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湖北省十堰市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
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这是一份湖北省十堰市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类，共35页。试卷主要包含了之间的函数关系如图所示，，与y轴交于点A等内容，欢迎下载使用。
湖北省十堰市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．根的判别式（共1小题）
1．（2022•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．
二．一次函数的应用（共1小题）
2．（2022•十堰）某商户购进一批童装，40天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的关系式是y＝，销售单价p（元/件）与销售时间x（天）之间的函数关系如图所示．
（1）第15天的日销售量为 件；
（2）0＜x≤30时，求日销售额的最大值；
（3）在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
3．（2023•十堰）函数y＝的图象可以由函数y＝的图象左右平移得到．
（1）将函数y＝的图象向右平移4个单位得到函数y＝的图象，则a＝ ；
（2）下列关于函数y＝的性质：①图象关于点（﹣a，0）对称；②y随x的增大而减小；③图象关于直线y＝﹣x+a对称；④y的取值范围为y≠0．其中说法正确的是 （填写序号）；
（3）根据（1）中a的值，写出不等式＞的解集．
四．二次函数的应用（共2小题）
4．（2023•十堰）“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒．根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒．设每盒售价为x元，日销售量为p盒．
（1）当x＝60时，p＝ ；
（2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？
（3）小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大．”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为60≤x≤80．”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论．
5．（2021•十堰）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y（元/kg）与时间x（天）之间的函数关系式为：y＝，且日销量m（kg）与时间x（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：
时间x（天）
1
3
6
10
…
日销量m（kg）
142
138
132
124
…
（1）填空：m与x的函数关系为 ；
（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg商品就捐赠n元利润（n＜4）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围．
五．二次函数综合题（共3小题）
6．（2023•十堰）已知抛物线y＝ax2+bx+8过点B（4，8）和点C（8，4），与y轴交于点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AB，BC，点D在线段AB上（与点A，B不重合），点F是OA的中点，连接FD，过点D作DE⊥FD交BC于点E，连接EF，当△DEF面积是△ADF面积的3倍时，求点D的坐标；
（3）如图2，点P是抛物线上对称轴右侧的点，H（m，0）是x轴正半轴上的动点，若线段OB上存在点G（与点O，B不重合），使得∠GBP＝∠HGP＝∠BOH，求m的取值范围．
7．（2021•十堰）已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于点A（﹣1，0）和B（﹣5，0），与y轴交于点C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连AN交抛物线于M，连AC、CM．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当tan∠ACM＝2时，求M点的横坐标；
（3）如图2，过点P作x轴的平行线l，过M作MD⊥l于D，若MD＝MN，求N点的坐标．
8．（2022•十堰）已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A（1，0）和点B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．
①如图1，若点P在第三象限，且∠CPD＝45°，求点P的坐标；
②直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E′落在y轴上时，求四边形PECE′的周长．
六．矩形的判定（共1小题）
9．（2022•十堰）如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．
（1）求证：BE＝DF；
（2）设＝k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．
七．四边形综合题（共1小题）
10．（2023•十堰）过正方形ABCD的顶点D作直线DP，点C关于直线DP的对称点为点E，连接AE，直线AE交直线DP于点F．
（1）如图1，若∠CDP＝25°，则∠DAF＝ ；
（2）如图1，请探究线段CD，EF，AF之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）在DP绕点D转动的过程中，设AF＝a，EF＝b，请直接用含a，b的式子表示DF的长．
八．切线的判定与性质（共1小题）
11．（2023•十堰）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的半圆分别交AC，BC，AB于点D，E，F，且点E是弧DF的中点．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若CE＝，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
九．几何变换综合题（共1小题）
12．（2021•十堰）已知等边三角形ABC，过A点作AC的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接CP，把线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到CQ，连QB．
（1）如图1，直接写出线段AP与BQ的数量关系；
（2）如图2，当点P、B在AC同侧且AP＝AC时，求证：直线PB垂直平分线段CQ；
（3）如图3，若等边三角形ABC的边长为4，点P、B分别位于直线AC异侧，且△APQ的面积等于，求线段AP的长度．
一十．条形统计图（共1小题）
13．（2023•十堰）市体育局对甲、乙两运动队的某体育项目进行测试，两队人数相等，测试后统计队员的成绩分别为：7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据测试成绩绘制了如图所示尚不完整的统计图表：
成绩
7分
8分
9分
10分
人数
10
1
m
7
请根据图表信息解答下列问题：
（1）填空：α＝ °，m＝ ；
（2）补齐乙队成绩条形统计图；
（3）①甲队成绩的中位数为 ，乙队成绩的中位数为 ；
②分别计算甲、乙两队成绩的平均数，并从中位数和平均数的角度分析哪个运动队的成绩较好．
一十一．列表法与树状图法（共1小题）
14．（2022•十堰）某兴趣小组针对视力情况随机抽取本校部分学生进行调查，将调查结果进行统计分析，绘制成如下不完整的统计图表．
抽取的学生视力情况统计表
类别
调查结果
人数
A
正常
48
B
轻度近视
76
C
中度近视
60
D
重度近视
m
请根据图表信息解答下列问题：
（1）填空：m＝ ，n＝ ；
（2）该校共有学生1600人，请估算该校学生中“中度近视”的人数；
（3）某班有四名重度近视的学生甲、乙、丙、丁，从中随机选择两名学生参加学校组织的“爱眼护眼”座谈会，请用列表或画树状图的方法求同时选中甲和乙的概率．
湖北省十堰市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．根的判别式（共1小题）
