2.1 轴对称与轴对称图形-八年级数学上册同步精品讲义（苏科版）

第2章 轴对称图形
2.1 轴对称与轴对称图形
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课程标准
课标解读
1. 了解轴对称图形和轴对称的概念，并能简单识别，体会轴对称在现实生活中的广泛应用
2. 能正确的区分轴对称图形和轴对称，进一步发展空间观念
1．通过具体实例了解两个图形成轴对称的概念，能找出对称轴和对称点．
2．了解两个图形关于某直线成轴对称和轴对称图形的联系与区别，理解图形成轴对称的性质，会画一些简单的关于某直线对称的图形．
知识精讲

知识点01 轴对称
1.轴对称的定义
把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴. 折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点.
1.什么叫轴对称：
如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
2.什么叫轴对称图形：
如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
3．轴对称与轴对称图形的区别与联系：
区别：①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。
②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。
联系：①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。
②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。
常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。
4．线段的垂直平分线：
垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
（也称线段的中垂线）
l
A
B

5．轴对称的性质： ⑴成轴对称的两个图形全等。
⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。
6．怎样画轴对称图形：
画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。
【微点拨】
轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.
【即学即练1】1．下列图形不是轴对称图形的是（ ）
A．线段 B．等腰三角形 C．角 D．有一个内角为的直角三角形
【答案】D
【分析】
根据轴对称图形的定义，结合各选项所给图形的特点进行判断即可．
【详解】
解：A、线段是轴对称图形，故本选项不符合；
B、等腰三角形是轴对称图形，故本选项不符合；
C、角是轴对称图形，故本选项不符合；
D、有一个内角为60°的直角三角形不是轴对称图形，故本选项符合；
故选：D．
【即学即练2】2．下列图形：①线段；②角；③平行四边形；④三角形；⑤圆，其中一定是轴对称图形的共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】
根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．
【详解】
解：一定是轴对称图形的有：①线段；②角；⑤圆，共3个，
故选：B．
知识点02 轴对称图形
2.轴对称图形的定义
把一个图形沿着某直线折叠，如果直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴.
【微点拨】
轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.
【即学即练3】3．在下列图形中，是轴对称图形的是（　　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据轴对称图形的概念（如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐一进行判断即可．
【详解】
解：A是轴对称图形，故正确；
B不是轴对称图形，故错误；
C不是轴对称图形，故错误；
D不是轴对称图形，故错误；
故选：A．
【即学即练4】4．对称现象无处不在，请你观察下面4个汽车标致图案，是轴对称图形的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据轴对称图形的概念求解．
【详解】
解：根据轴对称图形的概念，前3个是轴对称图形，第四个不是轴对称图形，属于轴对称图形有3个．
故选：C．
能力拓展

考法01 轴对称与轴对称图形的区别
轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；
【典例1】下列所给的四个运动图标中为轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
考法02 轴对称与轴对称图形的练系
若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.
【典例2】列四个图案中，不是轴对称图案的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据轴对称的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解】
解：A．此图案是轴对称图形，不符合题意；
B．此图案不是轴对称图形，符合题意；
C．此图案是轴对称图形，不符合题意；
D．此图案是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
分层提分

题组A 基础过关练
1．下面4个汽车标识图案不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据轴对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
2．下列图案不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据轴对称图形的概念判断即可．
【详解】
A、本选项中图案是轴对称图形，不符合题意；
B、本选项中图案是轴对称图形，不符合题意；
C、本选项中图案不是轴对称图形，符合题意；
D、本选项中图案是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
3．下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ）
A．圆 B．等边三角形 C．正方形 D．梯形
【答案】D
【分析】
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：A、圆是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、等边三角形是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、正方形是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、梯形不一定是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
4．下列四个图形中，是轴对称图形的是（　　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
【详解】
A是轴对称图形，符合题意，
B不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线叠合后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，故不符合题意，
C不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线叠合后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，故不符合题意，
D不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线叠合后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，故不符合题意，
故选：A
5．下列四个数学符号中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据轴对称图形的定义：轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，即可判定.
【详解】
A选项，不符合轴对称图形的定义，错误；
B选项，符合轴对称图形的定义，正确；
C选项，不符合轴对称图形的定义，错误；
D选项，不符合轴对称图形的定义，错误；
故选：B
6．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．线段 B．有30°角的直角三角形
C．等腰三角形 D．角
【答案】B
【分析】
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得出结论．
【详解】
解：A.线段是轴对称图形；
B.有30°角的直角三角形不是轴对称图形；
C.等腰三角形是轴对称图形；
D.角是轴对称图形；
故选B．
7．下列对称图形中，是轴对称图形有________个（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．
【详解】
第一个图形是轴对称图形，第二个图形是轴对称图形，第三个图形不是轴对称图形，第四个图形是轴对称图形，综上所述，是轴对称图形的有3个．
故选： C．
题组B 能力提升练
1．点关于轴的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据点关于x轴对称的计算方法确定即可．
【详解】
∵点关于轴的对称，
∴对称点的坐标为（2，-3），
故选B．
2．下列图形是一定是轴对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．直角三角形 C．梯形 D．线段
【答案】D
【分析】
根据轴对称图形的定义逐一判断即可．
【详解】
解：平行四边形不是轴对称图形，故A错误；
直角三角形不一定是轴对称图形，故B错误；
梯形不一定是轴对称图形，故C错误；
线段是轴对称图形，对称轴是过线段中点且垂直于线段的直线；
故选：D．
3．2020的春节，对于我们每个人来说真的不一般，为了打好疫情攻坚战，医护人员在自己的岗位土与时间赛跑，同病魔较量，而我们每个人都能为打赢这场仗贡献一份力量．从内心深处喊出一句口号：“中国加油!武汉加油!”在这八个字中，可以看作轴对称图形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】
根据轴对称图形的概念判断即可．
【详解】
解：中，可以看作轴对称图形，
国、加、油、武、汉，不可以看作轴对称图形，
故选：A．
4．“最美佳木斯”五个字中，是轴对称图形的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】
根据轴对称图形的概念解答即可．
【详解】
解：“最美佳木斯”五个字中，是轴对称图形的是“美”、“木”，共2个．
故选：B．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，CB=3，点D是BC边上的点，将△ADC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是________．

