2021-2022学年山东省济南市商河县七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年山东省济南市商河县七年级（下）期末数学试卷

一．选择题（本题共12小题，共48分）

1. 年冬奥会在北京举行，以下历届冬奥会会徽是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使和互余的摆放方式是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 有研究机构预测纳米芯片将在年以后批量生产，“纳米”是长度单位，纳米等于米，纳米用科学记数法表示为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

4. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是(    )

A.
B.
C.
D.

6. 以下列数据为长度的三条线段，能组成三角形的是(    )

A. 、、 B. 、、
C. 、、 D. 、、

7. 小花放学回家走了一段路，在途径的书店买了一些课后阅读书籍，然后发现时间比较晚了，急忙跑步回到家．若设小花与家的距离为米，她离校的时间为分钟，则反映该情景的大致图象为(    )

A.  B.
C.  D.

8. 不透明的袋子中只有个黑球和个白球，这些球除颜色外无其它差别，随机从袋子中一次摸出个球，下列事件是不可能事件的是(    )

A. 个球都是黑球 B. 个球都是白球 C. 三个球中有黑球 D. 个球中有白球

9. 在中，，则的形状是(    )

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 形状无法确定

10. 如图，点、在上，，添加下列条件无法证得≌的是(    )

A.
B.
C.
D.

11. 如图，在中，是的垂直平分线，，且的周长为，则的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在与中，，，，，交于点，连接下列结论：；；；，正确的个数为(    )

1. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二．填空题（本题共6小题，共24分）

13. 已知一个角是，那么它的补角是______度．
14. 在一个不透明的袋中装有个白色小球，个红色小球，小球除颜色外其他完全相同．若从中随机摸出一个球，恰为红球的概率为，则______．
15. 如果，那么的值是______．
16. 如图，的边长是，边上的高是，点在上运动，设的长为，请写出的面积与之间的关系式______．

17. 如图中，，以顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是______．

18. 如图，和是两个等腰直角三角形，，，，的顶点在边上移动，在移动过程中，线段与线段相交于点，线段与线段相交于点，当为中点，连接、，若，，，则的长______．

三．解答题（本题共9小题，共78分）

19. 计算：
    ；
    ．
20. 先化简，再求值：，其中，．
21. 向如图所示的正三角形区域内扔沙包区域中每个小正三角形除颜色外完全相同，沙包随机落在某个正三角形内．
    扔沙包一次，求沙包落在图中阴影区域的概率；
    要使沙包落在图中阴影区域和空白区域的概率均为，还要涂黑几个小正三角形？请在图中画出．

22. 如图，，，，在同一条直线上，．
    若，，求的度数．
    若，求证：．

23. 如图，和的顶点都在边长为的正方形网格的格点上，且和关于直线成轴对称．
    直接写出的面积；
    请在如图所示的网格中作出对称轴直线；
    请在直线上作一点，使得最小．保留必要的作图痕迹

24. 如图，在和中，，，，连接，，当点，，在同一条直线上时，请判断线段和的数量及位置关系，并说明理由．

25. 西工大启迪中学初一年级学生和老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，学生到达起点后做了一会准备活动，老师先跑，当学生出发时，老师已经距起点米了，他们距起点的距离米与学生出发的时间秒之间的关系如图所示不完整，根据图中给出的信息，解答下列问题：
    在上述变化过程中，自变量是______ ，因变量是______ ；
    老师和学生的速度分别为多少米秒？
    学生与老师相遇______ 次，第二次相遇时距起点的距离为______ 米

26. 在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，请认真观察图形，解答下列问题：
    如图，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系：______．
    若图中、满足，，求的值；
    如图，是线段上一点，以，为边向两边作正方形，，两正方形面积和，求图中阴影部分面积．

27. 数学模型学习与应用：
    
    【模型学习】：如图，，，于点，于点由，得；又，可以通过推理得到≌，进而得到______，______我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型．
    【模型应用】：如图，为等边三角形，，，求证：；
    【模型变式】：如图，在中，，，于点，于点，，，则______．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．根据余角和补角的概念、结合图形进行判断即可．
【解答】
解：与互余，故本选项正确；
B.，故本选项错误；
C.，故本选项错误；
D.与互补，故本选项错误，
故选A．  

3.【答案】 

【解析】解：纳米米米米．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】 

【解析】解：、与不是同类项，不能合并，故A错误，不符合题意；
B、，故B误，不符合题意；
C、，故C正确，符合题意；
D、，故D误，不符合题意；
故选：．
根据同类项定义、单项式乘法法则、单项式除法法则、完全平方公式逐项判断．
本题考查整数的运算，解题的关键是掌握整数运算的相关法则．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图所示；

，，
，
，
．
选项正确，
故选：．
利用平行线的性质直接求解即可．
本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、，故不能组成三角形，不符合题意；
B、，能组成三角形，符合题意；
C、，不能组成三角形，不符合题意；
D、，不能组成三角形，不符合题意．
故选：．
三角形的三条边必须满足：任意两边之和第三边，任意两边之差第三边．
本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和最大的数就可以．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意得，最初与家的距离随时间的增大而减小，途径书店购买课后阅读书籍时，时间增大而不变，急忙跑步时，与家的距离随时间的增大而减小，
故选：．
分三段分析，最初步行、途径书店购买课后阅读书籍、急忙跑步，分析函数的性质，进行判断即可．
本题考查了函数的图象，读懂函数图象的意义是解题的关键，解答时，注意分情况讨论思想的运用．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．
【解答】
解：、个球都是黑球是随机事件；
B、个球都是白球是不可能事件；
C、三个球中有黑球是必然事件；
D、个球中有白球是随机事件；
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
为锐角三角形，
故选：．
利用，，的关系和三角形内角和定理，求出具体的度数，即可求解．
本题考查三角形内角和定理，解题的关键是利用，，的关系求出具体度数．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
即，
A.，，，符合全等三角形的判定定理，能推出≌，故本选项不符合题意；
B.，，，符合全等三角形的判定定理，能推出≌，故本选项不符合题意；
C.，，，符合全等三角形的判定定理，能推出≌，故本选项不符合题意；
D.，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出≌，故本选项符合题意；
故选：．
根据求出，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．
 