1．（2022•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）m的值为±1．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3m2，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1•（﹣3m2）
＝4+12m2＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得：
，
解得：，
∵αβ＝﹣3m2，
∴﹣3m2＝﹣3，
∴m＝±1，
∴m的值为±1．
二．一次函数的应用（共1小题）
2．（2022•十堰）某商户购进一批童装，40天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的关系式是y＝，销售单价p（元/件）与销售时间x（天）之间的函数关系如图所示．
（1）第15天的日销售量为 30 件；
（2）0＜x≤30时，求日销售额的最大值；
（3）在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？
【答案】（1）30；（2）2100元；（3）9天．
【解答】解：（1）∵日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的关系式是y＝，
∴第15天的销售量为2×15＝30件，
故答案为：30；
（2）由销售单价p（元/件）与销售时间x（天）之间的函数图象得：
p＝，
①当0＜x≤20时，
日销售额＝40×2x＝80x，
∵80＞0，
∴日销售额随x的增大而增大，
∴当x＝20时，日销售额最大，最大值为80×20＝1600（元）；
②当20＜x≤30时，
日销售额＝（50﹣x）×2x＝﹣x2+100x＝﹣（x﹣50）2+2500，
∵﹣1＜0，
∴当x＜50时，日销售额随x的增大而增大，
∴当x＝30时，日销售额最大，最大值为2100（元），
综上，当0＜x≤30时，日销售额的最大值为2100元；
（3）由题意得：
当0＜x≤30时，2x≥48，
解得：24≤x≤30，
当30＜x≤40时，﹣6x+240≥48，
解得：30＜x≤32，
∴当24≤x≤32时，日销售量不低于48件，
∵x为整数，
∴x的整数值有9个，
∴“火热销售期”共有9天．
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
3．（2023•十堰）函数y＝的图象可以由函数y＝的图象左右平移得到．
（1）将函数y＝的图象向右平移4个单位得到函数y＝的图象，则a＝ ﹣4 ；
（2）下列关于函数y＝的性质：①图象关于点（﹣a，0）对称；②y随x的增大而减小；③图象关于直线y＝﹣x+a对称；④y的取值范围为y≠0．其中说法正确的是 ①④ （填写序号）；
（3）根据（1）中a的值，写出不等式＞的解集．
【答案】（1）﹣4；
（2）①④；
（3）x＞4或x＜0．
【解答】解：（1）将函数y＝的图象向右平移4个单位得到函数y＝的图象，则a＝﹣4；
故答案为：﹣4；
（2）函数y＝向左平移a个单位得到函数y＝的图象，
①图象关于点（﹣a，0）对称，正确；
②y随x的增大而减小，错误；
③图象关于直线y＝﹣x+a对称，错误；
④y的取值范围为y≠0，正确．
其中说法正确的是①④；
故答案为：①④；
（3）观察图象，不等式＞的解集为x＞4或x＜0．
四．二次函数的应用（共2小题）
4．（2023•十堰）“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒．根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒．设每盒售价为x元，日销售量为p盒．
（1）当x＝60时，p＝ 400 ；
（2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？
（3）小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大．”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为60≤x≤80．”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论．
【答案】（1）400；
（2）当每盒售价定为65元时，每天销售的利润W（元）最大，最大利润是8750元；
（3）小强正确，理由见解答；小红错误，当日销售利润不低于8000元时，60≤x≤65．
【解答】解：（1）由题意可得，
p＝500﹣10（x﹣50）＝﹣10x+1000，
即每天的销售量p（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式是p＝﹣10x+1000，
当x＝60时，p＝﹣10×60+1000＝400，（x≥50），
故答案为：400．
（2）由题意可得，
W＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000，
由题可知：每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，
∴，
即，解得50≤x≤65．
∴当x＝65时，W取得最大值，此时W＝8750，
答：当每盒售价定为65元时，每天销售的利润W（元）最大，最大利润是8750元；
（3）小强：∵50≤x≤65，
设日销售额为y元，
y＝x•p＝x（﹣10x+1000）＝﹣10x²+1000x＝﹣10（x﹣50）²+25000，
当x＝50时，y值最大，此时y＝25000，
当x＝65时，W值最大，此时W＝8750，
∴小强正确．
小红：当日销售利润不低于8000元时，
即W≥8000，
﹣10（x﹣70）2+9000≥8000，解得：60≤x≤80，
∵50≤x≤65，
∴当日销售利润不低于8000元时，60≤x≤65．
故小红错误，当日销售利润不低于8000元时，60≤x≤65．
5．（2021•十堰）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y（元/kg）与时间x（天）之间的函数关系式为：y＝，且日销量m（kg）与时间x（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：
时间x（天）
1
3
6
10
…
日销量m（kg）
142
138
132
124
…
（1）填空：m与x的函数关系为 m＝﹣2x+144（1≤x≤40且x为整数） ；
（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg商品就捐赠n元利润（n＜4）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围．
【答案】（1）m＝﹣2x+144（1≤x≤40且x为整数）；
（2）第16天的销售利润最大，最大日销售利润为1568元；
（3）1.75＜n＜4．
【解答】解：（1）由题意可设日销量m（kg）与时间x（天）之间的一次函数关系式为：m＝kx+b（k≠0），
将（1，142）和（3，138）代入m＝kx+b，有：，
解得k＝﹣2，b＝144，
故m与x的函数关系为：m＝﹣2x+144（1≤x≤40且x为整数）；
（2）设日销售利润为W元，根据题意可得：
当1≤x≤20且x为整数时，W＝（0.25x+30﹣20）（﹣2x+144）＝﹣0.5x2+16x+1440＝﹣0.5（x﹣16）2+1568，
此时当x＝16时，取得最大日销售利润为1568元，
当20＜x≤40且x为整数时，W＝（35﹣20）（﹣2x+144）＝﹣30x+2160，
此时当x＝21时，取得最大日销售利润W＝﹣30×21+2160＝1530（元），
综上所述，第16天的销售利润最大，最大日销售利润为1568元；
（3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为P，根据题意可得：
P＝﹣0.5x2+16x+1440﹣n（﹣2x+144）＝﹣0.5x2+（16+2n）x+1440﹣144n，其对称轴为直线x＝16+2n，
∵在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，且x只能取整数，故只要第20天的利润高于第19天，即对称轴要大于19.5
∴16+2n＞19.5，求得n＞1.75，
又∵n＜4，
∴n的取值范围是：1.75＜n＜4，
答：n的取值范围是1.75＜n＜4．
五．二次函数综合题（共3小题）
6．（2023•十堰）已知抛物线y＝ax2+bx+8过点B（4，8）和点C（8，4），与y轴交于点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AB，BC，点D在线段AB上（与点A，B不重合），点F是OA的中点，连接FD，过点D作DE⊥FD交BC于点E，连接EF，当△DEF面积是△ADF面积的3倍时，求点D的坐标；
（3）如图2，点P是抛物线上对称轴右侧的点，H（m，0）是x轴正半轴上的动点，若线段OB上存在点G（与点O，B不重合），使得∠GBP＝∠HGP＝∠BOH，求m的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+8；
