第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式-新高一数学初升高暑假精品课（人教A版必修第一册）

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·模块一 一元二次不等式
·模块二 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
·模块三 课后作业
模块一
一元二次不等式
1．一元二次不等式
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.
2．一元二次不等式的解法
(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：
①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
②计算对应方程的判别式；
③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．
(2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤：
①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；
②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；
③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
【考点1 不含参的一元二次不等式的解法】
【例1.1】（2023·全国·高一假期作业）不等式3x2−7x+2>0的解集是（ ）
A．13,2B．−2,−13C．−∞,13∪(2,+∞)D．(−∞,−2)∪−13,+∞
【解题思路】由因式分解结合一元二次不等式的解的特征即可求解.
【解答过程】由3x2−7x+2>0得x−23x−1>0，解得x<13或x>2，
故不等式的解为−∞,13∪(2,+∞)，
故选：C.
【例1.2】（2023·全国·高一假期作业）不等式x2−x>3的解集是（ ）
A．x|−1C．x|x<−3或x>1 D．∅
【解题思路】将不等式化为x2−2x+3<0再解一元二次不等式可得答案.
【解答过程】将不等式化为x2−2x+3<0，由于对应方程的判别式Δ=4−12<0，
所以不等式x2−x>3的解集为∅.
故选：D.
【变式1.1】（2023秋·四川泸州·高一统考期末）不等式2x2−x−1<0的解集是（ ）
A．−1,12B．−1,2C．−12,1D．−2,1
【解题思路】利用了一元二次不等式的解法求解．
【解答过程】解：不等式2x2−x−1<0，可化为(x−1)(2x+1)<0，解得−12即不等式2x2−x−1<0的解集为−12,1．
故选：C．
【变式1.2】（2023·全国·高三专题练习）不等式5x−x2<6的解集为（ ）
A．x|x<2,或x>3B．x|−1C．x|−1【解题思路】按照绝对值不等式和一元二次不等式求解即可.
【解答过程】解：∵5x−x2<6，∴−6<5x−x2<6
∴x2−5x−6<0x2−5x+6>0⇒−13⇒−1则不等式的解集为：{x|−1故选：B.
【考点2 含参的一元二次不等式的解法】
【例2.1】（2023·高一课时练习）若0A．1t,tB．(−∞,t)∪1t,+∞C．−∞,−1t∪(−t,+∞)D．t,1t
【解题思路】由一元二次不等式的特征即可求解.
【解答过程】由于0t,所以不等式(x−t)x−1t<0的解集t,1t，
故选：D.
【例2.2】（2023·辽宁沈阳·统考三模）不等式ax2−a+2x+2≥0a<0的解集为（ ）
A．2a,1B．1,1a
C．−∞,2a∪[1,+∞)D．(−∞,1]∪2a,+∞
【解题思路】根据一元二次不等式的解法即可求解.
【解答过程】解：原不等式可以转化为：x−1ax−2≥0，
当a<0时，可知(x−2a)(x−1)≤0，对应的方程的两根为1，2a，
根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：[2a,1].
故选：A.
【变式2.1】（2023·全国·高三专题练习）关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为−3,1，则不等式bx2+ax+c<0的解集为（ ）
A．1,2B．−1,2C．−12,1D．−32,1
【解题思路】首先利用一元二次不等式和方程的关系，列出根与系数的关系a>0−3+1=−ba−3×1=ca，得到a,b,c的关系，代入不等式化简求解.
【解答过程】∵ax2+bx+c<0的解集是−3,1，∴a>0−3+1=−ba−3×1=ca，得b=2a,c=−3a，
则不等式bx2+ax+c<0⇔2ax2+ax−3a<0，
即2x2+x−3<0，解得：−32所以不等式的解集是−32,1.
故选：D.
