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重难点8-1 圆的最值与范围问题6大题型-高考数学专练（新高考专用）
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重难点8-1 圆的最值与范围问题6大题型
与圆相关的最值问题是近几年高考数学对圆的考查的重点内容。主要考查与圆相关的参数范围问题和圆相关的长度或面积的最值及问题。一般以选择题和填空题的形式考查，但还需注意与圆锥曲线相结合的问题。
一、圆上的点到定点的距离最值问题
一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值
已知圆及圆外一定点，设圆的半径为
则圆上点到点距离的最小值为，最大值为
即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点.
二、圆上的点到直线的距离最值问题
已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于
三、切线长度最值问题
1、代数法：利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；
2、几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．
已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为.
四、过圆内定点的弦长最值
已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长为直径，最短为与该直径垂直的弦.
五、利用代数法的几何意义求最值
1、形如的最值问题，可以转化为过点和点的动直线斜率的最值问题；
2、形如的最值问题，可以转化为点和点距离的平方的最值问题；
3、形如的最值问题，可以转化为动直线纵截距的最值问题
【题型1 圆中与距离有关的最值范围】
【例1】（2023春·北京海淀·高三人大附中校考开学考试）已知点，点Q在圆上，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023·辽宁辽阳·统考一模）设曲线在点处的切线为l，P为l上一点，Q为圆上一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知点，设动直线和动直线交于点，则的取值范围是______．
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知是直线上的动点，，是圆的两条切线，，是切点．求四边形面积的最小值.
【题型2 线段和差的最值范围】
【例2】（2023·四川绵阳·统考二模）已知，点A为直线上的动点，过点作直线与相切于点，若，则最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【变式2-1】（2022·全国·高三专题练习）若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）已知点，且点在圆上，为圆心，则下列说法错误的是（ ）
A．的最小值为 B．当最大时，的面积为2
C．的最大值为 D．的最大值为
【变式2-3】（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）（多选）已知分别为圆与圆上的两个动点，为直线上的一点，则（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
【变式2-4】（2023春·上海宝山·高三统考阶段练习）若是圆上的任意一点，则的取值范围是______．
【变式2-5】（2022·全国·高三专题练习）已知圆，圆，点M、N分别是圆、圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最大值是（ ）
A． B．9 C．7 D．
【题型3 圆的切线长最值范围】
【例3】（2023·四川遂宁·统考二模）过直线：上的点作圆：的切线，则切线段长的最小值为( )
A． B． C． D．
【变式3-1】（2022秋·北京·高三校考阶段练习）若点在半径为1，且圆心为坐标原点的圆上，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为___________.
【变式3-2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）点在圆：上，，，则最小时，______.
【变式3-3】（2023秋·安徽合肥·高三校考期末）已知圆，直线，为直线上的动点，过作圆的切线，切点为，则四边形的面积的最小值为________
【题型4 过圆内定点的弦长的最值范围】
【例4】（2023·宁夏银川·银川一中校考一模）经过点，且被圆所截得的弦最短时的直线的斜率为________．
【变式4-1】（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）圆被直线截得的最短弦长为__________．
【变式4-2】（2023秋·辽宁锦州·高三统考期末）已知圆：，圆的弦是过点最短的弦，为坐标原点，则的面积为______．
【变式4-3】（2023春·湖北·高三统考阶段练习）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为__________.
