第12讲 幂函数的图象和性质-新高一数学初升高暑假精品课（人教A版必修第一册）

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·模块一 幂函数的概念
·模块二 幂函数的图象与性质
·模块三 课后作业
模块一
幂函数的概念
1．幂函数的概念
(1)幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)幂函数的特征：
①xα的系数为1；
②xα的底数是自变量；
③xα的指数为常数.
只有同时满足这三个条件，才是幂函数.
【考点1 对幂函数的概念的理解】
【例1.1】（2023·全国·高一假期作业）下列函数为幂函数的是（ ）
A．y=2x2B．y=2x2−1C．y=2xD．y=x2
【解题思路】根据幂函数的定义即可求解.
【解答过程】由幂函数的定义可知：y=x2是幂函数，y=2x2，y=2x2−1和y=2x的系数不为1，故不是幂函数，
故选：D.
【例1.2】（2023·全国·高一假期作业）下列函数中不是幂函数的是（ ）
A．y=xB．y=x3C．y=3xD．y=x−1
【解题思路】根据幂函数的定义逐个分析选项即可.
【解答过程】对于选项A，y=x=x12，故它是幂函数．故A项正确；
对于选项B，y=x3是幂函数，故B项正确；
对于选项C，选项x的系数为3，所以它不是幂函数．故C项不成立；
对于选项D，y=x−1是幂函数，故D项正确.
故选：C.
【变式1.1】（2023·全国·高一假期作业）现有下列函数：①y=x3；②y=12x；③y=4x2；④y=x5+1；⑤y=x−12；⑥y=x；⑦y=ax(a>1)，其中幂函数的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】根据幂函数的定义逐个辨析即可
【解答过程】幂函数满足y=xa形式，故y=x3，y=x满足条件，共2个
故选：B.
【变式1.2】（2023秋·云南德宏·高一统考期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ）
A．y=3xB．y=1x2C．y=2x2D．y=x+1x
【解题思路】利用幂函数及函数的奇偶性的定义，结合各选项进行判断即可.
【解答过程】对于A，由幂函数的定义知y=3x=x13是幂函数，由题意可知f(x)的定义域为R,f(−x)=3−x=−3x=−f(x)，所以f(x)是奇函数，符合题意；故A正确；
对于B，由幂函数的定义知y=1x2=x−2是幂函数，由题意可知f(x)的定义域为−∞,0∪0,+∞,f(−x)=1−x2=1x2=f(x)，所以f(x)是偶函数，不符合题意；故B错误；
对于C，由幂函数的定义知y=2x2不是幂函数，不符合题意；故C错误；
对于D，由幂函数的定义知y=x+1x不是幂函数，不符合题意；故D错误；
故选：A.
【考点2 求幂函数的函数值、解析式】
【例2.1】（2023·全国·高一假期作业）已知幂函数f(x)＝xα(α为常数)的图象经过点(2,2)，则f(9)＝（ ）
A．−3B．−13
C．3D．13
【解题思路】代点的坐标求出α的值，得到函数f(x)的解析式，即得解.
【解答过程】由题意f(2)＝2α＝2=212，
所以α＝12，所以f(x)＝x，
所以f(9)＝9＝3.
故选：C.
【例2.2】（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知幂函数fx的图象过点4,12，则fx=（ ）
A．x−12B．x−2C．x12D．x2
【解题思路】设幂函数fx=xα,将4,12代入，求得α ，即得答案.
【解答过程】设幂函数fx=xα，由于fx的图象过点4,12，
故4α=12,∴α=−12，
即fx=x−12，
故选：A.
【变式2.1】（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）已知幂函数fx满足f(6)f(2)=4，则f13的值为（ ）
A．2B．14C．−14D．−2
【解题思路】设出幂函数的解析式，根据已知，求出参数的关系式，即可计算作答.
【解答过程】依题意，设fx=xα，则f(6)f(2)=6α2α=3α=4，
所以f(13)=(13)α=13α=14.
