高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积课后练习题

8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

（用时45分钟）

【选题明细表】

基础巩固

1．若一个球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的（ ）倍

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】D

【解析】由球体体积公式，若，则，可知体积扩大到原来的8倍.

2．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为

A．1∶2 B．1∶

C．1∶ D．∶2

【答案】C

【解析】设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r．∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr故选C．

3．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设圆柱的底面圆半径为，则，所以圆柱的体积.又球的体积，所以球的体积与圆柱的体积的比，故选D.

4．圆台的上、下底面半径和高的比为，母线长为10，则圆台的侧面积为(　　)．

A．81π B．100π C．14π D．169π

【答案】B

【解析】设圆台上底半径为r,则其下底半径为4r，高为4r，结合母线长10，可求出r=2．然后由圆台侧面积公式得，．

5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有

A．14斛 B．22斛

C．36斛 D．66斛

【答案】B

【解析】设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.

6．圆柱的侧面展开图是边长分别为的矩形，则圆柱的体积为_____________．

【答案】或

【解析】圆柱的侧面展开图是边长为2a与a的矩形,
当母线为a时,圆柱的底面半径是,此时圆柱体积是；
当母线为2a时,圆柱的底面半径是,此时圆柱的体积是,
综上所求圆柱的体积是:或，
故答案为或;

7．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为__________．

【答案】2：1

【解析】∵圆柱的轴截面是边长为a的正方形，

故圆柱的底面半径r=a，母线长l=a，

故圆柱的表面积S=2πr（r+l）=，

∵圆锥的轴截面是边长为a的正三角形，

故圆锥的底面半径r=a，母线长l=a，

故圆锥的表面积S=πr（r+l）=，

故它们的表面积之比为：2：1，

故答案为：2：1．

8．如图，有一个水平放置的无盖正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为，若不计容器的厚度，如何求出球的体积？

(1)求出球的半径；

(2)求球的体积.

【答案】(1)5；(2).

【解析】(1)设正方体上底面所在平面截球得小圆，

则圆心为正方体上底面正方形的中心，

设球的半径为，根据题意，球心到上底面的距离等于，

而圆的半径为，由球的截面圆性质，得，

解得；

(2)将球的半径代入球的体积公式得.

能力提升

9．体积为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为，所以正方体的外接球的半径为，所以该球的表面积为，故选A.

10．如图，一个底面半径为的圆柱形量杯中装有适量的水，若放入一个半径为的实心铁球，水面高度恰好升高,则____________．

【答案】

【解析】由题可知，小球的体积等于水面上升的的体积，因此有，化简可得，；

11．一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其内部有一个高为x cm的内接圆柱.

（1）求圆锥的侧面积；

（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值.

【答案】（1）（2）时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为

【解析】（1）圆锥的母线长为，

∴圆锥的侧面积.

（2）该几何体的轴截面如图所示.

设圆柱的底面半径为r cm，由题意，知，.

∴圆柱的侧面积，

∴当时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为.

素养达成

12．如图所示，在边长为4的正三角形中，，分别是，的中点，为的中点，，分别是，的中点，若将正三角形绕所在直线旋转，求阴影部分形成的几何体的表面积.

【答案】

【解析】旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的几何体.

令，，，，则，，，

∴，

.

∴所求几何体的表面积