高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示教案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示教案设计，共12页。教案主要包含了本节内容分析，学情整体分析，教学活动准备，教学活动设计等内容，欢迎下载使用。

《平面向量基本定理及坐标表示》教学设计
课时2 平面向量的正交分解及坐标表示

必备知识
学科能力
学科素养
高考考向
1.平面向量基本定理
学习理解能力
观察记忆
概括理解
说明论证
应用实践能力
分析计算
推测解释
简单问题解决
迁移创新能力
综合问题解决
猜想探究
发现创新
数学抽象直观想象
逻辑推理
【考查内容】
平面向量的基本定理是将未知向量用已知向量表示出来,是解决平面向量问题的理论依据,坐标表示是方便向量计算的一种有效工具,高考命题常通过数形结合将问题化归为用坐标法处理的问题,平面向量与平面几何结合起来考查是高考的常见形式
【考查题型】
选择题、填空题为主,解答题常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等内容相结合
2.平面向量的正交分解及坐标表示
数学抽象直观想象
数学运算逻辑推理
3.平面向量加、减运算的坐标表示
数学抽象直观想象
数学运算逻辑推理
4.平面向量数乘运算的坐标表示
数学抽象直观想象
数学运算逻辑推理
5.平面向量数量积的坐标表示
数学抽象直观想象
数学运算逻辑推理
一、本节内容分析
平面向量基本定理是衔接本章向量几何运算与代数运算内容之间的桥梁,它揭示了平面向量的基本关系和基本结构,是学习向量坐标表示及空间向量基本定理的基础.因此,本节内容在向量知识体系中具有核心地位和承上启下的作用.
本节内容首先通过力的分解引出平面向量基本定理,给出平面向量基本定理的证明,运用平面向量基本定理解决简单问题;然后通过平面向量的正交分解,借助平面直角坐标系,给出向量的坐标表示;最后,介绍向量的加减运算、数乘运算、数量积的坐标表示,并用坐标表示两个向量共线、向量垂直的条件及两个向量的夹角.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:

核心知识
1.平面向量基本定理
2.平面向量的正交分解及坐标表示
3.平面向量加、减运算的坐标表示
4.平面向量数乘运算的坐标表示
5.平面向量数量积的坐标表示
直观想象
数学抽象
逻辑推理
数学运算
核心素养









二、学情整体分析
虽然已经学习了平面向量的实际背景及基本概念、平面向量的线性运算,但学生对向量之间关系的认识还只是停留在“一维”层面,而平面向量基本定理揭示的是“二维”层面的平面向量之间的关系,这对学生有一定难度,所以要实现这种认识层级的跃迁,教学中应多举实例,带领学生去“发现”定理,并学会向量的坐标表示,而且平面向量基本定理中的“不共线”“任意”“有且只有”等数学专用语对学生会构成理解障碍,在教学中应通过具体形象的教学手段进行直观阐释、辨析,帮助学生理解定理.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.平面向量基本定理
2.平面向量的正交分解及坐标表示
3.平面向量加、减运算的坐标表示
4.平面向量数乘运算的坐标表示
5.平面向量数量积的坐标表示
【教学目标设计】
1.理解平面向量基本定理及其意义.
2.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.
4.能用坐标表示向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.
5.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件.
【教学策略设计】
首先,通过教师提出问题,多让学生自己动手作图来发现规律,通过解题来总结方法,引导学生理解“化归”思想对解题的帮助,也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题.
其次,借助多媒体进行教学.整节课的教学主线以学生练习为主,教师给予引导和提示.充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程,这也是学习数学、领悟思想方法的最好载体.学生经历的这种实践活动越多,解决实际问题的方法就越恰当而简捷.
【教学方法建议】
情境教学法、直观教学法,还有__________________________________________
【教学重点难点】
重点 1.平面向量基本定理及其意义.
2.平面向量的坐标表示.
3.平面向量运算的坐标表示.
难点 平面向量基本定理唯一性的证明.
【教学材料准备】
1.常规材料:直尺、多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:回顾上节课的内容,平面向量基本定理的内容是什么?
生:如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,使.
师:在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即坐标)表示.那么,用坐标如何表示直角坐标平面内的一个向量呢?这就是本节我们要来研究的问题.
教学精讲
探究1 平面向量的正交分解的概念
【情景设置】
探究平面向量的正交分解的概念
如图,在光滑斜面上的木块受到了哪些力的作用?它们有什么关系?

生:木块受到重力的作用,产生两个效果,一是木块受平行于斜面的力的作沿斜面下滑;二是木块产生垂直于斜面的压力,也就是说重力可以分解为与,即.
师:这样的分解我们称为正交分解.
【设情景 巧激趣】
以物理中力的分解为情境,让学生独立思考,讨论、总结概念,提升学生的直观想象和数学抽象的核心素养,激发学生的学习兴趣
【要点知识】
正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.
探究2 平面向量的坐标表示
师:下面我们思考这样的问题.
【情景设置】
探究平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.那么,如何表示直角坐标平面内的一个向量呢?
【自主学习】
通过提出如何利用相互垂直的单位向量为基底来表示其他向量的问题,引发学生独立思考与讨论,最后总结结论,教师再展示平面向量的坐标表示方法,培养了学生独立自主学习的精神,激发学生的求知欲
师:如图,在平面直角坐标系中,设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为,取作为基底,对于平面内的一个向量,用如何表示?
生:由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数,使得.
师:把有序数对叫做向量的坐标.记作,此式叫做向量的坐标表示.