故选：B.
【变式2.2】（2023春·湖北宜昌·高一校联考期中）已知点a3,2在幂函数fx=a−1xb的图象上，则（ ）
A．fx=x−1B．fx=2x12
C．fx=x3D．fx=x13
【解题思路】根据幂函数的定义求出a，将已知点的坐标代入解析式即可求解.
【解答过程】∵函数fx=a−1xb是幂函数，
∴a−1=1，即a=2,∴点8,2在幂函数fx=xb的图象上，
∴8b=2，即b=13，故fx=x13.
故选：D.
模块二
幂函数的图象与性质
1．常见幂函数的图象与性质
温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数．
2．一般幂函数的图象与性质
(1)一般幂函数的图象：
①当α=1时，y=x的图象是一条直线.
②当α=0时，y==1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线.
③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表：
(2)一般幂函数的性质：
通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质：
①所有的幂函数在(0,+)上都有定义，并且图象都过点(1,1).
②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+)上是增函数.
③α<0时，幂函数在区间(0,+)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.
④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限.
⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点.
3．对勾函数的图象与性质
参考幂函数的性质，探究函数的性质.
(1)图象如图：与直线y=x，y轴无限接近.
(2)函数的定义域为；
(3)函数的值域为(-,-2]∪[2,+).
(4)奇偶性：，函数为奇函数.
(5)单调性：由函数的图象可知，函数在(-,-1)，(1,+)上单调递增，在
(-1,0)，(0,1)上单调递减.
【考点1 幂函数的定义域、值域】
【例1.1】（2023·全国·高一假期作业）给出5个幂函数：①y=x−2；②y=x45；③y=x14；④y=x23；⑤y=x−45，其中定义域为R的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
【解题思路】根据幂函数的定义域求得正确答案.
【解答过程】①y=x−2=1x2的定义域为x|x≠0，不符合.
②y=x45=5x4的定义域为R，符合.
③y=x14=4x的定义域为x|x≥0，不符合.
④y=x23=3x2的定义域为R，符合.
⑤y=x−45=15x4的定义域为x|x≠0，不符合.
所以符合的是②④.
故选：C.
【例1.2】（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数f(x)=xα的图像过点(8,4)，则f(x)=xα 的值域是（ ）
A．−∞,0B．−∞,0∪0,+∞
C．0,+∞D．0,+∞
【解题思路】先求出幂函数解析式，根据解析式即可求出值域.
【解答过程】∵幂函数f(x)=xα的图像过点(8,4)，
∴8α=4，解得α=23，
∴f(x)=x23=3x2≥0，
∴ f(x) 的值域是0,+∞.
故选：D.
【变式1.1】（2023·全国·高一假期作业）函数fx=x−1+x12的定义域为（ ）
A．−∞,+∞B．−∞,0∪0,+∞
C．0,+∞D．0,+∞
【解题思路】化简函数解析式，根据函数解析式有意义可得出关于x的不等式组，由此可解得原函数的定义域.
【解答过程】因为fx=x−1+x12=1x+x，则x≠0x≥0，可得x>0，
故函数fx的定义域为0,+∞.
故选：D.
【变式1.2】（2023秋·北京·高一校考期末）下列函数中，其定义域和值域不同的函数是（ ）
A．y=x13 B．y=x−12 C．y=x53 D．y=x23
【解题思路】由幂函数性质可得解.
【解答过程】A中定义域和值域都是R；
B中y=x−12=1x ,定义域和值域都是(0，+∞)；
C中定义域和值域都是R；
D中y=x23=(x13)2定义域为R，值域为[0，+∞)
故选：D.
【考点2 幂函数的图象】
【例2.1】（2023·全国·高一假期作业）如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（ ）
A．①y=x−1，②y=x12，③y=x13B．①y=x−1，②y=x13，③y=x12
C．①y=x13，②y=x12，③y=x−1D．①y=x13，②y=x−1，③y=x12
【解题思路】根据幂函数的图象与性质，逐个判定，即可求解.
