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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试测试题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试测试题，共70页。试卷主要包含了填空题，双空题等内容，欢迎下载使用。
圆锥曲线的方程（填空题）
一、填空题
1．设，为定点，，动点M满足，则动点M的轨迹是__________．(从以下选择：椭圆、直线、圆、线段)
2．以、为焦点作椭圆，椭圆上一点到、的距离之和为10，椭圆上另一点满足，则__________．
3．已知椭圆的右焦点为，若点到直线的距离为，则的离心率为__________．
4．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________．
5．设双曲线的离心率为，则的渐近线方程为__________．
6．双曲线，且一个顶点坐标为，则双曲线的标准方程为__________．
7．若双曲线的虚轴长为，则实数的值为__________．
8．与双曲线有相同焦点的等轴双曲线标准方程为__________．
9．焦点的坐标为，渐近线方程为的双曲线的标准方程为__________．
10．双曲线的渐近线方程为__________．
11．抛物线的焦点到其准线的距离为__________．
12．抛物线的焦点到准线的距离为__________．
13．抛物线的焦点坐标是__________．
14．椭圆C的左焦点为（-6，0），且经过点P（5，2），则椭圆C的标准方程为__________．
15．若椭圆的焦距是，则__________．
16．若方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则常数的取值范围为区间__________．
17．过椭圆＋＝1的左焦点作一条直线与椭圆交于A、B两点，则的周长为__________．
18．椭圆上一点关于原点的对称点为，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为__________．
19．已知、是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且，，则椭圆离心率是__________．
20．设为椭圆：的左焦点，为椭圆上给定一点，以为直径作圆，点为圆上的动点，则坐标原点到的距离的最大值为__________．
21．已知焦点在x轴上的椭圆的左、右焦点分别为、，直线l过，且和椭圆C交于A，B两点，，与的面积之比为3：1，则椭圆C的离心率为__________．
22．若椭圆的离心率为则m的值为__________．
23．曲线是焦点在轴上的椭圆，则的范围是__________．
24．设椭圆的左右焦点分别为右顶点为A，上顶点为B，已知，椭圆的离心率为__________．
25．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆过点离心率为则椭圆C的方程为__________．
26．已知为双曲线：的左焦点，直线经过点，若点，关于直线对称，则双曲线的离心率为__________．
27．已知双曲线（）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为________．
28．已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为__________．
29．已知椭圆与双曲线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为__________．
30．双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离是__________．
31．已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，点，若线段的垂直平分线过点B，则该双曲线的离心率为__________．
32．已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则C的方程为__________．
33．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且双曲线的渐近线方程为，则此双曲线方程为__________．
34．若方程所表示的曲线为，给出下列四个命题：
①若为椭圆，则实数的取值范围为；
②若为双曲线，则实数的取值范围为；
③曲线不可能是圆；
④若表示椭圆，且长轴在轴上，则实数的取值范围为．
其中真命题的序号为__________．（把所有正确命题的序号都填在横线上）
35．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且的中点在以为圆心，为半径的圆上，则__________．
36．已知双曲线的左､右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线的第一象限的交点为P．若∠PF1F2=30°，则该双曲线的离心率为__________．
37．已知为双曲线的一个焦点，则点到双曲线的一条渐近线的距离为__________．
38．若圆与双曲线：的渐近线相切，则双曲线的离心率为__________．
39．设O为坐标原点，F1、F2是的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2＝60°，|OP|＝a，则该双曲线的离心率为__________．
40．已知抛物线的焦点为，准线为，：过点且与相切，则__________．
41．已知抛物线上一点到其焦点的距离为3，则点M到原点的距离__________．
42．若抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，则_________．
43．设是抛物线上的一个动点，是焦点，若，则的最小值为__________．
44．抛物线上一点到点与到焦点的距离和最小，则点的坐标是__________．
45．抛物线的焦点到准线的距离是__________．
46．在平面直角坐标系中，若双曲线：的一条准线与抛物线：的准线重合，则正数的值是__________．
47．已知点M在抛物线y2＝4x上，若以点M为圆心的圆与x轴和其准线l都相切，则点M到其顶点O的距离为__________．
48．已知抛物线经过点，且焦点为，则直线的斜率为__________．
49．已知点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则__________．
50．已知椭圆与圆若在椭圆上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得则椭圆的离心率的取值范围是__________．
51．椭圆的左、右焦点为F1､F2，点P在椭圆上，若F1PF2为直角三角形，则点P到x轴的距离为__________．
52．如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于B，C两点，且，则该椭圆的离心率是__________．
53．在平面直角坐标系中，已知椭圆的半焦距为，点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为__________．
54．设为椭圆的左焦点，为上第一象限的一点．若，，则椭圆的离心率为__________．
55．设､分别是椭圆的左､右焦点，若椭圆上存在一点，使(为坐标原点)，则△的面积是__________．
56．椭圆的左､右焦点分别为，椭圆上的点满足：且，则__________．
57．已知椭圆内有一点，F是椭圆的右焦点，M是椭圆上一点，则的最小值为__________．
58．已知，分别为椭圆的左、右焦点，且离心率，点是椭圆上位于第二象限内的一点，若是腰长为4的等腰三角形，则的面积为__________．
59．已知椭圆的离心率分别是椭圆的左、右顶点，点是椭圆上的一点，直线的倾斜角分别为，满足，则直线的斜率为__________．
60．在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为__________．
61．在平面直角坐标系中，以双曲线，的右焦点为圆心，以实半轴为半径的圆与其渐近线相交，则双曲线的离心率的取值范围是__________．
62．能使得命题“曲线上存在四个点满足四边形是正方形”为真命题的一个实数是__________．
63．已知直线与双曲线的一条渐近线交于点，双曲线的左、右顶点分别为，，若，则双曲线的离心率为__________．
64．已知双曲线的左右焦点分别为，，直线过点交双曲线右支于，两点，若，，则双曲线的离心率为__________．
65．已知双曲线C的焦点为，，过点的直线与双曲线的右支交于A，B两点．若，，则C的方程为__________．
66．已知为双曲线的左、右顶点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是__________．
67．设F1、F2是双曲线的两焦点，点在双曲线上．若点到焦点F1的距离等于，则点到焦点F2的距离等于__________．
68．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为__________．
69．设双曲线的左、右焦点分别为、，若在双曲线的右支上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是__________．
70．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的顶点和轴都重合)，已知两个圆锥的底面直径均为4，侧面积均为记过两个圆锥轴的截面为平面α，平面α与两个圆锥侧面的交线为AC，BD．已知平面β平行于平面α，平面β与两个圆锥侧面的交线为双曲线C的一部分，且C的两条渐近线分别平行于AC，BD，则该双曲线C的离心率为__________．
71．在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，定点和动点满足：，且是底边长为的等腰三角形，则双曲线的标准方程为__________．
72．若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是__________．
73．已知是抛物线：上的任意一点，以为圆心的圆与直线相切且经过点，设斜率为1的直线与抛物线交于两点，则线段的中点的纵坐标为__________．
74．已知抛物线C：的焦点为F，直线l：与C交于P、Q(P在x轴上方)两点，若，则实数λ的值为__________．
75．椭圆的右焦点为，以点为焦点的抛物线的标准方程是__________．
76．已知点，抛物线的焦点为，准线为l，线段交抛物线于点．过作的垂线，垂足为，若，则三角形的面积__________．
77．已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆上，则的最小值是__________．
78．如图所示，抛物线形拱桥的跨度是米，拱高是米，在建桥时，每隔米需要用一支柱支撑，则其中最长的支柱的长度为__________米．
79．已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，过点作的垂线交于点，且，，则抛物线的方程为__________．
80．已知双曲线C：的右焦点为F，左顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，若，则C的离心率为__________．
二、双空题
81．双曲线的渐近线方程为__________，焦距为__________．
82．已知抛物线的焦点为，抛物线的准线与轴的交点为，点，过点的动直线与抛物线交于不同的两点，点在轴上的射影为点，设直线的斜率分别为和．则的最小值为__________，的值为__________．
83．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系xoy，根据图上尺寸， 溢流孔ABC所在抛物线的方程为__________， 溢流孔与桥拱交点A的横坐标为__________．
84．（1）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是__________；
（2）设点A，B的坐标为，，点P是曲线C上任意一点，且直线PA与PB的斜率之积为，则曲线C的方程是__________．
85．双曲线的渐近线方程为__________，设双曲线经过点(4，1)，且与双曲线具有相同渐近线，则双曲线的标准方程为__________．
86．已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为__________，渐近线方程为__________．
87．抛物线的焦点坐标是__________，准线方程是__________．
88．抛物线上一点M到焦点距离是，则点M到准线的距离是__________，点M的横坐标是__________．
89．已知曲线是平面内到定点和定直线的距离之和等于3的动点的轨迹，则曲线的一条对称轴方程是__________，的最小值是__________．
90．如图所示，已知椭圆的两个焦点分别为，为椭圆上的一点，且，则该椭圆的离心率为__________；若点在第二象限，，则的面积为__________．
91．椭圆第一象限上一点与中心、右焦点构成一个正三角形，则此椭圆的离心率__________，当此三角形的面积是 ，则__________．
92．已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，点为双曲线上一点，，则双曲线的渐近线方程为__________；若双曲线的实轴长为4，则的面积为__________．
93．设双曲线：的右焦点为，点，已知点在双曲线的左支上，若的周长的最小值是，则双曲线的离心率是__________，此时，点的坐标为__________．
94．椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的一个短轴端点为，直线与双曲线的一条渐近线平行，若椭圆与双曲线的离心率分别为，则__________；且的最小值为__________．
95．已知点，，动点满足：直线与直线的斜率之积为定值．
（1）若点的轨迹是焦点在轴上的椭圆（除去点、），则的取值范围是__________；
（2）若点的轨迹是焦距为4的双曲线（除去点、），则__________．
96．直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则__________，__________．
97．已知，，直线的斜率与直线的斜率之差是，则点的轨迹的方程是__________；若点的坐标为，是直线上的一点，是直线与轨迹的交点，且，则__________．
98．已知抛物线的焦点为，在抛物线上任取一点，则到直线的最短距离为_________，到轴的距离与到直线的距离之和的最小值为_________．
圆锥曲线的方程（填空题）
一、填空题
1．设，为定点，，动点M满足，则动点M的轨迹是__________．(从以下选择：椭圆、直线、圆、线段)
【试题来源】江苏省淮安市盱眙县马坝高级中学2020-2021学年高二上学期第一次质量检测
【答案】椭圆
【解析】动点M满足，
所以点M的轨迹是以，为焦点的椭圆．
2．以、为焦点作椭圆，椭圆上一点到、的距离之和为10，椭圆上另一点满足，则__________．
【试题来源】安徽省滁州市定远县育才学校2020-2021学年高二上学期第二次月考（理）
【答案】5
【解析】因为点P在椭圆上，所以，又，所以．
3．已知椭圆的右焦点为，若点到直线的距离为，则的离心率为__________．
【试题来源】广东省东莞市东华高级中学2021届高三上学期第二次联考
【答案】
【解析】得，因为，所以，故．
4．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________．
【试题来源】江西省南昌市第二中学2020-2021学年高二上学期期中考试（理）
【答案】
【解析】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，
所以，解得．
5．设双曲线的离心率为，则的渐近线方程为__________．
【试题来源】广西南宁市普通高中2021届高三10月摸底测试（文）
【答案】
【解析】由双曲线的方程可得渐近线的方程为，
由题意离心率，可得，所以渐近线的方程为．
6．双曲线，且一个顶点坐标为，则双曲线的标准方程为__________．
【试题来源】长春汽车经济技术开发区第三中学2020-2021学年第一学期10月月考高二（理）
【答案】
【解析】由于双曲线的一个顶点坐标为，可设双曲线的标准方程为，则，，，
因此，该双曲线的标准方程为．
7．若双曲线的虚轴长为，则实数的值为__________．
【试题来源】河北省邯郸市联盟校2020-2021学年高二上学期期中
【答案】或1
【解析】因为双曲线的虚轴长为，①当时，双曲线方程可化为，有，得；②当时，双曲线方程可以化为，得；故实数的取值为或1．
8．与双曲线有相同焦点的等轴双曲线标准方程为__________．
【试题来源】四川省成都外国语学校2020-2021学年高二上学期期中考试（文）
【答案】
【解析】设与双曲线有相同焦点的等轴双曲线标准方程为，
则，所以所求双曲线方程为.