【变式2.2】（2023春·河南·高一校联考阶段练习）已知a,b,c∈R，且a≠0，关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(−3,2)，则关于x的不等式cx2+ax+b>0的解集为（ ）
A．−13,12B．−12,13
C．−∞,−13∪12,+∞D．−∞,−12∪13,+∞
【解题思路】根据二次不等式的解集与二次方程的根的关系，利用韦达定理可得a,b,c关系，代入所求不等式解不等式即可．
【解答过程】因为不等式ax2+bx+c>0，a≠0的解集为(−3,2)，
所以a<0且−ba=−3+2=−1ca=−3×2=−6即b=ac=−6a，
不等式cx2+ax+b>0等价于−6ax2+ax+a>0，
即6x2−x−1>0，2x−13x+1>0，解得x<−13或x>12，
所以不等式cx2+ax+b>0的解集为：−∞,−13∪12,+∞，
故选：C．
【考点3 解简单的分式不等式】
【例3.1】（2023·全国·高三专题练习）不等式1−x2+x≥0的解集为（ ）
A．−2,1B．−∞,−2∪1,+∞
C．−2,1D．−∞,−2∪1,+∞
【解题思路】将分式不等式化为整式不等式，由一元二次不等式的解法求解即可.
【解答过程】原不等式可化为1−xx+2≥02+x≠0，即x−1x+2≤02+x≠0，解得−2故选：C．
【例3.2】（2022秋·高一单元测试）不等式xx−1≥2的解集是（ ）
A．−∞，1B．2，+∞
C．1，2D．1，2
【解题思路】转化为一元二次不等式解出即可.
【解答过程】不等式xx−1≥2可化为xx−1−2≥0，即2−xx−1≥0，
等价于(2−x)(x−1)≥0x−1≠0
解得1所以不等式的解集为(1,2].
故选：D.
【变式3.1】（2022秋·陕西商洛·高三联考期中）不等式x−1x−22≥2的解集是（ ）
A．−32,3B．32,3C．34,2∪2,3D．32,2∪2,3
【解题思路】根据分式不等式和一元二次不等式的求法，计算即可.
【解答过程】原不等式可化为x−1−2x−22x−22=−2x+3x−3x−22≥0，
有−2x+3x−3≥0且x−2≠0，解得32≤x≤3且x≠2．
故选：D.
【变式3.2】（2022秋·高一课时练习）若关于x的不等式ax−b>0的解集是−∞,−1，则关于x的不等式ax2−bxx−1>0的解集是（ ）
A．−∞,0B．1,+∞
C．−∞,−1∪0,1D．−∞,1
【解题思路】依题意可得a<0且ba=−1，即可将不等式ax2−bxx−1>0化为xx+1x−1<0，利用数轴标根法计算可得.
【解答过程】因为关于x的不等式ax−b>0的解集是−∞,−1，所以a<0，且ba=−1，
即b=−a，
所以不等式ax2−bxx−1>0，即axx+1x−1>0，即xx+1x−1<0，
等价于xx+1x−1<0，
利用数轴标根法可得x<−1或0
即关于x的不等式ax2−bxx−1>0的解集是−∞,−1∪0,1.
故选：C.
【考点4 由一元二次不等式的解确定参数】
【例4.1】（2023·湖南长沙·高二校考学业考试）若关于x的不等式2ax2−4xA．12【解题思路】分a=0,a>0,a<0讨论解不等式，根据只有一个整数解建立不等关系求解即可.
【解答过程】不等式2ax2−4x当a=0时，不等式化为2x−1−2<0，得x>12，有无数个整数解，不符合题意；
当a>0时，由关于x的不等式2ax2−4x不等式2x−1ax−2<0的解为12当a<0时，不等式2x−1ax−2<0的解为x>12或x<2a，有无数个整数解，不符合题意．
综上，实数a的取值范围是1≤a<2.
故选：C.
【例4.2】（2023·全国·高一专题练习）已知不等式ax2−5x+b>0的解集是x−3A．−7B．7C．−17D．17
【解题思路】先将题目转化为−3和−2为方程ax2−5x+b=0的根，且a<0，再结合韦达定理即可求解.
【解答过程】由题意，不等式ax2−5x+b>0的解集是x−3则−3和−2为方程ax2−5x+b=0的根，且a<0，
即−3−2=5a−3×−2=ba，解得a=−1，b=−6，
所以a+b=−7.
故选：A.
【变式4.1】（2023·高一课时练习）关于x的不等式x2−2ax−8a2<0的解集为x1,x2，且x2−x1=12，则实数a的值等于（ ）
A．－2B．2C．±2D．－1或2
【解题思路】分a>0和a<0两种情况解不等式，再结合已知求解即可.