【解答过程】由函数y=x−1=1x是反比例函数，其对应图象为①；
函数y=x12=x的定义域为(0,+∞)，应为图②；
因为y=x13的定义域为R且为奇函数，故应为图③.
故选：A.
【例2.2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）若点P4,2在幂函数fx的图象上，则fx的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再进行判断即可得出答案．
【解答过程】设幂函数f(x)=xa，将点P4,2代入，得4a=2，解得a=12，
所以f(x)=x12，定义域为[0,+∞)，且在定义域内单调递增，大致图像为B，
故选：B．
【变式2.1】（2023·全国·高三对口高考）已知幂函数y=xpq（p,q∈Z且p与q互质）的图像如图所示，则（ ）

A．p、q均为奇数且pq<0B．p为奇数，q为偶数且pq<0
C．p为奇数，q为偶数且pq>0D．p为偶数，q为奇数且pq<0
【解题思路】根据图像的对称性及形状结合幂函数的图像特征可直接解答.
【解答过程】由图像知函数为偶函数，所以p为偶数，且由图像的形状判定pq<0，
又因为p与q互质，所以q为奇数，
故选：D.
【变式2.2】（2023·全国·高一假期作业）如图所示，图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象，已知n取±2，±12四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为（ ）
A．−2，−12，12，2B．2，12，−12，−2
C．−12，−2，2，12D．2，12，−2，−12
【解题思路】根据幂函数的图象在第一象限内的特征即可得答案.
【解答过程】解：根据幂函数y=xn的性质，在第一象限内的图象:
当n>0时，n越大，y=xn递增速度越快，故C1的n=2，C2的n=12；
当n<0时，n越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n=−12，曲线C4的n=−2.
故选:B.
【考点3 由幂函数的图象与性质求参数】
【例3.1】（2023·全国·高一假期作业）幂函数fx=m2−3xm在第一象限内是减函数，则m=（ ）
A．2B．2C．−2D．−2
【解题思路】先根据幂函数定义求出m的可能值，再结合函数的单调性即可得解.
【解答过程】由幂函数的定义可知m2−3=1，解得m=±2，
由幂函数的单调性可知m<0，所以m=−2．
故选:D．
【例3.2】（2023秋·陕西榆林·高一统考期末）已知幂函数f(x)=m2−2m−2xm−2的图象经过原点，则m=（ ）
A．－1B．1C．3D．2
【解题思路】令m2−2m−2=1求解，再根据函数图象经过原点判断.
【解答过程】解：令m2−2m−2=1，解得m=−1或m=3.
当m=−1时，fx=x−3的图象不经过原点.
当m=3时，fx=x的图象经过原点.
故选：C.
【变式3.1】（2023秋·浙江杭州·高一校考期末）已知幂函数fx=n2+2n−2⋅xn2−2n在0,+∞上是减函数，则n的值为（ ）
A．−3B．1C．3D．1或−3
【解题思路】先由函数是幂函数，得到n=−3或n=1，再分别讨论，是否符合在0,+∞上是减函数的条件.
【解答过程】因为函数fx是幂函数，则n2+2n−2=1，
所以n=−3或n=1.
当n=−3时，fx=x15在0,+∞上是增函数，不合题意.
当n=1时fx=x−1在0,+∞上是减函数，成立.
故选：B.
【变式3.2】（2023秋·广西贵港·高一统考期末）若幂函数fx=x−m2+2m+259的图象关于y轴对称，fx解析式的幂的指数为整数, fx在−∞,0上单调递减，则m=（ ）
A．19B．19或499C．−13D．−13或73
【解题思路】由题意知fx是偶函数，fx在−∞,0上单调递减,可得−m2+2m+259为正偶数，再根据−m2+2m+259的范围可得答案.