（2）D（6﹣2，0）；
（3）0＜m≤．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+8过点B（4，8）和点C（8，4），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+8；
（2）∵抛物线y＝﹣x2+x+8与y轴交于点A，
当x＝0时，y＝8，
∴A（0，8），则OA＝8，
∵B（4，8），
∴AB∥x轴，AB＝4，
∵点F是OA的中点，
∴F（0，4），
∴AB＝AF＝4，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∵B（4，8），C（8，4），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+12，
设E（m，﹣m+12）（4＜m＜8），
如图1，过点E作EG⊥AB交AB的延长线于G，
则∠G＝90°，
∴G（m，8），
∴GE＝8﹣（﹣m+12）＝m﹣4，BG＝m﹣4，
∴BG＝GE，
∴△BGE是等腰直角三角形，
设D（t，8），则AD＝t，DG＝m﹣t，
∵DE⊥FD，
∴∠FDE＝90°，
∵∠FAD＝∠G＝∠FDE＝90°，
∴∠AFD＝90°﹣∠ADF＝∠GDE，
∴△AFD∽△GDE，
∴＝，即＝，
∴t（m﹣t）＝4（m﹣4），
即（t﹣4）m＝（t﹣4）（t+4），
∵m＞4，
∴m＝t+4，
即m﹣t＝4，
∴DG＝AF，
∴△AFD≌△GDE（ASA），
∴DF＝DE，
又∵DE⊥DF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴S△DEF＝DF2，
∵S△ADF＝AD•AF，
当△DEF面积是△ADF面积的3倍时，
即DF2＝3×AD•AF，
∴DF2＝12AD，
在Rt△ADF中，DF2＝AD2+AF2＝t2+42，
∴AD2+AF2＝12AD，
∴t2+42＝12t，
解得：t＝6﹣2或t＝2+6（舍去），
∴D（6﹣2，0）；
（3）∵∠GBP＝∠HGP＝∠BOH，
又∠OGH+∠HGP＝∠GBP+∠BPG，
∴∠OGH＝∠BPG，
∴△OGH∽△BPG，
∴＝，
设BP交x轴于点S，过点B作BT⊥x轴于点T，如图2，
∵∠GBP＝∠BOH，
∴SB＝SO，
∵OT＝4，BT＝8，
∴OB＝＝4，
设BS＝k，则TS＝k﹣4，
在Rt△TBS中，SB2＝ST2+BT2，
∴k2＝（k﹣4）2+82，
解得：k＝10，
∴S（10，0），
设直线BS的解析式为y＝ex+f，则，
解得：，
∴直线BS的解析式为y＝﹣x+，
联立，
解得：或，
∴P（，﹣），
∴PB＝＝，
∵＝，
设OG＝n，则BG＝OB﹣OG＝4﹣n，
∴＝，
整理得：m＝﹣＝﹣n2+n＝﹣（n﹣2）2+，
∵点G在线段OB上（与点O，B不重合），
∴0＜OG＜4，
∴0＜n＜4，
∴当n＝2时，m取得的最大值为，
∴0＜m≤．
7．（2021•十堰）已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于点A（﹣1，0）和B（﹣5，0），与y轴交于点C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连AN交抛物线于M，连AC、CM．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当tan∠ACM＝2时，求M点的横坐标；
（3）如图2，过点P作x轴的平行线l，过M作MD⊥l于D，若MD＝MN，求N点的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣6x﹣5；
（2）点M的横坐标为﹣；
（3）N（﹣3，﹣﹣2）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于点A（﹣1，0）和B（﹣5，0），
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣6x﹣5；
（2）在y＝﹣x2﹣6x﹣5中，令x＝0，则y＝﹣5，
∴C（0，﹣5），
∴OC＝5，
如图1，过点A作AF⊥AC交直线CM于点F，过点F作FE⊥x轴于点E，
∴∠AEF＝∠CAF＝∠AOC＝90°，
∴∠EAF+∠CAO＝∠CAO+∠ACO＝90°，
∴∠EAF＝∠ACO，
∴△AEF∽△COA，
∴＝＝＝tan∠ACM＝2，
∴EF＝2OA＝2，AE＝2OC＝10，
∴OE＝OA+AE＝1+10＝11，
∴F（﹣11，﹣2），
设直线CF解析式为y＝kx+c，
∵C（0，﹣5），F（﹣11，﹣2），
∴，
解得：，
∴直线CF解析式为y＝﹣x﹣5，
结合抛物线：y＝﹣x2﹣6x﹣5，得：﹣x2﹣6x﹣5＝﹣x﹣5，
解得：x1＝0（舍），x2＝﹣，
∴点M的横坐标为﹣；
（3）∵y＝﹣x2﹣6x﹣5＝﹣（x+3）2+4，
∴顶点P（﹣3，4），
设N（﹣3，n），直线AN解析式为y＝k1x+c1，
∵A（﹣1，0），N（﹣3，n），
∴，
解得：，
∴直线AN解析式为y＝nxn，
结合抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5，得：﹣x2﹣6x﹣5＝nxn，
解得：x1＝﹣1（舍），x2＝n﹣5，
当x＝n﹣5时，y＝n×（n﹣5）n＝﹣n2+2n，
∴M（n﹣5，﹣n2+2n），
∵PD∥x轴，MD⊥PD，
∴D（n﹣5，4），
∴MD＝4﹣（﹣n2+2n）＝n2﹣2n+4，
如图2，过点M作MG⊥PN于点G，
则MG＝﹣3﹣（n﹣5）＝2﹣n，NG＝n﹣（﹣n2+2n）＝n2﹣n，
∵∠MGN＝90°，
∴MN2＝MG2+NG2＝（2﹣n）2+（n2﹣n）2＝（n2+4）（n﹣4）2，
∵MD＝MN，
∴MD2＝3MN2，
∴（n2﹣2n+4）2＝3×（n2+4）（n﹣4）2，
∴（n﹣4）4＝（n2+4）（n﹣4）2，
∵点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，
∴n＜0，
∴n﹣4＜0，
∴（n﹣4）2＞0，
∴（n﹣4）2＝3（n2+4），
解得：n1＝﹣2（舍），n2＝﹣﹣2，
∴N（﹣3，﹣﹣2）．
8．（2022•十堰）已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A（1，0）和点B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．
①如图1，若点P在第三象限，且∠CPD＝45°，求点P的坐标；
②直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E′落在y轴上时，求四边形PECE′的周长．
【答案】（1）y＝x2+x﹣3；
（2）①P（﹣，﹣）；
②四边形PECE′的周长为：或．
【解答】解：（1）由题意得，
，
∴，
∴y＝x2+x﹣3；
（2）①如图1，
设直线PC交x轴于E，
∵PD∥OC，
∴∠OCE＝∠CPD＝45°，
∵∠COE＝90°，
∴∠CEO＝90°﹣∠ECO＝45°，
∴∠CEO＝∠OCE，
∴OE＝OC＝3，
∴点E（3，0），
∴直线PC的解析式为：y＝x﹣3，
由x2+x﹣3＝x﹣3得，
∴x1＝﹣，x2＝0（舍去），
当x＝﹣时，y＝﹣﹣3＝﹣，
∴P（﹣，﹣）；
②如图2，
设点P（m，m2+m﹣3），四边形PECE′的周长记作l，
点P在第三象限时，作EF⊥y轴于F，
∵点E与E′关于PC对称，
∴∠ECP＝∠E′PC，CE＝CE′，
∵PE∥y轴，
∴∠EPC＝∠PCE′，
∴∠ECP＝∠EPC，
∴PE＝CE，
∴PE＝CE′，
∴四边形PECE′为平行四边形，
∴▱PECE′为菱形，
∴CE＝PE，
∵EF∥OA，
∴，
∴，
∴CE＝﹣m，
∵PE＝﹣（﹣）﹣（+﹣3）＝﹣﹣3m，
∴﹣＝﹣m2﹣3m，
∴m1＝0（舍去），m2＝﹣，
∴CE＝，
∴l＝4CE＝4×＝，
当点P在第二象限时，
同理可得：
﹣m＝+3m，
∴m3＝0（舍去），m4＝﹣，
∴l＝4×＝，
综上所述：四边形PECE′的周长为：或．
六．矩形的判定（共1小题）
9．（2022•十堰）如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．
（1）求证：BE＝DF；
（2）设＝k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．
【答案】2．
【解答】（1）证明：如图，连接DE，BF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD，AO＝OC，
∵E，F分别为AO，OC的中点，
∴EO＝OA，OF＝OC，
∴EO＝FO，
∵BO＝OD，EO＝FO，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE＝DF；
（2）解：当k＝2时，四边形DEBF是矩形；理由如下：
