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2022-2023学年天津第二南开中学八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年天津第二南开中学八年级（下）期末数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年天津第二南开中学八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若 x+2023有意义，则x的取值范围是( )
A. x≥2023 B. x≥−2023 C. x>2023 D. x>−2023
2. 下列计算正确的是( )
A. (−2)×(−3)= −2× −3 B. 3− 2=1
C. (−2)2=2 D. (3 2)2=6
3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(−2,0)，(3,0)，(0,6)则顶点D的坐标是( )
A. (4,5)
B. (−4,5)
C. (5,6)
D. (−5,6)
4. 已知点A(−2,m)，B(3,n)在一次函数y=2x+1的图象上，则m与n的大小关系是( )
A. m>n B. m=n C. m
A. 10 B. 5−1 C. 5 D. 10−1
6. 某家电销售商店周销售甲、乙两种品牌冰箱的数量如图所示(单位：台)，如果两种品牌冰箱周销售量的方差为S12，S22，则S12与S22的大小关系是( )
A. S12>S22 B. S12
A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
8. 已知在四边形ABCD中，对角线AC与BD相等，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH是( )
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
9. 已知正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y=kx−k的图象大致是( )
A. B. C. D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=ax+b与两坐标轴的交点分别为(2,0)，(0,3)，则不等式ax+b>0的解为( )
A. x>2
B. x<2
C. x>3
D. x<3
11. 一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图所示，下列说法：
①ak<0；②函数y=ax+k不经过第一象限；③函数y=ax+b中，y随x的增大而增大；④3k+b=3+a；
其中说法正确的个数有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
12. 甲、乙两人沿同一条笔直的公路相向而行，甲从A地前往B地，乙从B地前往A地．甲先出发3分钟后乙才出发，当甲行驶到6分钟时发现重要物品忘带，立刻以原速的32掉头返回A地．拿到物品后以提速后的速度继续前往B地，二人相距的路程y(米)与甲出发的时间x(分钟)之间的关系如图所示，下列说法不正确的是( )
A. 乙的速度为240m/min B. 两人第一次相遇的时间是896分钟
C. B点的坐标为(3,3520) D. 甲最终达到B地的时间是853分钟
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 计算( 21+ 2)( 21− 2)的结果等于______ ．
14. 如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达A、B的点O，找到AO、BO的中点M、N，并且测出MN的长为13m，则A、B间的距离为______．
15. 小明参加“喜迎二十大，逐梦正青春”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项的得分分别是9分、8分，8分，若将三项得分依次按30%、40%、30%的权重确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为______ 分.
16. 若一次函数y=−2x+b的图象经过第二、三、四象限，则b的值可以是______ (写出一个即可)．
17. 如图，正方形ABCD的边长是6，对角线的交点为O，点E在边CD上且CE=2，CF⊥BE，连接OF，则：
(1)∠OFB ______；
(2)OF=______．
18. 在边长为1的网格图形中，以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向外作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，在图1所示的格点图形中，正方形ABCD的边长为 26，此时正方形EFGH的面积为52.写出正方形EFGH的面积的所有可能值是______ (不包括52)．
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
计算
(1) 24− 6；
(2) 12× 32+ 48÷ 6− 12．
20. (本小题8.0分)
某药店有3000枚口罩准备出售，从中随机抽取了一部分口罩，根据它们的价格(单位：元)，绘制出如图的统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
(Ⅰ)图①中的m值为______ ：此次抽样随机抽取了口罩______ 枚；
(Ⅱ)求统计的这些数据的平均数、众数和中位数；
(Ⅲ)根据样本数据，估计这3000枚口罩中，价格为1.8元的口罩约有多少枚？
21. (本小题10.0分)
如图，在四边形ABCD中，已知∠B=90°，∠ACB=30°，AB=3，AD=10，CD=8.求四边形ABCD的面积．
22. (本小题10.0分)
如图，同一平面内三条不同的直线AB，CD，MN，AB//CD，直线AN与另外两条直线分别交于点M，N，点E，F分别为AB，CD上两点，且满足MF平分∠BMN，NE平分∠CNM．
(1)求证：四边形ENFM为平行四边形；
(2)若四边形ENFM为菱形，求出∠MNF的大小．
23. (本小题10.0分)
周末，小红从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后继续骑车去别舅家，下面给出的图象反映了这个过程中小红离家的距离y(m)与地离家的时间x(mn)之间的对应关系.请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填表：
离开家的时间/min
2
4
9
12
13
离开家的距离/m
600
______
______
600
______
(2)①小红家到舅月家的距离为______ m，小红在商店停留了______ min；
②小红买好礼物，从商店验车去舅舅家的速度为______ m/min；
③当小红离家的距离为1200m时，她离开家的时间为______ min；
