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人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积巩固练习
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这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积巩固练习，共10页。试卷主要包含了单选题，单空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积练习
一、单选题
1. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为( )
A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π
2. 已知正方体、等边圆柱(轴截面是正方形)、球的体积相等，它们的表面积分别为S正，S柱，S球，则下列不正确的是 ( )
A. S正
A. 1 B. 12 C. 32 D. 34
4. 一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的全面积与球的表面积之比( )
A. 2:3 B. 2:1 C. 1:2 D. 3:2
5. 用与球心距离为1的平面去截球，截面面积为π，则球的体积为( )
A. 32π3 B. 8π3 C. 82π D. 82π3
6. 祖暅是南北朝时代的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为( )
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①④
7. 已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形ABCD是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从A到C的路径中，最短路径的长度为( )
A. 210 B. 25 C. 3 D. 2
8. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的半圆的直径为2，则该几何体的表面积为
A. 3π+2
B. 4π+2
C. 3π+3
D. 4π+3
9. 如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径6cm，高8cm(不含杯脚)，已知水的高度是4cm，现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变.如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠( )
A. 98颗 B. 106颗 C. 120颗 D. 126颗
10. 若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的( )
A. 2倍 B. 4倍 C. 8倍 D. 16倍
11. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1的侧面展开图中，B，C是线段AD的三等分点，且AD=33.若该三棱柱的外接球O的表面积为12π，则AA1=
A. 2
B. 2
C. 5
D. 22
12. 将一个圆柱形钢锭切割成一个棱长为4的正方体零件，则所需圆柱形钢锭的表面积最小值为( )
A. 16π B. (16+162)π C. 16 D. 162π
二、单空题
13. 已知四棱锥P−ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥面ABCD，若四棱锥的体积为163，则该球的体积为______．
14. 设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D−ABC体积的最大值为 ．
15. 已知圆锥的母线长为2，高为3，则该圆锥的外接球的表面积是______．
16. 将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高了4 cm，则钢球的半径是________．
三、解答题
17. 如图(1)，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=22，AD=2，求四边形ABCD绕AD边所在的直线旋转一周所成几何体的表面积和体积．
18. 如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．
19. ．某种儿童型防蚊液储存在一个容器中，该容器由两个半球和一个圆柱组成，(其中上半球是容器的盖子，防蚊液储存在下半球及圆柱中)，容器轴截面如图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形ABCD，其外周长为100毫米.防蚊液所占的体积为圆柱体积和一个半球体积之和.假设AD的长为2x毫米.(注：Vk=43πR3,V柱=Sh，其中R为球半径，S为圆柱底面积，h为圆柱的高)
(1)求容器中防蚊液的体积y关于x的函数关系式；
(2)如何设计AD与AB的长度，使得y最大？
答案和解析
1.【答案】A
【解答】
解：正四棱锥的高为3，体积为6，
∴底面积为6，正方形边长为6，正方形的对角线为62+62=23，
设球的半径为R，则R2=3−R2+32，
∴R=2，
∴球的表面积为4πR2=4π×4=16π．
2.【答案】C
【解答】
解：正方体的棱长为a，体积V=a3，S正=6a2=63V2，
等边圆柱(轴截面是正方形)的高为2h，体积V=π⋅h2⋅2h=2πh3，S柱=6πh2=332πV2，