【要点知识】
平面向量的坐标表示
由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数,使得.这样,平面内的任何一个向量都可以由唯一确定,我们把有序数对叫做向量的坐标,记作.①
其中叫做在轴上的坐标,叫做在轴上的坐标,①叫做向量的坐标表示.
【概括理解能力】
通过平面向量坐标表示的探究过程,将向量由“几何化”转向“代数化”,同时将点的坐标与向量的坐标联系了起来,体现了向量是沟通代数与几何的桥梁,同时也达成了概括理解能力的培养,体现了数学抽象的核心素养
师:知道了平面向量的坐标表示的意义,那么,两个单位向量零向量如何用坐标表示?
生:,.
师:如果我们把向量的起点平移到坐标原点(如图),设,那么点的位置与向量有什么关系?

师:设,则向量的坐标就是终点的坐标;反过来终点的坐标也就是向量的坐标.因为,所以终点A的坐标就是向量的坐标这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系.
【猜想探究能力】
通过探究,巩固学生对向量的坐标表示的理解,提升学生猜想探究能力,进而提升学生数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养
【归纳总结】
平面向量的坐标表示的重要结论
1.特殊向量的坐标表示
2.平面内所有相等向量的坐标就是平移到坐标原点处向量的坐标.
师:我们看这样一道例题.
【典型例题】
平面向量的坐标表示
例 如图,用基底分别表示向量并求出它们的坐标.

生解:由图可知,,
所以.
同理,.
师:下面我们根据所学进行巩固练习.
【教师展示课堂巩固练习,学生独立做题,教师巡视课堂,进行个别指导,并展示正确解答,学生订正答案】
【观察记忆能力】
通过例题,观察图形,联系平面向量的坐标的实质,巩固平面向量的坐标表示,提升直观想象的核心素养
【巩固练习】
平面向量的坐标表示
已知是坐标原点,点在第一象限,,求向量的坐标.
解:设点,则,
,
即,所以.
师:这节课就上到这里,本节课同学们有哪些收获呢?
【课堂小结】
平面向量的正交分解及坐标表示
1.平面向量的正交分解
2.正确理解平面向量的坐标意义
【设计意图】
通过学习本节内容,帮助学生形成向量的坐标表示知识体系.培养学生对知识整体的认识和把握.通过巩固练习,帮助学生巩固知识,增强概括理解能力、推测解释能力,达成逻辑推理、数学抽象的核心素养
教学评价
学完本节课,我们应该理解平面向量基本定理,掌握平面向量的正交分解及坐标表示,会用向量坐标表示平面向量的线性运算、数量积与向量的夹角,并会用坐标表示向量共线、垂直的充要条件.平面向量基本定理是向量进行坐标表示,进而将向量的运算（向量的加减法、向量的数乘、向量的数量积）转化为坐标的数量运算的重要基础.
【设计意图】
引导学生整理知识,使其体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,让学生在运用课程教学过程中所学到的学科能力（概括理解、推测解释、简单问题解决、分析计算、猜想探究）解决问题,从而达到数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理、教学建模的素养目标要求
应用所学知识,完成下面各题:
1.已知向量,若,则( )
A. B.0 C.1 D.2
解析:因为,
且,所以,解得.
答案:
2.设,且三点共线,则__________.
解析:根据三点共线,所以,而,
即有,解得.
答案:6
【概括理解能力】
通过练习巩固本节所学知识,提高向量运算的应用能力,感悟其中蕴含的数学思想,增强学生的应用意识
3.已知正方形的边长为1,点是边上的动点,则的值为______.的最大值为________.
解析:(1)以点为原点,所在直线分别为轴、轴建立如图所示的直角坐标系,则.设,那么,∴
(2)∵正方形的边长为1,∴的最大值为1,故的最大值为.
答案:1 1

【分析计算能力】
【设计意图】
运算的几何问题通过建立坐标系转化为代数方法解题,体现数形结合的思想方法,巩固学习效果,同时回顾了学生已有的相关知识和方法提升分析计算能力,链接了本章的重点和难点,符合学生学习上的认知规律
4.已知向量,且与的夹角为.
(1)求;
(2)若与垂直,求实数的值.
思路:数量积的坐标运算、向量垂直的坐标表示.
解析:解:(1)因为,且与的夹角为,
所以.
因为,所以,
解得或(舍).
所以,所以.
(2)因为与垂直,所以,即,
解得.
【简单问题解决能力】
利用向量数量积运算的坐标表示解决向量夹角、向量的模及向量垂直问题,提升了学生简单问题解决能力和分析计算能力
【以学定教】
向量的运算由图形过渡到坐标运算,将代数与几何联系起来,向量的威力得到更大的发挥,本节内容要注重数形结合思想,提升学生直观想象的核心素养
教学反思
中学生对于向量的加法、数乘等运算停留在几何直观的理解上,缺乏从代数运算的角度理解向量运算特征的感受,容易将平面向量基本定理的作用仅仅理解为形式上的变换.本节的教学主要采用“诱思探究教学法”,激发学生的求知欲,积极鼓励学生的参与,给学生独立思考的空间,最终在教师的指导下去探索发现问题,解决问题.在教学中,适时地对学生学习过程给予评价,适当的评价可以培养学生的自信心、合作交流的意识,更进一步地激发学生的学习兴趣,让他们体验成功的喜悦.
【以学论教】
引导学生对向量的加减法、数乘等运算的应用能力,并从“基底”角度去理解平面向量基本定理的深刻内涵,认识这个定理在今后用向量方法解决问题中的重要作用.教学时要按学生的认知基础设计习题,选择合适的教学设备进行演示,提高平面向量运算的应用意识.