(3)当0≤x≤12时，请直接写出y关于x的函数解析式．
24. (本小题10.0分)
如图，正方形ABCD中，AB=4，点E是对角线AC上的一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
(1)求证：矩形DEFG是正方形；
(2)求AG+AE的值；
(3)若F恰为AB的中点，连接DF，求点E到DF的距离．
25. (本小题10.0分)
如图1，一次函数y=34x−6的图象与坐标轴交于点A、B，BC平分∠OBA交x轴与点C，CD⊥AB，垂足为D．
(1)求点A、B的坐标；
(2)求CD所在直线的解析式；
(3)如图2，点E是线段OB上的一点，点F是线段BC上的一点，求EF+OF的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵ x+2023有意义，
∴x+2023≥0，
∴x≥−2023，
故选：B．
由二次根式的被开方数为非负数可得x+2023≥0，从而可得答案．
本题考查二次根式有意义的条件，掌握“二次根式的被开方数为非负数”是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A． (−2)×(−3)= 2× 3， −2与 −3均无意义，故本选项不符合题意；
B. 3与− 2不是同类二次根式，所以不能合并，故本选项不符合题意；
C. (−2)2=|−2|=2，故本选项符合题意；
D.(3 2)2=32×( 2)2=9×2=18，故本选项不符合题意．
故选：C．
选项A根据二次根式有意义的条件判断即可；选项B根据二次根式的加减法法则判断即可；选项C根据二次根式的性质判断即可；选项D根据积的乘方的定义以及二次根式的乘法法则判断即可．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关定义与运算法则是解答本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD//AB，
∵平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是(−2,0)，(3,0)，(0,6)，
∴CD=AB=5，顶点D的坐标为(−5,6)．
故选：D．
由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可求得顶点D的坐标．
此题考查了坐标与图形及平行四边形的性质．注意数形结合思想的应用是解此题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵y=2x+1，
∴k=2>0，
∴y随着x的增大而增大，
∵点A(−2,m)和点B(3,n)在一次函数的图象上，−2<3，
∴m
欲求m与n的大小关系，通过题中k=2即可判断y随着x的增大而增大，就可判断出m与n的大小．
本题考查了一次函数的性质，能否掌握k>0，y随着x的增大而增大是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：由勾股定理知：AC= AB2+BC2= 32+12= 10，
所以AD=AC= 10．
所以点D表示的数为 10−1．
故选：D．
利用勾股定理求得AC的长度，即AD的长度即可得出结果．
本题考查实数与数轴，勾股定理，关键是求出AD的长度．
6.【答案】A
【解析】解：甲种品牌冰箱的平均数为：16×(7+10+8+10+12+13)=10(台)，
甲的方差为：
S12=16×[(7−10)2+(10−10)2+(8−10)2+(10−10)2+(12−10)2+(13−10)2]=133
乙种品牌冰箱的平均数为：16×(9+10+11+9+12+9)=10(台)，
乙的方差为：
S12=16×[(9−10)2+(10−10)2+(11−10)2+(9−10)2+(12−10)2+(9−10)2]=43，
∵133>43，
∴S12>S22，
故选：A．
利用平均数以及方差的计算公式，进行运算，即可求解．
本题考查了折线统计图，折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了平均数以及方差，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵O是AC、BD的中点，
∴OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)；
故选：A．
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定定理；熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，AC=BD，
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=12AC，
同理：FG=12BD，GH=12AC，EH=12BD，
∵AC=BD，
∴EF=HG=EH=FG，
∴四边形EFGH是菱形．
故选：C．
由三角形中位线定理推出EF=HG=EH=FG，得到四边形EFGH是菱形．
本题考查中点四边形，三角形中位线定理，菱形的判定，关键是掌握三角形中位线定理，菱形的判定方法．
9.【答案】C
【解析】解：正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，
∴k<0，
∴−k>0，
∴一次函数y=kx−k的图象经过第一、二、四象限，
故选：C．
根据正比例函数的增减性可知k<0，进一步可知一次函数y=kx−k的图象经过的象限，即可确定．
本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵直线y=ax+b与两坐标轴交点分别为(2,0)，(0,3)，且y随x的增大而减小，
∴不等式ax+b>0的解集是x<2．
故选：B．
根据直线y=ax+b与y轴交于点A(2,0)，以及函数的增减性，即可求出不等式ax+b>0的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：∵一次函数y1=kx+b的图象经过一、二、四象限，
∴k<0，b>0，
∵一次函数y2=x+a的图象经过一、三、四象限，
∴a<0，
∴ak>0，
故①错误；
∵a<0，k<0，
∴函数y=ax+k的图象经过二、三、四象限，即不经过第一象限，
故②正确，
∵a<0，
∴函数y=ax+b中，y随x的增大而减小，
故③错误；
∵一次函数y1=kx+b与y2=x+a的交点的横坐标为3，
∴关于x的方程kx+b=x+a的解为x=3，
∴3k+b=3+a．
故④正确；
故选：C．
根据y1=kx+b和y2=x+a的图象可知：k<0，a<0，可判断①②，由一次函数的性质可判断③，由一次函数与一次方程的关系可判断④，则可得出答案．