9．焦点的坐标为，渐近线方程为的双曲线的标准方程为__________．
【试题来源】湖南省常德市临澧县第一中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】
【分析】由已知设双曲线方程为，即，从而可得，进而求出的值可得双曲线的标准方程
【解析】由题意设双曲线方程为，即，
则，因为焦点的坐标为，所以，解得，
所以双曲线的标准方程为.
10．双曲线的渐近线方程为__________．
【试题来源】江苏省盐城市响水中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】
【解析】，故答案为．
11．抛物线的焦点到其准线的距离为__________．
【试题来源】2020届河北省衡水中学高三卫冕联考（文）
【答案】10
【解析】抛物线，，则焦点到准线的距离为10．
12．抛物线的焦点到准线的距离为__________．
【试题来源】北京市清华附中2019-2020学年高二年级居家自主学习在线检测试卷（期末）
【答案】1
【解析】抛物线的焦点到准线的距离为p，由标准方程可得．
13．抛物线的焦点坐标是__________．
【试题来源】江西九江市第一中学2019—2020学年度高二下学期期末考试（文）
【答案】
【解析】因为抛物线方程为，所以焦点在轴上，且焦点为．
14．椭圆C的左焦点为（-6，0），且经过点P（5，2），则椭圆C的标准方程为__________．
【试题来源】江苏省无锡市青山高级中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】
【解析】椭圆C的左焦点为，则椭圆的焦点在轴上且右焦点为，
由椭圆的定义可得，
所以，则，所以椭圆C的标准方程为.
15．若椭圆的焦距是，则__________．
【试题来源】上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】5
【分析】由椭圆的定义可知，故焦点在轴上，即可得答案；
【解析】由题得，，故焦点在轴上，，．
16．若方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则常数的取值范围为区间__________．
【试题来源】江西省上高二中2020-2021学年高二上学期第二次月考（文）
【答案】
【解析】，因为方程表示焦点在轴上的椭圆，
所以，解得．故答案为.
17．过椭圆＋＝1的左焦点作一条直线与椭圆交于A、B两点，则的周长为__________．
【试题来源】长春汽车经济技术开发区第三中学2020-2021学年第一学期10月月考高二（理）
【答案】
【解析】如图：根据椭圆的定义可得的周长
，
由＋＝1，则，所以的周长为．
18．椭圆上一点关于原点的对称点为，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为__________．
【试题来源】河北省邯郸市联盟校2020-2021学年高二上学期期中
【答案】
【解析】记椭圆的左焦点为，连，，
由椭圆的对称性和性质知，，由，可得，得，由，可得，则，所以．
【名师点睛】求椭圆离心率的常用方法有：
（1）直接法：根据椭圆的性质，结合题中条件，求出，，可直接得出离心率；
（2）构造齐次方程求离心率：结合题中条件，以及椭圆的性质和定义等，列出关于，的齐次等量关系，再化简整理，即可求得结果．
19．已知、是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且，，则椭圆离心率是__________．
【试题来源】福建省福州第一中学2021届高三上学期开学检测
【答案】
【解析】因为点在椭圆上，所以，
又，所以，因为，在中，由，根据余弦定理可得
，解得（负值舍去），故答案为．
20．设为椭圆：的左焦点，为椭圆上给定一点，以为直径作圆，点为圆上的动点，则坐标原点到的距离的最大值为__________．
【试题来源】北京市首都师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期数学期中考试
【答案】
【解析】设，因为为椭圆：的左焦点，记起右焦点为，则，，记的中点为，由题意可得，为圆的圆心，圆的半径为，因为点为圆上的动点，所以坐标原点到的距离的最大值为
．
【名师点睛】求圆上的点与定点距离最值时，一般先计算定点到圆心的距离，根据圆的性质，得到定点到圆上任意一点距离的最大值为，定点到圆上任意一点距离的最小值为（其中为圆的半径）．
21．已知焦点在x轴上的椭圆的左、右焦点分别为、，直线l过，且和椭圆C交于A，B两点，，与的面积之比为3：1，则椭圆C的离心率为__________．
【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期中考试（理）
【答案】
【解析】，不妨设，，由点作轴，同时也过点向轴引垂线，，且 ，，
设，，由，，，所以，所以，为等腰三角形，，，，为直角三角形，，为等腰直角三角形，，
，即．故答案为．
22．若椭圆的离心率为则m的值为__________．
【试题来源】江苏省南通中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】3或
【解析】因为椭圆，若焦点在轴上，则，
所以，解得，若焦点在轴上，则，
所以，解得，故答案为3或.
23．曲线是焦点在轴上的椭圆，则的范围是__________．
【试题来源】内蒙古通辽市开鲁县第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试（理）
【答案】
【解析】曲线是焦点在轴上的椭圆，
，解得．
24．设椭圆的左右焦点分别为右顶点为A，上顶点为B，已知，椭圆的离心率为__________．
【试题来源】江苏省南京市五校2020-2021学年高二上学期10月联合调研考试
【答案】
【解析】由题意知，，，，
即，即，故．
25．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆过点离心率为则椭圆C的方程为__________．
【试题来源】江苏省无锡市江阴市四校2020-2021学年高二上学期期中联考
【答案】
【分析】由离心率可得，将点代入方程即可求出，即求出椭圆方程．
【解析】，，则，将点代入方程得，解得，则，故椭圆C的方程为．
26．已知为双曲线：的左焦点，直线经过点，若点，关于直线对称，则双曲线的离心率为__________．
【试题来源】2020届名校联盟高三联考评估卷（八）（文）
【答案】
【解析】因为为双曲线：的左焦点，所以，又点，关于直线对称，，所以可得直线的方程为，又，中点在直线上，所以，整理得，
又，所以，
故，解得，因为，所以．
27．已知双曲线（）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为________．
【试题来源】宁夏石嘴山市2019届高三适应性测试（文）
【答案】
【分析】根据双曲线的离心率和，求得的值，进而求得渐近线方程．
【解析】依题意有，即，解得，
所以渐近线的方程为．故答案为．
28．已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为__________．
【试题来源】浙江省金华市曙光学校2020-2021学年高二上学期第一次阶段考试
【答案】
【解析】因为表示的是焦点在轴上的双曲线，
所以，解得，所以的取值范围是．
【名师点睛】本题考查根据方程表示双曲线求解参数范围，主要考查学生对双曲线方程的理解，难度较易．若形如的方程表示双曲线，则有．
29．已知椭圆与双曲线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为__________．
【试题来源】湖北省黄冈市麻城一中2019-2020学年高三上学期期末（理）
【答案】
【解析】因为椭圆与双曲线的焦点相同，
所以，即，解得，
所以双曲线的渐近线方程为，故答案为
30．双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离是__________．
【试题来源】宁夏银川市银川六中2019-2020学年高二上学期期末考试
【答案】1
【解析】由知， ，所以 ，即，
右焦点 ，其中一条渐近线，
所以右焦点到渐近线距离为，故答案为1.
31．已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，点，若线段的垂直平分线过点B，则该双曲线的离心率为__________．
【试题来源】湖北省随州市2019-2020学年高二下学期期末
【答案】
【解析】因为双曲线的左、右顶点分别为、，
则，，，又，线段的垂直平分线过点，
所以，即，则，所以，
因此．故答案为．
32．已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则C的方程为__________．
【试题来源】江苏省扬州市仪征中学2020-2021学年高二上学期期中模拟（2）
【答案】
【分析】根据题意可设双曲线的标准方程为，然后将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可求得双曲线的方程．
【解析】由题意可知，双曲线的一条渐近线方程为，
设双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程得，
所以，双曲线的方程为，即为．
33．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且双曲线的渐近线方程为，则此双曲线方程为__________．
【试题来源】吉林省榆树市第一高级中学2020-2021学年高三第一学期10月月考（理）
【答案】
【解析】由题意椭圆焦点为，所以，设双曲线方程为()，则，由，解得．所以双曲线方程为．
【名师点睛】本题考查是椭圆与双曲线的综合问题，解题中要注意椭圆有，双曲线中，两者关系不相同，不能混淆．否则易出错．
34．若方程所表示的曲线为，给出下列四个命题：
①若为椭圆，则实数的取值范围为；
②若为双曲线，则实数的取值范围为；
③曲线不可能是圆；
④若表示椭圆，且长轴在轴上，则实数的取值范围为．
其中真命题的序号为__________．（把所有正确命题的序号都填在横线上）
【试题来源】北京市首都师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期数学期中考试
【答案】②
【解析】方程所表示的曲线为
①若为椭圆，则 解得且，故①不正确．
②若为双曲线，则，解得，故②正确．
③当时，曲线是圆，故③不正确．
④若表示椭圆，且长轴在轴上，则，则，故故④不正确．
故答案为②
35．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且的中点在以为圆心，为半径的圆上，则__________．
【试题来源】江苏省南京市江宁区东山外国语学校2020-2021学年高二（10月份）月考
【答案】4
【分析】由题意画出图形，利用已知结合三角形中位线定理及双曲线的定义求解．
【解析】如图，由双曲线，得，，则．
则，，．
36．已知双曲线的左､右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线的第一象限的交点为P．若∠PF1F2=30°，则该双曲线的离心率为__________．
【试题来源】辽宁省抚顺市2020-2021学年高二上学期期中考试
【答案】
【解析】设，由题意知是直角三角形，利用∠PF1F2=30°，
，，.
【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．
37．已知为双曲线的一个焦点，则点到双曲线的一条渐近线的距离为__________．
【试题来源】北京市汇文中学2020-2021学年高二上学期期中考试
【答案】1
【解析】双曲线的，，，则可设，
设双曲线的一条渐近线方程为，则到渐近线的距离为．
38．若圆与双曲线：的渐近线相切，则双曲线的离心率为__________．
【试题来源】江西省南昌市第二中学2020—2021学年高二（文）上学期期中考试
【答案】2
【解析】设双曲线的一条渐近线为，即，
因为其与圆相切，故，
整理可得，故离心率为，故答案为2．
39．设O为坐标原点，F1、F2是的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2＝60°，|OP|＝a，则该双曲线的离心率为__________．
【试题来源】湖南省常德市临澧县第一中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】
【解析】不妨设在左支上，，则，因为是三角形的中线，所以根据三角形中线定理可得，
整理得，由余弦定理得，，
整理得，所以，化简得，
所以，故答案为.
40．已知抛物线的焦点为，准线为，：过点且与相切，则__________．
【试题来源】安徽省皖江名校联盟2020-2021学年高三上学期8月第一次联考（文）
【答案】2或6
【解析】在上，
所以，即（1），
和与相切，（2），
由（1）（2）得，所以或，故答案为2或6．
41．已知抛物线上一点到其焦点的距离为3，则点M到原点的距离__________．
【试题来源】广东省汕尾市2019-2020学年高二下学期期末
【答案】
【解析】根据抛物线方程可求得焦点坐标为，准线方程为，
根据抛物线定义，解得，代入抛物线方程求得，
所以点M的坐标为，所以点M到原点的距离为．
42．若抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，则_________．
【试题来源】南京师范大学附属中学江宁分校2019-2020学年高三上学期12月调研考试（文）
【答案】6
【解析】抛物线的焦点坐标为，，
双曲线中，，，，
双曲线的右焦点为，则，得．
43．设是抛物线上的一个动点，是焦点，若，则的最小值为__________．
【试题来源】陕西省西安市第六十六中学2019-2020学年高三上学期期末（文）
【答案】5
【解析】如图，过作与准线垂直，垂足为，则，
所以，易知当三点共线时，最小，最小值为．所以的最小值为5．
44．抛物线上一点到点与到焦点的距离和最小，则点的坐标是__________．
【试题来源】广东省佛山市2019-2020学年高二上学期统考模拟
【答案】
【解析】如图，过作垂直于准线，垂足为，
由抛物线定义得，，
由图可知，当共线，即垂直准线时，取得最小值，
此时，代入抛物线可求得，即．故答案为．
45．抛物线的焦点到准线的距离是__________．
【试题来源】北京市中国人民大学附属中学2020届高三6月统一练习（三模）考试
【答案】
【解析】由变形得，故抛物线焦点在的正半轴，，，故抛物线的焦点到准线的距离是，故答案为.
