第09讲 函数的概念及其表示-新高一数学初升高暑假精品课（人教A版必修第一册）

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·模块一 函数的概念
·模块二 函数的相等
·模块三 函数的表示法
·模块四 课后作业
模块一
函数的概念
1．函数的概念
(1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数(functin)，记作y=f(x)，xA.
(2)函数的四个特征：
①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的.
②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.
③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应.
④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定
的关系就不一定是函数关系.
2．函数的三要素
(1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．
(2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域(range).
(3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．
【考点1 对函数概念的理解】
【例1.1】（2023·全国·高一假期作业）下列变量间为函数关系的是（ ）
A．匀速行驶的客车在2小时内行驶的路程
B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系
C．一只60瓦的白炽灯在7小时内的耗电量与时间t的关系
D．生活质量与人的身体状况间的关系
【例1.2】（2023·全国·高一假期作业）下列各函数图象中，不可能是函数y=fx的图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1.1】（2023·高一课时练习）下列四个式子中，y是x的函数的是（ ）
A．y2=xB．y=x−2+11−x
C．y=x2,x<0−x2,x≥0D．y=0,x为有理数,1,x为实数
【变式1.2】（2023·高一课时练习）设集合 M={x∣0≤x≤2}，N={y∣0≤y≤2}，那么下面的 4 个图形中，能表示集合M到集合N的函数图象的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点2 函数的定义域问题】
【例2.1】（2023·全国·高一假期作业）函数f(x)=x−1x+1的定义域是（ ）
A．{x∈R∣x≠−1}B．{x∈R∣x≠1}
C．{x∈R∣x≠±1}D．{x∈R∣x≠−1或x≠1}
【例2.2】（2023·高一单元测试）已知函数y=fx+1的定义域是[−2,3]，则y=fx−1的定义域是（ ）
A．[−2,3]B．[−1,4]C．[0,5]D．[−4,1]
【变式2.1】（2023春·辽宁·高二校联考阶段练习）若函数f2x−1的定义域为−3,1，则y=f3−4xx−1的定义域为（ ）
A．1B．1,32C．32,52D．1,52
【变式2.2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)的定义域为(0,1)，若c∈(0,12)，则函数g(x)=f(x+c)+f(x−c)的定义域为（ ）
A．(−c,1−c)B．(c,1−c)C．(1−c,c)D．(c,1+c)
【考点3 函数的值域问题】
【例3.1】（2023·全国·高一假期作业）下列函数中，值域为0,+∞的是（ ）
A．y=xB．y=1x
C．y=1xD．y=x2+x+1
【例3.2】（2022秋·四川遂宁·高一校考期中）若函数f（x）＝x2﹣8x+15的定义域为[1，a]，值域为[﹣1，8]，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，4）B．（4，7）C．[1，4]D．[4，7]
【变式3.1】（2023·全国·高一专题练习）函数fx的定义域为0,1，值域为1,2，那么函数fx+2的定义域和值域分别是（ ）
A．0,1，1,2B．2,3，3,4
C．−2,−1，1,2D．−2,−1，3,4
【变式3.2】（2023春·浙江·高二统考学业考试）已知函数y=f(x)的定义域是R，值域为[−2,8]，则下列函数中值域也为[−2,8]的是（ ）
A．y=3f(x)+1B．y=f(3x+1)C．y=−f(x)D．y=|f(2x)|
【考点4 求函数值或由函数值求参】
【例4.1】（2023·辽宁·校联考一模）若函数fx满足fx−x=2f2−x，则f3=（ ）
A．−1B．−13C．13D．1
【例4.2】（2023·高一课时练习）下表给出了x与f(x)和g(x)的对应关系，根据表格可知f[g(1)]的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式4.1】（2023春·山东烟台·高二校考阶段练习）已知函数fx−1=x2−2x，且fa=3，则实数a的值等于（ ）
A．2B．±2C．2D．±2
【变式4.2】（2023·高一课时练习）已知f(x−1)=x+1x，则使得f(x)=2的x值为（ ）
A．1B．−1C．0D．2
模块二
函数的相等
1．函数的相等
同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数.
2．区间的概念
设a，b是两个实数，而且a(1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；
(2)满足不等式a(3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b].
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.
【考点1 同一函数的判断】
【例1.1】（2023·全国·高一假期作业）下列各函数中，与函数g(x)=x2表示同一函数的是（ ）
A．f(x)=|x|B．f(x)=±|x|
C．f(x)=x2|x|D．f(x)=x0⋅|x|
【例1.2】（2023秋·山东淄博·高一统考期末）与y=x表示同一个函数的是（ ）
A．y=x2B．y=x2
C．y=t,t>0−t,t<0D．y=x2x
【变式1.1】（2023·全国·高三专题练习）下列每组中的函数是同一个函数的是（ ）
A．fx=x，gx=x2B．ft=t，gx=x2
C．fx=−2x3，gx=−2xD．fx=x2−9x−3，gx=x+3
【变式1.2】（2023·全国·高一专题练习）下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．fx=x与gx=x
B．fx=(x+2)2与gx=(x+2)2
C．fx=x与gx=xx
D．fx=x与gx=3x3
模块三
函数的表示法
1．函数的表示法
函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.