【变式4-4】（2023·广东惠州·统考模拟预测）在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为__________．
【题型5 代数式几何意义的最值范围】
【例5】（2023·全国·高三专题练习）已知点是圆：上的一动点，若圆经过点，则的最大值与最小值之和为（ ）
A．4 B． C． D．
【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）已知点在圆上，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习）已知实数、满足方程．求：
（1）的取值范围为______；
（2）的取值范围；
（3）的取值范围．
【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）已知x，y是实数，且，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】（2022·全国·高三专题练习）若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，则(|PA|2＋|PB|2)的最大值为（ ）
A．3＋ B．7＋4 C．8＋4 D．16＋8
【变式5-5】（2023·新疆阿克苏·校考一模）已知两点，点是圆上任意一点，是锐角，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题型6 圆的面积的最值范围】
【例6】（2021秋·河南信阳·高三统考阶段练习）已知点在直线上运动，点在直线上运动，以线段为直径的圆与轴相切，则圆面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2022·全国·清华附中朝阳学校校考模拟预测）在平面直角坐标系中，，若动点在直线上，圆过三点，则圆的面积最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2022·陕西汉中·统考一模）直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2022秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）已知圆，点，、为圆上两点且满足，为中点，且构成三角形，记的面积为，则的最大值为________
【变式6-4】（2023春·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，过点且互相垂直的两条直线分别与椭圆交于点，与圆交于点．
（1）若，求的斜率；
（2）记中点为，求面积的取值范围．
（建议用时：60分钟）
1．（2023·北京房山·统考一模）在中，，为所在平面内的动点，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·甘肃定西·统考一模）若是圆上任一点，则点到直线的距离的值不可能等于（ ）
A．2 B．3 C． D．
3．（2023·全国·模拟预测）已知是圆上的两个动点，点，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·贵州黔东南·统考一模）已知是抛物线上一动点，是圆上一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）已知点是函数图象上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）已知圆，点，直线.点是圆上的动点，点是上的动点，则的最小值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
7．（2022秋·北京·高二人大附中校考阶段练习）已知点，是轴上的动点，是圆上的动点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为A、B，则切线段的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
9．（2022秋·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022秋·安徽·高三校联考开学考试）当圆 截直线所得的弦长最短时，实数（ ）
A． B．1 C． D．-1
11．（2023·福建福州·高三福州三中校考阶段练习）已知点Q在圆C：上，点P在直线上，则PQ的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
12．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）（多选）已知，是椭圆上两个不同点，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为
C．的最大值为
D．的最小值为
13．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）（多选）已知，，点P满足，则（ ）
A．点P在以AB为直径的圆上 B．面积的最大值为
C．存在点P使得 D．的最小值为
14．（2023秋·辽宁辽阳·高三统考期末）已知直线与圆交于两点，则__________；若P是圆C上的一点，则面积的最大值是__________．
15．（2023春·北京西城·高三北京市第一六一中学校考阶段练习）已知半径为的圆经过点，则圆上的点到直线距离的最大值为__________.
16．（2022·全国·高三专题练习）已知P，Q分别是圆，圆上的动点，O是坐标原点，则的最小值是______．
17．（2022春·广东·高三统考阶段练习）已知A，B是曲线上两个不同的点，，则的取值范围是________.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知动点M与两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离的比为，动点M的轨迹为曲线C．
（1）求C的轨迹方程，并说明其形状；
（2）过直线x＝3上的动点P(3，p)(p≠0)分别作C的两条切线PQ、PR(Q、R为切点)，N为弦QR的中点，直线l：3x＋4y＝6分别与x轴、y轴交于点E、F，求△NEF的面积S的取值范围．
重难点8-1 圆的最值与范围问题6大题型
与圆相关的最值问题是近几年高考数学对圆的考查的重点内容。主要考查与圆相关的参数范围问题和圆相关的长度或面积的最值及问题。一般以选择题和填空题的形式考查，但还需注意与圆锥曲线相结合的问题。
一、圆上的点到定点的距离最值问题
一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值
已知圆及圆外一定点，设圆的半径为
则圆上点到点距离的最小值为，最大值为
即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点.
二、圆上的点到直线的距离最值问题
已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于
三、切线长度最值问题
1、代数法：利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；
2、几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．
已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为.
四、过圆内定点的弦长最值
已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长为直径，最短为与该直径垂直的弦.
五、利用代数法的几何意义求最值
1、形如的最值问题，可以转化为过点和点的动直线斜率的最值问题；
2、形如的最值问题，可以转化为点和点距离的平方的最值问题；
3、形如的最值问题，可以转化为动直线纵截距的最值问题
【题型1 圆中与距离有关的最值范围】
【例1】（2023春·北京海淀·高三人大附中校考开学考试）已知点，点Q在圆上，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023·辽宁辽阳·统考一模）设曲线在点处的切线为l，P为l上一点，Q为圆上一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知点，设动直线和动直线交于点，则的取值范围是______．
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知是直线上的动点，，是圆的两条切线，，是切点．求四边形面积的最小值.
【题型2 线段和差的最值范围】
【例2】（2023·四川绵阳·统考二模）已知，点A为直线上的动点，过点作直线与相切于点，若，则最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【变式2-1】（2022·全国·高三专题练习）若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）已知点，且点在圆上，为圆心，则下列说法错误的是（ ）
A．的最小值为 B．当最大时，的面积为2
C．的最大值为 D．的最大值为
【变式2-3】（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）（多选）已知分别为圆与圆上的两个动点，为直线上的一点，则（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
【变式2-4】（2023春·上海宝山·高三统考阶段练习）若是圆上的任意一点，则的取值范围是______．
【变式2-5】（2022·全国·高三专题练习）已知圆，圆，点M、N分别是圆、圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最大值是（ ）
A． B．9 C．7 D．
【题型3 圆的切线长最值范围】
【例3】（2023·四川遂宁·统考二模）过直线：上的点作圆：的切线，则切线段长的最小值为( )
A． B． C． D．
【变式3-1】（2022秋·北京·高三校考阶段练习）若点在半径为1，且圆心为坐标原点的圆上，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为___________.