当BD＝EF时，四边形DEBF是矩形，
∴当OD＝OE时，四边形DEBF是矩形，
∵AE＝OE，
∴AC＝2BD，
∴当k＝2时，四边形DEBF是矩形．
七．四边形综合题（共1小题）
10．（2023•十堰）过正方形ABCD的顶点D作直线DP，点C关于直线DP的对称点为点E，连接AE，直线AE交直线DP于点F．
（1）如图1，若∠CDP＝25°，则∠DAF＝ 20° ；
（2）如图1，请探究线段CD，EF，AF之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）在DP绕点D转动的过程中，设AF＝a，EF＝b，请直接用含a，b的式子表示DF的长．
【答案】（1）20°；
（2）；
（3）或 或 ．
【解答】解：（1）如图，连接CE，DE，
∵点C关于直线DP的对称点为点E，
∴CD，ED关于DP对称，∠CDP＝∠EDP＝25°，CD＝ED，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，
∴AD＝ED，
∴．
故答案为：20°；
（2）结论：．
理由：如图，连接DE，CE，AC，CF．
由轴对称知，CF＝EF，CD＝DE＝AD，∠DEF＝∠DCF，
而∠DEF＝∠DAF，
∴∠DAF＝∠DCF．
∵∠FAC+∠FCA＝∠FAC+∠DAF+∠DCA＝90°，
∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝90°，
在Rt△ACF中，AC2＝AF2+CF2＝AF2+EF2，
在Rt△ACD中，AD2+CD2＝AC2，
2CD2＝AF2+EF2，即；
（3）∵∠AFC＝90°，CF＝EF＝b，
∴，
∵，
∴．
如图，当点F在D，H之间时，，
如图，当点D在F，H之间时，，
如图，当点H在F，D之间时，．
八．切线的判定与性质（共1小题）
11．（2023•十堰）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的半圆分别交AC，BC，AB于点D，E，F，且点E是弧DF的中点．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若CE＝，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【答案】（1）见解答．
（2）2﹣．
【解答】（1）证明：连接OE、OD，如图：
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠OAD＝∠B＝45°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO＝45°，
∴∠AOD＝90°，
∵点E是弧DF的中点．
∴∠DOE＝∠EDF＝∠DOF＝45°，
∴∠OEB＝180°﹣∠EOF﹣∠B＝90°
∴OE⊥BC，
∵OE是半径，
∴BC是⊙O的切线，
（2）解：∵OE⊥BC，∠B＝45°，
∴△OEB是等腰三角形，
设BE＝OE＝x，则OB＝x，
∴AB＝xx，
∵AB＝BC，
∴xx＝（+x），
解得x＝2，
∴S阴影＝S△OEB﹣S扇形OEF＝×2×2﹣＝2﹣．
九．几何变换综合题（共1小题）
12．（2021•十堰）已知等边三角形ABC，过A点作AC的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接CP，把线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到CQ，连QB．
（1）如图1，直接写出线段AP与BQ的数量关系；
（2）如图2，当点P、B在AC同侧且AP＝AC时，求证：直线PB垂直平分线段CQ；
（3）如图3，若等边三角形ABC的边长为4，点P、B分别位于直线AC异侧，且△APQ的面积等于，求线段AP的长度．
【答案】（1）AP＝BQ；
（2）证明略；
（3）AP的长为：或或．
【解答】解：（1）在等边△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝60°，
由旋转可得，CP＝CQ，∠PCQ＝60°，
∴∠ACB＝∠PCQ，
∴∠ACB﹣∠PCB＝∠PCQ﹣∠PCB，即∠ACP＝∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴AP＝BQ．
（2）在等边△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝60°，
由旋转可得，CP＝CQ，∠PCQ＝60°，
∴∠ACB＝∠PCQ，
∴∠ACB﹣∠PCB＝∠PCQ﹣∠PCB，即∠ACP＝∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°；
∴BQ＝AP＝AC＝BC，
∵AP＝AC，∠CAP＝90°，
∴∠BAP＝30°，∠ABP＝∠APB＝75°，
∴∠CBP＝∠ABC+∠ABP＝135°，
∴∠CBD＝45°，
∴∠QBD＝45°，
∴∠CBD＝∠QBD，即BD平分∠CBQ，
∴BD⊥CQ且点D是CQ的中点，即直线PB垂直平分线段CQ．
（3）①当点Q在直线l上方时，如图所示，延长BQ交l于点E，过点Q作QF⊥l于点F，
由题意可得AC＝BC，PC＝CQ，∠PCQ＝∠ACB＝60°，
∴∠ACP＝∠BCQ，
∴△APC≌△BCQ（SAS），
∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°，
∵∠CAB＝∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝∠ABE＝30°，
∵AB＝AC＝4，
∴AE＝BE＝，
∴∠BEF＝60°，
设AP＝t，则BQ＝t，
∴EQ＝﹣t，
在Rt△EFQ中，QF＝EQ＝（﹣t），
∴S△APQ＝AP•QF＝，即•t（﹣t）＝，
解得t＝或t＝．即AP的长为或．
②当点Q在直线l下方时，如图所示，设BQ交l于点E，过点Q作QF⊥l于点F，
由题意可得AC＝BC，PC＝CQ，∠PCQ＝∠ACB＝60°，
∴∠ACP＝∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°，
∵∠CAB＝∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝∠ABE＝30°，
∴∠BEF＝120°，∠QEF＝60°，
∵AB＝AC＝4，
∴AE＝BE＝，
设AP＝m，则BQ＝m，
∴EQ＝m﹣，
在Rt△EFQ中，QF＝EQ＝（m﹣），
∴S△APQ＝AP•QF＝，即•m•（m﹣）＝，
解得m＝（m＝负值舍去）．
综上可得，AP的长为：或或．
一十．条形统计图（共1小题）
13．（2023•十堰）市体育局对甲、乙两运动队的某体育项目进行测试，两队人数相等，测试后统计队员的成绩分别为：7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据测试成绩绘制了如图所示尚不完整的统计图表：
成绩
7分
8分
9分
10分
人数
10
1
m
7
请根据图表信息解答下列问题：
（1）填空：α＝ 126 °，m＝ 2 ；
（2）补齐乙队成绩条形统计图；
（3）①甲队成绩的中位数为 7.5 ，乙队成绩的中位数为 8 ；
②分别计算甲、乙两队成绩的平均数，并从中位数和平均数的角度分析哪个运动队的成绩较好．
【答案】（1）126；2；
（2）见解答；
（3）甲、乙两队成绩的平均数均为8.3，但乙队的中位数比甲队大，所以乙运动队的成绩较好．
【解答】解：（1）由题意得，a＝360﹣72﹣72﹣90＝126；
乙队人数为：5÷＝20（人），
故m＝20﹣10﹣1﹣7＝2．
故答案为：126；2；
（2）乙队7分人数为：20﹣4﹣5﹣4＝7（人），
补齐乙队成绩条形统计图如下：
（3）①甲队成绩的中位数为：＝7.5；
乙队成绩的中位数为：＝8；
故答案为：7.5；8；
②甲队成绩的平均数为：（7×10+8+9×2+10×7）＝8.3；
乙队成绩的平均数为：（7×7+8×4+9×5+10×4）＝8.3；
因为甲、乙两队成绩的平均数相同，但乙队的中位数比甲队大，所以乙运动队的成绩较好．
一十一．列表法与树状图法（共1小题）
14．（2022•十堰）某兴趣小组针对视力情况随机抽取本校部分学生进行调查，将调查结果进行统计分析，绘制成如下不完整的统计图表．
抽取的学生视力情况统计表
类别
调查结果
人数
A
正常
48
B
轻度近视
76
C
中度近视
60
D
重度近视
m
请根据图表信息解答下列问题：
（1）填空：m＝ 16 ，n＝ 108 ；
（2）该校共有学生1600人，请估算该校学生中“中度近视”的人数；
（3）某班有四名重度近视的学生甲、乙、丙、丁，从中随机选择两名学生参加学校组织的“爱眼护眼”座谈会，请用列表或画树状图的方法求同时选中甲和乙的概率．
【答案】（1）16，108；
（2）估算该校学生中“中度近视”的人数为480人；
（3）P（同时选中甲和乙）＝．
【解答】解：（1）由题意得：
48÷24%＝200，
∴m＝200﹣48﹣76﹣60＝16，
n°＝×360°＝108°，