【解答过程】由题意知fx是偶函数，因为fx在−∞,0上单调递减,
所以−m2+2m+259为正偶数，
又−m2+2m+259=−(m−1)2+349≤349，
∴−(m−1)2+349=2，解得m=73或−13．
故选：D．
【考点4 比较幂值的大小】
【例4.1】（2023春·浙江·高一校联考期中）记a=0.20.1,b=0.10.2,c=(2)−0.5，则（ ）
A．a>b>cB．b>c>a
C．a>c>bD．c>a>b
【解题思路】把三个数的指数都化为0.1，利用幂函数的单调性比大小.
【解答过程】a=0.20.1，b=，
c=(2)−0.5=(2)−50.1=280.1，
0.2>28>0.01，由幂函数y=x0.1在0,+∞上单调递增，所以a>c>b.
故选：C.
【例4.2】（2023春·辽宁鞍山·高一校联考阶段练习）已知a=3513,b=35−13,c=2513，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a【解题思路】根据幂函数的单调性进行判断即可.
【解答过程】b=35−13=5313，因为函数y=x13是实数集上的增函数，
所以由53>35>12可得：5313>3513>2513，即c故选：C.
【变式4.1】（2023·河北·高三学业考试）已知a=250.3，b=130.3，c=13−0.3，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a【解题思路】根据幂函数的单调性确定函数值大小，即可得a，b，c的大小关系.
【解答过程】由于幂函数y=x0.3在0,+∞上单调递增，又a=250.3，b=130.3，c=13−0.3=30.3，
13<25<3，所以130.3<250.3<30.3，则b故选：D.
【变式4.2】（2023·高一课时练习）设幂函数fx的图像经过点12,2，若实数m>1，则fm与fm−1的大小关系是（ ）
A．fm−1>fmB．fm−1【解题思路】根据已知点求出fx=x−12在0,+∞单调递减，根据单调性即可判断.
【解答过程】由题可设fx=xα，代入点12,2，则12α=2，解得α=−12，
则fx=x−12在0,+∞单调递减，
因为m>1，所以可得0fm.
故选：A.
【考点5 利用幂函数的性质解不等式】
【例5.1】（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数fx的图象过点2,32，若fa+1+f−1>0，则a的取值范围为（ ）
A．2,+∞B．1,+∞C．0,+∞D．−1,+∞
【解题思路】利用待定系数法求出幂函数的解析式，可得其为奇函数，且在R上单调递增，fa+1+f−1>0可转化为fa+1>f1，根据单调性即可求解.
【解答过程】设幂函数y=fx=xα，其图象过点2,32，所以2α=32，解得α=5，
所以fx=x5.
因为f−x=−x5=−fx，所以fx=x5为奇函数，且在R上单调递增，
所以fa+1+f−1>0可化为fa+1>−f−1=f1，
可得a+1>1，解得a>0，所以a的取值范围为0,+∞.
故选:C.
【例5.2】（2022秋·河南洛阳·高一统考期中）已知幂函数y=fx过点2,2，则fx+1<2的解集为（ ）
A．−1,4B．−1,1C．−1,3D．−∞,3
【解题思路】求出幂函数fx的解析式，再解不等式fx+1<2即可得解.
【解答过程】设fx=xa，则f2=2a=2，则a=12，∴fx=x12=x，
由fx+1=x+1<2可得0≤x+1<4，解得−1≤x<3，
因此，不等式fx+1<2的解集为−1,3.
故选：C.
【变式5.1】（2023·全国·高三专题练习）已知fx=m2−2m−7xm−23是幂函数，且在0,+∞上单调递增，则满足fa−1>1的实数a的范围为（ ）
A．−∞,0B．2,+∞C．0,2D．−∞,0∪2,+∞
【解题思路】由幂函数的定义求得m的可能取值，再由单调性确定m的值，得函数解析式，结合奇偶性求解.
【解答过程】由题意m2−2m−7=1，解得m=4或m=−2，
又f(x)在0,+∞上单调递增，所以m−23>0，m>2，
所以m=4，f(x)=x23，易知f(x)是偶函数，
所以由fa−1>1得a−1>1，解得a<0或a>2.