球的半径为R，体积V=43πR3，S球=4πR2=336πV2，
∴S球
【解答】
解：轴截面，圆柱为矩形，圆锥为三角形，且高相等，
所以它们的底面圆的半径之比为圆柱：圆锥=1：2；
所以圆柱与圆锥的底面积之比为1：4，
所以圆柱与圆锥的体积之比为3：4，
4.【答案】D
【解答】
解：设球的半径为R，
则球的表面积S球=4πR2，
所以圆柱的底面半径为R，高为2R，
则圆柱的全面积S柱=2×πR2+2πR×2R=6πR2，
则圆柱的全面积与球的表面积之比等于6πR2：4πR2=3：2．
5.【答案】D
【解答】
解：设截面圆半径为r，截面面积为π，所以，又与球心距离d=1，所以球的半径R=r2+d2=2.，
所以根据球的体积公式知V球=4πR33=82π3，
6.【答案】D
【解答】
解：设截面与底面的距离为h，
则①中截面内圆半径为h，则截面圆环的面积为π(R2−h2);
②中截面圆的半径为R−h，则截面圆的面积为π(R−h)2;
③中截面圆的半径为R−h2，则截面圆的面积为
④中截面圆的半径为R2−h2，则截面圆的面积为π(R2−h2)，
所以①④中截面的面积相等，
故选D．
7.【答案】A
【解答】
解：圆柱的侧面展开图如图，
圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为12，宽为2，
则在此圆柱侧面上从A到C的最短路径为线段AC，
AC=22+62=210．
8.【答案】A
【解析】
【解答】
解：
由三视图可知，这个几何体是由一个底面半径为1且高为1的半圆柱，和一个半径为1的半球的前半部分组成．
所以它的下底面为半圆，面积为π2，后表面为一个矩形加半圆，面积为2×1+π2，
前表面为半个圆柱侧面加14个球面，面积为π×1×1+14×4π×1=2π．
所以其表面积为3π+2．
9.【答案】D
【解答】
解：作出在轴截面图如图，
由题意，OP=8，O1P=4，OA=3，
设O1A1=x，则48=x3，即x=32．
则最大放入珍珠的体积V=13π×32×8−13π×322×4=21π，
一颗珍珠的体积是43π×123=π6.由21ππ6=126．
∴最多可以放入珍珠126颗．
10.【答案】C
【解答】
解：设气球原来的半径为r，体积为V，则V=43πr3.当气球
的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为43π(2r)3=8×43πr3．
11.【答案】D
【解答】
解：由展开图可知，直三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为3的等边三角形，其外接圆的半径满足2r=3sin60∘=2，所以r=1．
由4πR2=12π得R=3．
由球的性质可知，球心O到底面ABC的距离为d=R2−r2=2，
结合球和直三棱柱的对称性可知，AA1=2d=22，
12.【答案】B
【解答】
解：由题意，当正方体为圆柱的内接正方体时，圆柱表面积最小，
所以圆柱的底面半径为正方体底面对角线的一半为22，圆柱高为正方体的棱长，
所以圆柱的表面积最小值为．
13.【答案】86π
【解析】解：设此球半径为R，
因底面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥面ABCD，若四棱锥的体积为163，
则13×2×2×PA=163，∴PA=4，
可以把四棱锥P−ABCD补成一个以ABCD为底、PA为侧棱的长方体，
则这个长方体的外接球就是四棱锥P−ABCD的外接球，球心O就是PC的中点，
∴(2R)2=PC2=AP2+AB2+AC2=42+22+22=24，∴R=6，
则该球的体积为4πR33=86π.
14.【答案】183
【解答】
解：设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，
△ABC为等边三角形且其面积为93，
∴12×AB2×sin60°=93，解得AB=6，
球心为O，三角形ABC的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：
O′C=23×32×6=23，OO′=42−(23)2=2，
则三棱锥D−ABC高的最大值为：6，
则三棱锥D−ABC体积的最大值为：13×93×6=183．
故答案为：183．
15.【答案】163π
【解析】解：∵圆锥的母线长为2，高为3，
∴该圆锥的底面半径为r=4−3=1，
由题意，圆锥轴截面的顶角为60°，
设该圆锥的底面圆心为O′，球O的半径为R，
由勾股定理可得R2=(3−R)2+12，
解得R=233，
∴球O的表面积为4πR2=4π×(233)2=163π．
16.【答案】3 cm
【解答】解：设钢球的半径为r，则36π=43πr3，解得r=3 cm．
17.【答案】解：如图，∵∠ADC=135°，∴∠CDE=45°，又CD=22，
∴DE=CE=2，又AB=5，AD=2，
∴BC=5．
则圆台上底面半径r1=2，下底面半径r2=5，高h=4，母线长l=5，圆锥底面半径r1=2，高h′=2．
∴S表面=S圆台底面+S圆台侧面+S圆锥侧面=π×52+π×(2+5)×5+π×2×22
=(42+60)π；
V=V圆台−V圆锥=13π(25+10+4)×4−13π×4×2=1483π．
18.【答案】解：设圆柱的底面半径为r，表面积为S，
则由三角形相似得r2=16−4−316−4，得r=1，
∴S底=2π,S侧=23π，
∴S=2π+23π．
19.【答案】解：(1)由2AB+2πx=100得AB=50−πx，
由AB>0得，x∈(0,50π)，
所以防蚊液体积y=12×43πx3+πx2(50−πx)=(23π−π2)x3+50πx2，x∈(0,50π);(2)求导得，令得x⩽1003π−2；
令得x⩾1003π−2，
所以y在(0,1003π−2)上单调增，在(1003π−2,50π)上单调减，