【变式3-2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）点在圆：上，，，则最小时，______.
【变式3-3】（2023秋·安徽合肥·高三校考期末）已知圆，直线，为直线上的动点，过作圆的切线，切点为，则四边形的面积的最小值为________
【题型4 过圆内定点的弦长的最值范围】
【例4】（2023·宁夏银川·银川一中校考一模）经过点，且被圆所截得的弦最短时的直线的斜率为________．
【变式4-1】（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）圆被直线截得的最短弦长为__________．
【变式4-2】（2023秋·辽宁锦州·高三统考期末）已知圆：，圆的弦是过点最短的弦，为坐标原点，则的面积为______．
【变式4-3】（2023春·湖北·高三统考阶段练习）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为__________.
【变式4-4】（2023·广东惠州·统考模拟预测）在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为__________．
【题型5 代数式几何意义的最值范围】
【例5】（2023·全国·高三专题练习）已知点是圆：上的一动点，若圆经过点，则的最大值与最小值之和为（ ）
A．4 B． C． D．
【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）已知点在圆上，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习）已知实数、满足方程．求：
（1）的取值范围为______；
（2）的取值范围；
（3）的取值范围．
【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）已知x，y是实数，且，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】（2022·全国·高三专题练习）若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，则(|PA|2＋|PB|2)的最大值为（ ）
A．3＋ B．7＋4 C．8＋4 D．16＋8
【变式5-5】（2023·新疆阿克苏·校考一模）已知两点，点是圆上任意一点，是锐角，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题型6 圆的面积的最值范围】
【例6】（2021秋·河南信阳·高三统考阶段练习）已知点在直线上运动，点在直线上运动，以线段为直径的圆与轴相切，则圆面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2022·全国·清华附中朝阳学校校考模拟预测）在平面直角坐标系中，，若动点在直线上，圆过三点，则圆的面积最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2022·陕西汉中·统考一模）直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2022秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）已知圆，点，、为圆上两点且满足，为中点，且构成三角形，记的面积为，则的最大值为________
【变式6-4】（2023春·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，过点且互相垂直的两条直线分别与椭圆交于点，与圆交于点．
（1）若，求的斜率；
（2）记中点为，求面积的取值范围．
（建议用时：60分钟）
1．（2023·北京房山·统考一模）在中，，为所在平面内的动点，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·甘肃定西·统考一模）若是圆上任一点，则点到直线的距离的值不可能等于（ ）
A．2 B．3 C． D．
3．（2023·全国·模拟预测）已知是圆上的两个动点，点，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·贵州黔东南·统考一模）已知是抛物线上一动点，是圆上一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）已知点是函数图象上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）已知圆，点，直线.点是圆上的动点，点是上的动点，则的最小值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
7．（2022秋·北京·高二人大附中校考阶段练习）已知点，是轴上的动点，是圆上的动点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为A、B，则切线段的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
9．（2022秋·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022秋·安徽·高三校联考开学考试）当圆 截直线所得的弦长最短时，实数（ ）
A． B．1 C． D．-1
11．（2023·福建福州·高三福州三中校考阶段练习）已知点Q在圆C：上，点P在直线上，则PQ的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
12．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）（多选）已知，是椭圆上两个不同点，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为
C．的最大值为
D．的最小值为
13．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）（多选）已知，，点P满足，则（ ）
A．点P在以AB为直径的圆上 B．面积的最大值为
C．存在点P使得 D．的最小值为
14．（2023秋·辽宁辽阳·高三统考期末）已知直线与圆交于两点，则__________；若P是圆C上的一点，则面积的最大值是__________．
15．（2023春·北京西城·高三北京市第一六一中学校考阶段练习）已知半径为的圆经过点，则圆上的点到直线距离的最大值为__________.
16．（2022·全国·高三专题练习）已知P，Q分别是圆，圆上的动点，O是坐标原点，则的最小值是______．
17．（2022春·广东·高三统考阶段练习）已知A，B是曲线上两个不同的点，，则的取值范围是________.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知动点M与两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离的比为，动点M的轨迹为曲线C．
（1）求C的轨迹方程，并说明其形状；
（2）过直线x＝3上的动点P(3，p)(p≠0)分别作C的两条切线PQ、PR(Q、R为切点)，N为弦QR的中点，直线l：3x＋4y＝6分别与x轴、y轴交于点E、F，求△NEF的面积S的取值范围．
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