故答案为：16，108；
（2）由题意得：
1600×＝480（人），
∴估算该校学生中“中度近视”的人数为480人；
（3）如图：
总共有12种等可能结果，
其中同时选中甲和乙的结果有2种，
∴P（同时选中甲和乙）＝＝．
湖北省十堰市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．根的判别式（共1小题）
1．（2022•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．
二．一次函数的应用（共1小题）
2．（2022•十堰）某商户购进一批童装，40天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的关系式是y＝，销售单价p（元/件）与销售时间x（天）之间的函数关系如图所示．
（1）第15天的日销售量为 件；
（2）0＜x≤30时，求日销售额的最大值；
（3）在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
3．（2023•十堰）函数y＝的图象可以由函数y＝的图象左右平移得到．
（1）将函数y＝的图象向右平移4个单位得到函数y＝的图象，则a＝ ；
（2）下列关于函数y＝的性质：①图象关于点（﹣a，0）对称；②y随x的增大而减小；③图象关于直线y＝﹣x+a对称；④y的取值范围为y≠0．其中说法正确的是 （填写序号）；
（3）根据（1）中a的值，写出不等式＞的解集．
四．二次函数的应用（共2小题）
4．（2023•十堰）“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒．根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒．设每盒售价为x元，日销售量为p盒．
（1）当x＝60时，p＝ ；
（2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？
（3）小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大．”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为60≤x≤80．”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论．
5．（2021•十堰）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y（元/kg）与时间x（天）之间的函数关系式为：y＝，且日销量m（kg）与时间x（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：
时间x（天）
1
3
6
10
…
日销量m（kg）
142
138
132
124
…
（1）填空：m与x的函数关系为 ；
（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg商品就捐赠n元利润（n＜4）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围．
五．二次函数综合题（共3小题）
6．（2023•十堰）已知抛物线y＝ax2+bx+8过点B（4，8）和点C（8，4），与y轴交于点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AB，BC，点D在线段AB上（与点A，B不重合），点F是OA的中点，连接FD，过点D作DE⊥FD交BC于点E，连接EF，当△DEF面积是△ADF面积的3倍时，求点D的坐标；
（3）如图2，点P是抛物线上对称轴右侧的点，H（m，0）是x轴正半轴上的动点，若线段OB上存在点G（与点O，B不重合），使得∠GBP＝∠HGP＝∠BOH，求m的取值范围．
7．（2021•十堰）已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于点A（﹣1，0）和B（﹣5，0），与y轴交于点C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连AN交抛物线于M，连AC、CM．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当tan∠ACM＝2时，求M点的横坐标；
（3）如图2，过点P作x轴的平行线l，过M作MD⊥l于D，若MD＝MN，求N点的坐标．
8．（2022•十堰）已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A（1，0）和点B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．
①如图1，若点P在第三象限，且∠CPD＝45°，求点P的坐标；
②直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E′落在y轴上时，求四边形PECE′的周长．
六．矩形的判定（共1小题）
9．（2022•十堰）如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．
（1）求证：BE＝DF；
（2）设＝k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．
七．四边形综合题（共1小题）
10．（2023•十堰）过正方形ABCD的顶点D作直线DP，点C关于直线DP的对称点为点E，连接AE，直线AE交直线DP于点F．
（1）如图1，若∠CDP＝25°，则∠DAF＝ ；
（2）如图1，请探究线段CD，EF，AF之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）在DP绕点D转动的过程中，设AF＝a，EF＝b，请直接用含a，b的式子表示DF的长．
八．切线的判定与性质（共1小题）
11．（2023•十堰）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的半圆分别交AC，BC，AB于点D，E，F，且点E是弧DF的中点．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若CE＝，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
九．几何变换综合题（共1小题）
12．（2021•十堰）已知等边三角形ABC，过A点作AC的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接CP，把线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到CQ，连QB．
（1）如图1，直接写出线段AP与BQ的数量关系；
（2）如图2，当点P、B在AC同侧且AP＝AC时，求证：直线PB垂直平分线段CQ；
（3）如图3，若等边三角形ABC的边长为4，点P、B分别位于直线AC异侧，且△APQ的面积等于，求线段AP的长度．
一十．条形统计图（共1小题）
13．（2023•十堰）市体育局对甲、乙两运动队的某体育项目进行测试，两队人数相等，测试后统计队员的成绩分别为：7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据测试成绩绘制了如图所示尚不完整的统计图表：
成绩
7分
8分
9分
10分
人数
10
1
m
7
请根据图表信息解答下列问题：
（1）填空：α＝ °，m＝ ；
（2）补齐乙队成绩条形统计图；
（3）①甲队成绩的中位数为 ，乙队成绩的中位数为 ；
②分别计算甲、乙两队成绩的平均数，并从中位数和平均数的角度分析哪个运动队的成绩较好．
一十一．列表法与树状图法（共1小题）
14．（2022•十堰）某兴趣小组针对视力情况随机抽取本校部分学生进行调查，将调查结果进行统计分析，绘制成如下不完整的统计图表．
抽取的学生视力情况统计表
类别
调查结果
人数
A
正常
48
B
轻度近视
76
C
中度近视
60
D
重度近视
m
请根据图表信息解答下列问题：
（1）填空：m＝ ，n＝ ；
（2）该校共有学生1600人，请估算该校学生中“中度近视”的人数；
（3）某班有四名重度近视的学生甲、乙、丙、丁，从中随机选择两名学生参加学校组织的“爱眼护眼”座谈会，请用列表或画树状图的方法求同时选中甲和乙的概率．
湖北省十堰市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．根的判别式（共1小题）
1．（2022•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）m的值为±1．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3m2，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1•（﹣3m2）
＝4+12m2＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得：