【解答过程】解：因为x2−2ax−8a2=x−4ax+2a<0
所以，当a>0时，不等式x2−2ax−8a2<0的解集为x1,x2=−2a,4a，所以x2−x1=6a=12，解得a=2，
当a<0时，不等式x2−2ax−8a2<0的解集为x1,x2=4a,−2a，所以x2−x1=−6a=12，解得a=−2，
所以，实数a的值等于±2
故选：C.
【变式4.2】（2023秋·江苏扬州·高一期末）若关于x的不等式x2−(m+3)x+3m<0的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为（ ）
A．5【解题思路】由题设可得x−3x−m<0，讨论m,3的大小关系求解集，并判断满足题设情况下m的范围即可.
【解答过程】不等式x2−m+3x+3m<0，即x−3x−m<0，
当m>3时，不等式解集为3,m，此时要使解集中恰有3个正整数，这3个正整数只能是4，5，6，故6当m=3时，不等式解集为∅，此时不合题意；
当m<3时，不等式解集为m,3，显然解集中不可能有3个正整数，故不合题意；
故实数m的取值范围为6,7．
故选：C.
【考点5 一元二次不等式恒成立问题】
【例5.1】（2023·全国·高一假期作业）已知不等式mx2+4mx−4<0对任意实数x恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．m−1C．m|m≤−1或m>0D．m−1【解题思路】分m=0和m≠0，结合二次函数的图象分析得解.
【解答过程】① 若m=0,则−4<0恒成立，满足题意；
② m≠0,则m<0Δ=16m2+16m<0，
∴m<0−1综上所述−1故选：D.
【例5.2】（2023春·广西防城港·高一统考期中）“关于x的不等式x2−2ax+a>0对∀ x∈R恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A．00
【解题思路】利用充分条件、必要条件的判断即可求得结果.
【解答过程】由“关于x的不等式x2−2ax+a>0对∀ x∈R恒成立”，可得Δ=(−2a)2−4a<0，
解得0故选：C.
【变式5.1】（2023·全国·高一假期作业）若不等式a(1+x)≤x2+3对于x∈[0,+∞)恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[0,3]B．[0,2]C．(−∞,2]D．(−∞,3]
【解题思路】原不等式可化为a≤x2+3x+1，设fx=x2+3x+1.只需求出fx在x≥0时的最小值，即可得出答案.
【解答过程】原不等式可化为a≤x2+3x+1，
设fx=x2+3x+1，
则fx=x+12−2x−2+4x+1 =x+1+4x+1−2≥2x+1⋅4x+1−2=2，
当且仅当x+1=4x+1，且x≥0，即x=1时，函数fx有最小值为2.
因为a≤fx恒成立，所以a≤2.
故选：C.
【变式5.2】（2023春·云南文山·高一校联考期中）已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x∣−20恒成立，则m的取值范围为（ ）
A．−∞,43B．−∞,43C．13,+∞D．−∞,13
【解题思路】由不等式的解集为{x∣−20中并用参数分离与基本不等式求得m的取值范围.
【解答过程】由不等式ax2+bx+c>0的解集为{x∣−2故a<0且−ba=−2+3=1,ca=−2×3=−6，即b=−a,c=−6a，
则不等式bx2+amx+2c>0变为−ax2+amx−12a>0，
由于a<0,x∈1,5，则上式可转化为m又x+12x≥2x⋅12x=43，当且仅当x=23时等号成立，
故m<43.
故选：B.
【考点6 一元二次不等式的实际应用】
【例6.1】（2023·全国·高一假期作业）学校要在一块长为40米，宽为30米的矩形地面上进行绿化，四周种植花卉(花卉带的宽度相等)，中间设草坪(如图)．要求草坪的面积不少于总面积的一半，求花卉带宽度的取值范围．

【解题思路】设花卉带的宽度为x米，则草坪的长和宽分别是40−2x米，30−2x米，由面积关系列不等式，化简后解一元二次不等式得答案.
