第06讲 等式性质与不等式性质-新高一数学初升高暑假精品课（人教A版必修第一册）

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·模块一 不等关系
·模块二 比较大小
·模块三 等式性质与不等式性质
·模块四 课后作业
模块一
不等关系
1．不等关系的建立
在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组．
【考点1 不等关系的建立】
【例1.1】（2022秋·甘肃庆阳·高一校考阶段练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（ ）
A．4×x0.5<150B．4×x0.5≥150C．4×x0.5≤150D．4×x0.5>150
【例1.2】（2022秋·四川眉山·高一校考阶段练习）将一根长为5m的绳子截成两段，已知其中一段的长度为xm，若两段绳子长度之差不小于1m，则x所满足的不等关系为（ ）
A．2x−5>00C．5−2x≥10【变式1.1】（2023秋·甘肃酒泉·高一统考期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过72000cm3，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（ ）
A．a+b+c<130且abc<72000B．a+b+c>130且abc>72000
C．a+b+c≤130且abc≤72000D．a+b+c≥130且abc≥72000
【变式1.2】（2023·高一课时练习）如图两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，图（2）是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a,ba≠b的不等式表示出来（ ）
A．12a2+b2>abB．12a2+b2模块二
比较大小
1．两个实数大小的比较
如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么ab⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，a从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．
【考点1 利用作差法、作商法比较大小】
【例1.1】（2023·全国·高三专题练习）已知p∈R，M=(2p+1)(p−3)，N=(p−6)(p+3)+10，则M，N的大小关系为（ ）
A．MN
C．M≤ND．M≥N
【例1.2】（2023·全国·高一专题练习）已知c＞1，且x＝c+1－c，y＝c－c−1，则x，y之间的大小关系是（ ）
A．x＞yB．x＝y
C．x＜yD．x，y的关系随c而定
【变式1.1】（2023·全国·高三专题练习）已知a>0，b>0，M＝a+b，N＝a+b，则M与N的大小关系为（ ）
A．M>NB．M【变式1.2】（2022秋·河北石家庄·高三校考开学考试）若实数m，n，p满足m=4e35，n=5e23，p=18e2，则（ ）
A．p【考点2 利用作差法比较大小的应用】
【例2.1】（2023·全国·高一专题练习）因工作需求，张先生的汽车一周需两次加同一种汽油．现张先生本周按照以下两种方案加油（两次加油时油价不一样），甲方案：每次购买汽油的量一定；乙方案：每次加油的钱数一定．问哪种加油的方案更经济？（ ）
A．甲方案B．乙方案C．一样D．无法确定
【例2.2】（2023·全国·高三专题练习）某城市有一个面积为1km2的矩形广场，该广场为黄金矩形（它的宽与长的比为5−12），现在在中央设计一个矩形草坪，四周是等宽的步行道，能否设计恰当的步行道的宽度使矩形草坪为黄金矩形？则下列选项正确的是（ ）
A．步行道的宽度10mB．步行道的宽度20m
C．步行道的宽度30mD．草坪不可能为黄金矩形
【变式2.1】（2023秋·吉林·高一统考期末）用x和y分别表示民用住宅的窗户面积和地板面积（一般来讲，窗户面积比地板面积小）．显然，比值xy越大，住宅的采光条件越好．当窗户面积和地板面积同时增加l时，住宅的采光条件会得到改善（单位：m2）．现将这一事实表示为不等式，以下正确的是（ ）
A．xyx>0,l>0B．xy>x+ly+l y>x>0,l>0
C．xyy>0,l>0D．xy>x+ly+l x>y>0,l>0
【变式2.2】（2023·全国·高一专题练习）古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ）
A．大于10gB．小于10gC．大于等于10gD．小于等于10g
模块三
等式性质与不等式性质
1．等式的基本性质
性质1 如果a＝b，那么b＝a；
性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 如果a＝b，c≠0，那么eq \f(a,c)＝eq \f(b,c).
2．不等式的性质
(1)如果a>b，那么bb.即a>b⇔b(2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.
(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.