(1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；
(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；
(3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.
2．抽象函数与复合函数
(1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．
(2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数.
【考点1 函数的表示法】
【例1.1】（2023·全国·高三专题练习）若函数y=fx的定义域为M={x∣−2≤x≤2}，值域为N={y∣0≤y≤2}，则函数y=fx的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【例1.2】（2023·全国·高三对口高考）如图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）
A．y=32|x−1|(0≤x≤2)
B．y=32−32|x−1|(0≤x≤2)
C．y=32−|x−1|(0≤x≤2)
D．y=1−|x−1|(0≤x≤2)
【变式1.1】（2022秋·高一课时练习）如图所示，是吴老师散步时所走的离家距离y与行走时间x之间的函数关系的图象，若用黑点表示吴老师家的位置，则吴老师散步行走的路线可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1.2】（2022秋·安徽·高一校联考期中）若函数f(x)和g(x)分别由下表给出：
满足g(f(x))＝1的x值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点2 分段函数】
【例2.1】（2022秋·天津和平·高一校考期中）设函数f(x)=1−x2,x≤1(x+2)(x−1),x>1，f1f(2)的值为（ ）
A．89B．1516C．−15D．18
【例2.2】（2022秋·高一课时练习）已知f(x)=2x,x>0f(x+1),x≤0, 则f43+f−43的值等于（ ）
A．-2B．4C．2D．-4
【变式2.1】（2022秋·福建福州·高一校考阶段练习）已知函数fx=2x,x>0x+1,x≤0，若fa+f1=0，则实数a的值等于（ ）
A．−3B．−1C．1D．3
【变式2.2】（2022·全国·高一专题练习）已知函数f(x)=x2+x，0A．2B．516C．6D．172
模块四
课后作业
1．（2023·全国·高一专题练习）已知集合A=0,+∞,B=1,+∞，下列对应关系中从A到B的函数为（ ）
A．f:x→y=xB．f:x→y=x2
C．f:x→y=2xD．f:x→y=2x+2
2．（2023·江苏·高一假期作业）设函数f(x)=x−6x+2，则当f(x)=2时，x的取值为（ ）
A．-4B．4C．-10D．10
3．（2023·高一课时练习）已知函数y=fx且fx−2=2x−2，则f2等于（ ）
A．5B．6C．2D．10
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=x−3−17−x的定义域为（ ）
A．3,7B．3,7C．−∞，3D．7,+∞
5．（2022秋·河北张家口·高一统考期末）已知函数fx=3+3x,−3≤x<1x2−3x,1≤x≤3，则ff32=（ ）
A．−274B．−154C．−2716D．−1516
6．（2023·全国·高三专题练习）若函数y=ax2+4x+1的值域为0,+∞，则a的取值范围为（ ）
A．0,4B．4,+∞C．0,4D．4,+∞
7．（2023·河北衡水·河北校考模拟预测）已知函数y=fx的定义域为0,4，则函数y=f(x+1)x−1+(x−2)0的定义域是（ ）
A．1,5B．1,2∪2,5C．1,2∪2,3D．1,3
8．（2022秋·湖南怀化·高一校联考期末）已知函数fx=x2x≤0−1xx>0，gx=−fx，则函数gx的图像是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2022秋·安徽黄山·高一校考开学考试）已知边长为1的正方形ABCD中，E为CD的中点，动点P在正方形ABCD边上沿A→B→C→E运动．设点P经过的路程为x．△APE的面积为y．则y与x的函数图象大致为图中的（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022·江西·统考二模）令函数f(x)的定义域为R，且满足f(−x+1)=f(x+1),f(−x+2)=−f(x+2)，已知当x∈[1,2]时，f(x)=ax2+bx．若f(0)+f(3)=6，则a+b=（ ）
A．6B．2C．−6D．3
11．（2023·江苏·高一假期作业）试求下列函数的定义域与值域．
(1)y=x−12+1，x∈{−1,0,1,2,3}；
(2)y=x−12+1；
(3)y=5x+4x−1；
(4)y=x−x+1.
12．（2022·高一课时练习）判断下列各组函数是否为相等函数：
(1)fx=x+3x−5x+3，gx=x−5；
(2)fx=2x+1x∈Z，gx=2x+1x∈R；
(3)fx=x+1，gx=x+1，x≥−1−x−1，x<−1．
13．（2023·江苏·高一假期作业）已知函数fx=1−a2x2+31−ax+6.
(1)若fx的定义域为[－2,1]，求实数a的值；
(2)若fx的定义域为R，求实数a的取值范围．
14．（2023·全国·高一假期作业）已知函数f(x)=−x2+2x(0≤x≤2)x2+2x(−2≤x<0).
(1)求f−23，f12的值；
(2)作出函数的简图；
(3)由简图指出函数的值域；
15．（2022·江苏·高一专题练习）已知函数f(x)=8x−1+x+2．
(1)求函数f(x)的定义域．
(2)求f(−1)，f(7)；
(3)已知f(2a+1)=4a+1，求a的值．
x
1
2
3
4
x
1
2
3
4
f(x)
3
1
4
2
g(x)
4
3
2
1
x
1
2
3
4
x
1
2
3
4
f(x)
2
3
4
1
g(x)
2
1
4
3