46．在平面直角坐标系中，若双曲线：的一条准线与抛物线：的准线重合，则正数的值是__________．
【试题来源】2020年全国普通高等学校招生统一考试（江苏卷）模拟预测卷
【答案】3
【解析】抛物线：的准线方程为，双曲线：的一条准线方程为，根据题意得，解得．
47．已知点M在抛物线y2＝4x上，若以点M为圆心的圆与x轴和其准线l都相切，则点M到其顶点O的距离为__________．
【试题来源】北京市昌平区2020届高三第二次统一练习（二模）
【答案】
【分析】利用已知条件求出M的坐标，然后求解点M到其顶点O的距离．
【解析】点M在抛物线y2＝4x上，若以点M为圆心的圆与x轴和其准线l都相切，
设M（x，x+1），可得（x+1）2＝4x，解得x＝1，所以M（1，2），
点M到其顶点O的距离为．故答案为．
48．已知抛物线经过点，且焦点为，则直线的斜率为__________．
【试题来源】贵州省思南中学2021届高三上学期期中考试（文）
【答案】
【分析】已知点的坐标代入抛物线方程求得值后可得焦点坐标，从而可得直线斜率．
【解析】由题意，解得，所以焦点为，
所以．故答案为．
49．已知点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则__________．
【试题来源】北京市汇文中学2020-2021学年高二上学期期中考试
【答案】
【解析】由已知可得，设，，
则，解得，
．故答案为．
50．已知椭圆与圆若在椭圆上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得则椭圆的离心率的取值范围是__________．
【试题来源】重庆市重庆十八中两江实验中学2019-2020学年高二上学期半期（期中）
【答案】
【解析】因为，所以（为坐标原点），所以，
因为，所以，所以，又，
所以，即，所以，又，
所以．故答案为
【名师点睛】本题考查求椭圆的离心率的取值范围，解题关键是找到关于的不等关系．本题中根据圆的切线的夹角求出，根据得到所要求的不等关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．
51．椭圆的左、右焦点为F1､F2，点P在椭圆上，若F1PF2为直角三角形，则点P到x轴的距离为__________．
【试题来源】天津市第一中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】或
【解析】设点，则到轴的距离为，由于，，，
（1）若或，令得，
，即到轴的距离为．
（2）若，则，，
，，由（1）（2）知到轴的距离为或，
故答案为或．
【名师点睛】解决本题的关键是要注意分类讨论的思想，题目中的直角三角形，要分清楚那个角是直角，是解决问题的先决条件．
52．如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于B，C两点，且，则该椭圆的离心率是__________．
【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期中考试（文）
【答案】
【解析】 由得，所以，，由题意可知，所以，，
因为，所以，所以，
即，所以，
所以，即，所以，所以.
【名师点睛】求椭圆离心率的常用方法：（1）直接求出、的值，利用离心率公式直接求解；（2）列出含有、、的其次方程或不等式，借助于消去，转化为含有的方程和不等式求解；（3）数形结合，根据图形观察，通过取特殊值和特殊位置求出离心率.
53．在平面直角坐标系中，已知椭圆的半焦距为，点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为__________．
【试题来源】江苏省南航附中2020-2021学年高二（9月份）月考
【答案】．
【解析】设，由可得，即，
即在圆心为，半径为的圆上，
故只需圆与椭圆有公共点，
如图所示，可得，所以．故答案为．
【名师点睛】对于求双曲线的离心率或范围，常见有两种方法：①求出和，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为和的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．
54．设为椭圆的左焦点，为上第一象限的一点．若，，则椭圆的离心率为__________．
【试题来源】重庆市第八中学2020-2021学年高二上学期（期中）半期
【答案】
【解析】设，椭圆的右焦点，连接，如图，
因为，，
所以，
所以，所以，，
所以为等边三角形，，
所以，
所以离心率．故答案为．
【名师点睛】解决本题的关键是利用余弦定理及平面几何的知识转化条件为，再由椭圆的定义、离心率公式即可得解．
55．设､分别是椭圆的左､右焦点，若椭圆上存在一点，使(为坐标原点)，则△的面积是__________．
【试题来源】上海市进才中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】1
【分析】记的中点为，根据向量数量积为得到与的位置关系，再结合三角形中位线以及直角三角形中的勾股定理求解出的值，则面积可求．
【解析】如图所示：记的中点为，
因为，所以，所以，
因为为的中点，所以，所以，
所以，
所以，所以．
56．椭圆的左､右焦点分别为，椭圆上的点满足：且，则__________．
【试题来源】河北省保定市2021届高三上学期10月摸底考试
【答案】1
【解析】因为且，所以，
由椭圆的定义得，故
所以在中，由余弦定理得，
代入数据得，解得．故答案为．
【名师点睛】解题的关键在于应用定义与余弦定理列方程求解得．
57．已知椭圆内有一点，F是椭圆的右焦点，M是椭圆上一点，则的最小值为__________．
【试题来源】江苏省南京市六合区大厂高级中学2020-2021学年高二上学期10月学情调研
【答案】4．
【分析】过点作垂直直线，垂足为，由椭圆的性质可得（椭圆的第二定义），数形结合即可得解．
【解析】由题意，椭圆的右焦点，设点，则，
则，
过点作垂直直线，垂足为，如图，
则，所以当三点共线（在线段上）时，
．故答案为4．
58．已知，分别为椭圆的左、右焦点，且离心率，点是椭圆上位于第二象限内的一点，若是腰长为4的等腰三角形，则的面积为__________．
【试题来源】海南、山东等新高考地区2021届高三上学期期中备考金卷数学（A卷）试题
【答案】
【解析】由题意知，则，
又，所以，由椭圆的定义得，
又是腰长为4的等腰三角形，且点在第二象限，所以，，
过作于点，则，，
所以的面积为，故答案为．
59．已知椭圆的离心率分别是椭圆的左、右顶点，点是椭圆上的一点，直线的倾斜角分别为，满足，则直线的斜率为__________．
【试题来源】江苏省扬州市邗江中学2020-2021学年高二（2019级新疆班）上学期期中
【答案】或
【解析】依题意．设，
则，即，化简得．
由于是椭圆的左右顶点，所以，
所以，
所以，所以或，
所以当时，，
当时，，所以直线的斜率为或.
60．在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为__________．
【试题来源】江苏省宿迁市沭阳如东中学2019-2020学年高三上学期1月阶段考试
【答案】
【解析】由题可得离心率，所以，即，所以，因为双曲线的焦点在轴上，所以该双曲线的渐近线方程为，即．故答案为
61．在平面直角坐标系中，以双曲线，的右焦点为圆心，以实半轴为半径的圆与其渐近线相交，则双曲线的离心率的取值范围是__________．
【试题来源】北京市中国人民大学附属中学2020届高三6月统一练习（三模）考试
【答案】
【解析】根据题意有圆与双曲线的渐近线相交，
则有圆心到直线的距离，
所以，因为，所以，
所以，故答案为．
62．能使得命题“曲线上存在四个点满足四边形是正方形”为真命题的一个实数是__________．
【试题来源】北京市2020届高三数学高考考前冲刺模拟试题
【答案】或的任意实数，例如4
【解析】曲线上存在四个点满足四边形是正方形，可设，由对称性可得，
则，即，即，由曲线的方程可得，
即有解，即有，可得，
解得或，故答案为或的任意实数，例如4．
63．已知直线与双曲线的一条渐近线交于点，双曲线的左、右顶点分别为，，若，则双曲线的离心率为__________．
【试题来源】广东省2021届高三上学期新高考适应性测试（一）
【答案】或
【解析】若渐近线的方程为，则点的坐标为．
因为，所以，则，所以，
从而．若渐近线的方程为，则点的坐标为，同理可得．
64．已知双曲线的左右焦点分别为，，直线过点交双曲线右支于，两点，若，，则双曲线的离心率为__________．
【试题来源】湖南省郴州市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测
【答案】
【分析】设，则，，推出，由双曲线的定义得，再在和应用余弦定理得，进而得答案．
【解析】设，则，，
所以，由双曲线的定义，得，
此时，在和应用余弦定理得
；
所以，即，故，所以．
65．已知双曲线C的焦点为，，过点的直线与双曲线的右支交于A，B两点．若，，则C的方程为__________．
【试题来源】福建省厦门第一中学2021届高三（10月月考）数学第一次质量检测试题
【答案】
【分析】设双曲线C的方程为，设，根据已知条件和双曲线的定义可得，且，，，即可求出，利用即可求出，进而可得双曲线C的方程．
【解析】设双曲线C的方程为 ，
设，则，，，因为，
所以 ，由抛物线的定义得，所以，
，因为，所以，
所以，即，解得，
可得，所以，所以双曲线C的方程为.
66．已知为双曲线的左、右顶点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是__________．
【试题来源】江西省上高二中2020-2021学年高二上学期第二次月考（文）
【答案】
【解析】双曲线的渐近线方程为，
不妨设过点与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为，
联立，解得交点，
点在以线段为直径的圆外，，即有，
，即，．双曲线离心率的取值范围是．
67．设F1、F2是双曲线的两焦点，点在双曲线上．若点到焦点F1的距离等于，则点到焦点F2的距离等于__________．
【试题来源】福建省厦门一中2020-2021学年高二（10月份）月考
【答案】17
【解析】因为是双曲线的两焦点，所以．
因为点P到焦点的距离等于9，即，则解得或17，
因为焦半径最小值为，所以
68．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为__________．
【试题来源】江苏省扬州中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】
【解析】设椭圆对应的参数为，双曲线对应的参数为，
由于线段的垂直平分线过，所以有．
根据双曲线和椭圆的定义有，两式相减得到，
即．
所以，
当且仅当取等号，则的最小值为．
69．设双曲线的左、右焦点分别为、，若在双曲线的右支上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是__________．
【试题来源】江西省南昌市第二中学2020-2021学年高二上学期期中考试（理）
【答案】
【解析】由双曲线的定义可得，
又，则，，所以，．
因此，双曲线的离心率的取值范围是．
【名师点睛】求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立的关系式求或的范围；另一种是建立、、的齐次关系式，将用、表示，转化为的关系式，进而求解．
70．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的顶点和轴都重合)，已知两个圆锥的底面直径均为4，侧面积均为记过两个圆锥轴的截面为平面α，平面α与两个圆锥侧面的交线为AC，BD．已知平面β平行于平面α，平面β与两个圆锥侧面的交线为双曲线C的一部分，且C的两条渐近线分别平行于AC，BD，则该双曲线C的离心率为__________．
【试题来源】江苏省镇江市2020-2021学年高二上学期期中
【答案】
【解析】以矩形的中心为原点，圆锥的轴为轴建立平面直角坐标系，设双曲线的标准方程为，圆锥的底面直径均为4，则半径，侧面积均为
可得，则，即，
所以．
71．在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，定点和动点满足：，且是底边长为的等腰三角形，则双曲线的标准方程为__________．
【试题来源】江苏省盐城市一中、射阳中学等五校2020-2021学年高二上学期期中联考
【答案】
【解析】由题意知双曲线的渐近线方程为，所以点在渐近线，点在渐近线，
设的倾斜角为，则的倾斜角为，
所以平分，且，解得，
即直线的斜率是，，
因为是底边长为的等腰三角形，所以，，
在中，由正弦定理可得，即，解得，
由解得 ，所以双曲线的标准方程为．
72．若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是__________．
【试题来源】广东省佛山市第四中学2021届高三上学期8月开学考试
【答案】
【解析】．
73．已知是抛物线：上的任意一点，以为圆心的圆与直线相切且经过点，设斜率为1的直线与抛物线交于两点，则线段的中点的纵坐标为__________．
【试题来源】四川省武胜烈面中学校2020-2021学年高三9月月考（文）
【答案】2
【分析】设，可得，再由，求得，得到抛物线的方程，联立方程组，结合根与系数关系，即可求解．
【解析】设，因为以为圆心的圆与直线相切且经过点，
所以，又由，即，解得，
所以抛物线的方程为，由，整理得，可得，
所以线段的中点的纵坐标为．故答案为．
【名师点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中把直线的方程和抛物线的方程联立，结合根与系数关系求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力．
74．已知抛物线C：的焦点为F，直线l：与C交于P、Q(P在x轴上方)两点，若，则实数λ的值为__________．
【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三高中新课标第一次摸底测试（理）
【答案】
【解析】由题意联立方程组，解得或
因为P在x轴上方，所以、，
因为抛物线C的方程为，所以，
所以，
因为，所以，
解得，故答案为.