所以当x=1003π−2时，y有最大值，
此时AD=2x=2003π−2，AB=50π−1003π−2，
答：当AD为2003π−2毫米，AB为50π−1003π−2毫米时，防蚊液的体积有最大值．
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积练习
一、单选题
1. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为( )
A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π
2. 已知正方体、等边圆柱(轴截面是正方形)、球的体积相等，它们的表面积分别为S正，S柱，S球，则下列不正确的是 ( )
A. S正
A. 1 B. 12 C. 32 D. 34
4. 一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的全面积与球的表面积之比( )
A. 2:3 B. 2:1 C. 1:2 D. 3:2
5. 用与球心距离为1的平面去截球，截面面积为π，则球的体积为( )
A. 32π3 B. 8π3 C. 82π D. 82π3
6. 祖暅是南北朝时代的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为( )
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①④
7. 已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形ABCD是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从A到C的路径中，最短路径的长度为( )
A. 210 B. 25 C. 3 D. 2
8. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的半圆的直径为2，则该几何体的表面积为
A. 3π+2
B. 4π+2
C. 3π+3
D. 4π+3
9. 如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径6cm，高8cm(不含杯脚)，已知水的高度是4cm，现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变.如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠( )
A. 98颗 B. 106颗 C. 120颗 D. 126颗
10. 若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的( )
A. 2倍 B. 4倍 C. 8倍 D. 16倍
11. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1的侧面展开图中，B，C是线段AD的三等分点，且AD=33.若该三棱柱的外接球O的表面积为12π，则AA1=
A. 2
B. 2
C. 5
D. 22
12. 将一个圆柱形钢锭切割成一个棱长为4的正方体零件，则所需圆柱形钢锭的表面积最小值为( )
A. 16π B. (16+162)π C. 16 D. 162π
二、单空题
13. 已知四棱锥P−ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥面ABCD，若四棱锥的体积为163，则该球的体积为______．
14. 设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D−ABC体积的最大值为 ．
15. 已知圆锥的母线长为2，高为3，则该圆锥的外接球的表面积是______．
16. 将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高了4 cm，则钢球的半径是________．
三、解答题
17. 如图(1)，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=22，AD=2，求四边形ABCD绕AD边所在的直线旋转一周所成几何体的表面积和体积．
18. 如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．
19. ．某种儿童型防蚊液储存在一个容器中，该容器由两个半球和一个圆柱组成，(其中上半球是容器的盖子，防蚊液储存在下半球及圆柱中)，容器轴截面如图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形ABCD，其外周长为100毫米.防蚊液所占的体积为圆柱体积和一个半球体积之和.假设AD的长为2x毫米.(注：Vk=43πR3,V柱=Sh，其中R为球半径，S为圆柱底面积，h为圆柱的高)
(1)求容器中防蚊液的体积y关于x的函数关系式；
(2)如何设计AD与AB的长度，使得y最大？
答案和解析
1.【答案】A
【解答】
解：正四棱锥的高为3，体积为6，
∴底面积为6，正方形边长为6，正方形的对角线为62+62=23，
设球的半径为R，则R2=3−R2+32，
∴R=2，
∴球的表面积为4πR2=4π×4=16π．
2.【答案】C
【解答】
解：正方体的棱长为a，体积V=a3，S正=6a2=63V2，
等边圆柱(轴截面是正方形)的高为2h，体积V=π⋅h2⋅2h=2πh3，S柱=6πh2=332πV2，
球的半径为R，体积V=43πR3，S球=4πR2=336πV2，
∴S球
【解答】
解：轴截面，圆柱为矩形，圆锥为三角形，且高相等，
所以它们的底面圆的半径之比为圆柱：圆锥=1：2；
所以圆柱与圆锥的底面积之比为1：4，
所以圆柱与圆锥的体积之比为3：4，
4.【答案】D
【解答】
解：设球的半径为R，
