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重难点5-1 平面向量中的最值范围问题4大题型-高考数学专练（新高考专用）
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重难点5-1 平面向量中的最值范围问题7大题型
平面向量中的最值范围问题是向量问题中的重难点，也是近几年新高考数学的热点问题。常以选择填空题的形式出现，难度稍大，方法灵活。主要考查向量数量积的最值、系数的最值、模长和夹角的最值。在复习过程中要注重对基本方法的训练，把握好类型题的一般解法。
平面向量最值范围问题的常用方法
1、定义法
第1步：利用向量的概念及其基本运算将所求的问题转化为相应的等式关系；
第2步：运用基本不等式求其最值问题；
第3步：得出结论。
2、坐标法
第1步：根据题意建立适当的直角坐标系，并推导关键点的坐标；
第2步：将平面向量的运算坐标化；
第3步：运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数思想等求解。
3、基底法
第1步：利用基底转化向量；
第2步：根据向量运算化简目标；
第3步：运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数等得出结论；
4、几何意义法
第1步：结合条件进行向量关系推导；
第2步：利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹；
第3步：结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围。
【题型1 数量积的最值范围问题】
【例1】（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）已知向量，，满足，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可设，，，
则，，
则
，，
其中，
，则，故选：D.
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）若三点不共线，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】已知，以所在直线为轴、中垂线为轴建立直角坐标系， 如图所示
由题意可知，，，设.
因为，
所以，即，
故点的轨迹是圆，圆心坐标为，半径为，所以.
所以.故选：B.
【变式1-2】（2023秋·北京房山·高三统考期末）在中，，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，则，
由余弦定理得：，
；
，，，
即的取值范围为.故选：D.
【变式1-3】（2023春·北京海淀·高三人大附中校考开学考试）已知中，，点P在平面ABC内，，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由条件可知，所以，
，
因为当时，的最大值为1，
所有的最大值是3.故选：C.
【变式1-4】（2023·重庆·统考一模）在矩形ABCD中，，点E为边AB的中点，点F为线段BC上的动点，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，
由题意得，，因为为中点，所以，
设，则，
，，则，
，则.
【变式1-5】（2022·全国·高三专题练习）半径为2的圆上有三点，，，满足，点是圆内一点，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】由得，
所以四边形是平行四边形，又，则四边形是菱形，
易得是等边三角形，所以，
设四边形对角线的交点为E，，
由极化恒等式得，
，
所以，
因为是圆内一点，所以，
所以，即.
【题型2 模长的最值范围问题】
【例2】（2022秋·吉林·高三校联考阶段练习）已知向量，的夹角为，且，则的最小值是__________.
【答案】
【解析】.
因为,所以，当且仅当时取等号，
所以,则的最小值是.
【变式2-1】（2023·全国·高三专题练习）若，且，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，其中，圆，点在圆上，
因为，且，则，
设，则，所以，
则，
所以，
又，
当且仅当，且，即或等号成立，
所以的最大值是.故选：B.
【变式2-2】（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知点，圆，过点的直线与圆交于，两点，则的最大值为（ ）
A． B．12 C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，，圆M的半径为4，设AB的中点，
则，即，
又，所以，
即点D的轨迹方程为，圆心，半径为1，
所以的最大值为，
因为，
所以的最大值为12.故选：B.
【变式2-3】（2023·全国·模拟预测）已知向量，的夹角为，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】向量，的夹角为，，
则有，
设，，
∴，即，存在，方程有解，
则有，解得，
则的最大值为.故选：B
【变式2-4】（2023·陕西商洛·校考三模）已知平面向量，，，其中为单位向量，若，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】建立如图所示坐标系，
不妨设，
由知，点在直线或上，
由题意，可知，
记，，则，
由定弦所对的角为顶角可知点的轨迹是两个关于轴对称的圆弧，
设，则，
因为，即，
整理得或，
由对称性不妨只考虑第一象限的情况，
因为的几何意义为：
圆弧的点到直线上的点的距离，
所以最小值为，故．
【题型3 夹角的最值范围问题】
【例3】（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）平面向量，满足，且，则与夹角的正弦值的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示：设，，则，设，，，
，
当，即时等号成立，故，
当最小时，最大，
故与夹角的正弦值的最大值为.故选：B
【变式3-1】（2022·全国·高三专题练习）已知平面单位向量，满足.设，，向量，的夹角为，则的最大值是_______________.