75．椭圆的右焦点为，以点为焦点的抛物线的标准方程是__________．
【试题来源】江苏省无锡市第一中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】
【解析】由题意，椭圆，可得，则，
所以椭圆的右焦点为，即抛物线的焦点坐标为，
设抛物线的标准方程为，可得，即，
所以抛物线的标准方程为．故答案为．
【名师点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及几何性质的应用，以及抛物线的标准方程的求解，其中解答中熟记椭圆的几何性质，以及抛物线的标准方程的形式是解答的关键，着重考查运算与求解能力．
76．已知点，抛物线的焦点为，准线为l，线段交抛物线于点．过作的垂线，垂足为，若，则三角形的面积__________．
【试题来源】江苏省南京市江宁区东山外国语学校2020-2021学年高二（10月份）月考
【答案】
【解析】如图所示：由抛物线的定义可知，，，
又，由直角三角形的性质可知，点为的中点，，，
把点，代入抛物线方程：得，，解得，
，，，故答案为．
【名师点睛】本题主要考查了抛物线的性质，解题的关键是结合图形由抛物线的定义得，，，再由直角三角形的性质得，点为的中点，利用中点坐标公式表示出点的坐标，考查了直角三角形的性质，是中档题．
77．已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆上，则的最小值是__________．
【试题来源】山西省大同市大同一中2021届高三上学期期中质量检测（文）
【答案】
【解析】是抛物线上一点，抛物线的准线方程为，
过点作垂直于准线于，则，所以，
因为点在圆上，圆的圆心，半径为1，
所以当三点共线时，取得最小值6，故答案为6
78．如图所示，抛物线形拱桥的跨度是米，拱高是米，在建桥时，每隔米需要用一支柱支撑，则其中最长的支柱的长度为__________米．
【试题来源】福建省福州市八县（市）一中2020-2021学年高二上学期期中联考
【答案】（或）
【解析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴所在直线为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，由题意可知点在该抛物线上，
所以，，解得，所以，抛物线的方程为，
当时，，因此，最长的支柱的长度为（米）．
故答案为（或）．
79．已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，过点作的垂线交于点，且，，则抛物线的方程为__________．
【试题来源】云南省德宏州2020届高三上学期期末教学质量检测（理）
【答案】
【解析】抛物线：，焦点，准线
如图，，，，由抛物线定义知，故是等边三角形，过焦点作，交于，则为的中点，所以，即焦点到准线的距离是，故答案为
【名师点睛】本题考查球抛物线的方程，解题的关键是要熟悉抛物线的定义，动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，即可知，再利用知是等边三角形，再利用等边三角形性质求解，考查学生的逻辑推导能力，属于中档题．
80．已知双曲线C：的右焦点为F，左顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，若，则C的离心率为__________．
【试题来源】广西桂林市广西师范大学附属2021届高三年级上学期数学第三次月考试题
【答案】
【解析】如图所示，双曲线可得右焦点，
其中一条渐近线的方程为，
则过点与垂直的直线方程为，
联立方程组，解得，即
在中，因为，可得，整理得，
即，所以，整理得，
即，解得或（舍去），故双曲线的离心率为．
【名师点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．
二、双空题
81．双曲线的渐近线方程为__________，焦距为__________．
【试题来源】北京市北大附中2020届高三6月阶段性检测
【答案】
【解析】令得，即双曲线的渐近线方程为；
焦距为．故答案为；．
82．已知抛物线的焦点为，抛物线的准线与轴的交点为，点，过点的动直线与抛物线交于不同的两点，点在轴上的射影为点，设直线的斜率分别为和．则的最小值为__________，的值为__________．
【试题来源】福建省福州市八县（市）一中2020-2021学年高二上学期期中联考
【答案】 0
【解析】由定义可知，
，则当共线，且在之间时，取的最小值，，
当直线l的斜率不存在时，直线KM与直线KN关于x轴对称，则，
当直线l的斜率存在时，设直线方程为，，设，
联立直线与抛物线方程可得，
则，则，
综上，．故答案为；0．
83．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系xoy，根据图上尺寸， 溢流孔ABC所在抛物线的方程为__________， 溢流孔与桥拱交点A的横坐标为__________．
【试题来源】江苏省南京市2020-2021学年高二上学期期中调研测试
【答案】
【解析】设桥拱所在抛物线方程，由图可知，曲线经过，
代入方程，解得，所以桥拱所在抛物线方程；
四个溢流孔轮廓线相同，所以从右往左看，设第一个抛物线，
由图抛物线经过点，则，解得，
所以，点即桥拱所在抛物线与的交点坐标，设，由，解得，
所以点A的横坐标为．故答案为；
84．（1）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是__________；
（2）设点A，B的坐标为，，点P是曲线C上任意一点，且直线PA与PB的斜率之积为，则曲线C的方程是__________．
【试题来源】宁夏石嘴山市第三中学2020-2021学年高二上学期期中考试
【答案】
【分析】（1）根据椭圆的标准方程可得结果；
（2）利用斜率公式可得结果．
【解析】（1）因为方程即表示焦点在x轴上的椭圆，
所以．
（2）设，则，．
故答案为；
85．双曲线的渐近线方程为__________，设双曲线经过点(4，1)，且与双曲线具有相同渐近线，则双曲线的标准方程为__________．
【试题来源】山东省泰安第二中学2020届高三12月测试
【答案】
【解析】（1）双曲线的焦点在轴上，且，渐近线方程为，
故渐近线方程为 ，故答案为
（2）由双曲线与双曲线具有相同渐近线，可设，代入有，故，化简得
86．已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为__________，渐近线方程为__________．
【试题来源】浙江省金华市曙光学校2020-2021学年高二上学期第一次阶段考试
【答案】
【解析】因为椭圆的焦点坐标为，所以双曲线的焦点坐标为；
因为，所以即，所以渐近线方程为，
故答案为；．
87．抛物线的焦点坐标是__________，准线方程是__________．
【试题来源】浙江省金华市曙光学校2020-2021学年高二上学期第一次阶段考试
【答案】
【解析】抛物线方程为，即，所以焦点在轴上，
对比可知，所以焦点坐标为，准线方程为，
故答案为；．
88．抛物线上一点M到焦点距离是，则点M到准线的距离是__________，点M的横坐标是__________．
【试题来源】浙江省金华市曙光学校2020-2021学年高二上学期第一次阶段考试
【答案】
【解析】因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以到准线的距离为；
因为到准线的距离等于，所以，故答案为；．
89．已知曲线是平面内到定点和定直线的距离之和等于3的动点的轨迹，则曲线的一条对称轴方程是__________，的最小值是__________．
【试题来源】北京市北大附中2020届高三6月阶段性检测
【答案】
【分析】设，由题意可得，分，，三种情况讨论，求出轨迹方程，即可得出对称轴以及的最小值．
【解析】设，由题意可得，即，
当，即或时，无解；
当时，，则，此时曲线的一条对称轴方程是；；即此时的最小值是；
当时，，则，此时曲线的一条对称轴方程是；；即此时的最小值是；
综上，的最小值是．故答案为；．
90．如图所示，已知椭圆的两个焦点分别为，为椭圆上的一点，且，则该椭圆的离心率为__________；若点在第二象限，，则的面积为__________．
【试题来源】福建省罗源第一中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】
【解析】设椭圆方程为，依题意得，，
因为，即，故，，
所以该椭圆的离心率为，所以椭圆的方程为．
设点坐标为，由点在第二象限，则，，
因为，所以所在的直线方程为．
则解方程组，得，解得或（舍）
所以．所以．故答案为；
91．椭圆第一象限上一点与中心、右焦点构成一个正三角形，则此椭圆的离心率__________，当此三角形的面积是 ，则__________．
【试题来源】浙江省温州市龙港市第二高级中学2020-2021学年高三上学期期初测试
【答案】
【解析】如图，由为正三角形，可得，，
代入椭圆方程，可得，又，得，
解得，若，则，
，则．故答案为；．
92．已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，点为双曲线上一点，，则双曲线的渐近线方程为__________；若双曲线的实轴长为4，则的面积为__________．
【试题来源】福建省福清西山学校高中部2020-2021学年高二上学期期中考试
【答案】
【解析】双曲线的离心率为 ，所以，
所以双曲线的渐近线方程为 ，由题意知，所以，，
设点在右支上，，，则，
在中，由余弦定理得 ，
即①，
将两边同时平方得②，
由①②得，所以，
所以的面积为，
故答案为；．
93．设双曲线：的右焦点为，点，已知点在双曲线的左支上，若的周长的最小值是，则双曲线的离心率是__________，此时，点的坐标为__________．
【试题来源】甘肃省白银市靖远县2020届高三高考数学（（文））第四次联考试题
【答案】
【解析】如下图，设为双曲线的左焦点，连接，，则，，故的周长，
因为，所以的周长，
因为的周长的最小值是，
，所以，，
双曲线的离心率，双曲线的方程为，
当的周长取最小值时，点在直线上，
因为，，所以直线的方程为，
联立，解得，或（舍去），故的坐标为．
94．椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的一个短轴端点为，直线与双曲线的一条渐近线平行，若椭圆与双曲线的离心率分别为，则__________；且的最小值为__________．
【试题来源】江苏省南通如皋、盐城射阳2020-2021学年高三上学期期初联考
【答案】1
【解析】由题意可知，双曲线的焦点在轴上，设椭圆的长轴为，短轴为，双曲线的实轴为，虚轴为，因为椭圆的一个短轴端点为，直线与双曲线的一条渐近线平行，所以，即，平方得，
化简得，所以，所以，即，所以
因为均为正数，所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，
故答案为1；
95．已知点，，动点满足：直线与直线的斜率之积为定值．
（1）若点的轨迹是焦点在轴上的椭圆（除去点、），则的取值范围是__________；
（2）若点的轨迹是焦距为4的双曲线（除去点、），则__________．
【试题来源】湖南师大附中2020-2021学年高二上学期10月月考（第二次大练习）
【答案】
【解析】（1）设，根据条件可知的轨迹方程：，
所以，所以，即
因为点的轨迹是焦点在轴上的椭圆（除去点、），
所以，所以，即；
（2）由（1）知点的轨迹方程为，
当点的轨迹是焦距为的双曲线（除去点、）时，可知，所以．
96．直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则__________，__________．
【试题来源】内蒙古赤峰二中2020届普通高等学校招生第三次统一模拟考试（理）
【答案】2 1
【解析】由题意知，从而，所以抛物线方程为．
当直线AB斜率不存在时：代入，解得，从而．
当直线AB斜率存在时：设的方程为，联立，整理，得
，设，，则
从而．
（方法二）利用二级结论：，即可得结果．
97．已知，，直线的斜率与直线的斜率之差是，则点的轨迹的方程是__________；若点的坐标为，是直线上的一点，是直线与轨迹的交点，且，则__________．
【试题来源】河北省“五个一”名校联盟2021届高三上学期第一次联考
【答案】
【解析】设，则，
整理得点的轨迹的方程是，如下图所示：
设点、，，，
，，解得．
由抛物线的定义可得．故答案为；．
98．已知抛物线的焦点为，在抛物线上任取一点，则到直线的最短距离为_________，到轴的距离与到直线的距离之和的最小值为_________．
【试题来源】湖北省新高考协作体2019-2020学年高二下学期期末联考
【答案】
【解析】设点，则满足，
由点到直线的距离公式得到直线的距离为
，
当且仅当，时等号成立；
根据抛物线的定义知，到轴的距离等于，
所以到轴的距离与到直线的距离之和为
过点作直线的垂线，垂足为，则．
如图，根据图象得，
当且仅当三点共线时等号成立；故到轴的距离与到直线的距离之和的最小值为．故答案为；
圆锥曲线的方程（填空题）
一、填空题
1．设，为定点，，动点M满足，则动点M的轨迹是__________．(从以下选择：椭圆、直线、圆、线段)
2．以、为焦点作椭圆，椭圆上一点到、的距离之和为10，椭圆上另一点满足，则__________．
3．已知椭圆的右焦点为，若点到直线的距离为，则的离心率为__________．
4．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________．
5．设双曲线的离心率为，则的渐近线方程为__________．
6．双曲线，且一个顶点坐标为，则双曲线的标准方程为__________．
7．若双曲线的虚轴长为，则实数的值为__________．
8．与双曲线有相同焦点的等轴双曲线标准方程为__________．
9．焦点的坐标为，渐近线方程为的双曲线的标准方程为__________．
10．双曲线的渐近线方程为__________．
11．抛物线的焦点到其准线的距离为__________．
12．抛物线的焦点到准线的距离为__________．
13．抛物线的焦点坐标是__________．
14．椭圆C的左焦点为（-6，0），且经过点P（5，2），则椭圆C的标准方程为__________．
15．若椭圆的焦距是，则__________．
16．若方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则常数的取值范围为区间__________．
17．过椭圆＋＝1的左焦点作一条直线与椭圆交于A、B两点，则的周长为__________．
18．椭圆上一点关于原点的对称点为，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为__________．
19．已知、是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且，，则椭圆离心率是__________．
20．设为椭圆：的左焦点，为椭圆上给定一点，以为直径作圆，点为圆上的动点，则坐标原点到的距离的最大值为__________．