，
解得：，
∵αβ＝﹣3m2，
∴﹣3m2＝﹣3，
∴m＝±1，
∴m的值为±1．
二．一次函数的应用（共1小题）
2．（2022•十堰）某商户购进一批童装，40天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的关系式是y＝，销售单价p（元/件）与销售时间x（天）之间的函数关系如图所示．
（1）第15天的日销售量为 30 件；
（2）0＜x≤30时，求日销售额的最大值；
（3）在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？
【答案】（1）30；（2）2100元；（3）9天．
【解答】解：（1）∵日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的关系式是y＝，
∴第15天的销售量为2×15＝30件，
故答案为：30；
（2）由销售单价p（元/件）与销售时间x（天）之间的函数图象得：
p＝，
①当0＜x≤20时，
日销售额＝40×2x＝80x，
∵80＞0，
∴日销售额随x的增大而增大，
∴当x＝20时，日销售额最大，最大值为80×20＝1600（元）；
②当20＜x≤30时，
日销售额＝（50﹣x）×2x＝﹣x2+100x＝﹣（x﹣50）2+2500，
∵﹣1＜0，
∴当x＜50时，日销售额随x的增大而增大，
∴当x＝30时，日销售额最大，最大值为2100（元），
综上，当0＜x≤30时，日销售额的最大值为2100元；
（3）由题意得：
当0＜x≤30时，2x≥48，
解得：24≤x≤30，
当30＜x≤40时，﹣6x+240≥48，
解得：30＜x≤32，
∴当24≤x≤32时，日销售量不低于48件，
∵x为整数，
∴x的整数值有9个，
∴“火热销售期”共有9天．
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
3．（2023•十堰）函数y＝的图象可以由函数y＝的图象左右平移得到．
（1）将函数y＝的图象向右平移4个单位得到函数y＝的图象，则a＝ ﹣4 ；
（2）下列关于函数y＝的性质：①图象关于点（﹣a，0）对称；②y随x的增大而减小；③图象关于直线y＝﹣x+a对称；④y的取值范围为y≠0．其中说法正确的是 ①④ （填写序号）；
（3）根据（1）中a的值，写出不等式＞的解集．
【答案】（1）﹣4；
（2）①④；
（3）x＞4或x＜0．
【解答】解：（1）将函数y＝的图象向右平移4个单位得到函数y＝的图象，则a＝﹣4；
故答案为：﹣4；
（2）函数y＝向左平移a个单位得到函数y＝的图象，
①图象关于点（﹣a，0）对称，正确；
②y随x的增大而减小，错误；
③图象关于直线y＝﹣x+a对称，错误；
④y的取值范围为y≠0，正确．
其中说法正确的是①④；
故答案为：①④；
（3）观察图象，不等式＞的解集为x＞4或x＜0．
四．二次函数的应用（共2小题）
4．（2023•十堰）“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒．根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒．设每盒售价为x元，日销售量为p盒．
（1）当x＝60时，p＝ 400 ；
（2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？
（3）小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大．”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为60≤x≤80．”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论．
【答案】（1）400；
（2）当每盒售价定为65元时，每天销售的利润W（元）最大，最大利润是8750元；
（3）小强正确，理由见解答；小红错误，当日销售利润不低于8000元时，60≤x≤65．
【解答】解：（1）由题意可得，
p＝500﹣10（x﹣50）＝﹣10x+1000，
即每天的销售量p（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式是p＝﹣10x+1000，
当x＝60时，p＝﹣10×60+1000＝400，（x≥50），
故答案为：400．
（2）由题意可得，
W＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000，
由题可知：每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，
∴，
即，解得50≤x≤65．
∴当x＝65时，W取得最大值，此时W＝8750，
答：当每盒售价定为65元时，每天销售的利润W（元）最大，最大利润是8750元；
（3）小强：∵50≤x≤65，
设日销售额为y元，
y＝x•p＝x（﹣10x+1000）＝﹣10x²+1000x＝﹣10（x﹣50）²+25000，
当x＝50时，y值最大，此时y＝25000，
当x＝65时，W值最大，此时W＝8750，
∴小强正确．
小红：当日销售利润不低于8000元时，
即W≥8000，
﹣10（x﹣70）2+9000≥8000，解得：60≤x≤80，
∵50≤x≤65，
∴当日销售利润不低于8000元时，60≤x≤65．
故小红错误，当日销售利润不低于8000元时，60≤x≤65．
5．（2021•十堰）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y（元/kg）与时间x（天）之间的函数关系式为：y＝，且日销量m（kg）与时间x（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：
时间x（天）
1
3
6
10
…
日销量m（kg）
142
138
132
124
…
（1）填空：m与x的函数关系为 m＝﹣2x+144（1≤x≤40且x为整数） ；
（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg商品就捐赠n元利润（n＜4）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围．
【答案】（1）m＝﹣2x+144（1≤x≤40且x为整数）；
（2）第16天的销售利润最大，最大日销售利润为1568元；
（3）1.75＜n＜4．
【解答】解：（1）由题意可设日销量m（kg）与时间x（天）之间的一次函数关系式为：m＝kx+b（k≠0），
将（1，142）和（3，138）代入m＝kx+b，有：，
解得k＝﹣2，b＝144，
故m与x的函数关系为：m＝﹣2x+144（1≤x≤40且x为整数）；
（2）设日销售利润为W元，根据题意可得：
当1≤x≤20且x为整数时，W＝（0.25x+30﹣20）（﹣2x+144）＝﹣0.5x2+16x+1440＝﹣0.5（x﹣16）2+1568，
此时当x＝16时，取得最大日销售利润为1568元，
当20＜x≤40且x为整数时，W＝（35﹣20）（﹣2x+144）＝﹣30x+2160，
此时当x＝21时，取得最大日销售利润W＝﹣30×21+2160＝1530（元），
综上所述，第16天的销售利润最大，最大日销售利润为1568元；
（3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为P，根据题意可得：
P＝﹣0.5x2+16x+1440﹣n（﹣2x+144）＝﹣0.5x2+（16+2n）x+1440﹣144n，其对称轴为直线x＝16+2n，
∵在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，且x只能取整数，故只要第20天的利润高于第19天，即对称轴要大于19.5
∴16+2n＞19.5，求得n＞1.75，
又∵n＜4，
∴n的取值范围是：1.75＜n＜4，
答：n的取值范围是1.75＜n＜4．
五．二次函数综合题（共3小题）
6．（2023•十堰）已知抛物线y＝ax2+bx+8过点B（4，8）和点C（8，4），与y轴交于点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AB，BC，点D在线段AB上（与点A，B不重合），点F是OA的中点，连接FD，过点D作DE⊥FD交BC于点E，连接EF，当△DEF面积是△ADF面积的3倍时，求点D的坐标；
（3）如图2，点P是抛物线上对称轴右侧的点，H（m，0）是x轴正半轴上的动点，若线段OB上存在点G（与点O，B不重合），使得∠GBP＝∠HGP＝∠BOH，求m的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+8；
（2）D（6﹣2，0）；
（3）0＜m≤．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+8过点B（4，8）和点C（8，4），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+8；
