第01讲 集合的概念及表示-新高一数学初升高暑假精品课（人教A版必修第一册）

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·模块一 集合的概念
·模块二 元素与集合的关系
·模块三 集合的表示法
·模块四 课后作业
模块一
集合的概念
1．元素与集合的概念及表示
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．
2．元素的特性
(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．
(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．
(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．
【考点1 集合概念的理解】
【例1.1】（2023·高一课时练习）下列各组对象的全体能构成集合的有（ ）
（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解题思路】根据集合中元素的确定性判断可得答案.
【解答过程】（1）（3）（4）（5）中的对象是确定的，可以组成集合，（2）中的对象是不确定的，不能组成集合.
故选：C.
【例1.2】（2023·全国·高三专题练习）下列各对象可以组成集合的是（ ）
A．与1非常接近的全体实数
B．北大附中云南实验学校2020−2021学年度第二学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．高一年级很有才华的老师
【解题思路】由集合中元素的性质可直接得到结果.
【解答过程】对于ACD，集合中的元素具有确定性，但ACD中的元素不确定，故不能构成集合，ACD错误；
B中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B正确.
故选：B.
【变式1.1】（2023·全国·高三专题练习）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M={(3,2)}，N={(2,3)}
B．M={2,3}，N={3,2}
C．M={(x,y)∣x+y=1}，N={y∣x+y=1}
D．M={2,3}，N={(2,3)}
【解题思路】利用集合的定义和元素的三个性质，对A、B、C、D四个选项进行一一判断；
【解答过程】A.M、N都是点集，3,2与2,3是不同的点，则M、N是不同的集合，故错误；
B.M=2,3，N=3,2，根据集合的无序性，集合M，N表示同一集合，故正确；
C.M=(x,y)∣x+y=1，M集合的元素表示点的集合，N=y∣x+y=1，N表示直线x+y=1的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故错误；
D.M=2,3集合M的元素是两个数字2，3，N=(2,3)，集合N的元素是一个点2,3，故错误；
故选：B.
【变式1.2】（2023秋·广东揭阳·高一校考期中）下列四组对象中能构成集合的是（ ）
A．宜春市第一中学高一学习好的学生
B．在数轴上与原点非常近的点
C．很小的实数
D．倒数等于本身的数
【解题思路】根据集合的含义分别分析四个选项，A，B，C都不满足函数的确定性故排除，D确定，满足．
【解答过程】解：A：宜春市第一中学高一学习好的学生，因为学习好的学生不确定，所以不满足集合的确定性，故A错误；
B：在数轴上与原点非常近的点，因为非常近的点不确定，所以不满足集合的确定性，故B错误；
C：很小的实数，因为很小的实数不确定，所以不满足集合的确定性，故C错误；
D：倒数等于它自身的实数为1与﹣1，∴满足集合的定义，故正确．
故选：D．
【考点2 集合中元素特性的求参问题】
【例2.1】（2023·全国·高一专题练习）设集合M=2m−1,m−3，若−3∈M，则实数m=（ ）
A．0B．−1C．0或−1D．0或1
【解题思路】根据元素与集合的关系，分别讨论2m−1=−3和m−3=−3两种情况，求解m并检验集合的互异性，可得到答案.
【解答过程】设集合M=2m−1,m−3，若−3∈M，
∵−3∈M，∴2m−1=−3或m−3=−3，
当2m−1=−3时，m=−1，此时M=−3,−4；
当m−3=−3时，m=0，此时M=−3,−1；
所以m=−1或0.
故选：C.
【例2.2】（2023·全国·高一专题练习）已知集合A=4,x,2y，B=−2,x2,1−y，若A=B，则实数x的取值集合为（ ）
A．{−1,0,2}B．{−2,2}C．−1,0,2D．{−2,1,2}
【解题思路】根据集合元素的唯一性分类讨论即可.
【解答过程】因为A=B，所以−2∈A.
当x=−2时，2y=1−y，得y=13；
当2y=−2时，则x=2.
故实数x的取值集合为−2,2.
故选：B.
【变式2.1】（2023·全国·高一专题练习）集合A=a,b,c中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（ ）
A．等腰三角形B．锐角三角形
C．直角三角形D．钝角三角形
【解题思路】根据集合中元素的互异性可得答案.