11.【答案】 

【解析】解：是的垂直平分线，
，
的周长为，
，
，即，
的周长，
故选：．
根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：在和中，
，
≌，
，，，故正确，
，故正确，
，
，故正确，
无法证明，故错误，
故选：．
由“”可证≌，由全等三角形的性质依次判断可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
这个角的补角的度数为．
故答案为：．
根据互补的概念进行计算即可．
本题考查的是补角的概念，若两个角的和等于，则这两个角互补．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
故答案为：．
根据概率公式列式求得的值即可．
本题考查了概率公式．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
，
．
故答案为：．
利用完全平方公式把左边展开，再根据对应项系数相等解答即可．
本题考查了完全平方公式．要注意两数的平方和，再加上或减去它们积的倍，就构成了一个完全平方式．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，
，
边上的高是，
，
，
故答案为：．
先求出的长，再由得出的面积，即可求解．
本题考查函数关系式，解题的关键是明确和的长．
 

17.【答案】 

【解析】解：由作法得平分，
点到的距离等于点到的距离，
，，
点到的距离为，
的面积．
故答案为：．
利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到点到的距离为，然后根据三角形面积公式计算．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．
 

18.【答案】 

【解析】解：在上截取，连接，如图所示：
，，为中点，
，，
在与中，
，
≌，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
故答案为：．
在上截取，连接，证≌，得出，，再证≌，得出，即可得出答案．
本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明≌是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式
；
原式
． 

【解析】根据负整数指数幂的运算法则、零指数幂的运算法则、绝对值的意义解答即可；
根据平方差公式、单项式乘多项式的运算法则解答即可．
本题主要考查实数的运算和整式的运算，熟练掌握实数及整式的运算顺序和运算法则是解题的关键．
 

20.【答案】解：原式，
当，时，原式． 

【解析】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式利用完全平方公式，平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值．
 

21.【答案】解：图中共有个等边三角形，其中阴影部分的三角形有个，
扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是，
涂黑个，
因为图形中有个小等边三角形，要使沙包落在图中阴影区域的概率为，
所以图形中阴影部分的小等边三角形要达到个，已经涂黑了个，所以还需要涂黑个，
如图所示：答案不唯一．
 

【解析】由图中共有个等边三角形，其中阴影部分的三角形有个，利用概率公式计算可得；
要使沙包落在图中阴影区域的概率为，所以图形中阴影部分的小等边三角形要达到个，据此可得．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即为事件发生的概率．
 

22.【答案】解：，，
，
，
；
证明：，，
，
． 

【解析】根据等量关系和三角形外角的性质可求的度数．
根据平角的定义和等量关系可得，再根据平行线的判定即可求解．
本题考查了平行线的判定，三角形外角的性质，关键是熟悉内错角相等，两直线平行的知识点．
 

23.【答案】解：；
如图，直线为所作；
如图，点为所作．
． 

【解析】的面积；
所以答案为；
见答案；
见答案．
用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积；
利用网格特点作、的垂直平分线得到对称轴；
根据轴对称的性质即可得到结论．
本题考查了作图轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
 

24.【答案】解：结论：且；
理由如下：
，
．
．
在和中
，
≌，
，，
，
，
即，
，
． 

【解析】先判断出≌，得出，，即可得出结论．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，判断出≌是解本题的关键．
 

25.【答案】学生出发的时间  距起点的距离     

【解析】解：观察函数图象可得出：自变量为学生出发的时间，因变量为距起点的距离．
故答案为：学生出发的时间；距起点的距离．
老师的速度为：米秒；
学生的速度为：米秒．
小明与朱老师相遇次，第二次相遇时距起点的距离米，
故答案为：；米．
观察函数图象即可找出谁是自变量谁是因变量；
根据速度路程时间，即可分别算出老师以及学生的速度；
根据函数图象即可得到结论．
本题考查了函数的应用，观察函数图象找出点的坐标是解题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】图中阴影部分的面积可以表示为两个边长分别为，的小正方形的面积之和，即，
也可表示为边长是的大正方形的面积减去两个长、宽分别为，的小长方形的面积，即．
等量关系为．
故答案为：．
，，
．
设，，
，，
，
．
阴影部分的面积为．
阴影部分的面积可表示为两个小正方形的面积之和，也可表示成大正方形的面积减去两个小长方形的面积，即可得到等量关系．
由得到的等量关系：，代入数值求解即可．
设，，根据已知条件可列方程组，求出的值，由于阴影部分的面积为，即可得出答案．
本题考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
 

27.【答案】     

【解析】解：，
，
又，，
≌，
，，
故答案为：，；
证明：是等边三角形，
，
，
，
，
又，
≌，
；
解：，，
，
，
，
又，
≌，
，，
，
故答案为：．
由“”可证≌，可得，；
由“”可证≌，可得；
由“”可证≌，可得，，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握“一线三等角”模型是解题的关键．