(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac(5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
【考点1 利用不等式的性质判断正误】
【例1.1】（2023春·广西·高一校联考期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．若aC．若a>b，c>d，则ac>bdD．若a>b>c>0，则ca【例1.2】（2023·全国·高一专题练习）已知 a>b，其中a、b∈R，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a2>b2B．−a>−bC．3a>3bD．a>b
【变式1.1】（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．如果a>b，则ac>bcB．如果a>b，则ac2>bc2
C．如果ac2>bc2，则a>bD．如果a>b，c>d，则ac>bd
【变式1.2】（2023·高一课时练习）已知a,b∈R+，且a2−b2=1，则（ ）
A．a−b<0B．a−b<1C．a4−b4<1D．a−b>1
【考点2 利用不等式的性质证明不等式】
【例2.1】（2023·高一课时练习）若a>b>0，ce(b−d)2
【例2.2】（2023·高一课时练习）（1）若bc－ad≥0，bd>0，求证：a+bb≤c+dd；
（2）已知c>a>b>0，求证：ac−a>bc−b
【变式2.1】（2023·高一课时练习）利用不等式的性质证明下列不等式：
(1)若a0；
(2)若a<0，−1【变式2.2】（2023·高一课时练习）已知三个不等式：①ab>0；②ca>db；③bc>ad. 若以其中两个作为条件，余下的一个作为结论，请写出一个真命题，并写出推理过程.
【考点3 利用不等式的性质求取值范围】
【例3.1】（2023·高一课时练习）已知1≤a+b≤5，−1≤a−b≤3，求3a−2b的取值范围.
【例3.2】（2023·高一课时练习）实数a、b满足−3≤a+b≤2，−1≤a−b≤4.
(1)求实数a、b的取值范围；
(2)求3a−2b的取值范围．
【变式3.1】（2023·高一课时练习）设实数x，y满足1≤xy2≤2，2≤x2y≤3，求x4y7的取值范围.
【变式3.2】（2023·高一课时练习）已知实数x,y分别满足，1（1）分别求2x+3y与4x−5y的取值范围；
（2）若x模块四
课后作业
1．（2022·高一课时练习）下列说法正确的为（ ）
A．x与2的和是非负数，可表示为“x+2>0”
B．小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x>y”
C．△ABC的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为“a+b>c且a+c>b且b+c>a”
D．若某天的最低温度为7℃，最高温度为13℃，则这天的温度t可表示为“7℃2．（2023·高一课时练习）下列各式中，不能判断其符号的是（ ）
A．a2+a+1B．a2−a+1C．|a|+a+1D．a2+|a|−1
3．（2023·云南曲靖·校考模拟预测）某学生月考数学成绩 x不低于100分，英语成绩 y 和语文成绩 z 的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为（ ）
A．x>100200C．x>100200≤y+z≤240D．x≥1002004．（2023·全国·高一专题练习）下列不等式正确的是（ ）
A．若ac2≥bc2，则a≥b
B．若ca>cb，则aC．若a+b>0，c−b>0，则a>c
D．若a>0，b>0，m>0，且aab
5．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）已知1A．(0,12)B．(−2,10)C．(−2,12)D．(0,10)
6．（2023·全国·高一专题练习）已知实数x，y满足−4≤x−y≤−1，−1≤2x−y≤5，则y的取值范围是（ ）
A．y0≤y≤9B．y−5≤y≤4
C．y1≤y≤13D．y0≤y≤13
7．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）若a>b>1，若m=a2−b,n=b2−a，则m与n的大小关系是（ ）
A．m＞nB．m＝nC．m＜nD．m≥m
8．（2022秋·安徽合肥·高一校考期末）下列命题为真命题的是（）
A．若a>b>0，则ac2>bc2B．若a>b>0，则a2>b2
C．若a9．（2022秋·河南焦作·高二统考期末）已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导成立的是（ ）
A．若a>b，cb+dB．若a>b，c>d⇒ac>bd
C．若bc−ad>0，ca−db<0⇒ab>0D．若a>b>0，c>d>0⇒ad>bc
10．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一校考期中）同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同.爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”这个时候小明若有所思，如果爸爸､妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x元/升，第二次加油汽油单价是y元/升(x≠y)，妈妈每次加满油箱，需加油a升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸､妈妈谁更合算呢？（ ）
A．爸爸B．妈妈C．一样D．不确定
11．（2023·高一课时练习）对于实数a,b,c,判断下列命题的真假:
(1)若a>b,则ac(2)若ac2>bc2,则a>b;
(3)若a|b|.
12．（2023·高一课时练习）比较大小：
(1)a2+b2和2(a−b−1)；
(2)b2a+a2b和a+b，其中a<0,b<0．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知214．（2022·高一课时练习）证明下列不等式：
(1)已知a>b，e>f，c>0，求证f−ac(2)已知a>b>0,c15．（2023秋·广东·高一统考期末）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积与地板面积分别为am2，bm2．
(1)若这所公寓的窗户面积与地板面积的总和为220m2，求这所公寓的窗户面积至少为多少平方米；
(2)若同时增加窗户面积和地板面积各nm2，判断这所公寓的采光效果是否变好了，并说明理由．