【解答过程】根据集合中元素的互异性得a≠b,b≠c,a≠c，
故三角形一定不是等腰三角形.
故选：A.
【变式2.2】（2023·高一课时练习）由a2，2−a，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（ ）
A．−1B．1C．3D．2
【解题思路】由题意判断集合的元素个数，根据集合元素的互异性，可求得a的不可能取值，即得答案.
【解答过程】由题意由a2，2−a，3组成的一个集合A，A中元素个数不是2，
因为a2=2−a=3无解，故由a2，2−a，3组成的集合A的元素个数为3，
故a2≠2−a≠3，即a≠−2,a≠1,a≠−1,a≠±3，即a可取2，
即A，B，C错误，D正确，
故选：D.
模块二
元素与集合的关系
1．元素与集合的关系
(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．
(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．
【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换.
2．常用的数集及其记法
【考点1 元素与集合的关系】
【例1.1】（2023·全国·高一专题练习）给出下列关系：①12∈R；②2∉R；③−3∈N；④−3∈Q．其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】结合数的分类判断即可.
【解答过程】12是有理数，2是无理数，均为实数，①正确，②错误；
−3=3，为自然数及有理数，③④正确.
故选：C.
【例1.2】（2023·全国·高三专题练习）已知A是由0，m，m2﹣3m+2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为（ ）
A．2B．3C．0或3D．0，2，3均可
【解题思路】由题意可知m＝2或m2﹣3m+2＝2，求出m再检验即可．
【解答过程】∵2∈A，∴m＝2 或 m2﹣3m+2＝2．
当m＝2时，m2﹣3m+2＝4﹣6+2＝0，不合题意，舍去；
当m2﹣3m+2＝2时，m＝0或m＝3，但m＝0不合题意，舍去．
综上可知，m＝3．
故选：B．
【变式1.1】（2023·高一课时练习）下列语句中，正确的个数是（ ）
（1）0∈N；（2）π∈Q；（3）由3、4、5、5、6构成的集合含有5个元素；（4）数轴上由1到1.01间的线段的点集是有限集；（5）方程x2=0的解能构成集合.
A．2B．3C．4D．5
【解题思路】根据集合的概念和性质判断即可.
【解答过程】0是自然数，故0∈N，（1）正确；
π是无理数，故π∉Q，（2）错误；
由3、4、5、5、6构成的集合为3，4，5，6有4个元素，故（3）错误；
数轴上由1到1.01间的线段的点集是无限集，（4）错误；
方程x2=0的解为x=0，可以构成集合0，（5）正确；
故选：A．
【变式1.2】（2023秋·吉林·高一校考期末）已知集合A={0,1,2},B={x∈N∣x∈A}，则B=（ ）
A．{0}B．{0,2}C．0,12,2D．{0,1,4}
【解题思路】根据元素与集合关系，建立方程，可得答案.
【解答过程】由x∈A，则当x=0时，x=0；
当x=1时，x=1；
当x=2时，x=4，
即B=0,1,4.
故选：D.
【考点2 确定集合中的元素】
【例2.1】（2023·高一课时练习）若集合M={0,1,2},N={(x,y)∣x,y∈M}，则N中元素的个数为（ ）
A．3B．6C．9D．10
【解题思路】根据集合中元素的特征即可列举求解.
【解答过程】由M={0,1,2},N={(x,y)∣x,y∈M}可知集合N=0,0,0,1,0,2,1,0,1,1,1,2,2,0,2,1,2,2,故共有9个元素，
故选：C.
【例2.2】（2023春·河南开封·高一校考阶段练习）已知集合A={−3,−2,0,1,2,3,7},B={x∣x∈A,−x∉A}，则B=（ ）
A．{0,1,7}B．{1,7}C．{0,2,3}D．{0,1,2,3,7}
【解题思路】根据集合的描述法及元素与集合的关系求解.
【解答过程】因为A={−3,−2,0,1,2,3,7}，B={x∣x∈A,−x∉A}，
所以B={1,7}.
故选：B.
【变式2.1】（2023·全国·高三专题练习）已知集合A=1,2，B=2,4，C=zz=xy,x∈A,y∈B ，则C中元素的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】根据题意写出集合C的元素，可得答案.
【解答过程】由题意，当x=1时，z=xy=1 ，当x=2，y=2时， z=xy=4 ，
当x=2，y=4时， z=xy=16 ，
即C中有三个元素，
故选：C.
