人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示教案设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示教案设计，共14页。教案主要包含了本节内容分析，学情整体分析，教学活动准备，教学活动设计等内容，欢迎下载使用。

《平面向量基本定理及坐标表示》教学设计
课时3 平面向量加、减运算的坐标表示

必备知识
学科能力
学科素养
高考考向
1.平面向量基本定理
学习理解能力
观察记忆
概括理解
说明论证
应用实践能力
分析计算
推测解释
简单问题解决
迁移创新能力
综合问题解决
猜想探究
发现创新
数学抽象直观想象
逻辑推理
【考查内容】
平面向量的基本定理是将未知向量用已知向量表示出来,是解决平面向量问题的理论依据,坐标表示是方便向量计算的一种有效工具,高考命题常通过数形结合将问题化归为用坐标法处理的问题,平面向量与平面几何结合起来考查是高考的常见形式
【考查题型】
选择题、填空题为主,解答题常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等内容相结合
2.平面向量的正交分解及坐标表示
数学抽象直观想象
数学运算逻辑推理
3.平面向量加、减运算的坐标表示
数学抽象直观想象
数学运算逻辑推理
4.平面向量数乘运算的坐标表示
数学抽象直观想象
数学运算逻辑推理
5.平面向量数量积的坐标表示
数学抽象直观想象
数学运算逻辑推理
一、本节内容分析
平面向量基本定理是衔接本章向量几何运算与代数运算内容之间的桥梁,它揭示了平面向量的基本关系和基本结构,是学习向量坐标表示及空间向量基本定理的基础.因此,本节内容在向量知识体系中具有核心地位和承上启下的作用.
本节内容首先通过力的分解引出平面向量基本定理,给出平面向量基本定理的证明,运用平面向量基本定理解决简单问题;然后通过平面向量的正交分解,借助平面直角坐标系,给出向量的坐标表示;最后,介绍向量的加减运算、数乘运算、数量积的坐标表示,并用坐标表示两个向量共线、向量垂直的条件及两个向量的夹角.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:

核心知识
1.平面向量基本定理
2.平面向量的正交分解及坐标表示
3.平面向量加、减运算的坐标表示
4.平面向量数乘运算的坐标表示
5.平面向量数量积的坐标表示
直观想象
数学抽象
逻辑推理
数学运算
核心素养









二、学情整体分析
虽然已经学习了平面向量的实际背景及基本概念、平面向量的线性运算,但学生对向量之间关系的认识还只是停留在“一维”层面,而平面向量基本定理揭示的是“二维”层面的平面向量之间的关系,这对学生有一定难度,所以要实现这种认识层级的跃迁,教学中应多举实例,带领学生去“发现”定理,并学会向量的坐标表示,而且平面向量基本定理中的“不共线”“任意”“有且只有”等数学专用语对学生会构成理解障碍,在教学中应通过具体形象的教学手段进行直观阐释、辨析,帮助学生理解定理.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.平面向量基本定理
2.平面向量的正交分解及坐标表示
3.平面向量加、减运算的坐标表示
4.平面向量数乘运算的坐标表示
5.平面向量数量积的坐标表示
【教学目标设计】
1.理解平面向量基本定理及其意义.
2.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.
4.能用坐标表示向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.
5.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件.
【教学策略设计】
首先,通过教师提出问题,多让学生自己动手作图来发现规律,通过解题来总结方法,引导学生理解“化归”思想对解题的帮助,也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题.
其次,借助多媒体进行教学.整节课的教学主线以学生练习为主,教师给予引导和提示.充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程,这也是学习数学、领悟思想方法的最好载体.学生经历的这种实践活动越多,解决实际问题的方法就越恰当而简捷.
【教学方法建议】
情境教学法、直观教学法,还有__________________________________________
【教学重点难点】
重点 1.平面向量基本定理及其意义.
2.平面向量的坐标表示.
3.平面向量运算的坐标表示.
难点 平面向量基本定理唯一性的证明.
【教学材料准备】
1.常规材料:直尺、多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:同学们先来回忆前面学习的内容:平面向量基本定理,这个定理中应该注意哪些方面?
生:(1)基底不唯一,关键是不共线;
(2)由定理可将任一向量在给出基底的条件下进行分解;
(3)基底给定时,分解形式唯一
师:向量用坐标表示的基本原理是什么?
生:设是与轴、轴同向的两个单位向量,若,则.
师:我们这节课继续学习平面向量如何进行加、减运算的坐标运算.
【以学论教】
复习旧知,引出新知,承上启下,通过利用平面向量的坐标表示进行平面向量的加减运算的坐标表示过程
教学精讲
探究1 向量加、减运算的坐标表示
【情景设置】
探究向量加、减运算的坐标表示
已知,你能得到的坐标吗?
师:前面我们通过向量的正交分解,即一组相互垂直的单位向量为基底的方式,得出向量的坐标表示,那么探究加、减运算是不是也可以利用这样一组基底?
【学生独立思考,回答问题】
生:是的,因为
即.
同理可得.
师:回答正确！请看具体的向量加法、减法的坐标表示.
【活动学习】
有了向量的坐标表示作为基础,通过向量的坐标探究向量加、减法的坐标活动,培养学生独立思考与探究合作能力,提升数学运算的核心素养
【要点知识】
向量加、减运算的坐标表示
若,则,.
这就是说,两个向量的和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).
师:下面对平面向量加减运算进行练习.
【典型例题】
向量加、减运算的坐标表示
例1 已知,求的坐标.
生解:,
.
【分析计算能力】
以问题探究为开始,激发学生求知欲望,利用探究过程提升学生的数学运算、逻辑推理的能力,再通过例1巩固学生对向量加减运算的坐标表示的掌握,提升分析计算能力
探究2 向量的坐标与点的坐标的关系
师:如何用坐标表示平面中的任一向量呢?
【情景设置】
探究向量的坐标与点的坐标的关系
如图,已知,你能得出的坐标吗?