本题考查一次函数的图象，考查学生的分析能力和读图能力，一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k>0，b>0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k>0，b<0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k<0，b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k<0，b<0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．
12.【答案】D
【解析】解：由CD//x轴知，乙的速度与甲提速后的速度相等，即乙速度是甲提速前速度的32，
设甲提速前速度是x米/分，则乙速度为32x米/分，
根据C点坐标可得：6x+(6−3)×32x=4000−2320，
解得x=160，
∴甲提速前速度是160米/分，乙速度为32x=32×160=240米/分，故A正确，不符合题意；
∴甲提速后速度为240米/分，
∴甲返回所用时间是6×160240=4分，
∴甲拿到物品后再次从A地出发的时间是第10分钟，
设两人第一次相遇的时间是y分钟，则240(y−10)+240(y−3)=4000，
解得y=896，
∴两人第一次相遇的时间是896分钟，故B正确，不符合题意；
由题意，甲以160米/分的速度，3分钟所走路程是480米，
∴3分钟时两人相距4000−480=3520米，
∴B点的坐标为(3,3520)，故C正确，不符合题意；
∵甲拿到物品后再次从A地出发的时间是第10分钟，
∴甲最终达到B地的时间是4000240+10=803分，故D不正确，符合题意，
故选：D．
由CD//x轴知，乙速度是甲提速前速度的32，设甲提速前速度是x米/分，则乙速度为32x米/分，根据C点坐标得6x+(6−3)×32x=4000−2320，即可解得甲提速前速度是160米/分，乙速度为32x=32×160=240米/分，可判断A正确，且甲提速后速度为240米/分，故甲返回所用时间是4分，甲拿到物品后再次从A地出发的时间是第10分钟，设两人第一次相遇的时间是y分钟，可得240(y−10)+240(y−3)=4000，即可解得两人第一次相遇的时间是896分钟，可判断B正确，由甲以160米/分的速度，3分钟所走路程是480米，可得B点的坐标为(3,3520)，可判断C正确，甲拿到物品后再次从A地出发的时间是第10分钟，即得甲最终达到B地的时间是4000240+10=803分，可判断D不正确．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用方程思想和数形结合的思想解答．
13.【答案】19
【解析】解：( 21+ 2)( 21− 2)
=( 21)2−( 2)2
=21−2
=19，
故答案为：19．
利用平方差公式进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
14.【答案】26m
【解析】解：∵M、N是AO和BO的中点，
∴AB=2MN=2×13=26(m)．
故答案是：26m．
M、N是AO和BO的中点，则MN是△ABC的中位线，则依据三角形的中位线定理即可求解．
本题考查了三角形的中位线定理，正确理解定理是关键．
15.【答案】8.3
【解析】解：根据题意得：
9×30%+8×40%+8×30%=8.3(分)，
即明的最终比赛成绩为8.3分．
故答案为：8.3．
利用加权平均数的计算方法可求出结果．
本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式和“权重”的理解是解题的关键．
16.【答案】−1(答案不唯一)
【解析】解：∵一次函数y=−2x+b(b为常数)的图象经过第二、三、四象限，
∴k<0，b<0．
∴b的值可以是−1．
故答案为：−1(答案不唯一)．
根据一次函数的图象经过第二、三、四象限，可以得出k<0，b<0，随便写出一个小于0的b值即可．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据函数图象所过的象限找出它的系数的正负．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，能够熟练的运用一次函数图象与系数的关系是关键．
17.【答案】45° 6 55
【解析】解：(1)在BE上截取BG=CF，
∵在正方形ABCD，AC⊥BD，∠ABC=∠BCD=90°，AC=BD，BO=12BD，CO=12AC，AC、BD分别平分∠ABC、∠BCD，
∴BO=CO，∠BOC=90°，∠OBC=∠OCD=45°，
∵CF⊥BE，
∴∠CFE=90°，
∴∠FEC+∠ECF=90°，
∵∠EBC+∠FEC=90°，
∴∠EBC=∠ECF，
∴∠OBC−∠EBC=∠OCD−∠ECF，
∴∠OBG=∠FCO，
∴△OBG≌△OCF(SAS)，
∴∠BOG=∠FOC，OG=OF，
∴∠GOC+∠COF=90°，
∴∠OFG=∠OGF=45°，
故答案为：45°；
(2)在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BE=2 10，
∴CF=BG=BC×CEBE=3 105，
在Rt△FCE中，根据勾股定理，得EF= 105，
∴GF=BE−BG−EF=6 105，
在Rt△FCE中，根据勾股定理，得OF=6 55，
故答案为：6 55．
(1)在BE上截取BG=CF，根据正方形性质，得BO=CO，∠BOC=90°，∠OBC=∠OCD=45°，再根据同角的余角相等，得∠OBG=∠FCO，从而证明△OBG≌△OCF(SAS)，进而得到∠OFG=∠OGF=45°；
(2)在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BE=2 10，再根据等面积法求出CF=BG=3 105，再通过两次勾股定理的应用得出OF=6 55．
本题主要考查了正方形性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，掌握这三个性质定理的综合应用，其中勾股定理的应用是解题关键．
18.【答案】36或50
【解析】解：设图中四个全等的直角三角形的直角边的长分别为a，b，
则在Rt△AED中，不妨使ED=b，AE=a，AE2+ED2=AD2=( 26)2=26，
∴a2+b2=26，
∵FE=FA+AE=a+b，
∴正方形EFGH的面积=FE2=(a+b)2，
∴只要能把长为a和b的线段在网格中画出，并且线段的端点都在格点上即可，
∴线段的端点在格点上时，有三种可能，
①a=5，b=1时，如图，
此时正方形E′F′G′H′的面积为36，
②a=2 2，b=3 2时，如图，
此时正方形E′F′G′H′的面积为50，
故答案为：36或50．
以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向外作四个全等的直角三角形，使直角顶点都是格点，画出图形即可．
本题考查作图−应用与设计、全等三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是清楚只要能把长为a和b的线段在网格中画出，并且线段的端点都在格点上．
19.【答案】解：(1)原式=2 6− 6
= 6；
(2)原式=2 3× 32+ 48÷6− 22
=3+2 2− 22
=3+3 22．
【解析】(1)化为最简二次根式，再合并同类二次根式；