【解答过程】设花卉带的宽度为x米，则草坪的长和宽分别是40−2x米，30−2x米，
则40−2x30−2x≥12×40×3040−2x>030−2x>0x>0，所以x≤5或x≥30x<20x<15x>0，解得0故花卉带宽度的取值范围为0,5（单位：米）．
【例6.2】（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）某商场新进一批风衣，在市场试销中发现，此风衣的销售价p（元/件）与日销售量x之间的关系为p＝160－2x，总成本R为（500＋30x）元，该商场的日销售量在什么范围时，每天获得的利润不少于1300元？
【解题思路】用销售价p乘以件数x减去成本得利润，然后列不等式求解．
【解答过程】由题意(160−2x)x−(500+30x)≥1300，解得20≤x≤45．
所以该商场的日销售量在20≤x≤45时，每天获得的利润不少于1300元．
【变式6.1】（2023·高一课时练习）黔东南某地有一座水库，设计最大容量为128000m3．根据预测，汛期时水库的进水量Sn（单位：m3）与天数nn∈N∗的关系是Sn=5000n(n+t)(n≤10)，水库原有水量为80000m3，若水闸开闸泄水，则每天可泄水4000m3；水库水量差最大容量23000m3时系统就会自动报警提醒，水库水量超过最大容量时，堤坝就会发生危险；如果汛期来临水库不泄洪，1天后就会出现系统自动报警．
(1)求t的值；
(2)当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理由．
【解题思路】（1）根据条件可建立方程128000−80000−50001×(1+t)=23000，解出即可；
（2）设第n天发生危险，由题意得 5000n(n+24)−4000n>128000−80000，解出此不等式，然后可得答案.
【解答过程】（1）由题意得： 128000−80000−50001×(1+t)=23000，
即t=24
（2）由（1）得Sn=5000n(n+24)(n≤10)
设第n天发生危险，由题意得 5000n(n+24)−4000n>128000−80000，即n2+24n−256>0，得n>8．
所以汛期的第9天会有危险.
【变式6.2】（2022秋·北京·高一校考阶段练习）如图所示，已知边长为8m的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE=4m，CD=6m.为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上.
(1)设MP=x m，矩形BNPM的面积为S m2，试写出x的取值范围及S与x的关系式；
(2)要使矩形BNPM的面积不小于42m2，试求x的取值范围.
【解题思路】（1）设PN=y，利用三角形相似得到y=−12x+10，再根据面积公式计算可得；
（2）依题意得到不等式S=−12(x−10)2+50≥42，求出x的取值范围，再根据（1）中x的取值范围计算可得；
【解答过程】（1）
解：设PN=y，作PQ⊥AF于Q，所以PQ=8−y，EQ=x−4，
因为△EDF∽△EPQ，所以EQPQ=EFFD，所以x−48−y=42，
所以y=−12x+10，
设矩形BNPM的面积为S，则S=xy=x(10−x2)=−12(x−10)2+50，x∈4,8；
（2）
解：依题意S=−12(x−10)2+50≥42，解得6≤x≤14，
又4≤x≤8，
所以6≤x≤8，故x的取值范围为6,8.
模块二
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
1．二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．
(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．
2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．
(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．
【考点1 三个“二次”关系的应用】
【例1.1】（2022秋·江苏盐城·高一校联考期中）已知不等式ax2+bx−1>0的解集为(3,4)，则24a+12b的值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解题思路】由韦达定理即可求解.
【解答过程】由题可知：3和4是方程ax2+bx−1=0的两个实数根，
由韦达定理可知：3+4=−ba3×4=−1a，解得：a=−112b=712，
则24a+12b=5.
故选：C.
【例1.2】（2022·全国·高一专题练习）二次方程ax2+bx+c=0a>0的两根为2，−3，那么关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为（ ）
A．x|x>3或 x<−2B．x|x>2或 x<−3
C．x−2【解题思路】根据a>0，确定二次函数y=ax2+bx+c的图象开口方向，再由二次方程ax2+bx+c=0a>0的两根为2，−3，写出不等式的解集.
【解答过程】因为二次方程ax2+bx+c=0a>0的两根为2，−3，
又二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，
所以不等式ax2+bx+c>0的解集为x|x>2或 x<−3，
故选：B.
【变式1.1】（2022秋·吉林长春·高一校考期中）如图是函数y=ax2+bx+c的图象，则不等式ax2+bx+c>0的解集为（ ）
A．xx>2B．xx>−2C．x|x<−2或x>2D．x−2【解题思路】由二次函数与一元二次不等式关系，结合函数图象确定不等式解集.
【解答过程】由二次函数图象可得：若ax2+bx+c>0，则x<−2或x>2，
故不等式ax2+bx+c>0的解集为x|x<−2或x>2.