21．已知焦点在x轴上的椭圆的左、右焦点分别为、，直线l过，且和椭圆C交于A，B两点，，与的面积之比为3：1，则椭圆C的离心率为__________．
22．若椭圆的离心率为则m的值为__________．
23．曲线是焦点在轴上的椭圆，则的范围是__________．
24．设椭圆的左右焦点分别为右顶点为A，上顶点为B，已知，椭圆的离心率为__________．
25．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆过点离心率为则椭圆C的方程为__________．
26．已知为双曲线：的左焦点，直线经过点，若点，关于直线对称，则双曲线的离心率为__________．
27．已知双曲线（）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为________．
28．已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为__________．
29．已知椭圆与双曲线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为__________．
30．双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离是__________．
31．已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，点，若线段的垂直平分线过点B，则该双曲线的离心率为__________．
32．已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则C的方程为__________．
33．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且双曲线的渐近线方程为，则此双曲线方程为__________．
34．若方程所表示的曲线为，给出下列四个命题：
①若为椭圆，则实数的取值范围为；
②若为双曲线，则实数的取值范围为；
③曲线不可能是圆；
④若表示椭圆，且长轴在轴上，则实数的取值范围为．
其中真命题的序号为__________．（把所有正确命题的序号都填在横线上）
35．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且的中点在以为圆心，为半径的圆上，则__________．
36．已知双曲线的左､右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线的第一象限的交点为P．若∠PF1F2=30°，则该双曲线的离心率为__________．
37．已知为双曲线的一个焦点，则点到双曲线的一条渐近线的距离为__________．
38．若圆与双曲线：的渐近线相切，则双曲线的离心率为__________．
39．设O为坐标原点，F1、F2是的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2＝60°，|OP|＝a，则该双曲线的离心率为__________．
40．已知抛物线的焦点为，准线为，：过点且与相切，则__________．
41．已知抛物线上一点到其焦点的距离为3，则点M到原点的距离__________．
42．若抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，则_________．
43．设是抛物线上的一个动点，是焦点，若，则的最小值为__________．
44．抛物线上一点到点与到焦点的距离和最小，则点的坐标是__________．
45．抛物线的焦点到准线的距离是__________．
46．在平面直角坐标系中，若双曲线：的一条准线与抛物线：的准线重合，则正数的值是__________．
47．已知点M在抛物线y2＝4x上，若以点M为圆心的圆与x轴和其准线l都相切，则点M到其顶点O的距离为__________．
48．已知抛物线经过点，且焦点为，则直线的斜率为__________．
49．已知点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则__________．
50．已知椭圆与圆若在椭圆上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得则椭圆的离心率的取值范围是__________．
51．椭圆的左、右焦点为F1､F2，点P在椭圆上，若F1PF2为直角三角形，则点P到x轴的距离为__________．
52．如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于B，C两点，且，则该椭圆的离心率是__________．
53．在平面直角坐标系中，已知椭圆的半焦距为，点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为__________．
54．设为椭圆的左焦点，为上第一象限的一点．若，，则椭圆的离心率为__________．
55．设､分别是椭圆的左､右焦点，若椭圆上存在一点，使(为坐标原点)，则△的面积是__________．
56．椭圆的左､右焦点分别为，椭圆上的点满足：且，则__________．
57．已知椭圆内有一点，F是椭圆的右焦点，M是椭圆上一点，则的最小值为__________．
58．已知，分别为椭圆的左、右焦点，且离心率，点是椭圆上位于第二象限内的一点，若是腰长为4的等腰三角形，则的面积为__________．
59．已知椭圆的离心率分别是椭圆的左、右顶点，点是椭圆上的一点，直线的倾斜角分别为，满足，则直线的斜率为__________．
60．在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为__________．
61．在平面直角坐标系中，以双曲线，的右焦点为圆心，以实半轴为半径的圆与其渐近线相交，则双曲线的离心率的取值范围是__________．
62．能使得命题“曲线上存在四个点满足四边形是正方形”为真命题的一个实数是__________．
63．已知直线与双曲线的一条渐近线交于点，双曲线的左、右顶点分别为，，若，则双曲线的离心率为__________．
64．已知双曲线的左右焦点分别为，，直线过点交双曲线右支于，两点，若，，则双曲线的离心率为__________．
65．已知双曲线C的焦点为，，过点的直线与双曲线的右支交于A，B两点．若，，则C的方程为__________．
66．已知为双曲线的左、右顶点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是__________．
67．设F1、F2是双曲线的两焦点，点在双曲线上．若点到焦点F1的距离等于，则点到焦点F2的距离等于__________．
68．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为__________．
69．设双曲线的左、右焦点分别为、，若在双曲线的右支上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是__________．
70．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的顶点和轴都重合)，已知两个圆锥的底面直径均为4，侧面积均为记过两个圆锥轴的截面为平面α，平面α与两个圆锥侧面的交线为AC，BD．已知平面β平行于平面α，平面β与两个圆锥侧面的交线为双曲线C的一部分，且C的两条渐近线分别平行于AC，BD，则该双曲线C的离心率为__________．
71．在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，定点和动点满足：，且是底边长为的等腰三角形，则双曲线的标准方程为__________．
72．若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是__________．
73．已知是抛物线：上的任意一点，以为圆心的圆与直线相切且经过点，设斜率为1的直线与抛物线交于两点，则线段的中点的纵坐标为__________．
74．已知抛物线C：的焦点为F，直线l：与C交于P、Q(P在x轴上方)两点，若，则实数λ的值为__________．
75．椭圆的右焦点为，以点为焦点的抛物线的标准方程是__________．
76．已知点，抛物线的焦点为，准线为l，线段交抛物线于点．过作的垂线，垂足为，若，则三角形的面积__________．
77．已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆上，则的最小值是__________．
78．如图所示，抛物线形拱桥的跨度是米，拱高是米，在建桥时，每隔米需要用一支柱支撑，则其中最长的支柱的长度为__________米．
79．已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，过点作的垂线交于点，且，，则抛物线的方程为__________．
80．已知双曲线C：的右焦点为F，左顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，若，则C的离心率为__________．
二、双空题
81．双曲线的渐近线方程为__________，焦距为__________．
82．已知抛物线的焦点为，抛物线的准线与轴的交点为，点，过点的动直线与抛物线交于不同的两点，点在轴上的射影为点，设直线的斜率分别为和．则的最小值为__________，的值为__________．
83．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系xoy，根据图上尺寸， 溢流孔ABC所在抛物线的方程为__________， 溢流孔与桥拱交点A的横坐标为__________．
84．（1）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是__________；
（2）设点A，B的坐标为，，点P是曲线C上任意一点，且直线PA与PB的斜率之积为，则曲线C的方程是__________．
85．双曲线的渐近线方程为__________，设双曲线经过点(4，1)，且与双曲线具有相同渐近线，则双曲线的标准方程为__________．
86．已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为__________，渐近线方程为__________．
87．抛物线的焦点坐标是__________，准线方程是__________．
88．抛物线上一点M到焦点距离是，则点M到准线的距离是__________，点M的横坐标是__________．
89．已知曲线是平面内到定点和定直线的距离之和等于3的动点的轨迹，则曲线的一条对称轴方程是__________，的最小值是__________．
90．如图所示，已知椭圆的两个焦点分别为，为椭圆上的一点，且，则该椭圆的离心率为__________；若点在第二象限，，则的面积为__________．
91．椭圆第一象限上一点与中心、右焦点构成一个正三角形，则此椭圆的离心率__________，当此三角形的面积是 ，则__________．
92．已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，点为双曲线上一点，，则双曲线的渐近线方程为__________；若双曲线的实轴长为4，则的面积为__________．
93．设双曲线：的右焦点为，点，已知点在双曲线的左支上，若的周长的最小值是，则双曲线的离心率是__________，此时，点的坐标为__________．
94．椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的一个短轴端点为，直线与双曲线的一条渐近线平行，若椭圆与双曲线的离心率分别为，则__________；且的最小值为__________．
95．已知点，，动点满足：直线与直线的斜率之积为定值．
（1）若点的轨迹是焦点在轴上的椭圆（除去点、），则的取值范围是__________；
（2）若点的轨迹是焦距为4的双曲线（除去点、），则__________．
96．直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则__________，__________．
97．已知，，直线的斜率与直线的斜率之差是，则点的轨迹的方程是__________；若点的坐标为，是直线上的一点，是直线与轨迹的交点，且，则__________．
98．已知抛物线的焦点为，在抛物线上任取一点，则到直线的最短距离为_________，到轴的距离与到直线的距离之和的最小值为_________．
圆锥曲线的方程（填空题）
一、填空题
1．设，为定点，，动点M满足，则动点M的轨迹是__________．(从以下选择：椭圆、直线、圆、线段)
【试题来源】江苏省淮安市盱眙县马坝高级中学2020-2021学年高二上学期第一次质量检测
【答案】椭圆
【解析】动点M满足，
所以点M的轨迹是以，为焦点的椭圆．
2．以、为焦点作椭圆，椭圆上一点到、的距离之和为10，椭圆上另一点满足，则__________．
【试题来源】安徽省滁州市定远县育才学校2020-2021学年高二上学期第二次月考（理）
【答案】5
【解析】因为点P在椭圆上，所以，又，所以．
3．已知椭圆的右焦点为，若点到直线的距离为，则的离心率为__________．
【试题来源】广东省东莞市东华高级中学2021届高三上学期第二次联考
【答案】
【解析】得，因为，所以，故．
4．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________．
【试题来源】江西省南昌市第二中学2020-2021学年高二上学期期中考试（理）
【答案】
【解析】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，
所以，解得．
5．设双曲线的离心率为，则的渐近线方程为__________．
【试题来源】广西南宁市普通高中2021届高三10月摸底测试（文）
【答案】
【解析】由双曲线的方程可得渐近线的方程为，
由题意离心率，可得，所以渐近线的方程为．
6．双曲线，且一个顶点坐标为，则双曲线的标准方程为__________．
【试题来源】长春汽车经济技术开发区第三中学2020-2021学年第一学期10月月考高二（理）
【答案】
【解析】由于双曲线的一个顶点坐标为，可设双曲线的标准方程为，则，，，
因此，该双曲线的标准方程为．
7．若双曲线的虚轴长为，则实数的值为__________．
【试题来源】河北省邯郸市联盟校2020-2021学年高二上学期期中
【答案】或1
【解析】因为双曲线的虚轴长为，①当时，双曲线方程可化为，有，得；②当时，双曲线方程可以化为，得；故实数的取值为或1．
8．与双曲线有相同焦点的等轴双曲线标准方程为__________．
【试题来源】四川省成都外国语学校2020-2021学年高二上学期期中考试（文）
【答案】
【解析】设与双曲线有相同焦点的等轴双曲线标准方程为，
则，所以所求双曲线方程为.
