，则
则椭圆C的方程为；
(2)由题意可得，，过点P的直线斜率存在，
设直线l的方程为，令
由，整理得
则，即或

又直线的方程为，直线的方程为
由，可得
又，
则
则直线AN与直线BM交点Q的纵坐标为定值1



类型三 圆锥曲线的定直线问题
48．（2022·江苏南通·高二期中）作斜率为的直线l与椭圆交于两点，且在直线l的左上方.
(1)当直线l与椭圆C有两个公共点时，证明直线l与椭圆C截得的线段AB的中点在一条直线上；
(2)证明：的内切圆的圆心在一条定直线上.
【解析】（1）设，，中点坐标为，
所以有，联立，得，得，得，由韦达定理可知，，所以，所以，化简得：，所以线段AB的中点在直线上.
（2）
由题可知，的斜率分别为，，所以，因为得
由（1）可知，，所以，又因为在直线l的左上方，所以的角平分线与轴平行，所以的内切圆的圆心在这条直线上.
49．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））已知椭圆C：的离心率为，且经过，经过定点斜率不为的直线交于两点，分别为椭圆的左，右两顶点．

(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与的斜率分别为，，求的值；
(3)设直线与的交点为，求证：点P在一条定直线上．
【解析】(1)根据题意可得，解得,
所以椭圆的方程为．
(2)由（1）可知，，
由题意可知，设直线的方程为，则
联立方程，消去得
设,则
∴，，
∴，，
∴.
(3)
由（2）知，，由题意可得直线：，：，
联立方程，解得，
∴P点在定直线上．
50．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高二阶段练习）已知椭圆C:的上下顶点分别为，过点P且斜率为k(k<0)的直线与椭圆C自上而下交于两点，直线与交于点.
(1)设的斜率分别为，求的值;
(2)求证：点在定直线上.
【解析】（1）设，，
，
，
所以.
（2）设 ，
得到，
，
，
直线，
直线，
联立得:，
法一：，
解得.
法二：由韦达定理得，
.
解得，
所以点在定直线上.
51．（2022·河南·信阳高中高二开学考试（理））已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的动直线交椭圆于，两点，直线相交于点，证明：点在定直线上.
【解析】（1）设，由已知有：，
解得，所以
故椭圆的标准方程为，
（2）由题意可知
由已知有动直线的斜率不为0，设直线的方程为，，
由，得，
，不等式有解，
则，
直线，直线，
由，得，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
解得，
所以点必在直线上，
故E点一定在一条定直线上.