【答案】4
【解析】
连接CE，交AD于M，根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，PE+BP的值最小，即可此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，先求出BE=1，代入求出△PEB的周长的最小值是BC+BE=3+1=4．
故答案为：4．

6．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=4cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，∠AOB=30°则△PMN周长的最小值=________ .

【答案】4cm
【解析】
试题分析：设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小．
解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN.

∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=4cm,
∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=4cm.
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN＝CD＝4cm.
故答案为4cm.
7．如图，在等边△ABC中，AB=4，P、M、N分别是BC、CA、AB边上动点，则PM+MN的最小值是________．

【答案】
【解析】
作点B关于直线AC的对称点K，连接AK、CK，作点N关于直线AC的对称点N′，作N′P′⊥BC于P′，交AC于M′，则线段N′P′的长即为PM+MN的最小值（垂线段最短）．
∵△ABC是等边三角形，易知，四边形ABCK是菱形，
N′P′是菱形的高=4×=2 ，
则PM+MN的最小值是2，
故答案是：2．

题组C 培优拔尖练
1．如图所示，在四边ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，若在BC和CD上分别找一点M，使得△AMN的周长最小，则此时∠AMN+∠ANM的度数为（ ）

A．110° B．120° C．140° D．150°
【答案】B
【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．
【详解】
作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．

∵∠DAB=120°，
∴∠AA′M+∠A″=180°-120°=60°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°，
故选B．
2．如图，正方形的面积为9 . 是等边三角形，点在正方形内，在对 角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为( ).


A．3 B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题解析：如图，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，BO=DO．AC⊥BD，
∴B、D关于AC对称，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE．
∵△ABE是等边三角形，
∴AB=BE=AE．
∵正方形ABCD的面积为9，
∴AB=3，
∴BE=3．
∴PD+PE的和最小值为3．
故选A．
3．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】B
【解析】
试题解析：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：

∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，
∵△PMN周长的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN=5，
∴DM+CN+MN=5，
即CD=5=OP，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°；
故选B．
4．下例各时刻是轴对称图形的为（　　）
A．13:08 B．12:21 C．12:50 D．10:50
【答案】B
【分析】
把时刻的表示法当成一个图形，再根据轴对称图形的特征容易判断正确选项．
【详解】
分别把A、B、C、D四个时刻的表示法看成一个图形，根据轴对称图形的特征不难得到正确选项是B．
故选B．
5．如图，在平面直角坐标系中，A(1，2)，B(3，2)，连接AB，点P是x轴上的一个动点，连接AP、BP，当△ABP的周长最小时，对应的点P的坐标和△ABP的最小周长分别为( )

A．(1，0)， B．(3，0)， C．(2,0), D．(2,0),
【答案】D
【解析】
作A关于x轴的对称点N（1，-2），连接BN与x轴的交点即为点P的位置，此时△ABP的周长最小.

设直线BN的解析式为，
∵N(1，-2)，B(3，2)，
∴ ，
解得，
∴，
当时，，
解得，，
∴点P的坐标为（2，0）；
∵A(1，2)，B(3，2)，
∴AB//x轴，
∵AN⊥x轴，
∴AB⊥x轴，
在Rt△ABC中，AB＝2，AN＝4，
由勾股定理得，
BN＝，
∵AP=NP,
∴△ABP的周长最小值为：AB+BP+AP=AB+BP+PN=AB+BN=2+2.
故选D.
6．如图，图中的阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，若在图中的方格里涂黑两个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，涂法有（）

A．10种 B．5种 C．7种 D．9种
【答案】D
【解析】
根据轴对称图形的有关概念沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，如图所示：一共有9种，


方法8 方法9
故选：D．
7．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，BC=1. M、N分别是AB、AC上的任意一点，求MN+NB的最小值为（ ）

A．1.5 B．2 C．+ D．
【答案】A
【解析】
如图，作点B关于直线AC的对称点B’，过B’作B’M⊥AB于点M，交AC于点N，此时MN+NB的值最小，为线段B’M的值；由BC∥B’M，BD=B’D，易证△BDC≅△B’DN，所以BC=B’N=1，由线段垂直平分线的性质可得BN=B’N=1，根据辅助线的作法和已知条件易得∠MBN=30°，根据30°角直角三角形的性质可得MN=BN=0.5，所以MN+NB=B’M=B’N+NM=1+0.5=1.5，故选A.