故选：D.
【变式5.2】（2023秋·江苏苏州·高一统考期末）已知幂函数y=xm2−2m−3m∈N∗的图象关于y轴对称，且在0,+∞上单调递减，则满足a+1−m3<3−2a−m3的a的取值范围为（ ）
A．0,+∞B．−23,+∞
C．0,32D．−∞,−1∪23,32
【解题思路】由条件知m2−2m−3<0，m∈N∗，可得m＝1．再利用函数y=x−13的单调性，分类讨论可解不等式.
【解答过程】幂函数y=xm2−2m−3m∈N∗在0,+∞上单调递减，故m2−2m−3<0，解得−1当m＝1时，y=x−4的图象关于y轴对称，满足题意；
当m＝2时，y=x−3的图象不关于y轴对称，舍去，故m＝1．
不等式化为a+1−13<3−2a−13，
函数y=x−13在−∞,0和0,+∞上单调递减，
故a+1>3−2a>0或0>a+1>3−2a或a+1<0<3−2a，解得a<−1或23故选：D．
模块三
课后作业
1．（2022秋·云南西双版纳·高一校考期中）下列结论正确的是（ ）
A．幂函数的图象一定过原点
B．α=1,3,12时，幂函数y=xα是增函数
C．幂函数的图象会出现在第四象限
D．y=2x2既是二次函数，又是幂函数
【解题思路】利用幂函数的简单性质判断即可．
【解答过程】解：幂函数图象不一定过原点，例如y=x−1，函数的图象不经过原点，故A不正确；
当α=1,3,12时，幂函数y=x，y=x3，y=x12=x在定义域内均为增函数，故B正确；
由函数的定义及幂函数在第一象限均有图象可知，幂函数的图象不会出现在第四象限，故C不正确；
函数y=2x2是二次函数，但是不是幂函数，幂函数得形如y=xαα∈R，故D不正确.
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）下列关于幂函数y=xα的命题中正确的有（ ）
A．幂函数图象都通过点(0,0),(1,1)
B．当幂指数α=1,3,−1时，幂函数y=xα的图象都经过第一、三象限
C．当幂指数α=1,3,−1时，幂函数y=xα是增函数
D．若α<0，则函数图象不通过点(0,0),(1,1)
【解题思路】根据幂函数的性质，结合α取值的情况，一一判断各选项的正误，可得答案.
【解答过程】对于A，当α<0时，幂函数图象不通过点(0,0)，A错误；
对于B，幂指数α=1,3,−1时，幂函数分别为y=x,y=x3,y=x−1 ，三者皆为奇函数，
图象都经过第一、三象限，故B正确；
对于C，当α=−1时，幂函数y=x−1在(−∞,0),(0,+∞)上皆单调递减，C错误；
对于D，若α<0，则函数图象不通过点(0,0)，通过(1,1)点，D错误，
故选：B.
3．（2023·全国·高一假期作业）下列函数，既是幂函数，又是奇函数的是（ ）
A．fx=−x3B．fx=xC．fx=1x4D．fx=x5
【解题思路】根据幂函数的定义排除A；
fx=x是非奇非偶的函数，所以排除B;
fx=1x4是偶函数，所以排除C；
fx=x5，既是幂函数，又是奇函数，所以选D.
【解答过程】根据幂函数的定义：形如y=xaa∈R的函数是幂函数，排除A；
fx=x的定义域为[0,+∞)，不关于原点对称，所以是非奇非偶的函数，所以排除B;
fx=1x4是偶函数，所以排除C；
fx=x5，既是幂函数，又是奇函数，所以选D.
故选：D.
4．（2023秋·云南怒江·高一校考期末）若幂函数y=fx的图象经过12,2，则f−3=（ ）
A．13B．3C．−13D．−3
【解题思路】设出幂函数的解析式，根据其图象过的点求得参数，可得解析式，即可求得答案.