【答案】
【解析】，，，
，
∴当时，取得最小值，
则取得最大值，的最大值是.
【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，，则向量与的夹角的最大值是_______．
【答案】
【解析】由，得．
又由，得，则，
即，即，
所以，
当且仅当时取等号，所以向量与的夹角的最大值是.
【变式3-3】（2022·全国·高三专题练习）平面向量，满足，，则与夹角最大值为______．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴，
∴；
∴，
当且仅当、等号成立，
∵；∴；
∴与夹角的最大值为．
【变式3-4】（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形中，，，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，且，所以，，
不妨设，则，，
在等式两边同时平方可得，则，
在中，，所以，
，
令，，则，
易知在上为增函数，所以.故选：D.
【变式3-5】（2023·全国·高三专题练习）已知不共线的平面向量，满足，，，则与的夹角的余弦取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，不妨设，由，得，
令，其对应点N的轨迹是以（﹣2，0），（2，0）为焦点的双曲线的右支，
方程为：，
实半轴为1，虚半轴为，又，则，
此时与x轴的夹角为，
则满足的N在图中双曲线N点的上方
或在双曲线上与N点关于x轴对称的点下方的位置，如图位置：
又双曲线的渐近线为，所以与的夹角范围为，
所以与的夹角的余弦取值范围为故选：B．
【题型4 系数的最值范围问题】
【例4】（2022秋·山东·高三校联考阶段练习）若点是所在平面上一点，且是直线上一点，，则的最小值是（ ）．
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】设，，
因为，所以，，
所以点G是的重心，
设点D是AC的中点，则，B、G、D共线，如图，
又．
因为B、H、D三点共线，所以，
所以，
当且仅当，即，时取等号，即的最小值是.故选：C．
【变式4-1】（2022秋·四川巴中·高三南江中学校考阶段练习）已知向量，满足，与的夹角为，且实数x、y满足，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意可得：，
∵，则，即，
∴，
又∵，当且仅当时等号成立，
即，整理得：，则，
∴当时，的最大值为2．故选：B．
【变式4-2】（2022·上海浦东新·统考一模）如图，在中，点D、E是线段BC上两个动点，且，，则的最小值为______.
【答案】8
【解析】设，，则，，，，所以，
所以，又，
所以，所以，
因为，，所以，，所以，
即，同理可得，若则，，
因为，，所以，所以，即，
此时三点重合，与已知矛盾，所以，同理
所以，
当且仅当，即，时取等号；
所以的最小值为8．
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设，则最大值是________.
【答案】
【解析】以为原点，分别以方向为轴，建立如图所示直角坐标系：
所以，，，，所以，，
因为圆直线相切，而，圆心，
所以半径，所以圆：，
因为，
即，因为动点在圆上或圆内移动，
所以，设，则，
所以不等式可化为：，
所以，易得方程有解，则，
所以，即，解得，
所以原式，
所以当，，即，时，.
【变式4-4】（2023·全国·高三专题练习）如图，圆是边长为的等边三角形的内切圆，其与边相切于点，点为圆上任意一点，，则的最大值为________
【答案】2
【解析】因为圆是等边三角形的内切圆且与边相切于点，所以是边上的中点，
以点为原点，所在直线为轴，垂直于方向为轴建立如图所示坐标系，
设内切圆半径为，因为等边三角形的边长为，
所以由三角形面积公式解得，
故可设，且，
所以，，，
由可得，
解得，
所以，所以最大值为2.
（建议用时：60分钟）
1．（2023·安徽合肥·统考一模）已知线段PQ的中点为等边三角形ABC的顶点A，且，当PQ绕点A转动时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以点为原点，以与平行的直线为轴，与垂直的直线为轴，
建立平面直角坐标系，则，，，
易知两点都是圆上的动点，
当直线斜率不存在时，，
此时，，则
当直线斜率不存在时，可设直线的方程为，
当时，联立，解得，，
则，，
；
同理，当时，，，
，
综上所述，的取值范围是，故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量，，均为单位向量，且，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
因为，所以，所以，
所以，，
设与的夹角为，
故，
因为，所以，故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 满足 ， ， ，若向量满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，，
以为y轴， 为x轴，建立直角坐标系
设，，，
所以，
由，可得 ，
化简可得 ，
所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，
原点到的距离为 ，
所以的取值范围是，即故选：C．
4．（2022秋·辽宁·高三校联考期末）已知O为坐标原点，向量，满足，，若，则的取值范围是（ ）
A．[11，13] B．[8，11] C．[8，13] D．[5，11]
【答案】A
【解析】因为，所以三点在以为圆心，1为半径的圆上，
又，所以，
所以，所以是圆的直径，所以，
，
设的夹角为，
则，
因为，所以，
所以，所以，
即的取值范围是.故选：A.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设向量，的夹角为，则
∵
∴
令，则，
∴，又，∴，故选：D
6．（2022·全国·高三专题练习）已知向量满足，则向量与夹角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，可得，
又由，可得，
则，
即，即，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以向量与夹角的最大值是.故选：B.