则球的表面积S球=4πR2，
所以圆柱的底面半径为R，高为2R，
则圆柱的全面积S柱=2×πR2+2πR×2R=6πR2，
则圆柱的全面积与球的表面积之比等于6πR2：4πR2=3：2．
5.【答案】D
【解答】
解：设截面圆半径为r，截面面积为π，所以，又与球心距离d=1，所以球的半径R=r2+d2=2.，
所以根据球的体积公式知V球=4πR33=82π3，
6.【答案】D
【解答】
解：设截面与底面的距离为h，
则①中截面内圆半径为h，则截面圆环的面积为π(R2−h2);
②中截面圆的半径为R−h，则截面圆的面积为π(R−h)2;
③中截面圆的半径为R−h2，则截面圆的面积为
④中截面圆的半径为R2−h2，则截面圆的面积为π(R2−h2)，
所以①④中截面的面积相等，
故选D．
7.【答案】A
【解答】
解：圆柱的侧面展开图如图，
圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为12，宽为2，
则在此圆柱侧面上从A到C的最短路径为线段AC，
AC=22+62=210．
8.【答案】A
【解析】
【解答】
解：
由三视图可知，这个几何体是由一个底面半径为1且高为1的半圆柱，和一个半径为1的半球的前半部分组成．
所以它的下底面为半圆，面积为π2，后表面为一个矩形加半圆，面积为2×1+π2，
前表面为半个圆柱侧面加14个球面，面积为π×1×1+14×4π×1=2π．
所以其表面积为3π+2．
9.【答案】D
【解答】
解：作出在轴截面图如图，
由题意，OP=8，O1P=4，OA=3，
设O1A1=x，则48=x3，即x=32．
则最大放入珍珠的体积V=13π×32×8−13π×322×4=21π，
一颗珍珠的体积是43π×123=π6.由21ππ6=126．
∴最多可以放入珍珠126颗．
10.【答案】C
【解答】
解：设气球原来的半径为r，体积为V，则V=43πr3.当气球
的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为43π(2r)3=8×43πr3．
11.【答案】D
【解答】
解：由展开图可知，直三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为3的等边三角形，其外接圆的半径满足2r=3sin60∘=2，所以r=1．
由4πR2=12π得R=3．
由球的性质可知，球心O到底面ABC的距离为d=R2−r2=2，
结合球和直三棱柱的对称性可知，AA1=2d=22，
12.【答案】B
【解答】
解：由题意，当正方体为圆柱的内接正方体时，圆柱表面积最小，
所以圆柱的底面半径为正方体底面对角线的一半为22，圆柱高为正方体的棱长，
所以圆柱的表面积最小值为．
13.【答案】86π
【解析】解：设此球半径为R，
因底面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥面ABCD，若四棱锥的体积为163，
则13×2×2×PA=163，∴PA=4，
可以把四棱锥P−ABCD补成一个以ABCD为底、PA为侧棱的长方体，
则这个长方体的外接球就是四棱锥P−ABCD的外接球，球心O就是PC的中点，
∴(2R)2=PC2=AP2+AB2+AC2=42+22+22=24，∴R=6，
则该球的体积为4πR33=86π.
14.【答案】183
【解答】
解：设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，
△ABC为等边三角形且其面积为93，
∴12×AB2×sin60°=93，解得AB=6，
球心为O，三角形ABC的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：
O′C=23×32×6=23，OO′=42−(23)2=2，
则三棱锥D−ABC高的最大值为：6，
则三棱锥D−ABC体积的最大值为：13×93×6=183．
故答案为：183．
15.【答案】163π
【解析】解：∵圆锥的母线长为2，高为3，
∴该圆锥的底面半径为r=4−3=1，
由题意，圆锥轴截面的顶角为60°，
设该圆锥的底面圆心为O′，球O的半径为R，
由勾股定理可得R2=(3−R)2+12，
解得R=233，
∴球O的表面积为4πR2=4π×(233)2=163π．
16.【答案】3 cm
【解答】解：设钢球的半径为r，则36π=43πr3，解得r=3 cm．
17.【答案】解：如图，∵∠ADC=135°，∴∠CDE=45°，又CD=22，
∴DE=CE=2，又AB=5，AD=2，
∴BC=5．
则圆台上底面半径r1=2，下底面半径r2=5，高h=4，母线长l=5，圆锥底面半径r1=2，高h′=2．
∴S表面=S圆台底面+S圆台侧面+S圆锥侧面=π×52+π×(2+5)×5+π×2×22
=(42+60)π；
V=V圆台−V圆锥=13π(25+10+4)×4−13π×4×2=1483π．
18.【答案】解：设圆柱的底面半径为r，表面积为S，
则由三角形相似得r2=16−4−316−4，得r=1，
∴S底=2π,S侧=23π，
∴S=2π+23π．
19.【答案】解：(1)由2AB+2πx=100得AB=50−πx，
由AB>0得，x∈(0,50π)，
所以防蚊液体积y=12×43πx3+πx2(50−πx)=(23π−π2)x3+50πx2，x∈(0,50π);(2)求导得，令得x⩽1003π−2；
令得x⩾1003π−2，
所以y在(0,1003π−2)上单调增，在(1003π−2,50π)上单调减，
所以当x=1003π−2时，y有最大值，
此时AD=2x=2003π−2，AB=50π−1003π−2，
答：当AD为2003π−2毫米，AB为50π−1003π−2毫米时，防蚊液的体积有最大值．
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