9．焦点的坐标为，渐近线方程为的双曲线的标准方程为__________．
【试题来源】湖南省常德市临澧县第一中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】
【分析】由已知设双曲线方程为，即，从而可得，进而求出的值可得双曲线的标准方程
【解析】由题意设双曲线方程为，即，
则，因为焦点的坐标为，所以，解得，
所以双曲线的标准方程为.
10．双曲线的渐近线方程为__________．
【试题来源】江苏省盐城市响水中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】
【解析】，故答案为．
11．抛物线的焦点到其准线的距离为__________．
【试题来源】2020届河北省衡水中学高三卫冕联考（文）
【答案】10
【解析】抛物线，，则焦点到准线的距离为10．
12．抛物线的焦点到准线的距离为__________．
【试题来源】北京市清华附中2019-2020学年高二年级居家自主学习在线检测试卷（期末）
【答案】1
【解析】抛物线的焦点到准线的距离为p，由标准方程可得．
13．抛物线的焦点坐标是__________．
【试题来源】江西九江市第一中学2019—2020学年度高二下学期期末考试（文）
【答案】
【解析】因为抛物线方程为，所以焦点在轴上，且焦点为．
14．椭圆C的左焦点为（-6，0），且经过点P（5，2），则椭圆C的标准方程为__________．
【试题来源】江苏省无锡市青山高级中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】
【解析】椭圆C的左焦点为，则椭圆的焦点在轴上且右焦点为，
由椭圆的定义可得，
所以，则，所以椭圆C的标准方程为.
15．若椭圆的焦距是，则__________．
【试题来源】上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】5
【分析】由椭圆的定义可知，故焦点在轴上，即可得答案；
【解析】由题得，，故焦点在轴上，，．
16．若方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则常数的取值范围为区间__________．
【试题来源】江西省上高二中2020-2021学年高二上学期第二次月考（文）
【答案】
【解析】，因为方程表示焦点在轴上的椭圆，
所以，解得．故答案为.
17．过椭圆＋＝1的左焦点作一条直线与椭圆交于A、B两点，则的周长为__________．
【试题来源】长春汽车经济技术开发区第三中学2020-2021学年第一学期10月月考高二（理）
【答案】
【解析】如图：根据椭圆的定义可得的周长
，
由＋＝1，则，所以的周长为．
18．椭圆上一点关于原点的对称点为，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为__________．
【试题来源】河北省邯郸市联盟校2020-2021学年高二上学期期中
【答案】
【解析】记椭圆的左焦点为，连，，
由椭圆的对称性和性质知，，由，可得，得，由，可得，则，所以．
【名师点睛】求椭圆离心率的常用方法有：
（1）直接法：根据椭圆的性质，结合题中条件，求出，，可直接得出离心率；
（2）构造齐次方程求离心率：结合题中条件，以及椭圆的性质和定义等，列出关于，的齐次等量关系，再化简整理，即可求得结果．
19．已知、是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且，，则椭圆离心率是__________．
【试题来源】福建省福州第一中学2021届高三上学期开学检测
【答案】
【解析】因为点在椭圆上，所以，
又，所以，因为，在中，由，根据余弦定理可得
，解得（负值舍去），故答案为．
20．设为椭圆：的左焦点，为椭圆上给定一点，以为直径作圆，点为圆上的动点，则坐标原点到的距离的最大值为__________．
【试题来源】北京市首都师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期数学期中考试
【答案】
【解析】设，因为为椭圆：的左焦点，记起右焦点为，则，，记的中点为，由题意可得，为圆的圆心，圆的半径为，因为点为圆上的动点，所以坐标原点到的距离的最大值为
．
【名师点睛】求圆上的点与定点距离最值时，一般先计算定点到圆心的距离，根据圆的性质，得到定点到圆上任意一点距离的最大值为，定点到圆上任意一点距离的最小值为（其中为圆的半径）．
21．已知焦点在x轴上的椭圆的左、右焦点分别为、，直线l过，且和椭圆C交于A，B两点，，与的面积之比为3：1，则椭圆C的离心率为__________．
【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期中考试（理）
【答案】
【解析】，不妨设，，由点作轴，同时也过点向轴引垂线，，且 ，，
设，，由，，，所以，所以，为等腰三角形，，，，为直角三角形，，为等腰直角三角形，，
，即．故答案为．
22．若椭圆的离心率为则m的值为__________．
【试题来源】江苏省南通中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】3或
【解析】因为椭圆，若焦点在轴上，则，
所以，解得，若焦点在轴上，则，
所以，解得，故答案为3或.
23．曲线是焦点在轴上的椭圆，则的范围是__________．
【试题来源】内蒙古通辽市开鲁县第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试（理）
【答案】
【解析】曲线是焦点在轴上的椭圆，
，解得．
24．设椭圆的左右焦点分别为右顶点为A，上顶点为B，已知，椭圆的离心率为__________．
【试题来源】江苏省南京市五校2020-2021学年高二上学期10月联合调研考试
【答案】
【解析】由题意知，，，，
即，即，故．
25．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆过点离心率为则椭圆C的方程为__________．
【试题来源】江苏省无锡市江阴市四校2020-2021学年高二上学期期中联考
【答案】
【分析】由离心率可得，将点代入方程即可求出，即求出椭圆方程．
【解析】，，则，将点代入方程得，解得，则，故椭圆C的方程为．
26．已知为双曲线：的左焦点，直线经过点，若点，关于直线对称，则双曲线的离心率为__________．
【试题来源】2020届名校联盟高三联考评估卷（八）（文）
【答案】
【解析】因为为双曲线：的左焦点，所以，又点，关于直线对称，，所以可得直线的方程为，又，中点在直线上，所以，整理得，
又，所以，
故，解得，因为，所以．
27．已知双曲线（）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为________．
【试题来源】宁夏石嘴山市2019届高三适应性测试（文）
【答案】
【分析】根据双曲线的离心率和，求得的值，进而求得渐近线方程．
【解析】依题意有，即，解得，
所以渐近线的方程为．故答案为．
28．已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为__________．
【试题来源】浙江省金华市曙光学校2020-2021学年高二上学期第一次阶段考试
【答案】
【解析】因为表示的是焦点在轴上的双曲线，
所以，解得，所以的取值范围是．
【名师点睛】本题考查根据方程表示双曲线求解参数范围，主要考查学生对双曲线方程的理解，难度较易．若形如的方程表示双曲线，则有．
29．已知椭圆与双曲线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为__________．
【试题来源】湖北省黄冈市麻城一中2019-2020学年高三上学期期末（理）
【答案】
【解析】因为椭圆与双曲线的焦点相同，
所以，即，解得，
所以双曲线的渐近线方程为，故答案为
30．双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离是__________．
【试题来源】宁夏银川市银川六中2019-2020学年高二上学期期末考试
【答案】1
【解析】由知， ，所以 ，即，
右焦点 ，其中一条渐近线，
所以右焦点到渐近线距离为，故答案为1.
31．已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，点，若线段的垂直平分线过点B，则该双曲线的离心率为__________．
【试题来源】湖北省随州市2019-2020学年高二下学期期末
【答案】
【解析】因为双曲线的左、右顶点分别为、，
则，，，又，线段的垂直平分线过点，
所以，即，则，所以，
因此．故答案为．
32．已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则C的方程为__________．
【试题来源】江苏省扬州市仪征中学2020-2021学年高二上学期期中模拟（2）
【答案】
【分析】根据题意可设双曲线的标准方程为，然后将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可求得双曲线的方程．
【解析】由题意可知，双曲线的一条渐近线方程为，
设双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程得，
所以，双曲线的方程为，即为．
33．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且双曲线的渐近线方程为，则此双曲线方程为__________．
【试题来源】吉林省榆树市第一高级中学2020-2021学年高三第一学期10月月考（理）
【答案】
【解析】由题意椭圆焦点为，所以，设双曲线方程为()，则，由，解得．所以双曲线方程为．
【名师点睛】本题考查是椭圆与双曲线的综合问题，解题中要注意椭圆有，双曲线中，两者关系不相同，不能混淆．否则易出错．
34．若方程所表示的曲线为，给出下列四个命题：
①若为椭圆，则实数的取值范围为；
②若为双曲线，则实数的取值范围为；
③曲线不可能是圆；
④若表示椭圆，且长轴在轴上，则实数的取值范围为．
其中真命题的序号为__________．（把所有正确命题的序号都填在横线上）
【试题来源】北京市首都师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期数学期中考试
【答案】②
【解析】方程所表示的曲线为
①若为椭圆，则 解得且，故①不正确．
②若为双曲线，则，解得，故②正确．
③当时，曲线是圆，故③不正确．
④若表示椭圆，且长轴在轴上，则，则，故故④不正确．
故答案为②
35．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且的中点在以为圆心，为半径的圆上，则__________．
【试题来源】江苏省南京市江宁区东山外国语学校2020-2021学年高二（10月份）月考
【答案】4
【分析】由题意画出图形，利用已知结合三角形中位线定理及双曲线的定义求解．
【解析】如图，由双曲线，得，，则．
则，，．
36．已知双曲线的左､右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线的第一象限的交点为P．若∠PF1F2=30°，则该双曲线的离心率为__________．
【试题来源】辽宁省抚顺市2020-2021学年高二上学期期中考试
【答案】
【解析】设，由题意知是直角三角形，利用∠PF1F2=30°，
，，.
【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．
37．已知为双曲线的一个焦点，则点到双曲线的一条渐近线的距离为__________．
【试题来源】北京市汇文中学2020-2021学年高二上学期期中考试
【答案】1
【解析】双曲线的，，，则可设，
设双曲线的一条渐近线方程为，则到渐近线的距离为．
38．若圆与双曲线：的渐近线相切，则双曲线的离心率为__________．
【试题来源】江西省南昌市第二中学2020—2021学年高二（文）上学期期中考试
【答案】2
【解析】设双曲线的一条渐近线为，即，
因为其与圆相切，故，
整理可得，故离心率为，故答案为2．
39．设O为坐标原点，F1、F2是的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2＝60°，|OP|＝a，则该双曲线的离心率为__________．
【试题来源】湖南省常德市临澧县第一中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】
【解析】不妨设在左支上，，则，因为是三角形的中线，所以根据三角形中线定理可得，
整理得，由余弦定理得，，
整理得，所以，化简得，
所以，故答案为.
40．已知抛物线的焦点为，准线为，：过点且与相切，则__________．
【试题来源】安徽省皖江名校联盟2020-2021学年高三上学期8月第一次联考（文）
【答案】2或6
【解析】在上，
所以，即（1），
和与相切，（2），
由（1）（2）得，所以或，故答案为2或6．
41．已知抛物线上一点到其焦点的距离为3，则点M到原点的距离__________．
【试题来源】广东省汕尾市2019-2020学年高二下学期期末
【答案】
【解析】根据抛物线方程可求得焦点坐标为，准线方程为，
根据抛物线定义，解得，代入抛物线方程求得，
所以点M的坐标为，所以点M到原点的距离为．
42．若抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，则_________．
【试题来源】南京师范大学附属中学江宁分校2019-2020学年高三上学期12月调研考试（文）
【答案】6
【解析】抛物线的焦点坐标为，，
双曲线中，，，，
双曲线的右焦点为，则，得．
43．设是抛物线上的一个动点，是焦点，若，则的最小值为__________．
【试题来源】陕西省西安市第六十六中学2019-2020学年高三上学期期末（文）
【答案】5
【解析】如图，过作与准线垂直，垂足为，则，
所以，易知当三点共线时，最小，最小值为．所以的最小值为5．
44．抛物线上一点到点与到焦点的距离和最小，则点的坐标是__________．
【试题来源】广东省佛山市2019-2020学年高二上学期统考模拟
【答案】
【解析】如图，过作垂直于准线，垂足为，
由抛物线定义得，，
由图可知，当共线，即垂直准线时，取得最小值，
此时，代入抛物线可求得，即．故答案为．
45．抛物线的焦点到准线的距离是__________．
【试题来源】北京市中国人民大学附属中学2020届高三6月统一练习（三模）考试
【答案】
【解析】由变形得，故抛物线焦点在的正半轴，，，故抛物线的焦点到准线的距离是，故答案为.