7．（2022·浙江温州·三模）已知平面向量满足，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，由，可设，
因为，
其次，所以
而，
所以，
又因为，所以.故选：B.
8．（2021·全国·高三专题练习）在中，，，点，为所在平面内的一点，且满足，，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，以原点，，所直线为轴，轴建立直角坐标系，
则，，，
，，
设，因为，所以点满足，
则可设点，
则由，得，
所以，
则的最大值为.故选：A.
9．（2022·全国·高三专题练习）在中，，点在线段（含端点）上运动，点是以为圆心，1为半径的圆及内部一动点，若，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，
所以，即为等边三角形，
以为轴，线段的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，
分别以为圆心作半径为1的圆，如图，是所在圆的最低或最高点，
点在线段，半圆，线段，半圆所围区域内，
设，则，，
，，，
由得，
所以，，
因为，所以，
即的最大值是．故选：C．
10．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点点N与点C不重合，设，，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】为的重心，
又在线段上，
，
，故选：．
11．（2023春·广东·高三统考开学考试）已知点在圆上，点的坐标为，为原点，则的取值范围为____________．
【答案】
【解析】依题意得，设，
所以，，所以，
所以当时，有最大值42，
当时，有最小值30，所以取值范围为．
12．（2023春·四川成都·高三校联考期末）在中，，，为所在平面内的动点，且，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】由题意不妨设，，
为所在平面内的动点，且，设，
则，，
，
由于，所以
的取值范围是
13．（2022·山东·高三利津高级中学校联考阶段练习）已知矩形的边，，为的中点，为矩形所在平面内的动点，且，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】由题意可知，P是以点A为圆心，1为半径的圆上一点，如图建立坐标系，
则，，，
设， 则，，
，，
，
由于为矩形所在平面内的动点，，则，
，
当时，有最小值，
当时，有最大值，
的取值范围为.
14．（2022·全国·高三专题练习）已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足，则的最大值是_________．
【答案】
【解析】因为是平面内两个互相垂直的单位向量，
故不妨设，设，
由得：，
即，即，
则的终点在以为圆心，半径为的圆上，
故的最大值为.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量满足，若，则的最大值是__________．
【答案】
【解析】∵，∴，又，则可设，
设．
由知C在以为圆心，1为半径的圆上，
取的中点为，
由
,
又，所以
所以D在以为圆心3为半径的圆内（含边界），如图所示．
作圆N关于x轴的对称圆圆P，其中，
则表示圆面M内一点与圆P上一点之间的距离，
所以，
即的最大值为．
16．（2022秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）已知平面向量满足，则与夹角的最大值为___________.
【答案】
【解析】因为，，
∴，即，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
当且仅当时取等号，
又，
所以与夹角的最大值为.
17．（2022春·上海黄浦·高三校考阶段练习）若平面向量、、满足，，，，则、夹角的取值范围是_____.
【答案】
【解析】设，，，设、的夹角为，
，，，，
，
，
当且仅当时，等号成立，显然，即，
，，因此，、夹角的取值范围是.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量满足：，若对满足条件的任意向量，恒成立，则的最小值是______________．
【答案】
【解析】由题意设， ，
由， ，
化简得恒成立，所以，， ，
，
当且仅当且时取到等号.