(2)先算乘除，化为最简二次根式，再合并同类二次根式．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
20.【答案】28 50
【解析】解：(Ⅰ)图①中的m值为100−(10+8+32+22)=28，
此次抽样随机抽取了口罩5÷10%=50(枚)，
故答案为：28、50；
(Ⅱ)平均数为150×(1×5+1.2×11+1.5×14+1.8×16+2×4)=1.52(元)，
众数为1.8，中位数为1.5+1.52=1.5；
(Ⅲ)3000×8%=240(枚)，
答：估计这3000枚口罩中，价格为1.8元的口罩约有240枚．
(Ⅰ)根据百分比之和为1求解可得m的值，由1.0元的口罩数量及其所占百分比可得抽取的数量；
(Ⅱ)根据平均数、众数和中位数的定义求解即可；
(Ⅲ)总数量乘以样本中价格为1.8元的口罩数量所占百分比即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、平均数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】解：∵∠B=90°，∠ACB=30°，AB=3，
∴AC=2AB=6，
由勾股定理得：BC= AC2−AB2= 62−32=3 3，
∵AC2+CD2=62+82=100，AD2=102=100，
∴AC2+CD2=AD2，
∴∠ACD=90°，
∴四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积
=12×3×3 3+12×6×8
=9 32+24．
【解析】根据含30°角的直角三角形的性质求出AC，根据勾股定理求出BC，根据勾股定理的逆定理得到∠ACD=90°，根据三角形面积公式计算，得到答案．
本题考查的是勾股定理及其逆定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
22.【答案】(1)证明：∵MF平分∠BMN，
∴∠BMF=∠NMF，
又∵AB//CD，
∴∠BMF=∠MFN，
∴∠NMF=∠MFN，
∴MN=NF，
∵NE平分∠MNC，
∴∠MNE=∠CNE，
∵AB//CD，
∴∠CNE=∠MEN，
∴∠MEN=∠ENM，
∴MN=EM，
∴EM=NF，
∵EM//NF，
∴四边形ENFM为平行四边形；
(2)解：∵EM//NF，
∴∠MEN+∠ENF=180°，
由(1)知MN=EM=NF，
∵四边形ENFM为菱形，
∴EN=NF，
∴EM=EN=MN，
∴△EMN为等边三角形，
∴∠ENM=60°，
∴∠MNF=60°．
【解析】(1)由角平线的性质及平行线的性质证出EM=NF，由平行四边形的判定可得出结论；
(2)由菱形的判定与性质可得出结论．
本题主要考查了菱形的性质与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
23.【答案】1200 600 1050 1500 4 450 4或403
【解析】解：(1)由图象可填表如下：
离开家的时间/min
2
4
9
12
13
离开家的距离/m
600
1200
600
600
1050
(2)①由图象可知：小红家到舅舅家的距离为1500m，小红在商店停留了12−8=4(min)；
故答案为：1500，4；
②小红买好礼物，从商店骑车去舅舅家的速度为1500−60014−12=450(m/min)；
故答案为：450；
③由图象可得当小红离家4min时，与家的距离为1200m，
∵12+1200−600450=403(min)，
∴当小红离家403min时，与家的距离也为1200m，
故答案为：4或403；
(Ⅲ)当0≤x≤4时，y=12004x=300x，
当4
(2)①由图象直接可得答案；
②列出用路程除以时间的算式，可得速度；
③分两种情况讨论；
(3)分三段讨论，分别列出关系即可．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从图象中获取有用的信息．
24.【答案】(1)证明：如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD=∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM=EN，
∵∠EMA=∠ENA=∠DAB=90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∵EF⊥DE，
∴∠MEN=∠DEF=90°，
∵∠MEN−∠MEF=∠DEF−∠MEF，
∴∠DEM=∠FEN，
在△EMD和△ENF中，
∠DEM=∠FENEM=EN∠EMD=∠ENF,
∴△EMD≌△ENF(ASA)，
∴ED=EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形．
(2)解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG=DE，DC=DA=AB=4，∠GDE=∠ADC=90°，
∴∠ADG=∠CDE，
在△ADG和△CDE中，
DG=DE∠ADG=∠CDEDA=DC,
∴△ADG≌△CDE(SAS)，
∴AG=CE，
由勾股定理得，AC= AD2+CD2= 2AD，
∴AE+AG=AE+EC=AC= 2AD=4 2．
(3)解：连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=4，AB//CD，
∵F是AB中点，
∴AF=FB，
∴DF= 22+42=2 5，
∴点E到DF的距离=12DF= 5．
【解析】(1)如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N.只要证明△EMD≌△ENF(ASA)即可解决问题；
(2)只要证明△ADG≌△CDE(SAS)，可得AG=EC即可解决问题；
(3)求出DF的长，可得出答案．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
25.【答案】解：(1)将x=0代入y=34x−6得y=−6，
∴B(0,−6)，
将y=0代入y=34x−6得x=8，
∴A(8,0)．
(2)设OC长为m，则CA=OA−OC=8−m，
∵BC平分∠OBA，CD⊥AB，
∴CD=OC=m，
∴在Rt△COB和Rt△CDB中，
BC=BCCO=CD,
∴Rt△COB≌Rt△CDB(HL)，
∴BD=OB=6，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
AB= OA2+OB2=10，
∴AD=AB−BD=4．
∴在Rt△ACD中，CD2+AD2=AC2，
即m2+42=(8−m)2，
解得m=3，
∴OC=CD=3，AC=5．
∵S△ACB=12AC⋅OB=15，S△BCD=12BD⋅CD=9，
∴S△ACD=S△ACB−S△BCD=6，
即12AC⋅|yD|=12×5|yD|=6，
解得|yD|=125，
∴yD=−125
将y=−125代入y=34x−6得−125=34x−6，
解得x=245，
∴点D坐标为(245,−125).