46．在平面直角坐标系中，若双曲线：的一条准线与抛物线：的准线重合，则正数的值是__________．
【试题来源】2020年全国普通高等学校招生统一考试（江苏卷）模拟预测卷
【答案】3
【解析】抛物线：的准线方程为，双曲线：的一条准线方程为，根据题意得，解得．
47．已知点M在抛物线y2＝4x上，若以点M为圆心的圆与x轴和其准线l都相切，则点M到其顶点O的距离为__________．
【试题来源】北京市昌平区2020届高三第二次统一练习（二模）
【答案】
【分析】利用已知条件求出M的坐标，然后求解点M到其顶点O的距离．
【解析】点M在抛物线y2＝4x上，若以点M为圆心的圆与x轴和其准线l都相切，
设M（x，x+1），可得（x+1）2＝4x，解得x＝1，所以M（1，2），
点M到其顶点O的距离为．故答案为．
48．已知抛物线经过点，且焦点为，则直线的斜率为__________．
【试题来源】贵州省思南中学2021届高三上学期期中考试（文）
【答案】
【分析】已知点的坐标代入抛物线方程求得值后可得焦点坐标，从而可得直线斜率．
【解析】由题意，解得，所以焦点为，
所以．故答案为．
49．已知点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则__________．
【试题来源】北京市汇文中学2020-2021学年高二上学期期中考试
【答案】
【解析】由已知可得，设，，
则，解得，
．故答案为．
50．已知椭圆与圆若在椭圆上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得则椭圆的离心率的取值范围是__________．
【试题来源】重庆市重庆十八中两江实验中学2019-2020学年高二上学期半期（期中）
【答案】
【解析】因为，所以（为坐标原点），所以，
因为，所以，所以，又，
所以，即，所以，又，
所以．故答案为
【名师点睛】本题考查求椭圆的离心率的取值范围，解题关键是找到关于的不等关系．本题中根据圆的切线的夹角求出，根据得到所要求的不等关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．
51．椭圆的左、右焦点为F1､F2，点P在椭圆上，若F1PF2为直角三角形，则点P到x轴的距离为__________．
【试题来源】天津市第一中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】或
【解析】设点，则到轴的距离为，由于，，，
（1）若或，令得，
，即到轴的距离为．
（2）若，则，，
，，由（1）（2）知到轴的距离为或，
故答案为或．
【名师点睛】解决本题的关键是要注意分类讨论的思想，题目中的直角三角形，要分清楚那个角是直角，是解决问题的先决条件．
52．如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于B，C两点，且，则该椭圆的离心率是__________．
【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期中考试（文）
【答案】
【解析】 由得，所以，，由题意可知，所以，，
因为，所以，所以，
即，所以，
所以，即，所以，所以.
【名师点睛】求椭圆离心率的常用方法：（1）直接求出、的值，利用离心率公式直接求解；（2）列出含有、、的其次方程或不等式，借助于消去，转化为含有的方程和不等式求解；（3）数形结合，根据图形观察，通过取特殊值和特殊位置求出离心率.
53．在平面直角坐标系中，已知椭圆的半焦距为，点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为__________．
【试题来源】江苏省南航附中2020-2021学年高二（9月份）月考
【答案】．
【解析】设，由可得，即，
即在圆心为，半径为的圆上，
故只需圆与椭圆有公共点，
如图所示，可得，所以．故答案为．
【名师点睛】对于求双曲线的离心率或范围，常见有两种方法：①求出和，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为和的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．
54．设为椭圆的左焦点，为上第一象限的一点．若，，则椭圆的离心率为__________．
【试题来源】重庆市第八中学2020-2021学年高二上学期（期中）半期
【答案】
【解析】设，椭圆的右焦点，连接，如图，
因为，，
所以，
所以，所以，，
所以为等边三角形，，
所以，
所以离心率．故答案为．
【名师点睛】解决本题的关键是利用余弦定理及平面几何的知识转化条件为，再由椭圆的定义、离心率公式即可得解．
55．设､分别是椭圆的左､右焦点，若椭圆上存在一点，使(为坐标原点)，则△的面积是__________．
【试题来源】上海市进才中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】1
【分析】记的中点为，根据向量数量积为得到与的位置关系，再结合三角形中位线以及直角三角形中的勾股定理求解出的值，则面积可求．
【解析】如图所示：记的中点为，
因为，所以，所以，
因为为的中点，所以，所以，
所以，
所以，所以．
56．椭圆的左､右焦点分别为，椭圆上的点满足：且，则__________．
【试题来源】河北省保定市2021届高三上学期10月摸底考试
【答案】1
【解析】因为且，所以，
由椭圆的定义得，故
所以在中，由余弦定理得，
代入数据得，解得．故答案为．
【名师点睛】解题的关键在于应用定义与余弦定理列方程求解得．
57．已知椭圆内有一点，F是椭圆的右焦点，M是椭圆上一点，则的最小值为__________．
【试题来源】江苏省南京市六合区大厂高级中学2020-2021学年高二上学期10月学情调研
【答案】4．
【分析】过点作垂直直线，垂足为，由椭圆的性质可得（椭圆的第二定义），数形结合即可得解．
【解析】由题意，椭圆的右焦点，设点，则，
则，
过点作垂直直线，垂足为，如图，
则，所以当三点共线（在线段上）时，
．故答案为4．
58．已知，分别为椭圆的左、右焦点，且离心率，点是椭圆上位于第二象限内的一点，若是腰长为4的等腰三角形，则的面积为__________．
【试题来源】海南、山东等新高考地区2021届高三上学期期中备考金卷数学（A卷）试题
【答案】
【解析】由题意知，则，
又，所以，由椭圆的定义得，
又是腰长为4的等腰三角形，且点在第二象限，所以，，
过作于点，则，，
所以的面积为，故答案为．
59．已知椭圆的离心率分别是椭圆的左、右顶点，点是椭圆上的一点，直线的倾斜角分别为，满足，则直线的斜率为__________．
【试题来源】江苏省扬州市邗江中学2020-2021学年高二（2019级新疆班）上学期期中
【答案】或
【解析】依题意．设，
则，即，化简得．
由于是椭圆的左右顶点，所以，
所以，
所以，所以或，
所以当时，，
当时，，所以直线的斜率为或.
60．在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为__________．
【试题来源】江苏省宿迁市沭阳如东中学2019-2020学年高三上学期1月阶段考试
【答案】
【解析】由题可得离心率，所以，即，所以，因为双曲线的焦点在轴上，所以该双曲线的渐近线方程为，即．故答案为
61．在平面直角坐标系中，以双曲线，的右焦点为圆心，以实半轴为半径的圆与其渐近线相交，则双曲线的离心率的取值范围是__________．
【试题来源】北京市中国人民大学附属中学2020届高三6月统一练习（三模）考试
【答案】
【解析】根据题意有圆与双曲线的渐近线相交，
则有圆心到直线的距离，
所以，因为，所以，
所以，故答案为．
62．能使得命题“曲线上存在四个点满足四边形是正方形”为真命题的一个实数是__________．
【试题来源】北京市2020届高三数学高考考前冲刺模拟试题
【答案】或的任意实数，例如4
【解析】曲线上存在四个点满足四边形是正方形，可设，由对称性可得，
则，即，即，由曲线的方程可得，
即有解，即有，可得，
解得或，故答案为或的任意实数，例如4．
63．已知直线与双曲线的一条渐近线交于点，双曲线的左、右顶点分别为，，若，则双曲线的离心率为__________．
【试题来源】广东省2021届高三上学期新高考适应性测试（一）
【答案】或
【解析】若渐近线的方程为，则点的坐标为．
因为，所以，则，所以，
从而．若渐近线的方程为，则点的坐标为，同理可得．
64．已知双曲线的左右焦点分别为，，直线过点交双曲线右支于，两点，若，，则双曲线的离心率为__________．
【试题来源】湖南省郴州市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测
【答案】
【分析】设，则，，推出，由双曲线的定义得，再在和应用余弦定理得，进而得答案．
【解析】设，则，，
所以，由双曲线的定义，得，
此时，在和应用余弦定理得
；
所以，即，故，所以．
65．已知双曲线C的焦点为，，过点的直线与双曲线的右支交于A，B两点．若，，则C的方程为__________．
【试题来源】福建省厦门第一中学2021届高三（10月月考）数学第一次质量检测试题
【答案】
【分析】设双曲线C的方程为，设，根据已知条件和双曲线的定义可得，且，，，即可求出，利用即可求出，进而可得双曲线C的方程．
【解析】设双曲线C的方程为 ，
设，则，，，因为，
所以 ，由抛物线的定义得，所以，
，因为，所以，
所以，即，解得，
可得，所以，所以双曲线C的方程为.
66．已知为双曲线的左、右顶点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是__________．
【试题来源】江西省上高二中2020-2021学年高二上学期第二次月考（文）
【答案】
【解析】双曲线的渐近线方程为，
不妨设过点与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为，
联立，解得交点，
点在以线段为直径的圆外，，即有，
，即，．双曲线离心率的取值范围是．
67．设F1、F2是双曲线的两焦点，点在双曲线上．若点到焦点F1的距离等于，则点到焦点F2的距离等于__________．
【试题来源】福建省厦门一中2020-2021学年高二（10月份）月考
【答案】17
【解析】因为是双曲线的两焦点，所以．
因为点P到焦点的距离等于9，即，则解得或17，
因为焦半径最小值为，所以
68．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为__________．
【试题来源】江苏省扬州中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】
【解析】设椭圆对应的参数为，双曲线对应的参数为，
由于线段的垂直平分线过，所以有．
根据双曲线和椭圆的定义有，两式相减得到，
即．
所以，
当且仅当取等号，则的最小值为．
69．设双曲线的左、右焦点分别为、，若在双曲线的右支上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是__________．
【试题来源】江西省南昌市第二中学2020-2021学年高二上学期期中考试（理）
【答案】
【解析】由双曲线的定义可得，
又，则，，所以，．
因此，双曲线的离心率的取值范围是．
【名师点睛】求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立的关系式求或的范围；另一种是建立、、的齐次关系式，将用、表示，转化为的关系式，进而求解．
70．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的顶点和轴都重合)，已知两个圆锥的底面直径均为4，侧面积均为记过两个圆锥轴的截面为平面α，平面α与两个圆锥侧面的交线为AC，BD．已知平面β平行于平面α，平面β与两个圆锥侧面的交线为双曲线C的一部分，且C的两条渐近线分别平行于AC，BD，则该双曲线C的离心率为__________．
【试题来源】江苏省镇江市2020-2021学年高二上学期期中
【答案】
【解析】以矩形的中心为原点，圆锥的轴为轴建立平面直角坐标系，设双曲线的标准方程为，圆锥的底面直径均为4，则半径，侧面积均为
可得，则，即，
所以．
71．在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，定点和动点满足：，且是底边长为的等腰三角形，则双曲线的标准方程为__________．
【试题来源】江苏省盐城市一中、射阳中学等五校2020-2021学年高二上学期期中联考
【答案】
【解析】由题意知双曲线的渐近线方程为，所以点在渐近线，点在渐近线，
设的倾斜角为，则的倾斜角为，
所以平分，且，解得，
即直线的斜率是，，
因为是底边长为的等腰三角形，所以，，
在中，由正弦定理可得，即，解得，
由解得 ，所以双曲线的标准方程为．
72．若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是__________．
【试题来源】广东省佛山市第四中学2021届高三上学期8月开学考试
【答案】
【解析】．
73．已知是抛物线：上的任意一点，以为圆心的圆与直线相切且经过点，设斜率为1的直线与抛物线交于两点，则线段的中点的纵坐标为__________．
【试题来源】四川省武胜烈面中学校2020-2021学年高三9月月考（文）
【答案】2
【分析】设，可得，再由，求得，得到抛物线的方程，联立方程组，结合根与系数关系，即可求解．
【解析】设，因为以为圆心的圆与直线相切且经过点，
所以，又由，即，解得，
所以抛物线的方程为，由，整理得，可得，
所以线段的中点的纵坐标为．故答案为．
【名师点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中把直线的方程和抛物线的方程联立，结合根与系数关系求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力．
74．已知抛物线C：的焦点为F，直线l：与C交于P、Q(P在x轴上方)两点，若，则实数λ的值为__________．
【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三高中新课标第一次摸底测试（理）
【答案】
【解析】由题意联立方程组，解得或
因为P在x轴上方，所以、，
因为抛物线C的方程为，所以，
所以，
因为，所以，
解得，故答案为.