【解答过程】设幂函数y=fx=xa，其图象过点12,2，
则12a=2，故a=−1，
∴fx=x−1，∴f−3=−3−1=−13,
故选：C.
5．（2023秋·贵州黔东南·高一统考期末）已知幂函数fx=kxα的图像过点13,9，则k+α的值为（ ）
A．2B．1C．−1D．0
【解题思路】由幂函数定义可得k，后结合图像过点13,9可得答案.
【解答过程】由fx=kxα为幂函数，知k=1.又函数图像过点13,9，则9=13α⇒α=−2，故k+α=−1.
故选：C.
6．（2023秋·河北承德·高一统考期末）若幂函数fx=m2−4m+4xm−2在0,+∞上单调递增，则m=（ ）
A．3B．1或3C．4D．4或6
【解题思路】依题意可得m2−4m+4=1m−2>0，解得即可.
【解答过程】解：因为幂函数fx=m2−4m+4xm−2在0,+∞上单调递增，
所以m2−4m+4=1m−2>0，解得m=3.
故选：A.
7．（2023·全国·高三专题练习）如图所示是函数y=xmn(m、n∈N∗且互质)的图象，则（ ）
A．m、n是奇数且mn<1B．m是偶数，n是奇数，且mn>1
C．m是偶数，n是奇数，且mn<1D．m、n是偶数，且mn>1
【解题思路】根据幂函数的性质及图象判断即可；
【解答过程】解：∵函数y=xmn=nxm的图象关于y轴对称，故n为奇数，m为偶数，
在第一象限内，函数是凸函数，故mn<1，
故选：C.
8．（2023秋·重庆·高一校联考期末）已知幂函数fx=xα的图象过点2,22，则下列说法中正确的是（ ）
A．fx的定义域为RB．fx的值域为R
C．fx为奇函数D．fx为减函数
【解题思路】首先求出幂函数解析式，再根据幂函数的性质一一判断即可.
【解答过程】因为幂函数fx=xα的图象过点2,22，所以2α=22，所以α=−1，
所以fx=x−1=1x，定义域为x|x≠0，值域为y|y≠0，故A错误，B错误；
f−x=1−x=−fx，即fx为奇函数，故C正确；
fx分别在−∞,0，0,+∞上单调递减，由f−1故选：C.
9．（2023·高一课时练习）已知fx=1x2，若0A．faC．fa【解题思路】确定函数在0,+∞上单调递减，得到函数值的大小关系.
【解答过程】fx=1x2=x−2在0,+∞上单调递减，0故f1a故选：B.
10．（2022秋·山东泰安·高一校考阶段练习）已知幂函数f(x)=a2−2a−2xa(a∈R)在(0,+∞)上单调递增，不等式f(x+5)A．(−∞,−5)∪(1,+∞)B．(−∞,−1)∪(5,+∞)C．(−1,5)D．(−5,1)
【解题思路】根据幂函数的定义及性质求出a的值，然后判断函数的单调性，利用单调性即可求解不等式的解集.
【解答过程】解：因为函数f(x)=a2−2a−2xa(a∈R)为幂函数，所以a2−2a−2=1，解得a=3或a=−1，
又幂函数f(x)=a2−2a−2xa(a∈R)在(0,+∞)上单调递增，
所以a=3，此时f(x)=x3在R上单调递增，
因为f(x+5)5或x<−1，
所以不等式f(x+5)故选：B.
11．（2023·高一课时练习）已知幂函数y=f(x)经过2,18．
(1)试求函数fx的解析式；
(2)写出函数的单调区间．
【解题思路】（1）设出fx的表达式，利用点2,18进行求解.
（2）根据函数的单调性求得正确答案.