故选：C.
【变式1.2】（2022秋·江苏苏州·高一校考阶段练习）若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x∣−23ax的解集为（ ）
A．{x∣11}
C．{x∣−3【解题思路】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根之间的关系即可求解.
【解答过程】由题意得−2和1为方程ax2+bx+c=0的两个根且a<0，
则−2+1=−ba−2×1=ca，解得b=a,c=−2a，
所以不等式ax2+1+bx−1+c−a>3ax，即x2−2x−3<0，即x+1x−3<0⇒−1故选:D.
模块三
课后作业
1．（2023·江苏·高一假期作业）不等式xx−9A．3,7B．−∞,3∪7,+∞
C．−7,−3D．−∞,−7∪−3,+∞
【解题思路】直接解不等式得到答案.
【解答过程】xx−9解得3故选A.
2．（2023·全国·高一专题练习）若t>1，则关于x的不等式t−xx−1t>0的解集是（ ）
A．x|1ttC．x|x1tD．x|t【解题思路】首先根据不等式的性质可得1t【解答过程】因为t−1t=t+1t−1t，t>1，所以t−1t>0，所以t>1t.
原不等式t−xx−1t>0可化为所以x−tx−1t<0，解得1t所以，不等式t−xx−1t>0的解集为x|1t故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．x−ax−b≥0等价于(x−a)(x−b)≥0
B．若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2)，则必有a>0
C．不等式x2≤a的解集为[−a,a]
D．若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根，则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为R
【解题思路】根据二次不等式，分式不等式的解法；二次不等式，对应的二次方程，二次函数之间的关系逐一判断每个选项.
【解答过程】A错误，x−ax−b≥0等价于(x−a)(x−b)≥0且x≠b；
B正确，根据二次不等式解集的形式和二次项系数的符号的关系可知其正确；
C错误，当a=0时，其解集为{0}，当a<0时，其解集为∅；
D错误，若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根，则二次函数y=ax2+bx+c(a<0)开口向下且和x轴无交点，则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为∅.
故选：B.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则不等式ax2+bx+c>0的解集是（ ）
A．−2,1B．−∞,−2∪1,+∞C．−2,1D．−∞,−2∪1,+∞
【解题思路】本题可根据图像得出结果.
【解答过程】结合图像易知，
不等式ax2+bx+c>0的解集−2,1，
故选：A.
5．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长x（单位：m）的取值范围是（ ）

A．x15≤x≤20B．x12≤x≤25
C．x10≤x≤30D．x20≤x≤30
【解题思路】根据题意，由相似三角形将AF,FH表示出来，从而表示出S，然后求解不等式，即可得到结果.
【解答过程】
如图，过A作AH⊥BC于H，交DE于F，易知DEBC=AFAH，即x40=AF40，
则AF=x，FH=40−x．所以矩形花园的面积S=x40−x≥300，
解得10≤x≤30．
故选:C．
6．（2023春·湖南·高一校联考期中）若“x2+3x−4<0”是“x2−3m+3x+2m2+3m>0”的一个充分不必要条件，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≤−4或m≥1B．m≤−4或m>−3
C．m≤−1或m≥4D．m<−3或m≥4
【解题思路】解不等式x2+3x−4<0，对实数m的取值进行分类讨论，求出不等式x2−3m+3x+2m2+3m>0的解集，根据题意可得出集合的包含关系，综合可求得实数m的取值范围.
【解答过程】解不等式x2+3x−4<0可得−4由x2−3m+3x+2m2+3m>0可得x−mx−2m−3>0，
①当m=2m+3时，即当m=−3时，不等式x−mx−2m−3>0即为x+32>0，解得x≠−3，
此时，“−4②当m<2m+3时，即当m>−3时，解不等式x−mx−2m−3>0可得x2m+3，
由题意可知，x−42m+3，
所以，m≥1或2m+3≤−4，解得m≤−72或m≥1，所以，m≥1；
③当m>2m+3时，即当m<−3时，解不等式x−mx−2m−3>0可得x<2m+3或x>m，
由题意可得x−4m，
所以，2m+3≥1或m≤−4，解得m≤−4或m≥−1，此时m≤−4.
综上所述，实数m的取值范围是m≤−4或m≥1.
