2021-2022学年山东省济南市商河县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年山东省济南市商河县八年级（下）期末数学试卷

一．选择题（本题共12小题，共48分）

1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若，则下列不等式一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 若分式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 将点沿轴方向向左平移个单位，再沿轴方向向上平移个单位，所得的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在平行四边形中，，则(    )

A.
B.
C.
D.

7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，平分，于点，点是射线的一个动点，若，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 不能判定一个四边形是平行四边形的条件是(    )

A. 两组对边分别平行 B. 一组对边平行另一组对边相等
C. 一组对边平行且相等 D. 两组对边分别相等

11. 如图，在中，，，将绕点按顺时针方向旋转后得到，此时点在边上，则旋转角的大小为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 把一副三角板如图甲放置，其中，，，斜边，，把三角板绕点顺时针旋转得到如图乙，此时与交于点，则线段的长为(    )

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共6小题，共24分）

13. 分解因式：______．
14. 若分式的值为，则的值是______．
15. 如图，正方形的边在正五边形的边上，则______．

16. 若不等式的解集是，则的取值范围是______．
17. 如图，在平行四边形中，平分，若，，则的长为______．

18. 如图，点的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为，则点的坐标为______．

三．解答题（本题共9小题，共78分）

19. 解不等式，，并把它的解集表示在数轴上．
    解不等式组：，并写出不等式组的整数解．
20. 把下列各式分解因式：
    ；
    ．
21. 计算：；
    先化简，再求值：，其中．
22. 解方程：
23. 如图，四边形是平行四边形，、分别是、上的点，．
    求证：四边形为平行四边形．

24. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示每个小方格都是边长个单位长度的正方形．
    将沿轴方向向左平移个单位，画出平移后得到的；
    将绕着点顺时针旋转，画出旋转后得到的；直接写出点的坐标；
    作出关于原点成中心对称的，并直接写出的坐标．

25. 年月日晚，中国女足在第届亚洲杯决赛中以：逆转夺冠全国各地掀起了一股学女足精神的热潮．某学校准备购买一批足球，第一次用元购进类足球若干个，第二次又用元购进类足球，购进数量比第一次多了个，已知类足球的单价是类足球单价的倍．
    求类足球的单价是多少元；
    若学校需采购，两类足球共个，总费用不超过元，则类足球最多购买多少个？
26. 如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于，交于，且．
    求证：是等腰三角形；
    若，，，求的周长．

27. 发现如图，和均为等边三角形，点在边上，连接．
    填空：
    的度数是______；
    线段、、之间的数量关系是______．
    探究
    如图，和均为等腰直角三角形，，点在边上，连接请判断的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由．
    拓展应用：
    如图，和均为等腰直角三角形，，点在的延长线上，连接，若，，求线段的长．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．
故选：．
直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、由，得，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、由，得，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、由，得，原变形正确，故此选项符合题意；
D、由，得，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：．
利用不等式的性质对各选项进行判断．
本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，从左到右是整式的乘法运算，不合题意；
B、，不合题意；
C、，不合题意；
D、，从左到右是因式分解，符合题意．
故选：．
直接利用因式分解的意义分析得出答案．
此题主要考查了因式分解的意义，正确把握相关定义是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：要使分式有意义，必须，
解得，，
故选：．
根据分式的分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：将点沿轴方向向左平移个单位，
再沿轴方向向上平移个单位，所得的点的坐标是．
故选：．
根据平移的方法：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，即可得结论．
本题考查了坐标与图形变化平移，解决本题的关键是，在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上或减去一个整数，相应的新图形就是把原图形向右或向左平移个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加或减去一个整数，相应的新图形就是把原图形向上或向下平移个单位长度．即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
又，
．
故选：．
根据平行四边形对角相等的性质进行分析．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
其解集在数轴上表示为：
．
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：原式．
故选：．
同分母分式减法，根据法则分母不变分子相减，再约分即可．
本题考查分式的加减运算，熟练掌握分式加减运算法则是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：作于，
则此时最小，
平分，，，
，即的最小值为，
故选：．
作于，根据角平分线的性质解答．
本题考查的是角平分线的性质、垂线段最短，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：、两组对边分别平行，可判定该四边形是平行四边形，故A不符合题意；
B、一组对边平行另一组对边相等，不能判定该四边形是平行四边形，也可能是等腰梯形，故B符合题意；
C、一组对边平行且相等，可判定该四边形是平行四边形，故C不符合题意；
D、两组对边分别相等，可判定该四边形是平行四边形，故D不符合题意
故选：．
根据平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可选出答案．
此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，
，
绕点按顺时针方向旋转后得到，
，
，
在中，，
旋转角是．
故选：．
根据直角三角形两锐角互余求出，再根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形两底角相等列式求出，再根据旋转角等于对应边、的夹角解答．
本题考查了旋转的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等腰三角形的性质，熟记各性质并求出是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
旋转角为，
，
又，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在中，．
故选：．
先求出，再根据旋转角求出，然后判断出是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出、，，再求出然后利用勾股定理列式计算即可得解．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据等腰直角三角形的性质判断出是解题的关键，也是本题的难点．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接提取公因式，进而分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了分时值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为，这两个条件缺一不可．
分式的值为的条件是：分子为；分母不为，两个条件需同时具备，缺一不可，据此可以解答本题．
【解答】
解：由分式的值为，得
且，
解得，
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】解：五边形为正五边形，
，
四边形为正方形，
，
．
故答案为：．
根据多边形内角和公式，计算出正五边形中，，正方形中，，即可．
本题考查了多边形内角和公式，掌握多边形内角和公式是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查对不等式的性质，解不等式等知识点的理解和掌握，能根据不等式的性质和解集得出是解此题的关键．
根据不等式的性质和解集得出，求出即可．
【解答】
解：不等式的解集是，
，
即．
故答案为．  