设CD所在直线解析式为y=kx+b，将C(3,0)，D(245,−125)代入得：
0=3k+b−125=245k+b，
解得k=−43b=4，
∴y=−43x+4．
(3)连接DF，如图所示
∵BC平分∠OBA，CD⊥AB，
∴点O，D关于BC对称，
∴OF=DF，
∴EF+OF=EF+DF，
即D到y轴距离为EF+OF最小值，
由(2)知点D坐标为(245,−125)，
∴点D到y轴距离245，
∴EF+OF的最小值为245．
【解析】点拨
(1)将x=0，y=0，分别代入求解．
(2)通过角平分线的性质证明Rt△COB≌Rt△CDB，通过勾股定理求出OC，CD及AC的长度，再由S△ACD=S△ACB−S△BCD求出点D纵坐标，进而求出点D坐标，最后通过待定系数法求解．
(3)由BC平分∠OBA，CD⊥AB可得O，D关于BC对称，即EF+OF=EF+DF，由此可得D到y轴距离即为所求．
本题考查一次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握一次函数的性质，掌握角平分的性质及求线段和最值的方法．
2022-2023学年天津第二南开中学八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若 x+2023有意义，则x的取值范围是( )
A. x≥2023 B. x≥−2023 C. x>2023 D. x>−2023
2. 下列计算正确的是( )
A. (−2)×(−3)= −2× −3 B. 3− 2=1
C. (−2)2=2 D. (3 2)2=6
3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(−2,0)，(3,0)，(0,6)则顶点D的坐标是( )
A. (4,5)
B. (−4,5)
C. (5,6)
D. (−5,6)
4. 已知点A(−2,m)，B(3,n)在一次函数y=2x+1的图象上，则m与n的大小关系是( )
A. m>n B. m=n C. m
A. 10 B. 5−1 C. 5 D. 10−1
6. 某家电销售商店周销售甲、乙两种品牌冰箱的数量如图所示(单位：台)，如果两种品牌冰箱周销售量的方差为S12，S22，则S12与S22的大小关系是( )
A. S12>S22 B. S12
A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
8. 已知在四边形ABCD中，对角线AC与BD相等，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH是( )
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
9. 已知正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y=kx−k的图象大致是( )
A. B. C. D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=ax+b与两坐标轴的交点分别为(2,0)，(0,3)，则不等式ax+b>0的解为( )
A. x>2
B. x<2
C. x>3
D. x<3
11. 一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图所示，下列说法：
①ak<0；②函数y=ax+k不经过第一象限；③函数y=ax+b中，y随x的增大而增大；④3k+b=3+a；
其中说法正确的个数有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
12. 甲、乙两人沿同一条笔直的公路相向而行，甲从A地前往B地，乙从B地前往A地．甲先出发3分钟后乙才出发，当甲行驶到6分钟时发现重要物品忘带，立刻以原速的32掉头返回A地．拿到物品后以提速后的速度继续前往B地，二人相距的路程y(米)与甲出发的时间x(分钟)之间的关系如图所示，下列说法不正确的是( )
A. 乙的速度为240m/min B. 两人第一次相遇的时间是896分钟
C. B点的坐标为(3,3520) D. 甲最终达到B地的时间是853分钟
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 计算( 21+ 2)( 21− 2)的结果等于______ ．
14. 如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达A、B的点O，找到AO、BO的中点M、N，并且测出MN的长为13m，则A、B间的距离为______．
15. 小明参加“喜迎二十大，逐梦正青春”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项的得分分别是9分、8分，8分，若将三项得分依次按30%、40%、30%的权重确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为______ 分.
16. 若一次函数y=−2x+b的图象经过第二、三、四象限，则b的值可以是______ (写出一个即可)．
17. 如图，正方形ABCD的边长是6，对角线的交点为O，点E在边CD上且CE=2，CF⊥BE，连接OF，则：
(1)∠OFB ______；
(2)OF=______．
18. 在边长为1的网格图形中，以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向外作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，在图1所示的格点图形中，正方形ABCD的边长为 26，此时正方形EFGH的面积为52.写出正方形EFGH的面积的所有可能值是______ (不包括52)．
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
计算
(1) 24− 6；
(2) 12× 32+ 48÷ 6− 12．
20. (本小题8.0分)
某药店有3000枚口罩准备出售，从中随机抽取了一部分口罩，根据它们的价格(单位：元)，绘制出如图的统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
(Ⅰ)图①中的m值为______ ：此次抽样随机抽取了口罩______ 枚；
(Ⅱ)求统计的这些数据的平均数、众数和中位数；
(Ⅲ)根据样本数据，估计这3000枚口罩中，价格为1.8元的口罩约有多少枚？
21. (本小题10.0分)
如图，在四边形ABCD中，已知∠B=90°，∠ACB=30°，AB=3，AD=10，CD=8.求四边形ABCD的面积．
22. (本小题10.0分)
如图，同一平面内三条不同的直线AB，CD，MN，AB//CD，直线AN与另外两条直线分别交于点M，N，点E，F分别为AB，CD上两点，且满足MF平分∠BMN，NE平分∠CNM．
(1)求证：四边形ENFM为平行四边形；
(2)若四边形ENFM为菱形，求出∠MNF的大小．
23. (本小题10.0分)
周末，小红从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后继续骑车去别舅家，下面给出的图象反映了这个过程中小红离家的距离y(m)与地离家的时间x(mn)之间的对应关系.请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填表：
离开家的时间/min
2
4
9
12
13
离开家的距离/m
600
______
______
600
______
(2)①小红家到舅月家的距离为______ m，小红在商店停留了______ min；