（2）∵抛物线y＝﹣x2+x+8与y轴交于点A，
当x＝0时，y＝8，
∴A（0，8），则OA＝8，
∵B（4，8），
∴AB∥x轴，AB＝4，
∵点F是OA的中点，
∴F（0，4），
∴AB＝AF＝4，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∵B（4，8），C（8，4），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+12，
设E（m，﹣m+12）（4＜m＜8），
如图1，过点E作EG⊥AB交AB的延长线于G，
则∠G＝90°，
∴G（m，8），
∴GE＝8﹣（﹣m+12）＝m﹣4，BG＝m﹣4，
∴BG＝GE，
∴△BGE是等腰直角三角形，
设D（t，8），则AD＝t，DG＝m﹣t，
∵DE⊥FD，
∴∠FDE＝90°，
∵∠FAD＝∠G＝∠FDE＝90°，
∴∠AFD＝90°﹣∠ADF＝∠GDE，
∴△AFD∽△GDE，
∴＝，即＝，
∴t（m﹣t）＝4（m﹣4），
即（t﹣4）m＝（t﹣4）（t+4），
∵m＞4，
∴m＝t+4，
即m﹣t＝4，
∴DG＝AF，
∴△AFD≌△GDE（ASA），
∴DF＝DE，
又∵DE⊥DF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴S△DEF＝DF2，
∵S△ADF＝AD•AF，
当△DEF面积是△ADF面积的3倍时，
即DF2＝3×AD•AF，
∴DF2＝12AD，
在Rt△ADF中，DF2＝AD2+AF2＝t2+42，
∴AD2+AF2＝12AD，
∴t2+42＝12t，
解得：t＝6﹣2或t＝2+6（舍去），
∴D（6﹣2，0）；
（3）∵∠GBP＝∠HGP＝∠BOH，
又∠OGH+∠HGP＝∠GBP+∠BPG，
∴∠OGH＝∠BPG，
∴△OGH∽△BPG，
∴＝，
设BP交x轴于点S，过点B作BT⊥x轴于点T，如图2，
∵∠GBP＝∠BOH，
∴SB＝SO，
∵OT＝4，BT＝8，
∴OB＝＝4，
设BS＝k，则TS＝k﹣4，
在Rt△TBS中，SB2＝ST2+BT2，
∴k2＝（k﹣4）2+82，
解得：k＝10，
∴S（10，0），
设直线BS的解析式为y＝ex+f，则，
解得：，
∴直线BS的解析式为y＝﹣x+，
联立，
解得：或，
∴P（，﹣），
∴PB＝＝，
∵＝，
设OG＝n，则BG＝OB﹣OG＝4﹣n，
∴＝，
整理得：m＝﹣＝﹣n2+n＝﹣（n﹣2）2+，
∵点G在线段OB上（与点O，B不重合），
∴0＜OG＜4，
∴0＜n＜4，
∴当n＝2时，m取得的最大值为，
∴0＜m≤．
7．（2021•十堰）已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于点A（﹣1，0）和B（﹣5，0），与y轴交于点C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连AN交抛物线于M，连AC、CM．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当tan∠ACM＝2时，求M点的横坐标；
（3）如图2，过点P作x轴的平行线l，过M作MD⊥l于D，若MD＝MN，求N点的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣6x﹣5；
（2）点M的横坐标为﹣；
（3）N（﹣3，﹣﹣2）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于点A（﹣1，0）和B（﹣5，0），
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣6x﹣5；
（2）在y＝﹣x2﹣6x﹣5中，令x＝0，则y＝﹣5，
∴C（0，﹣5），
∴OC＝5，
如图1，过点A作AF⊥AC交直线CM于点F，过点F作FE⊥x轴于点E，
∴∠AEF＝∠CAF＝∠AOC＝90°，
∴∠EAF+∠CAO＝∠CAO+∠ACO＝90°，
∴∠EAF＝∠ACO，
∴△AEF∽△COA，
∴＝＝＝tan∠ACM＝2，
∴EF＝2OA＝2，AE＝2OC＝10，
∴OE＝OA+AE＝1+10＝11，
∴F（﹣11，﹣2），
设直线CF解析式为y＝kx+c，
∵C（0，﹣5），F（﹣11，﹣2），
∴，
解得：，
∴直线CF解析式为y＝﹣x﹣5，
结合抛物线：y＝﹣x2﹣6x﹣5，得：﹣x2﹣6x﹣5＝﹣x﹣5，
解得：x1＝0（舍），x2＝﹣，
∴点M的横坐标为﹣；
（3）∵y＝﹣x2﹣6x﹣5＝﹣（x+3）2+4，
∴顶点P（﹣3，4），
设N（﹣3，n），直线AN解析式为y＝k1x+c1，
∵A（﹣1，0），N（﹣3，n），
∴，
解得：，
∴直线AN解析式为y＝nxn，
结合抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5，得：﹣x2﹣6x﹣5＝nxn，
解得：x1＝﹣1（舍），x2＝n﹣5，
当x＝n﹣5时，y＝n×（n﹣5）n＝﹣n2+2n，
∴M（n﹣5，﹣n2+2n），
∵PD∥x轴，MD⊥PD，
∴D（n﹣5，4），
∴MD＝4﹣（﹣n2+2n）＝n2﹣2n+4，
如图2，过点M作MG⊥PN于点G，
则MG＝﹣3﹣（n﹣5）＝2﹣n，NG＝n﹣（﹣n2+2n）＝n2﹣n，
∵∠MGN＝90°，
∴MN2＝MG2+NG2＝（2﹣n）2+（n2﹣n）2＝（n2+4）（n﹣4）2，
∵MD＝MN，
∴MD2＝3MN2，
∴（n2﹣2n+4）2＝3×（n2+4）（n﹣4）2，
∴（n﹣4）4＝（n2+4）（n﹣4）2，
∵点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，
∴n＜0，
∴n﹣4＜0，
∴（n﹣4）2＞0，
∴（n﹣4）2＝3（n2+4），
解得：n1＝﹣2（舍），n2＝﹣﹣2，
∴N（﹣3，﹣﹣2）．
8．（2022•十堰）已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A（1，0）和点B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．
①如图1，若点P在第三象限，且∠CPD＝45°，求点P的坐标；
②直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E′落在y轴上时，求四边形PECE′的周长．
【答案】（1）y＝x2+x﹣3；
（2）①P（﹣，﹣）；
②四边形PECE′的周长为：或．
【解答】解：（1）由题意得，
，
∴，
∴y＝x2+x﹣3；
（2）①如图1，
设直线PC交x轴于E，
∵PD∥OC，
∴∠OCE＝∠CPD＝45°，
∵∠COE＝90°，
∴∠CEO＝90°﹣∠ECO＝45°，
∴∠CEO＝∠OCE，
∴OE＝OC＝3，
∴点E（3，0），
∴直线PC的解析式为：y＝x﹣3，
由x2+x﹣3＝x﹣3得，
∴x1＝﹣，x2＝0（舍去），
当x＝﹣时，y＝﹣﹣3＝﹣，
∴P（﹣，﹣）；
②如图2，
设点P（m，m2+m﹣3），四边形PECE′的周长记作l，
点P在第三象限时，作EF⊥y轴于F，
∵点E与E′关于PC对称，
∴∠ECP＝∠E′PC，CE＝CE′，
∵PE∥y轴，
∴∠EPC＝∠PCE′，
∴∠ECP＝∠EPC，
∴PE＝CE，
∴PE＝CE′，
∴四边形PECE′为平行四边形，
∴▱PECE′为菱形，
∴CE＝PE，
∵EF∥OA，
∴，
∴，
∴CE＝﹣m，
∵PE＝﹣（﹣）﹣（+﹣3）＝﹣﹣3m，
∴﹣＝﹣m2﹣3m，
∴m1＝0（舍去），m2＝﹣，
∴CE＝，
∴l＝4CE＝4×＝，
当点P在第二象限时，
同理可得：
﹣m＝+3m，
∴m3＝0（舍去），m4＝﹣，
∴l＝4×＝，
综上所述：四边形PECE′的周长为：或．
六．矩形的判定（共1小题）
9．（2022•十堰）如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．
（1）求证：BE＝DF；
（2）设＝k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．
【答案】2．
【解答】（1）证明：如图，连接DE，BF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD，AO＝OC，
∵E，F分别为AO，OC的中点，
∴EO＝OA，OF＝OC，
∴EO＝FO，
∵BO＝OD，EO＝FO，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE＝DF；
（2）解：当k＝2时，四边形DEBF是矩形；理由如下：
当BD＝EF时，四边形DEBF是矩形，
∴当OD＝OE时，四边形DEBF是矩形，
∵AE＝OE，
∴AC＝2BD，
∴当k＝2时，四边形DEBF是矩形．
七．四边形综合题（共1小题）
10．（2023•十堰）过正方形ABCD的顶点D作直线DP，点C关于直线DP的对称点为点E，连接AE，直线AE交直线DP于点F．
（1）如图1，若∠CDP＝25°，则∠DAF＝ 20° ；