师:的坐标就是向量的坐标,的坐标就是向量的坐标,根据向量的运算法则,如何表示向量?
生:可以利用向量的减法表示出向量,作向量,
又因为
所以,
【意义学习】
学生在利用向量加法与减法坐标表示推导向量的坐标与起点和终点坐标的关系中,体会利用坐标表示向量的意义
则.

师:如何用文字语言描述向量的坐标与起点和终点坐标的关系?
【少教精教】
通过教师引导思路,学生思考、推理向量的坐标与起点和终点坐标的关系,教师通过少教精教达到学生掌握知识的目的
【要点知识】
向量的坐标与起点和终点坐标的关系
向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
师:若,则的条件是什么?
生:由向量的坐标定义知,两向量相等等价于它们的坐标相等,即且.
师:两向量相等的条件与这两个向量的起点、终点坐标有关吗?
生:无关,因为两个向量相等的条件是它们对应的横、纵坐标分别相等,但起点、终点的坐标却可以不同,例如,,则然四点坐标各不相同.
师:回答正确！下面归纳一下两个向量相等的条件.
【深度学习】
在学习了向量坐标表示与向量加减法坐标表示的基础上,研究向量相等的条件,深化对向量概念的理解,巩固向量坐标表示,提升学生逻辑推理的核心素养
【归纳总结】
两个向量相等的条件
且,其中.
师:下面我们巩固本节课所.
【典型例题】
向量加、减运算的坐标表示
例2 如图,已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是,,求顶点的坐标.

【学生分组讨论,鼓励学生采用不同解法进行求解,教师板书】
【简单问题解决能力】
对于向量的坐标的表示进行深入探究,得出两个向量相等的条件,培养学生独立探究问题的能力和解决问题的能力
师:回答正确！下面归纳一下两个向量相等的条件.
师:解法1:如图,设顶点的坐标为.
因为,
,又,
所以.
即解得所以顶点的坐标为.
解法2:如图,由向量加法的平行四边形法则可知,

而所以顶点的坐标为.