19．（2023·福建漳州·统考三模）已知，点D满足，点E为线段CD上异于C，D的动点，若，则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】由题意设，，因为，所以，
所以，
又，则，
所以，
又因为，由二次函数得性质得，
所以得取值范围为.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知向量满足，若的最大值为，则向量的夹角的最小值为__________，的取值范围为__________．
【答案】；[0，2]
【解析】设向量的夹角为θ，则∈[0，π]；又,
所以，
所以，则向量的夹角的最小值为；
所以，
又，所以8+8cosθ∈[0，4]，所以的取值范围是[0，2]．
重难点5-1 平面向量中的最值范围问题7大题型
平面向量中的最值范围问题是向量问题中的重难点，也是近几年新高考数学的热点问题。常以选择填空题的形式出现，难度稍大，方法灵活。主要考查向量数量积的最值、系数的最值、模长和夹角的最值。在复习过程中要注重对基本方法的训练，把握好类型题的一般解法。
平面向量最值范围问题的常用方法
1、定义法
第1步：利用向量的概念及其基本运算将所求的问题转化为相应的等式关系；
第2步：运用基本不等式求其最值问题；
第3步：得出结论。
2、坐标法
第1步：根据题意建立适当的直角坐标系，并推导关键点的坐标；
第2步：将平面向量的运算坐标化；
第3步：运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数思想等求解。
3、基底法
第1步：利用基底转化向量；
第2步：根据向量运算化简目标；
第3步：运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数等得出结论；
4、几何意义法
第1步：结合条件进行向量关系推导；
第2步：利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹；
第3步：结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围。
【题型1 数量积的最值范围问题】
【例1】（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）已知向量，，满足，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可设，，，
则，，
则
，，
其中，
，则，故选：D.
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）若三点不共线，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】已知，以所在直线为轴、中垂线为轴建立直角坐标系， 如图所示
由题意可知，，，设.
因为，
所以，即，
故点的轨迹是圆，圆心坐标为，半径为，所以.
所以.故选：B.
【变式1-2】（2023秋·北京房山·高三统考期末）在中，，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，则，
由余弦定理得：，
；
，，，
即的取值范围为.故选：D.
【变式1-3】（2023春·北京海淀·高三人大附中校考开学考试）已知中，，点P在平面ABC内，，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由条件可知，所以，
，
因为当时，的最大值为1，
所有的最大值是3.故选：C.
【变式1-4】（2023·重庆·统考一模）在矩形ABCD中，，点E为边AB的中点，点F为线段BC上的动点，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，
由题意得，，因为为中点，所以，
设，则，
，，则，
，则.
【变式1-5】（2022·全国·高三专题练习）半径为2的圆上有三点，，，满足，点是圆内一点，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】由得，
所以四边形是平行四边形，又，则四边形是菱形，
易得是等边三角形，所以，
设四边形对角线的交点为E，，
由极化恒等式得，
，
所以，
因为是圆内一点，所以，
所以，即.
【题型2 模长的最值范围问题】
【例2】（2022秋·吉林·高三校联考阶段练习）已知向量，的夹角为，且，则的最小值是__________.
【答案】
【解析】.
因为,所以，当且仅当时取等号，
所以,则的最小值是.
【变式2-1】（2023·全国·高三专题练习）若，且，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，其中，圆，点在圆上，
因为，且，则，
设，则，所以，
则，
所以，
又，
当且仅当，且，即或等号成立，
所以的最大值是.故选：B.
【变式2-2】（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知点，圆，过点的直线与圆交于，两点，则的最大值为（ ）
A． B．12 C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，，圆M的半径为4，设AB的中点，
则，即，
又，所以，
即点D的轨迹方程为，圆心，半径为1，
所以的最大值为，
因为，
所以的最大值为12.故选：B.
【变式2-3】（2023·全国·模拟预测）已知向量，的夹角为，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】向量，的夹角为，，
则有，
设，，
∴，即，存在，方程有解，
则有，解得，
则的最大值为.故选：B
【变式2-4】（2023·陕西商洛·校考三模）已知平面向量，，，其中为单位向量，若，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】建立如图所示坐标系，
不妨设，
由知，点在直线或上，
由题意，可知，
记，，则，
由定弦所对的角为顶角可知点的轨迹是两个关于轴对称的圆弧，
设，则，
因为，即，
整理得或，
由对称性不妨只考虑第一象限的情况，
因为的几何意义为：
圆弧的点到直线上的点的距离，
所以最小值为，故．
【题型3 夹角的最值范围问题】
【例3】（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）平面向量，满足，且，则与夹角的正弦值的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示：设，，则，设，，，
，
当，即时等号成立，故，
当最小时，最大，
故与夹角的正弦值的最大值为.故选：B
【变式3-1】（2022·全国·高三专题练习）已知平面单位向量，满足.设，，向量，的夹角为，则的最大值是_______________.
【答案】
【解析】，，，
，
∴当时，取得最小值，
则取得最大值，的最大值是.