②小红买好礼物，从商店验车去舅舅家的速度为______ m/min；
③当小红离家的距离为1200m时，她离开家的时间为______ min；
(3)当0≤x≤12时，请直接写出y关于x的函数解析式．
24. (本小题10.0分)
如图，正方形ABCD中，AB=4，点E是对角线AC上的一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
(1)求证：矩形DEFG是正方形；
(2)求AG+AE的值；
(3)若F恰为AB的中点，连接DF，求点E到DF的距离．
25. (本小题10.0分)
如图1，一次函数y=34x−6的图象与坐标轴交于点A、B，BC平分∠OBA交x轴与点C，CD⊥AB，垂足为D．
(1)求点A、B的坐标；
(2)求CD所在直线的解析式；
(3)如图2，点E是线段OB上的一点，点F是线段BC上的一点，求EF+OF的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵ x+2023有意义，
∴x+2023≥0，
∴x≥−2023，
故选：B．
由二次根式的被开方数为非负数可得x+2023≥0，从而可得答案．
本题考查二次根式有意义的条件，掌握“二次根式的被开方数为非负数”是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A． (−2)×(−3)= 2× 3， −2与 −3均无意义，故本选项不符合题意；
B. 3与− 2不是同类二次根式，所以不能合并，故本选项不符合题意；
C. (−2)2=|−2|=2，故本选项符合题意；
D.(3 2)2=32×( 2)2=9×2=18，故本选项不符合题意．
故选：C．
选项A根据二次根式有意义的条件判断即可；选项B根据二次根式的加减法法则判断即可；选项C根据二次根式的性质判断即可；选项D根据积的乘方的定义以及二次根式的乘法法则判断即可．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关定义与运算法则是解答本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD//AB，
∵平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是(−2,0)，(3,0)，(0,6)，
∴CD=AB=5，顶点D的坐标为(−5,6)．
故选：D．
由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可求得顶点D的坐标．
此题考查了坐标与图形及平行四边形的性质．注意数形结合思想的应用是解此题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵y=2x+1，
∴k=2>0，
∴y随着x的增大而增大，
∵点A(−2,m)和点B(3,n)在一次函数的图象上，−2<3，
∴m
欲求m与n的大小关系，通过题中k=2即可判断y随着x的增大而增大，就可判断出m与n的大小．
本题考查了一次函数的性质，能否掌握k>0，y随着x的增大而增大是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：由勾股定理知：AC= AB2+BC2= 32+12= 10，
所以AD=AC= 10．
所以点D表示的数为 10−1．
故选：D．
利用勾股定理求得AC的长度，即AD的长度即可得出结果．
本题考查实数与数轴，勾股定理，关键是求出AD的长度．
6.【答案】A
【解析】解：甲种品牌冰箱的平均数为：16×(7+10+8+10+12+13)=10(台)，
甲的方差为：
S12=16×[(7−10)2+(10−10)2+(8−10)2+(10−10)2+(12−10)2+(13−10)2]=133
乙种品牌冰箱的平均数为：16×(9+10+11+9+12+9)=10(台)，
乙的方差为：
S12=16×[(9−10)2+(10−10)2+(11−10)2+(9−10)2+(12−10)2+(9−10)2]=43，
∵133>43，
∴S12>S22，
故选：A．
利用平均数以及方差的计算公式，进行运算，即可求解．
本题考查了折线统计图，折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了平均数以及方差，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵O是AC、BD的中点，
∴OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)；
故选：A．
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定定理；熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，AC=BD，
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=12AC，
同理：FG=12BD，GH=12AC，EH=12BD，
∵AC=BD，
∴EF=HG=EH=FG，
∴四边形EFGH是菱形．
故选：C．
由三角形中位线定理推出EF=HG=EH=FG，得到四边形EFGH是菱形．
本题考查中点四边形，三角形中位线定理，菱形的判定，关键是掌握三角形中位线定理，菱形的判定方法．
9.【答案】C
【解析】解：正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，
∴k<0，
∴−k>0，
∴一次函数y=kx−k的图象经过第一、二、四象限，
故选：C．
根据正比例函数的增减性可知k<0，进一步可知一次函数y=kx−k的图象经过的象限，即可确定．
本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵直线y=ax+b与两坐标轴交点分别为(2,0)，(0,3)，且y随x的增大而减小，
∴不等式ax+b>0的解集是x<2．
故选：B．
根据直线y=ax+b与y轴交于点A(2,0)，以及函数的增减性，即可求出不等式ax+b>0的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：∵一次函数y1=kx+b的图象经过一、二、四象限，
∴k<0，b>0，
∵一次函数y2=x+a的图象经过一、三、四象限，
∴a<0，
∴ak>0，
故①错误；
∵a<0，k<0，
∴函数y=ax+k的图象经过二、三、四象限，即不经过第一象限，
故②正确，
∵a<0，
∴函数y=ax+b中，y随x的增大而减小，
故③错误；
∵一次函数y1=kx+b与y2=x+a的交点的横坐标为3，
∴关于x的方程kx+b=x+a的解为x=3，
∴3k+b=3+a．
故④正确；
故选：C．
根据y1=kx+b和y2=x+a的图象可知：k<0，a<0，可判断①②，由一次函数的性质可判断③，由一次函数与一次方程的关系可判断④，则可得出答案．
本题考查一次函数的图象，考查学生的分析能力和读图能力，一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k>0，b>0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k>0，b<0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k<0，b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k<0，b<0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．