【变式2.2】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知集合A=−1,0,1，B=m|m2−1∈A,m−1∉A，则集合B中所有元素之和为（ ）
A．0B．1C．－1D．2
【解题思路】根据题意列式求得m的值，即可得出答案.
【解答过程】根据条件分别令m2−1=−1,0,1，解得m=0,±1,±2，
又m−1∉A，所以m=−1,±2，B=−1,2,−2，
所以集合B中所有元素之和是−1，
故选：C．
模块三
集合的表示法
1．列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．
(2)集合中的元素必须是明确的．
(3)集合中的元素不能重复．
(4)集合中的元素可以是任何事物．
2．描述法
(1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
【考点1 用列举法表示集合】
【例1.1】（2023秋·四川雅安·高一统考期末）集合{x−3<2x−1<3,x∈Z}用列举法表示为（ ）
A．{−2,−1,0,1,2}B．{−1,0,1,2}C．{0,1}D．{1}
【解题思路】直接求出集合中的元素即可.
【解答过程】{x−3<2x−1<3,x∈Z}={x−1故选：C.
【例1.2】（2023·全国·高三专题练习）集合A=(x,y)∣x+y=10,x∈N∗,y∈N∗的元素个数为（ ）
A．8B．9C．10D．100
【解题思路】由题意利用列举法写出集合A中的元素即可得出答案．
【解答过程】集合A=(x,y)∣x+y=10,x∈N∗,y∈N∗ ={(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5),(6,4),(7,3),(8,2),(9,1)}，
所以集合A的元素个数为9个．
故选：B．
【变式1.1】（2023·高一课时练习）方程组2x−5y=3x−2y=2的解集为（ ）
A．(1,4)B．(4,1)C．{(1,4)}D．{(4,1)}
【解题思路】根据集合的定义以及表示方法求解.
【解答过程】方程组2x−5y=3x−2y=2的解为x=4y=1,
所以方程组2x−5y=3x−2y=2的解集为{(4,1)}，
故选：D.
【变式1.2】（2023·云南昆明·校考模拟预测）已知集合A=x,yx2+y2≤2,x∈N,y∈N，则A中元素的个数为
A．3B．4C．8D．9
【解题思路】列举出集合A中的元素，可得出结论.
【解答过程】由题意可得A=x,yx2+y2≤2,x∈N,y∈N=0,0,0,1,1,0,1,1，
因此，集合A中有4个元素.
故选：B.
【考点2 用描述法表示集合】
【例2.1】（2023·高一课时练习）集合{1,2,3,2,5,⋯}用描述法可表示为（ ）
A．{x∣x≥1}B．{x∣x≤5}C．{x∣x=n}D．x∣x=n,n∈N∗
【解题思路】根据集合中的元素特征即可求解.
【解答过程】{1,2,3,2,5,⋯}中的元素满足n，所以{1,2,3,2,5,⋯}=x∣x=n,n∈N∗，
故选：D.
【例2.2】（2023·高一课时练习）方程组x−2y−3z=02x−y+3z=0的解集可表示为（ ）
A．(x,y,z)∣x=13z,y=13z,z∈RB．(x,y,z)∣x=−13z,y=−13z,z∈R
C．{(x,y,z)∣x=3z,y=3z,z∈R}D．{(x,y,z)∣x=−3z,y=−3z,z∈R}
【解题思路】由方程组的求解可得x,y,z的关系，即可求解.
【解答过程】由x−2y−3z=02x−y+3z=0得x−2y−3z+2x−y+3z=0⇒3x−3y=0⇒x=y，
将x=y代入x−2y−3z=0得z=−13x，所以x=y=−3z，
故选：D.
【变式2.1】（2023·高一课时练习）集合M={(x,y)∣xy>0,x+y<0,x∈R,y∈R}表示的是 第三象限内点的集合 .
【解题思路】由集合中的不等式，解出x,y的取值范围，确定点x,y所在的区域.
【解答过程】由xy>0x+y<0，解得x<0y<0，则集合M={(x,y)∣x<0,y<0,x∈R,y∈R}表示的是第三象限内点的集合.
故答案为：第三象限内点的集合.