【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，，则向量与的夹角的最大值是_______．
【答案】
【解析】由，得．
又由，得，则，
即，即，
所以，
当且仅当时取等号，所以向量与的夹角的最大值是.
【变式3-3】（2022·全国·高三专题练习）平面向量，满足，，则与夹角最大值为______．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴，
∴；
∴，
当且仅当、等号成立，
∵；∴；
∴与夹角的最大值为．
【变式3-4】（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形中，，，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，且，所以，，
不妨设，则，，
在等式两边同时平方可得，则，
在中，，所以，
，
令，，则，
易知在上为增函数，所以.故选：D.
【变式3-5】（2023·全国·高三专题练习）已知不共线的平面向量，满足，，，则与的夹角的余弦取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，不妨设，由，得，
令，其对应点N的轨迹是以（﹣2，0），（2，0）为焦点的双曲线的右支，
方程为：，
实半轴为1，虚半轴为，又，则，
此时与x轴的夹角为，
则满足的N在图中双曲线N点的上方
或在双曲线上与N点关于x轴对称的点下方的位置，如图位置：
又双曲线的渐近线为，所以与的夹角范围为，
所以与的夹角的余弦取值范围为故选：B．
【题型4 系数的最值范围问题】
【例4】（2022秋·山东·高三校联考阶段练习）若点是所在平面上一点，且是直线上一点，，则的最小值是（ ）．
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】设，，
因为，所以，，
所以点G是的重心，
设点D是AC的中点，则，B、G、D共线，如图，
又．
因为B、H、D三点共线，所以，
所以，
当且仅当，即，时取等号，即的最小值是.故选：C．
【变式4-1】（2022秋·四川巴中·高三南江中学校考阶段练习）已知向量，满足，与的夹角为，且实数x、y满足，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意可得：，
∵，则，即，
∴，
又∵，当且仅当时等号成立，
即，整理得：，则，
∴当时，的最大值为2．故选：B．
【变式4-2】（2022·上海浦东新·统考一模）如图，在中，点D、E是线段BC上两个动点，且，，则的最小值为______.
【答案】8
【解析】设，，则，，，，所以，
所以，又，
所以，所以，
因为，，所以，，所以，
即，同理可得，若则，，
因为，，所以，所以，即，
此时三点重合，与已知矛盾，所以，同理
所以，
当且仅当，即，时取等号；
所以的最小值为8．
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设，则最大值是________.
【答案】
【解析】以为原点，分别以方向为轴，建立如图所示直角坐标系：
所以，，，，所以，，
因为圆直线相切，而，圆心，
所以半径，所以圆：，
因为，
即，因为动点在圆上或圆内移动，
所以，设，则，
所以不等式可化为：，
所以，易得方程有解，则，
所以，即，解得，
所以原式，
所以当，，即，时，.
【变式4-4】（2023·全国·高三专题练习）如图，圆是边长为的等边三角形的内切圆，其与边相切于点，点为圆上任意一点，，则的最大值为________
【答案】2
【解析】因为圆是等边三角形的内切圆且与边相切于点，所以是边上的中点，
以点为原点，所在直线为轴，垂直于方向为轴建立如图所示坐标系，
设内切圆半径为，因为等边三角形的边长为，
所以由三角形面积公式解得，
故可设，且，
所以，，，
由可得，
解得，
所以，所以最大值为2.
（建议用时：60分钟）
1．（2023·安徽合肥·统考一模）已知线段PQ的中点为等边三角形ABC的顶点A，且，当PQ绕点A转动时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以点为原点，以与平行的直线为轴，与垂直的直线为轴，
建立平面直角坐标系，则，，，
易知两点都是圆上的动点，
当直线斜率不存在时，，
此时，，则
当直线斜率不存在时，可设直线的方程为，
当时，联立，解得，，
则，，
；
同理，当时，，，
，
综上所述，的取值范围是，故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量，，均为单位向量，且，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
因为，所以，所以，
所以，，
设与的夹角为，
故，
因为，所以，故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 满足 ， ， ，若向量满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，，
以为y轴， 为x轴，建立直角坐标系
设，，，
所以，
由，可得 ，
化简可得 ，
所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，
原点到的距离为 ，
所以的取值范围是，即故选：C．
4．（2022秋·辽宁·高三校联考期末）已知O为坐标原点，向量，满足，，若，则的取值范围是（ ）
A．[11，13] B．[8，11] C．[8，13] D．[5，11]
【答案】A
【解析】因为，所以三点在以为圆心，1为半径的圆上，
又，所以，
所以，所以是圆的直径，所以，
，
设的夹角为，
则，
因为，所以，
所以，所以，
即的取值范围是.故选：A.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设向量，的夹角为，则
∵
∴
令，则，
∴，又，∴，故选：D
6．（2022·全国·高三专题练习）已知向量满足，则向量与夹角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，可得，
又由，可得，
则，
即，即，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以向量与夹角的最大值是.故选：B.