75．椭圆的右焦点为，以点为焦点的抛物线的标准方程是__________．
【试题来源】江苏省无锡市第一中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】
【解析】由题意，椭圆，可得，则，
所以椭圆的右焦点为，即抛物线的焦点坐标为，
设抛物线的标准方程为，可得，即，
所以抛物线的标准方程为．故答案为．
【名师点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及几何性质的应用，以及抛物线的标准方程的求解，其中解答中熟记椭圆的几何性质，以及抛物线的标准方程的形式是解答的关键，着重考查运算与求解能力．
76．已知点，抛物线的焦点为，准线为l，线段交抛物线于点．过作的垂线，垂足为，若，则三角形的面积__________．
【试题来源】江苏省南京市江宁区东山外国语学校2020-2021学年高二（10月份）月考
【答案】
【解析】如图所示：由抛物线的定义可知，，，
又，由直角三角形的性质可知，点为的中点，，，
把点，代入抛物线方程：得，，解得，
，，，故答案为．
【名师点睛】本题主要考查了抛物线的性质，解题的关键是结合图形由抛物线的定义得，，，再由直角三角形的性质得，点为的中点，利用中点坐标公式表示出点的坐标，考查了直角三角形的性质，是中档题．
77．已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆上，则的最小值是__________．
【试题来源】山西省大同市大同一中2021届高三上学期期中质量检测（文）
【答案】
【解析】是抛物线上一点，抛物线的准线方程为，
过点作垂直于准线于，则，所以，
因为点在圆上，圆的圆心，半径为1，
所以当三点共线时，取得最小值6，故答案为6
78．如图所示，抛物线形拱桥的跨度是米，拱高是米，在建桥时，每隔米需要用一支柱支撑，则其中最长的支柱的长度为__________米．
【试题来源】福建省福州市八县（市）一中2020-2021学年高二上学期期中联考
【答案】（或）
【解析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴所在直线为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，由题意可知点在该抛物线上，
所以，，解得，所以，抛物线的方程为，
当时，，因此，最长的支柱的长度为（米）．
故答案为（或）．
79．已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，过点作的垂线交于点，且，，则抛物线的方程为__________．
【试题来源】云南省德宏州2020届高三上学期期末教学质量检测（理）
【答案】
【解析】抛物线：，焦点，准线
如图，，，，由抛物线定义知，故是等边三角形，过焦点作，交于，则为的中点，所以，即焦点到准线的距离是，故答案为
【名师点睛】本题考查球抛物线的方程，解题的关键是要熟悉抛物线的定义，动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，即可知，再利用知是等边三角形，再利用等边三角形性质求解，考查学生的逻辑推导能力，属于中档题．
80．已知双曲线C：的右焦点为F，左顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，若，则C的离心率为__________．
【试题来源】广西桂林市广西师范大学附属2021届高三年级上学期数学第三次月考试题
【答案】
【解析】如图所示，双曲线可得右焦点，
其中一条渐近线的方程为，
则过点与垂直的直线方程为，
联立方程组，解得，即
在中，因为，可得，整理得，
即，所以，整理得，
即，解得或（舍去），故双曲线的离心率为．
【名师点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．
二、双空题
81．双曲线的渐近线方程为__________，焦距为__________．
【试题来源】北京市北大附中2020届高三6月阶段性检测
【答案】
【解析】令得，即双曲线的渐近线方程为；
焦距为．故答案为；．
82．已知抛物线的焦点为，抛物线的准线与轴的交点为，点，过点的动直线与抛物线交于不同的两点，点在轴上的射影为点，设直线的斜率分别为和．则的最小值为__________，的值为__________．
【试题来源】福建省福州市八县（市）一中2020-2021学年高二上学期期中联考
【答案】 0
【解析】由定义可知，
，则当共线，且在之间时，取的最小值，，
当直线l的斜率不存在时，直线KM与直线KN关于x轴对称，则，
当直线l的斜率存在时，设直线方程为，，设，
联立直线与抛物线方程可得，
则，则，
综上，．故答案为；0．
83．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系xoy，根据图上尺寸， 溢流孔ABC所在抛物线的方程为__________， 溢流孔与桥拱交点A的横坐标为__________．
【试题来源】江苏省南京市2020-2021学年高二上学期期中调研测试
【答案】
【解析】设桥拱所在抛物线方程，由图可知，曲线经过，
代入方程，解得，所以桥拱所在抛物线方程；
四个溢流孔轮廓线相同，所以从右往左看，设第一个抛物线，
由图抛物线经过点，则，解得，
所以，点即桥拱所在抛物线与的交点坐标，设，由，解得，
所以点A的横坐标为．故答案为；
84．（1）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是__________；
（2）设点A，B的坐标为，，点P是曲线C上任意一点，且直线PA与PB的斜率之积为，则曲线C的方程是__________．
【试题来源】宁夏石嘴山市第三中学2020-2021学年高二上学期期中考试
【答案】
【分析】（1）根据椭圆的标准方程可得结果；
（2）利用斜率公式可得结果．
【解析】（1）因为方程即表示焦点在x轴上的椭圆，
所以．
（2）设，则，．
故答案为；
85．双曲线的渐近线方程为__________，设双曲线经过点(4，1)，且与双曲线具有相同渐近线，则双曲线的标准方程为__________．
【试题来源】山东省泰安第二中学2020届高三12月测试
【答案】
【解析】（1）双曲线的焦点在轴上，且，渐近线方程为，
故渐近线方程为 ，故答案为
（2）由双曲线与双曲线具有相同渐近线，可设，代入有，故，化简得
86．已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为__________，渐近线方程为__________．
【试题来源】浙江省金华市曙光学校2020-2021学年高二上学期第一次阶段考试
【答案】
【解析】因为椭圆的焦点坐标为，所以双曲线的焦点坐标为；
因为，所以即，所以渐近线方程为，
故答案为；．
87．抛物线的焦点坐标是__________，准线方程是__________．
【试题来源】浙江省金华市曙光学校2020-2021学年高二上学期第一次阶段考试
【答案】
【解析】抛物线方程为，即，所以焦点在轴上，
对比可知，所以焦点坐标为，准线方程为，
故答案为；．
88．抛物线上一点M到焦点距离是，则点M到准线的距离是__________，点M的横坐标是__________．
【试题来源】浙江省金华市曙光学校2020-2021学年高二上学期第一次阶段考试
【答案】
【解析】因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以到准线的距离为；
因为到准线的距离等于，所以，故答案为；．
89．已知曲线是平面内到定点和定直线的距离之和等于3的动点的轨迹，则曲线的一条对称轴方程是__________，的最小值是__________．
【试题来源】北京市北大附中2020届高三6月阶段性检测
【答案】
【分析】设，由题意可得，分，，三种情况讨论，求出轨迹方程，即可得出对称轴以及的最小值．
【解析】设，由题意可得，即，
当，即或时，无解；
当时，，则，此时曲线的一条对称轴方程是；；即此时的最小值是；
当时，，则，此时曲线的一条对称轴方程是；；即此时的最小值是；
综上，的最小值是．故答案为；．
90．如图所示，已知椭圆的两个焦点分别为，为椭圆上的一点，且，则该椭圆的离心率为__________；若点在第二象限，，则的面积为__________．
【试题来源】福建省罗源第一中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】
【解析】设椭圆方程为，依题意得，，
因为，即，故，，
所以该椭圆的离心率为，所以椭圆的方程为．
设点坐标为，由点在第二象限，则，，
因为，所以所在的直线方程为．
则解方程组，得，解得或（舍）
所以．所以．故答案为；
91．椭圆第一象限上一点与中心、右焦点构成一个正三角形，则此椭圆的离心率__________，当此三角形的面积是 ，则__________．
【试题来源】浙江省温州市龙港市第二高级中学2020-2021学年高三上学期期初测试
【答案】
【解析】如图，由为正三角形，可得，，
代入椭圆方程，可得，又，得，
解得，若，则，
，则．故答案为；．
92．已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，点为双曲线上一点，，则双曲线的渐近线方程为__________；若双曲线的实轴长为4，则的面积为__________．
【试题来源】福建省福清西山学校高中部2020-2021学年高二上学期期中考试
【答案】
【解析】双曲线的离心率为 ，所以，
所以双曲线的渐近线方程为 ，由题意知，所以，，
设点在右支上，，，则，
在中，由余弦定理得 ，
即①，
将两边同时平方得②，
由①②得，所以，
所以的面积为，
故答案为；．
93．设双曲线：的右焦点为，点，已知点在双曲线的左支上，若的周长的最小值是，则双曲线的离心率是__________，此时，点的坐标为__________．
【试题来源】甘肃省白银市靖远县2020届高三高考数学（（文））第四次联考试题
【答案】
【解析】如下图，设为双曲线的左焦点，连接，，则，，故的周长，
因为，所以的周长，
因为的周长的最小值是，
，所以，，
双曲线的离心率，双曲线的方程为，
当的周长取最小值时，点在直线上，
因为，，所以直线的方程为，
联立，解得，或（舍去），故的坐标为．
94．椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的一个短轴端点为，直线与双曲线的一条渐近线平行，若椭圆与双曲线的离心率分别为，则__________；且的最小值为__________．
【试题来源】江苏省南通如皋、盐城射阳2020-2021学年高三上学期期初联考
【答案】1
【解析】由题意可知，双曲线的焦点在轴上，设椭圆的长轴为，短轴为，双曲线的实轴为，虚轴为，因为椭圆的一个短轴端点为，直线与双曲线的一条渐近线平行，所以，即，平方得，
化简得，所以，所以，即，所以
因为均为正数，所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，
故答案为1；
95．已知点，，动点满足：直线与直线的斜率之积为定值．
（1）若点的轨迹是焦点在轴上的椭圆（除去点、），则的取值范围是__________；
（2）若点的轨迹是焦距为4的双曲线（除去点、），则__________．
【试题来源】湖南师大附中2020-2021学年高二上学期10月月考（第二次大练习）
【答案】
【解析】（1）设，根据条件可知的轨迹方程：，
所以，所以，即
因为点的轨迹是焦点在轴上的椭圆（除去点、），
所以，所以，即；
（2）由（1）知点的轨迹方程为，
当点的轨迹是焦距为的双曲线（除去点、）时，可知，所以．
96．直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则__________，__________．
【试题来源】内蒙古赤峰二中2020届普通高等学校招生第三次统一模拟考试（理）
【答案】2 1
【解析】由题意知，从而，所以抛物线方程为．
当直线AB斜率不存在时：代入，解得，从而．
当直线AB斜率存在时：设的方程为，联立，整理，得
，设，，则
从而．
（方法二）利用二级结论：，即可得结果．
97．已知，，直线的斜率与直线的斜率之差是，则点的轨迹的方程是__________；若点的坐标为，是直线上的一点，是直线与轨迹的交点，且，则__________．
【试题来源】河北省“五个一”名校联盟2021届高三上学期第一次联考
【答案】
【解析】设，则，
整理得点的轨迹的方程是，如下图所示：
设点、，，，
，，解得．
由抛物线的定义可得．故答案为；．
98．已知抛物线的焦点为，在抛物线上任取一点，则到直线的最短距离为_________，到轴的距离与到直线的距离之和的最小值为_________．
【试题来源】湖北省新高考协作体2019-2020学年高二下学期期末联考
【答案】
【解析】设点，则满足，
由点到直线的距离公式得到直线的距离为
，
当且仅当，时等号成立；
根据抛物线的定义知，到轴的距离等于，
所以到轴的距离与到直线的距离之和为
过点作直线的垂线，垂足为，则．
如图，根据图象得，
当且仅当三点共线时等号成立；故到轴的距离与到直线的距离之和的最小值为．故答案为；
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