人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用教案

6.4.1平面几何中的向量方法（第一课时）

(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第六章)

一、教学目标

1.能用向量方法解决简单的平面几何问题；

2.体会向量在解决数学问题中的作用；

3.培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养.

二、教学重难点

1.用向量方法解决几何问题的基本方法；

2.将几何问题转化为平面向量问题.

三、教学过程

1.向量方法解决几何问题的思路形成

1.1创设情境，引发思考

【数学情境】由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等 、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.因此，平面几何中的许多问题都可以用向量运算的方法加以解决.

问题1：平面几何问题与平面向量之间的对应关系如何？完成下表. 

【预设的答案】

【设计意图】从向量的线性运算和数量积运算具有的几何背景出发，建立平面几何元素与平面向量之间的对应关系.

【数学情境】如图，是的中位线，用向量方法证明：.

【设计意图】创设数学情境，通过线段（直线）平行与向量共线关系的实例，让学生感受在数学学习中，利用平面向量研究平面几何中平行关系这一类问题.

问题2：如果两个向量共线，那么向量所在直线的位置关系是怎样的？如何利用平面向量证明线段（直线）平行？

【活动预设】启发学生初步感知用平面向量表示几何图形中的元素，并借助向量运算研究图形中的几何元素之间的关系.

1.2探究典例，形成思路

活动：用向量方法证明：.

【活动预设】感受在证明的过程中，如果直接建立两个所求向量之间的关系不好表示，那么需要考虑联系这两个向量的桥梁：基底！因此可以选取一组基底，用分别表示,就建立了二者的关系，从而证明.

【设计意图】让学生感受利用向量解决平面几何问题的思路，用基底法表示所求向量是向量表示的一种方法.

1.3具体感知，理性分析

问题3：如何用向量方法证明三点共线呢？

【活动预设】

    （1）向量共线与线段平行、重合的关系是什么？

（2）类比：向量共线证明线段平行的方法，先证，再说明没有公共点.

【设计意图】从引例中的具体问题入手，进一步让学生体会用向量运算研究图形中的几何元素之间的关系.

问题4：用向量方法解决平面几何问题的基本思路和步骤是什么？

【预设的答案】几何图形到向量恰当的向量运算向量到几何关系

【设计意图】

在数学实践活动中归纳总结用向量方法解决平面几何问题的基本思路.

2.初步应用，理解方法

例1 如图，已知平行四边形，你能发现对角线和的长度与两条邻边和的长度之间的关系吗？

【预设的答案】.

【设计意图】

利用向量方法探究平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系，意图之一仍是体会基底思想，用基底建立的联系，意图之二是体会涉及两个向量的和或差的模的问题时，只需对向量的和或差的模平方.

例2 如图所示，在正方形中，，分别是,的中点，求证：.

【预设的答案】方法一：基底法，.

              方法二：坐标法，.

【设计意图】

体会利用向量的方法解决直线垂直关系的问题.

例3 如图，在中，,,点在线段上，且.求：（1）的长；（2）的大小.

【预设的答案】（1）；（2）.

【设计意图】

体会利用向量的方法解决长度和角度的问题.

3.归纳小结，文化渗透

思考：用向量方法解决几何问题的思路是什么？

【设计意图】

（1）梳理本节课的学习内容：用向量方法解决几何问题的思路；

（2）进行数学文化渗透，鼓励学生积极攀登知识高峰，进一步体会用向量方法解决几何问题的必要性 .

四、课外作业

 1．已知平面内四边形和点，若，，，，且，则四边形为(　　)

A．菱形　    B．梯形     C．矩形 D．平行四边形

2．在中，，边上的中线，，则的长为(　　)

A．1      B．2        C．3 D．4

3．(多选)在中，下列命题正确的是(　　)

A.

B.

C．若, 则为等腰三角形

D．若 ，则为锐角三角形

4．在平行四边形中，,，为的中点，若，则的长为(　　)

5.已知的外接圆半径为1，圆心为，且，则的值为(　　)

A．       B.        C． D.

6．在矩形中，，.边上的动点(包含点，)与延长线上的动点(包含点)满足，则的最小值为________．

7.如图所示，在等腰直角三角形中，，，为的中点，是上的一点，且.求证：.

【预设的答案】

1.D；2.B；3.BC;4.B;5.A;6.