【变式2.2】（2023秋·上海崇明·高一统考期末）直角坐标平面上由第二象限所有点组成的集合用描述法可以表示为 x,yx<0,y>0,y∈R ．
【解题思路】根据给定条件，利用集合的描述法写出第二象限的点集作答.
【解答过程】依题意，第二象限所有点组成的集合是x,yx<0,y>0,y∈R.
故答案为：x,yx<0,y>0,y∈R.
模块四
课后作业
1．（2023·高一课时练习）下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．上课迟到的学生B．2020年高考数学难题
C．所有有理数D．小于π的正整数
【解题思路】根据集合中元素的三要素判断．
【解答过程】上课迟到的学生属于确定的互异的对象，所以能构成集合；2020年高考数学难题界定不明确，所以不能构成集合；任意给一个数都能判断是否为有理数，所以能构成集合；小于π的正整数分别为1,2,3，所以能够组成集合.
故选：B.
2．（2023·高一课时练习）设集合A=y∣y=x2+1，则下列元素属于A的是（ ）
A．(0,1)B．−1C．2D．0
【解题思路】根据集合中元素特征即可求解.
【解答过程】∵y=x2+1≥1，故A=y∣y≥1，所以ABD错误，C正确，
故选：C.
3．（2023·高一课时练习）方程组x+y=2x−2y+1=0的解集可以表示为（ ）
A．{x=1,y=1}B．{1}C．{(1,1)}D．{1,1}
【解题思路】由方程组的解即可求解解集.
【解答过程】由x+y=2x−2y+1=0得x=1y=1，所以方程组x+y=2x−2y+1=0的解集可以表示为{(1,1)}，
故选：C.
4．（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）下列关系中，正确的个数为（ ）
①27∈R；②2∈Q；③π∈Q；④−3∈N；⑤−4∈Z.
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解题思路】根据实数集R，有理数集Q，自然数集N，整数集Z的概念判断即可.
【解答过程】因为R是实数集，所以27∈R，故①正确；
因为Q是有理数集，所以2∉Q，π∉Q，故②③错误；
因为N是自然数集，所以−3=3∈N，故④正确；
因为Z是整数集，所以−4=−2∈Z，故⑤正确；
综上：关系正确的个数为3个.
故选：C.
5．（2023秋·山东菏泽·高一校考期末）已知集合A=xx2−1=0，则下列结论错误的是（ ）
A．1∈AB．−1AC．∅⊇AD．−1,1=A
【解题思路】先化简集合A，然后结合选项进行判定.
【解答过程】因为A=xx2−1=0=−1,1，所以选项A,B,D均正确，C不正确.
故选：C.
6．（2023春·河南焦作·高二校考阶段练习）已知集合M=1,m,m2+3，且4∈M，则m取值构成的集合为（ ）
A．1,4B．−1,4C．−1,1,4D．∅
【解题思路】由4∈M求出m，再利用互异性即可求解
【解答过程】因为集合M=1,m,m2+3，且4∈M，
所以m=4或m2+3=4.
当m2+3=4时，解得：m=1或m=−1.
而m=1，不符合元素的互异性，故m=4或m=−1.
故选：B.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知集合A=0,1,2，则集合B=x,yx≥y,x∈A,y∈A中元素的个数是（ ）
A．1B．3C．6D．9
【解题思路】根据B=x,yx≥y,x∈A,y∈A，采用列举法表示集合B 即可求解.
【解答过程】根据题意B =(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2)，
所以集合B中共有6个元素，
故选：C.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知集合A={a−2,a2+4a,10}，若−3∈A，则实数a的值为（ ）
A．-1B．-3C．-3或-1D．无解
【解题思路】根据题意可得a−2=−3或a2+4a=−3解方程，再利用集合元素的互异性即可求解.
【解答过程】若−3∈A，可得
当a−2=−3时，解得a=−1，此时A=−3,−3,10，
不满足集合的互异性，故a=−1（舍去），
当a2+4a=−3，解得a=−1（舍去）或a=−3，此时A=−5,−3,10，
满足题意，故实数a的值为-3.
故选：B.
9．（2023秋·湖南常德·高一校考期末）若关于x的方程ax2−2x+1=0的解集中有且仅有一个元素，则实数a的值组成的集合中的元素个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】根据题意，分情况讨论，进行求解即可.