17.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
根据平行四边形性质得出，，推出，求出，推出，即可求出的长．
本题考查了平行四边形性质，平行线性质，角平分线定义，等腰三角形的性质和判定的应用；熟练掌握平行四边形的性质，证出是解决问题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：把沿轴向右平移到，
四边形是平行四边形，
，和的纵坐标相同，
四边形的面积为，点的坐标为，
，
，
，
故答案为．
根据平移的性质得出四边形是平行四边形，从而得和的纵坐标相同，根据四边形的面积求得的长，即可求得的坐标．
本题考查了坐标与图形的变换平移，平移的性质，平行四边形的性质，求得平移的距离是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
，
，
，
，
，
把它的解集表示在数轴上为：

，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
则不等式组的整数解为：，． 

【解析】去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为，依此解不等式，并把它的解集表示在数轴上即可求解；
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解即可．
本题考查了解一元一次不等式以及解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式的基本步骤是解答本题的关键，解一元一次不等式的步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为．
 

20.【答案】解：原式
；
原式
． 

【解析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

21.【答案】解：


；


，
当时，原式． 

【解析】先通分，然后再化简即可；
先计算括号内的式子，然后计算括号外的除法，再将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式混合运算的运算法则和运算顺序．
 

22.【答案】解：原方程可变为：，
方程两边同乘，得，
解得：，
检验：当时，，
原方程的解为． 

【解析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，，
在和中，
，
≌，
，
，
即，又，
四边形为平行四边形． 

【解析】首先根据四边形是平行四边形，可得，，，，然后再证明≌可得，进而证明，从而可得四边形为平行四边形．
此题主要考查了平行四边形的判定与性质，关键是掌握平行四边形两组对边分别相等且平行．
 

24.【答案】解：如图所示．
如图所示，点．
如图所示，的坐标．
 

【解析】分别作出，，的对应点，，即可．
分别作出，，的对应点，，即可．
分别作出，，的对应点，，即可．
本题考查作图旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

25.【答案】解：设类足球的单价是元，则类足球的单价是元，
根据题意得，，
解得，，
经检验，是分式方程的解，且符合题意，
答：类足球的单价是元；
设购类足球个，则购类足球个，
根据题意得，，
解得，，
答：类足球最多购买个． 

【解析】设类足球的单价是元，则类足球的单价是元，根据第一次用元购进类足球若干个，第二次又用元购进类足球，购进数量比第一次多了个列方程即可得到结论；
设购类足球个，则购类足球个，根据总费用不超过元列不等式即可得到结论．
此题主要考查了分式的应用以及一元一次不等式的应用，正确得出不等关系是解题关键．
 

26.【答案】证明：，
，．
平分，
．
．
．
是等腰三角形．
是的中点，
．
，
．
由对顶角相等可知：．
在和中
≌．
．
，
．
．
的周长． 

【解析】首先依据平行线的性质证明，，然后结合角平分线的定义可证明，故此可证明为等腰三角形；
首先证明≌，从而得到的长，然后可求得的长，于是可求得的周长．
本题主要考查的是等腰三角形的性质和判定，熟练掌握等腰三角形的性质和判定定理是解题的关键．
 

27.【答案】   

【解析】解：在中，，，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
；
故答案为：；

≌，
，
，
；
故答案为：；

；．
理由：和均为等腰直角三角形，，
，，，
即．
≌．
，．
．
在等腰直角三角形中，，
，
；

由知，≌．
，．
．
在等腰直角三角形中，，
，，
，
在中，根据勾股定理得，．
由≌以及等边三角形的性质，得出，则；
由≌，得出，则得出；
证明≌可得出，则结论得出；
同的方法得出，最后用勾股定理求解，即可得出结论．
本题是三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．