（2）如图1，请探究线段CD，EF，AF之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）在DP绕点D转动的过程中，设AF＝a，EF＝b，请直接用含a，b的式子表示DF的长．
【答案】（1）20°；
（2）；
（3）或 或 ．
【解答】解：（1）如图，连接CE，DE，
∵点C关于直线DP的对称点为点E，
∴CD，ED关于DP对称，∠CDP＝∠EDP＝25°，CD＝ED，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，
∴AD＝ED，
∴．
故答案为：20°；
（2）结论：．
理由：如图，连接DE，CE，AC，CF．
由轴对称知，CF＝EF，CD＝DE＝AD，∠DEF＝∠DCF，
而∠DEF＝∠DAF，
∴∠DAF＝∠DCF．
∵∠FAC+∠FCA＝∠FAC+∠DAF+∠DCA＝90°，
∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝90°，
在Rt△ACF中，AC2＝AF2+CF2＝AF2+EF2，
在Rt△ACD中，AD2+CD2＝AC2，
2CD2＝AF2+EF2，即；
（3）∵∠AFC＝90°，CF＝EF＝b，
∴，
∵，
∴．
如图，当点F在D，H之间时，，
如图，当点D在F，H之间时，，
如图，当点H在F，D之间时，．
八．切线的判定与性质（共1小题）
11．（2023•十堰）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的半圆分别交AC，BC，AB于点D，E，F，且点E是弧DF的中点．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若CE＝，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【答案】（1）见解答．
（2）2﹣．
【解答】（1）证明：连接OE、OD，如图：
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠OAD＝∠B＝45°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO＝45°，
∴∠AOD＝90°，
∵点E是弧DF的中点．
∴∠DOE＝∠EDF＝∠DOF＝45°，
∴∠OEB＝180°﹣∠EOF﹣∠B＝90°
∴OE⊥BC，
∵OE是半径，
∴BC是⊙O的切线，
（2）解：∵OE⊥BC，∠B＝45°，
∴△OEB是等腰三角形，
设BE＝OE＝x，则OB＝x，
∴AB＝xx，
∵AB＝BC，
∴xx＝（+x），
解得x＝2，
∴S阴影＝S△OEB﹣S扇形OEF＝×2×2﹣＝2﹣．
九．几何变换综合题（共1小题）
12．（2021•十堰）已知等边三角形ABC，过A点作AC的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接CP，把线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到CQ，连QB．
（1）如图1，直接写出线段AP与BQ的数量关系；
（2）如图2，当点P、B在AC同侧且AP＝AC时，求证：直线PB垂直平分线段CQ；
（3）如图3，若等边三角形ABC的边长为4，点P、B分别位于直线AC异侧，且△APQ的面积等于，求线段AP的长度．
【答案】（1）AP＝BQ；
（2）证明略；
（3）AP的长为：或或．
【解答】解：（1）在等边△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝60°，
由旋转可得，CP＝CQ，∠PCQ＝60°，
∴∠ACB＝∠PCQ，
∴∠ACB﹣∠PCB＝∠PCQ﹣∠PCB，即∠ACP＝∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴AP＝BQ．
（2）在等边△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝60°，
由旋转可得，CP＝CQ，∠PCQ＝60°，
∴∠ACB＝∠PCQ，
∴∠ACB﹣∠PCB＝∠PCQ﹣∠PCB，即∠ACP＝∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°；
∴BQ＝AP＝AC＝BC，
∵AP＝AC，∠CAP＝90°，
∴∠BAP＝30°，∠ABP＝∠APB＝75°，
∴∠CBP＝∠ABC+∠ABP＝135°，
∴∠CBD＝45°，
∴∠QBD＝45°，
∴∠CBD＝∠QBD，即BD平分∠CBQ，
∴BD⊥CQ且点D是CQ的中点，即直线PB垂直平分线段CQ．
（3）①当点Q在直线l上方时，如图所示，延长BQ交l于点E，过点Q作QF⊥l于点F，
由题意可得AC＝BC，PC＝CQ，∠PCQ＝∠ACB＝60°，
∴∠ACP＝∠BCQ，
∴△APC≌△BCQ（SAS），
∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°，
∵∠CAB＝∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝∠ABE＝30°，
∵AB＝AC＝4，
∴AE＝BE＝，
∴∠BEF＝60°，
设AP＝t，则BQ＝t，
∴EQ＝﹣t，
在Rt△EFQ中，QF＝EQ＝（﹣t），
∴S△APQ＝AP•QF＝，即•t（﹣t）＝，
解得t＝或t＝．即AP的长为或．
②当点Q在直线l下方时，如图所示，设BQ交l于点E，过点Q作QF⊥l于点F，
由题意可得AC＝BC，PC＝CQ，∠PCQ＝∠ACB＝60°，
∴∠ACP＝∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°，
∵∠CAB＝∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝∠ABE＝30°，
∴∠BEF＝120°，∠QEF＝60°，
∵AB＝AC＝4，
∴AE＝BE＝，
设AP＝m，则BQ＝m，
∴EQ＝m﹣，
在Rt△EFQ中，QF＝EQ＝（m﹣），
∴S△APQ＝AP•QF＝，即•m•（m﹣）＝，
解得m＝（m＝负值舍去）．
综上可得，AP的长为：或或．
一十．条形统计图（共1小题）
13．（2023•十堰）市体育局对甲、乙两运动队的某体育项目进行测试，两队人数相等，测试后统计队员的成绩分别为：7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据测试成绩绘制了如图所示尚不完整的统计图表：
成绩
7分
8分
9分
10分
人数
10
1
m
7
请根据图表信息解答下列问题：
（1）填空：α＝ 126 °，m＝ 2 ；
（2）补齐乙队成绩条形统计图；
（3）①甲队成绩的中位数为 7.5 ，乙队成绩的中位数为 8 ；
②分别计算甲、乙两队成绩的平均数，并从中位数和平均数的角度分析哪个运动队的成绩较好．
【答案】（1）126；2；
（2）见解答；
（3）甲、乙两队成绩的平均数均为8.3，但乙队的中位数比甲队大，所以乙运动队的成绩较好．
【解答】解：（1）由题意得，a＝360﹣72﹣72﹣90＝126；
乙队人数为：5÷＝20（人），
故m＝20﹣10﹣1﹣7＝2．
故答案为：126；2；
（2）乙队7分人数为：20﹣4﹣5﹣4＝7（人），
补齐乙队成绩条形统计图如下：
（3）①甲队成绩的中位数为：＝7.5；
乙队成绩的中位数为：＝8；
故答案为：7.5；8；
②甲队成绩的平均数为：（7×10+8+9×2+10×7）＝8.3；
乙队成绩的平均数为：（7×7+8×4+9×5+10×4）＝8.3；
因为甲、乙两队成绩的平均数相同，但乙队的中位数比甲队大，所以乙运动队的成绩较好．
一十一．列表法与树状图法（共1小题）
14．（2022•十堰）某兴趣小组针对视力情况随机抽取本校部分学生进行调查，将调查结果进行统计分析，绘制成如下不完整的统计图表．
抽取的学生视力情况统计表
类别
调查结果
人数
A
正常
48
B
轻度近视
76
C
中度近视
60
D
重度近视
m
请根据图表信息解答下列问题：
（1）填空：m＝ 16 ，n＝ 108 ；
（2）该校共有学生1600人，请估算该校学生中“中度近视”的人数；
（3）某班有四名重度近视的学生甲、乙、丙、丁，从中随机选择两名学生参加学校组织的“爱眼护眼”座谈会，请用列表或画树状图的方法求同时选中甲和乙的概率．
【答案】（1）16，108；
（2）估算该校学生中“中度近视”的人数为480人；
（3）P（同时选中甲和乙）＝．
【解答】解：（1）由题意得：
48÷24%＝200，
∴m＝200﹣48﹣76﹣60＝16，
n°＝×360°＝108°，
故答案为：16，108；
（2）由题意得：
1600×＝480（人），
∴估算该校学生中“中度近视”的人数为480人；
（3）如图：
总共有12种等可能结果，
其中同时选中甲和乙的结果有2种，
∴P（同时选中甲和乙）＝＝．
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