【解答过程】由题知，
当a=0时，−2x+1=0的解有且仅有一个：12，
符合题意，所以a=0；
当a≠0时，要使x的方程ax2−2x+1=0的解集
中有且仅有一个元素，则有：Δ=4−4a=0，则a=1.
所以实数a的值组成的集合中的元素个数为：2.
故选：B.
10．（2023·全国·高一专题练习）已知集合A满足∀x∈A，1+x1−x∈A，若3∈A，则集合A所有元素之和为（ ）
A．0B．1C．76D．43
【解题思路】根据∀x∈A，1+x1−x∈A，代入元素依次计算得到答案.
【解答过程】集合A满足∀x∈A，1+x1−x∈A，3∈A，故1+31−3=−2∈A，1−21+2=−13∈A，1−131+13=12∈A，
1+121−12=3∈A，故A={−2,−13,12,3}，
则集合A所有元素之和为：−2−13+12+3=76.
故选：C.
11．（2023·云南保山·统考二模）定义集合运算：A+B=zz=x+y,x∈A,y∈B，设A=1,2，B=1,2,3，则集合A+B的所有元素之和为（ ）
A．14B．15C．16D．18
【解题思路】由集合的新定义计算即可.
【解答过程】由题设知A+B=2,3,4,5，
∴所有元素之和为2+3+4+5=14，
故选：A.
12．（2023秋·上海徐汇·高一统考期末）若集合A同时具有以下三个性质：（1）0∈A，1∈A；（2）若x,y∈A，则x−y∈A；（3）若x∈A且x≠0，则1x∈A．则称A为“好集”．已知命题：①集合1,0,−1是好集；②对任意一个“好集”A，若x,y∈A，则x+y∈A．以下判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题
【解题思路】根据“好集”的定义逐一判断即可.
【解答过程】对于①，因为1∈1,0,−1,−1∈1,0,−1，而−1−1=−2∉1,0,−1，
所以集合1,0,−1不是好集，故①错误；
对于②，因为集合A为“好集”，
所以0∈A,0−y=−y∈A，
所以x−−y=x+y∈A，故②正确，
所以①为假命题，②为真命题.
故选：D.
13．（2023·高一课时练习）用描述法表示下列集合：
（1）被3除余1的正整数的集合．
（2）坐标平面内第一象限内的点的集合．
（3）大于4的所有偶数．
【解题思路】集合用描述法表示，根据条件写代表元具有的性质.
【解答过程】（1）因为集合中的元素除以3余数为1，所以集合表示为：{x|x=3n+1,n∈N}；
（2）第一象限内的点，其横坐标、纵坐标均大于0，所以集合表示为：{(x,y)|x>0,y>0}；
（3）大于4的所有偶数都是正整数，所以集合表示为：{x|x=2n,n≥3,n∈Z}．
14．（2023·高一课时练习）已知集合A={x|x为小于6的正整数}，B={x|x为小于10的素数}，集合C={x|x为24和36的正公因数}．
（1）试用列举法表示集合M=x|x∈A且x∈C；
（2）试用列举法表示集合N=x|x∈B且x∉C．
【解题思路】（1）求出集合A,B,C，则M=A∩C，即可求出M；
（2）根据集合N中元素的特征，即可写出N.
【解答过程】由题意A=1,2,3,4,5，B=2,3,5,7，C=1,2,3,4,6,12.
（1）M=A∩C=1,2,3,4.
（2）.M=x|x∈B且x∉C
∴N=5,7.
15．（2023·高一课时练习）已知集合A=x∈R|ax2+2x+1=0，其中a∈R.
（1）1是A中的一个元素，用列举法表示A；
（2）若A中至多有一个元素，试求a的取值范围.
【解题思路】（1）由1∈A得a=−3，代入ax2+2x+1=0，解得A的元素后，可得解；
（2）按照集合A中元素的个数分类讨论，可求得结果.
【解答过程】（1）因为1∈A，所以a+2+1=0，得a=−3，
所以A={x∈R|−3x2+2x+1=0} ={−13,1}.
（2）当A中只有一个元素时，ax2+2x+1=0只有一个解，
所以a=0或a≠0Δ=4−4a=0，
所以a=0或a=1，
当A中没有元素时，ax2+2x+1=0无解，所以a≠0Δ=4−4a<0，解得a>1，
综上所述：a=0或a≥1.