12.【答案】D
【解析】解：由CD//x轴知，乙的速度与甲提速后的速度相等，即乙速度是甲提速前速度的32，
设甲提速前速度是x米/分，则乙速度为32x米/分，
根据C点坐标可得：6x+(6−3)×32x=4000−2320，
解得x=160，
∴甲提速前速度是160米/分，乙速度为32x=32×160=240米/分，故A正确，不符合题意；
∴甲提速后速度为240米/分，
∴甲返回所用时间是6×160240=4分，
∴甲拿到物品后再次从A地出发的时间是第10分钟，
设两人第一次相遇的时间是y分钟，则240(y−10)+240(y−3)=4000，
解得y=896，
∴两人第一次相遇的时间是896分钟，故B正确，不符合题意；
由题意，甲以160米/分的速度，3分钟所走路程是480米，
∴3分钟时两人相距4000−480=3520米，
∴B点的坐标为(3,3520)，故C正确，不符合题意；
∵甲拿到物品后再次从A地出发的时间是第10分钟，
∴甲最终达到B地的时间是4000240+10=803分，故D不正确，符合题意，
故选：D．
由CD//x轴知，乙速度是甲提速前速度的32，设甲提速前速度是x米/分，则乙速度为32x米/分，根据C点坐标得6x+(6−3)×32x=4000−2320，即可解得甲提速前速度是160米/分，乙速度为32x=32×160=240米/分，可判断A正确，且甲提速后速度为240米/分，故甲返回所用时间是4分，甲拿到物品后再次从A地出发的时间是第10分钟，设两人第一次相遇的时间是y分钟，可得240(y−10)+240(y−3)=4000，即可解得两人第一次相遇的时间是896分钟，可判断B正确，由甲以160米/分的速度，3分钟所走路程是480米，可得B点的坐标为(3,3520)，可判断C正确，甲拿到物品后再次从A地出发的时间是第10分钟，即得甲最终达到B地的时间是4000240+10=803分，可判断D不正确．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用方程思想和数形结合的思想解答．
13.【答案】19
【解析】解：( 21+ 2)( 21− 2)
=( 21)2−( 2)2
=21−2
=19，
故答案为：19．
利用平方差公式进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
14.【答案】26m
【解析】解：∵M、N是AO和BO的中点，
∴AB=2MN=2×13=26(m)．
故答案是：26m．
M、N是AO和BO的中点，则MN是△ABC的中位线，则依据三角形的中位线定理即可求解．
本题考查了三角形的中位线定理，正确理解定理是关键．
15.【答案】8.3
【解析】解：根据题意得：
9×30%+8×40%+8×30%=8.3(分)，
即明的最终比赛成绩为8.3分．
故答案为：8.3．
利用加权平均数的计算方法可求出结果．
本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式和“权重”的理解是解题的关键．
16.【答案】−1(答案不唯一)
【解析】解：∵一次函数y=−2x+b(b为常数)的图象经过第二、三、四象限，
∴k<0，b<0．
∴b的值可以是−1．
故答案为：−1(答案不唯一)．
根据一次函数的图象经过第二、三、四象限，可以得出k<0，b<0，随便写出一个小于0的b值即可．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据函数图象所过的象限找出它的系数的正负．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，能够熟练的运用一次函数图象与系数的关系是关键．
17.【答案】45° 6 55
【解析】解：(1)在BE上截取BG=CF，
∵在正方形ABCD，AC⊥BD，∠ABC=∠BCD=90°，AC=BD，BO=12BD，CO=12AC，AC、BD分别平分∠ABC、∠BCD，
∴BO=CO，∠BOC=90°，∠OBC=∠OCD=45°，
∵CF⊥BE，
∴∠CFE=90°，
∴∠FEC+∠ECF=90°，
∵∠EBC+∠FEC=90°，
∴∠EBC=∠ECF，
∴∠OBC−∠EBC=∠OCD−∠ECF，
∴∠OBG=∠FCO，
∴△OBG≌△OCF(SAS)，
∴∠BOG=∠FOC，OG=OF，
∴∠GOC+∠COF=90°，
∴∠OFG=∠OGF=45°，
故答案为：45°；
(2)在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BE=2 10，
∴CF=BG=BC×CEBE=3 105，
在Rt△FCE中，根据勾股定理，得EF= 105，
∴GF=BE−BG−EF=6 105，
在Rt△FCE中，根据勾股定理，得OF=6 55，
故答案为：6 55．
(1)在BE上截取BG=CF，根据正方形性质，得BO=CO，∠BOC=90°，∠OBC=∠OCD=45°，再根据同角的余角相等，得∠OBG=∠FCO，从而证明△OBG≌△OCF(SAS)，进而得到∠OFG=∠OGF=45°；
(2)在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BE=2 10，再根据等面积法求出CF=BG=3 105，再通过两次勾股定理的应用得出OF=6 55．
本题主要考查了正方形性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，掌握这三个性质定理的综合应用，其中勾股定理的应用是解题关键．
18.【答案】36或50
【解析】解：设图中四个全等的直角三角形的直角边的长分别为a，b，
则在Rt△AED中，不妨使ED=b，AE=a，AE2+ED2=AD2=( 26)2=26，
∴a2+b2=26，
∵FE=FA+AE=a+b，
∴正方形EFGH的面积=FE2=(a+b)2，
∴只要能把长为a和b的线段在网格中画出，并且线段的端点都在格点上即可，
∴线段的端点在格点上时，有三种可能，
①a=5，b=1时，如图，
此时正方形E′F′G′H′的面积为36，
②a=2 2，b=3 2时，如图，
此时正方形E′F′G′H′的面积为50，
故答案为：36或50．
以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向外作四个全等的直角三角形，使直角顶点都是格点，画出图形即可．
本题考查作图−应用与设计、全等三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是清楚只要能把长为a和b的线段在网格中画出，并且线段的端点都在格点上．
19.【答案】解：(1)原式=2 6− 6
= 6；
(2)原式=2 3× 32+ 48÷6− 22
=3+2 2− 22
=3+3 22．
【解析】(1)化为最简二次根式，再合并同类二次根式；
(2)先算乘除，化为最简二次根式，再合并同类二次根式．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
20.【答案】28 50
【解析】解：(Ⅰ)图①中的m值为100−(10+8+32+22)=28，
此次抽样随机抽取了口罩5÷10%=50(枚)，
故答案为：28、50；
(Ⅱ)平均数为150×(1×5+1.2×11+1.5×14+1.8×16+2×4)=1.52(元)，
众数为1.8，中位数为1.5+1.52=1.5；
(Ⅲ)3000×8%=240(枚)，
答：估计这3000枚口罩中，价格为1.8元的口罩约有240枚．
(Ⅰ)根据百分比之和为1求解可得m的值，由1.0元的口罩数量及其所占百分比可得抽取的数量；