师:下面我们进行课堂巩固练习.
【分析计算能力】
例2为已知平行四边形三点坐标,求另一点坐标,在解决问题的过程中,采用不同的方法求解,增强了学生分析计算的能力,提升了数学运算的核心素养
【整体学习】
通过学习本节课的知识——平面向量加、减运算的坐标表示,并进行相应的巩固练习,提高学生整体学习的意识和能力
【巩固练习】
师:下面我们进行课堂巩固练习.
向量加、减运算的坐标表示
已知,设,求
【教师引导学生思考,学生独立做题,教师巡视并总结】
师:先分别求出向量的坐标表示,再用向量的坐标运算法则计算即可.
生解:

师:向量的坐标运算主要是利用加、减法则进行.若已知有向线段两个端点的坐标,则可先求出此有向线段所对应向量的坐标,再进行坐标运算,解题过程中注意方程思想的运用及运算法则的正确使用.
师:本节课同学们有哪些收获呢?
【课堂小结】
平面向量加、减运算的坐标表示
1.掌握平面向量加、减运算的坐标表示.
2.能用平面向量的坐标及其加、减运算解决一些实际问题.
【设计意图】
本节课主要学习了向量的加减运算的坐标表示方法,经历向量的几何表示—线性表示—坐标表示的实现过程,从中体会由特殊到一般的研究问题的方法.通过总结,让学生进一步巩固本节所学内容,提高概括能力,提高学生的数学抽象和直观想象的核心素养
【课后作业】教材P30练习1~3题
教学评价
学完本节课,我们应该理解平面向量基本定理,掌握平面向量的正交分解及坐标表示,会用向量坐标表示平面向量的线性运算、数量积与向量的夹角,并会用坐标表示向量共线、垂直的充要条件.平面向量基本定理是向量进行坐标表示,进而将向量的运算（向量的加减法、向量的数乘、向量的数量积）转化为坐标的数量运算的重要基础.
【设计意图】
引导学生整理知识,使其体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,让学生在运用课程教学过程中所学到的学科能力（概括理解、推测解释、简单问题解决、分析计算、猜想探究）解决问题,从而达到数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理、教学建模的素养目标要求
应用所学知识,完成下面各题:
1.已知向量,若,则( )
A. B.0 C.1 D.2
解析:因为,且
,所以,解得.
答案:
2.设,且三点共线,则__________.
解析:根据三点共线,所以,而,
即有,解得.
答案:6
【概括理解能力】
通过练习巩固本节所学知识,提高向量运算的应用能力,感悟其中蕴含的数学思想,增强学生的应用意识
3.已知正方形的边长为1,点是边上的动点,则的值为______.的最大值为________.
解析: (1)以点为原点,所在直线分别为轴、轴建立如图所示的直角坐标系,则.设,那么,∴
(2)∵正方形的边长为1,∴的最大值为1,故的最大值为.
答案:1 1

【分析计算能力】
【设计意图】
运算的几何问题通过建立坐标系转化为代数方法解题,体现数形结合的思想方法,巩固学习效果,同时回顾了学生已有的相关知识和方法提升分析计算能力,链接了本章的重点和难点,符合学生学习上的认知规律
4.已知向量,且与的夹角为.
(1)求;
(2)若与垂直,求实数的值.
思路:数量积的坐标运算、向量垂直的坐标表示.
解析:解:(1)因为,且与的夹角为,
所以.
因为,所以,
解得或(舍).
所以,所以.
(2)因为与垂直,所以,即,
解得.
【简单问题解决能力】
利用向量数量积运算的坐标表示解决向量夹角、向量的模及向量垂直问题,提升了学生简单问题解决能力和分析计算能力
【以学定教】
向量的运算由图形过渡到坐标运算,将代数与几何联系起来,向量的威力得到更大的发挥,本节内容要注重数形结合思想,提升学生直观想象的核心素养
教学反思
中学生对于向量的加法、数乘等运算停留在几何直观的理解上,缺乏从代数运算的角度理解向量运算特征的感受,容易将平面向量基本定理的作用仅仅理解为形式上的变换.本节的教学主要采用“诱思探究教学法”,激发学生的求知欲,积极鼓励学生的参与,给学生独立思考的空间,最终在教师的指导下去探索发现问题,解决问题.在教学中,适时地对学生学习过程给予评价,适当的评价可以培养学生的自信心、合作交流的意识,更进一步地激发学生的学习兴趣,让他们体验成功的喜悦.
【以学论教】
引导学生对向量的加减法、数乘等运算的应用能力,并从“基底”角度去理解平面向量基本定理的深刻内涵,认识这个定理在今后用向量方法解决问题中的重要作用.教学时要按学生的认知基础设计习题,选择合适的教学设备进行演示,提高平面向量运算的应用意识