故选：A.
7．（2023·全国·高一专题练习）关于x的不等式x2−2ax−8a2<0解集为x1,x2，且x12−x22=15，则实数a=（ ）
A．52B．−52
C．−52或52D．−54或54
【解题思路】依题意可得x1、x2为方程x2−2ax−8a2=0的解，根据根与系数的关系，得到关于a的方程解得即可，
【解答过程】解：∵x2−2ax−8a2<0的解集为x1,x2，
∴x1,x2为方程x2−2ax−8a2=0的解，
∴x1+x2=2a，x1x2=−8a2，
又x12−x22=15，
∴x12−x222=225，
∴x1+x22−2x1x22−4x1x22=225，
∴144a4=225
∴a2=54，
根据不等式x2−2ax−8a2<0的解集为x1,x2，又x12−x22=15，可得x1x2
故二次函数y=x2−2ax−8a2的对称轴在y轴左侧，即a<0，
∴a=−52.
故选：B．
8．（2023·全国·高一专题练习）若关于x的不等式x2−4x−2−a≤0有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．aa≥−2B．aa≤−2C．aa≥−6D．aa≤−6
【解题思路】直接利用判别式即可研究不等式的解的情况.
【解答过程】若关于x的不等式x2−4x−2−a≤0有解,
则Δ=16+42+a≥0，解得a≥−6.
故选：C.
9．（2023春·山东聊城·高二校联考阶段练习）关于实数x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为−2,1，则不等式ax2+1+bx+1+c<3ax的解集为（ ）
A．0,2B．−∞,0
C．2,+∞D．−∞,0∪2,+∞
【解题思路】根据三个二次之间的关系结合韦达定理可得b=ac=−2a，且a<0，代入所求不等式运算求解即可.
【解答过程】由题意可得：ax2+bx+c=0的解为−2,1，且a<0，
可得−ba=−1ca=−2，解得b=ac=−2a，
则不等式ax2+1+bx+1+c<3ax，即为ax2+1+ax+1−2a<3ax，
且a<0，则x2+1+x+1−2>3x，整理得x2−2x>0，
解得x<0或x>2，即解集为−∞,0∪2,+∞.
故选：D.
10．（2023秋·江苏淮安·高一校考期末）任意x∈−1,1，使得不等式x2−x+12≥m恒成立.则实数m取值范围是（ ）
A．m≥14B．m≤14C．14D．m≤2
【解题思路】由已知可得x2−x+12min≥m，再求函数y=x2−x+12，x∈−1,1的最小值即可得m取值范围.
【解答过程】因为对任意x∈−1,1，不等式x2−x+12≥m恒成立.
所以x2−x+12min≥m，其中x∈−1,1，
设y=x2−x+12，x∈−1,1，因为y=x2−x+12=x−122+14，
所以当x=12时，函数y=x2−x+12，x∈−1,1取最小值，最小值为14，
所以m≤14，
故选：B.
11．（2022秋·陕西西安·高三校考阶段练习）解不等式：
(1)−x2+4x+5>0；
(2)x2−2ax≤−a2+1；
(3)x+12−x≥3.
【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解法求解；
（2）根据一元二次不等式的解法求解；
（3）根据分式不等式的解法求解.
【解答过程】（1）−x2+4x+5>0可化为x2−4x−5<0，即x+1x−5<0，解得−1∴原不等式的解集为x∣−1（2）x2−2ax+a2−1≤0⇔x−a+1x−a−1≤0⇔a−1≤x≤a+1，
∴原不等式的解集为x∣a−1≤x≤a+1.
（3）x+12−x≥3⇔x+12−x−3≥0⇔4x−52−x≥0⇔4x−5x−2≤0
⇔4x−5x−2≤0x−2≠0⇔x54≤x<2.
∴原不等式的解集为x54≤x<2.