(Ⅱ)根据平均数、众数和中位数的定义求解即可；
(Ⅲ)总数量乘以样本中价格为1.8元的口罩数量所占百分比即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、平均数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】解：∵∠B=90°，∠ACB=30°，AB=3，
∴AC=2AB=6，
由勾股定理得：BC= AC2−AB2= 62−32=3 3，
∵AC2+CD2=62+82=100，AD2=102=100，
∴AC2+CD2=AD2，
∴∠ACD=90°，
∴四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积
=12×3×3 3+12×6×8
=9 32+24．
【解析】根据含30°角的直角三角形的性质求出AC，根据勾股定理求出BC，根据勾股定理的逆定理得到∠ACD=90°，根据三角形面积公式计算，得到答案．
本题考查的是勾股定理及其逆定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
22.【答案】(1)证明：∵MF平分∠BMN，
∴∠BMF=∠NMF，
又∵AB//CD，
∴∠BMF=∠MFN，
∴∠NMF=∠MFN，
∴MN=NF，
∵NE平分∠MNC，
∴∠MNE=∠CNE，
∵AB//CD，
∴∠CNE=∠MEN，
∴∠MEN=∠ENM，
∴MN=EM，
∴EM=NF，
∵EM//NF，
∴四边形ENFM为平行四边形；
(2)解：∵EM//NF，
∴∠MEN+∠ENF=180°，
由(1)知MN=EM=NF，
∵四边形ENFM为菱形，
∴EN=NF，
∴EM=EN=MN，
∴△EMN为等边三角形，
∴∠ENM=60°，
∴∠MNF=60°．
【解析】(1)由角平线的性质及平行线的性质证出EM=NF，由平行四边形的判定可得出结论；
(2)由菱形的判定与性质可得出结论．
本题主要考查了菱形的性质与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
23.【答案】1200 600 1050 1500 4 450 4或403
【解析】解：(1)由图象可填表如下：
离开家的时间/min
2
4
9
12
13
离开家的距离/m
600
1200
600
600
1050
(2)①由图象可知：小红家到舅舅家的距离为1500m，小红在商店停留了12−8=4(min)；
故答案为：1500，4；
②小红买好礼物，从商店骑车去舅舅家的速度为1500−60014−12=450(m/min)；
故答案为：450；
③由图象可得当小红离家4min时，与家的距离为1200m，
∵12+1200−600450=403(min)，
∴当小红离家403min时，与家的距离也为1200m，
故答案为：4或403；
(Ⅲ)当0≤x≤4时，y=12004x=300x，
当4
(2)①由图象直接可得答案；
②列出用路程除以时间的算式，可得速度；
③分两种情况讨论；
(3)分三段讨论，分别列出关系即可．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从图象中获取有用的信息．
24.【答案】(1)证明：如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD=∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM=EN，
∵∠EMA=∠ENA=∠DAB=90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∵EF⊥DE，
∴∠MEN=∠DEF=90°，
∵∠MEN−∠MEF=∠DEF−∠MEF，
∴∠DEM=∠FEN，
在△EMD和△ENF中，
∠DEM=∠FENEM=EN∠EMD=∠ENF,
∴△EMD≌△ENF(ASA)，
∴ED=EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形．
(2)解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG=DE，DC=DA=AB=4，∠GDE=∠ADC=90°，
∴∠ADG=∠CDE，
在△ADG和△CDE中，
DG=DE∠ADG=∠CDEDA=DC,
∴△ADG≌△CDE(SAS)，
∴AG=CE，
由勾股定理得，AC= AD2+CD2= 2AD，
∴AE+AG=AE+EC=AC= 2AD=4 2．
(3)解：连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=4，AB//CD，
∵F是AB中点，
∴AF=FB，
∴DF= 22+42=2 5，
∴点E到DF的距离=12DF= 5．
【解析】(1)如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N.只要证明△EMD≌△ENF(ASA)即可解决问题；
(2)只要证明△ADG≌△CDE(SAS)，可得AG=EC即可解决问题；
(3)求出DF的长，可得出答案．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
25.【答案】解：(1)将x=0代入y=34x−6得y=−6，
∴B(0,−6)，
将y=0代入y=34x−6得x=8，
∴A(8,0)．
(2)设OC长为m，则CA=OA−OC=8−m，
∵BC平分∠OBA，CD⊥AB，
∴CD=OC=m，
∴在Rt△COB和Rt△CDB中，
BC=BCCO=CD,
∴Rt△COB≌Rt△CDB(HL)，
∴BD=OB=6，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
AB= OA2+OB2=10，
∴AD=AB−BD=4．
∴在Rt△ACD中，CD2+AD2=AC2，
即m2+42=(8−m)2，
解得m=3，
∴OC=CD=3，AC=5．
∵S△ACB=12AC⋅OB=15，S△BCD=12BD⋅CD=9，
∴S△ACD=S△ACB−S△BCD=6，
即12AC⋅|yD|=12×5|yD|=6，
解得|yD|=125，
∴yD=−125
将y=−125代入y=34x−6得−125=34x−6，
解得x=245，
∴点D坐标为(245,−125).
设CD所在直线解析式为y=kx+b，将C(3,0)，D(245,−125)代入得：
0=3k+b−125=245k+b，
解得k=−43b=4，
∴y=−43x+4．
(3)连接DF，如图所示
∵BC平分∠OBA，CD⊥AB，
∴点O，D关于BC对称，
∴OF=DF，
∴EF+OF=EF+DF，
即D到y轴距离为EF+OF最小值，
由(2)知点D坐标为(245,−125)，
∴点D到y轴距离245，
∴EF+OF的最小值为245．
【解析】点拨
(1)将x=0，y=0，分别代入求解．
(2)通过角平分线的性质证明Rt△COB≌Rt△CDB，通过勾股定理求出OC，CD及AC的长度，再由S△ACD=S△ACB−S△BCD求出点D纵坐标，进而求出点D坐标，最后通过待定系数法求解．
(3)由BC平分∠OBA，CD⊥AB可得O，D关于BC对称，即EF+OF=EF+DF，由此可得D到y轴距离即为所求．
本题考查一次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握一次函数的性质，掌握角平分的性质及求线段和最值的方法．
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