【解答过程】（1）设幂函数y=xα，α∈R．由函数经过点2,18得2α=18，∴α=−3．
所以，幂函数的解析式为fx=x−3．
（2）由（1）得幂函数的解析式为fx=x−3=1x3，
定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，其单调减区间为(−∞,0)和(0,+∞)．
12．（2023·全国·高一假期作业）已知幂函数y=fx=x−2m2−m+3(−2(1)求同时满足①②的幂函数fx的解析式，
(2)在（1）条件下，求x∈0,3时fx的值域.
【解题思路】（1）由②得函数为奇函数，对m分类讨论判断即可；
（2）利用函数单调性求值域.
【解答过程】（1）对任意的x∈R，都有f−x+fx=0，∴fx是奇函数.
−2当m=0时，fx=x3，满足①②；
当m=1时，fx=1，不满足①②.
故幂函数fx的解析式为fx=x3；
（2）x∈0,3，fx=x3∈0,27，故fx的值域为0,27.
13．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）已知幂函数y=fx的图象经过点12,2．
(1)求fx的解析式，并指明函数fx的定义域；
(2)设函数gx=x+fx，用单调性的定义证明gx在1,+∞单调递增．
【解题思路】（1）由待定系数法可得解析式，根据解析式有意义可得定义域；
（2）按照步骤：取值，作差，定号，下结论证明即可.
【解答过程】（1）设fx=xα，则12α=2，∴α=−1，
则fx=1x，
fx的定义域是−∞,0∪0,+∞；
（2）由（1）知gx=x+1x，任取x1>x2>1，则
gx1−gx2=x1−x2+1x1−1x2=x1−x2−x1−x2x1x2=x1−x2x1x2−1x1x2，
∵x1>x2>1，∴x1−x2>0，x1x2>1，x1x2−1>0，
∴gx1−gx2>0，即gx1>gx2，
∴gx在1,+∞上单调递增．
14．（2023·高一课时练习）比较下列各组数的大小：
(1)−2−3，−2.5−3；
(2)−8−78，−1978；
(3)1234，1534，1214．
【解题思路】（1）利用幂函数的单调性进行比较大小.
（2）利用幂函数的单调性、不等式的性质进行比较大小.
（3）利用幂函数的单调性、分数指数幂的性质进行大小比较.
【解答过程】（1）因为幂函数y=x−3在−∞,0上单调递减，且−2>−2.5，所以−2−3<−2.5−3．
（2）因为幂函数y=x78在0,+∞上为增函数，且−8−78=−1878，18>19，所以1878>1978，所以−1878<−1978，所以−8−78<−1978．
（3）1234=1814，1534=112514，1125<18<12，
因为幂函数y=x14在0,+∞上单调递增，
所以1534<1234<1214．
15．（2023·高一单元测试）已知函数f(x)=m2+m−1xm是幂函数，且在(0,+∞)上是减函数.
（1）求实数m的值；
（2）请画出f(x)的草图.
（3）若f(2a−1)>f(a),a∈R成立，求a的取值范围.
【解题思路】（1）根据幂函数的定义得m2+m−1=1，结合单调性取舍；
（2）根据幂函数的单调性作第一象限的图象，再根据奇偶性作y轴左侧图象；
（3）根据奇偶性和单调性，等价转化为解|2a−1|<|a|.
【解答过程】（1）由函数f(x)是幂函数，
则m2+m−1=1，
解得m=−2或m=1，
又因为f(x)在(0,+∞)上是减函数，
故m=−2.
（2）由（1）知，f(x)=x−2，
则f(x)的大致图象如图所示：
（3）由（2）知，f(x)的图象关于y轴对称，且在(0,+∞)上递减，
则由f(2a−1)>f(a)，
得|2a−1|<|a|，
即(2a−1)2解得13又a≠12
∴a的取值范围为(13,12)∪(12,1).幂函数
图象
定义域
R
R
R
值域
R
R
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在R上为增函数
，增函数
，减函数
在R上为增函数
在上为增函数
，增函数
，减函数
定点
（1,1）
（p、q互质）
p，q都是奇数
p是偶数，q是奇数
p是奇数，q是偶数