12．（2023·高一课时练习）利用函数与不等式的关系．
(1)若不等式ax2−5x+b>0的解集为−23,14，求不等式ax2+5x+b<0的解集；
(2)若不等式ax2+bx+c>0的解集为(1,2)，求不等式cx2−bx+a>0的解集．
【解题思路】（1）由题意知−23+14=5a−23×14=baa<0，求出a,b，代入解不等式即可；
（2）由题意知b=−3ac=2aa<0，代入化简，解不等式即可；
【解答过程】（1）由题意知，方程ax2−5x+b=0的两个根分别为−23和14，且a<0
由韦达定理知−23+14=5a−23×14=ba，解得a=−12b=2，
则不等式ax2+5x+b<0⇒−12x2+5x+2<0
即12x2−5x−2>0⇒4x+13x−2>0，解得：x<−14或x>23
所以不等式的解集为：−∞,−14∪23,+∞
（2）由题意知，方程ax2+bx+c=0的两个根分别为1和2，且a<0
由韦达定理知3=−ba2=ca，即b=−3ac=2a，
则不等式cx2−bx+a>0⇒2ax2+3ax+a>0，又a<0，
则2x2+3x+1<0⇒2x+1x+1<0，解得：−1所以不等式的解集为：−1,−12.
13．（2023春·天津南开·高二校考阶段练习）已知函数fx=ax2+bx−a+2
(1)若关于x的不等式fx>0的解集是−1,3，求实数a,b的值；
(2)若b=2,a>0，解关于x的不等式fx>0．
【解题思路】（1）根据题意并结合一元二次不等式与一元二方程的关系，由不等式的解集，利用韦达定理求实数a,b的值；
（2）不等式可化成ax−a+2x+1>0，由此讨论-1与1−2a的大小关系，分3种情形加以讨论，即可得到所求不等式的解集．
【解答过程】（1）函数fx=ax2+bx−a+2，若关于x的不等式fx>0的解集是−1,3，
∴-1和3是方程ax2+bx−a+2=0的两根，
则有−1+3=−ba−1×3=−a+2a，解得a=−1,b=2.
（2）若b=2,a>0，fx=ax2+2x−a+2=ax−a+2x+1，
令fx=0，解得x=−1或x=1−2a，
当a>1，有1−2a>−1，不等式fx>0的解集为−∞,−1∪1−2a,+∞；
当a=1，有1−2a=−1，不等式fx>0的解集为−∞,−1∪−1,+∞；
当00的解集为−∞,1−2a∪−1,+∞.
14．（2022秋·广东佛山·高一校考阶段练习）某单位在对一个长80m，宽60m的矩形空地进行绿化，设计方案初步确定为：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示．若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，求花坛宽度xm的取值范围．
【解题思路】首先表示出绿草坪的长、宽，即可得到草坪的面积，依题意得到关于x的一元二次不等式，解得即可.
【解答过程】解：花坛的宽度为xm，所以绿草坪的长为80−2xm，宽为60−2xm，
草坪面积为80−2x⋅60−2x=4x2−70x+1200m2，
总面积80×60=4800m2，
根据题意可得4x2−70x+1200≥12×4800，
整理得x2−70x+600≥0，解得x≥60或x≤10．
由题意知x>060−2x>080−2x>0，解得0所以0答：当015．（2022·高一课时练习）已知不等式x2+px>4x+p−4．
(1)若不等式在2≤x≤4时有解，求实数p的取值范围；
(2)若不等式在0≤p≤6时恒成立，求实数x的取值范围．
【解题思路】（1）设f(x)=x2+(p−4)x+4−p，依题意f2>0或f4>0成立，即可得到不等式，解得即可；
（2）设g(p)=p(x−1)+(x2−4x+4)，依题意可得g(0)>0g(6)>0，即可得到不等式组，解得即可.
【解答过程】（1）不等式x2+px>4x+p−4可化为x2+(p−4)x+4−p>0①，
设f(x)=x2+(p−4)x+4−p，
当不等式①在2≤x≤4时有解时，
即存在x∈2,4，使得f(x)>0，
所以f2>0或f4>0成立，
即4+2(p−4)+4−p>0或16+4(p−4)+4−p>0，
解得p>0或p>−34，
所以实数p的取值范围是−34,+∞．
（2）不等式x2+px>4x+p−4化为p(x−1)+(x2−4x+4)>0②，
设g(p)=p(x−1)+(x2−4x+4)，
因为0≤p≤6时不等式②恒成立，
即g(0)>0g(6)>0，
所以x2−4x+4>06(x−1)+(x2−4x+4)>0，
解得x<−1−3或−1+32；
所以实数x的取值范围是−∞,−1−3∪−1+3,2∪2,+∞．