7．（2022·浙江温州·三模）已知平面向量满足，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，由，可设，
因为，
其次，所以
而，
所以，
又因为，所以.故选：B.
8．（2021·全国·高三专题练习）在中，，，点，为所在平面内的一点，且满足，，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，以原点，，所直线为轴，轴建立直角坐标系，
则，，，
，，
设，因为，所以点满足，
则可设点，
则由，得，
所以，
则的最大值为.故选：A.
9．（2022·全国·高三专题练习）在中，，点在线段（含端点）上运动，点是以为圆心，1为半径的圆及内部一动点，若，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，
所以，即为等边三角形，
以为轴，线段的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，
分别以为圆心作半径为1的圆，如图，是所在圆的最低或最高点，
点在线段，半圆，线段，半圆所围区域内，
设，则，，
，，，
由得，
所以，，
因为，所以，
即的最大值是．故选：C．
10．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点点N与点C不重合，设，，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】为的重心，
又在线段上，
，
，故选：．
11．（2023春·广东·高三统考开学考试）已知点在圆上，点的坐标为，为原点，则的取值范围为____________．
【答案】
【解析】依题意得，设，
所以，，所以，
所以当时，有最大值42，
当时，有最小值30，所以取值范围为．
12．（2023春·四川成都·高三校联考期末）在中，，，为所在平面内的动点，且，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】由题意不妨设，，
为所在平面内的动点，且，设，
则，，
，
由于，所以
的取值范围是
13．（2022·山东·高三利津高级中学校联考阶段练习）已知矩形的边，，为的中点，为矩形所在平面内的动点，且，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】由题意可知，P是以点A为圆心，1为半径的圆上一点，如图建立坐标系，
则，，，
设， 则，，
，，
，
由于为矩形所在平面内的动点，，则，
，
当时，有最小值，
当时，有最大值，
的取值范围为.
14．（2022·全国·高三专题练习）已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足，则的最大值是_________．
【答案】
【解析】因为是平面内两个互相垂直的单位向量，
故不妨设，设，
由得：，
即，即，
则的终点在以为圆心，半径为的圆上，
故的最大值为.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量满足，若，则的最大值是__________．
【答案】
【解析】∵，∴，又，则可设，
设．
由知C在以为圆心，1为半径的圆上，
取的中点为，
由
,
又，所以
所以D在以为圆心3为半径的圆内（含边界），如图所示．
作圆N关于x轴的对称圆圆P，其中，
则表示圆面M内一点与圆P上一点之间的距离，
所以，
即的最大值为．
16．（2022秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）已知平面向量满足，则与夹角的最大值为___________.
【答案】
【解析】因为，，
∴，即，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
当且仅当时取等号，
又，
所以与夹角的最大值为.
17．（2022春·上海黄浦·高三校考阶段练习）若平面向量、、满足，，，，则、夹角的取值范围是_____.
【答案】
【解析】设，，，设、的夹角为，
，，，，
，
，
当且仅当时，等号成立，显然，即，
，，因此，、夹角的取值范围是.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量满足：，若对满足条件的任意向量，恒成立，则的最小值是______________．
【答案】
【解析】由题意设， ，
由， ，
化简得恒成立，所以，， ，
，
当且仅当且时取到等号.
19．（2023·福建漳州·统考三模）已知，点D满足，点E为线段CD上异于C，D的动点，若，则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】由题意设，，因为，所以，
所以，
又，则，
所以，
又因为，由二次函数得性质得，
所以得取值范围为.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知向量满足，若的最大值为，则向量的夹角的最小值为__________，的取值范围为__________．
【答案】；[0，2]
【解析】设向量的夹角为θ，则∈[0，π]；又,
所以，
所以，则向量的夹角的最小值为；
所以，
又，所以8+8cosθ∈[0，4]，所以的取值范围是[0，2]．
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