2023新教材高中数学第5章三角函数5.5三角恒等变换5.5.1两角和与差的正弦余弦和正切公式第2课时两角和与差的正弦余弦公式教师用书新人教A版必修第一册

第2课时　两角和与差的正弦、余弦公式

知识点1　两角和与差的余弦公式

如何由C(α－β)推导出C(α＋β)?

[提示]　先用“－β”代C(α－β)中的“β”，再借助诱导公式“cos(－β)＝cos β”推导即可．

1．cos 57°cos 3°－sin 57°sin 3°的值为(　　)

A．0　　　B．　　　C．　　　D．cos 54°

B　[原式＝cos(57°＋3°)＝cos 60°＝．]

知识点2　两角和与差的正弦公式

2．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的． (　　)

(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立． (　　)

(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立． (　　)

(4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°． (　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√

3．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝______．

－　[∵cos α＝－，α是第三象限的角，

∴sin α＝－＝－，

∴sin＝sin α－cos α

＝×－×

＝－．]

类型1　给角求值问题

【例1】　(1)cos 70°sin 50°－cos 200°sin 40°的值为(　　)

A．－　　　B．－　　　C．　　　D．

(2)若θ是第二象限角且sin θ＝，则cos(θ＋60°)＝________．

(3)求值：(tan 10°－)．

(1)D　(2)－　[(1)∵cos 200°＝cos(180°＋20°)＝－cos 20°＝－sin 70°，sin 40°＝cos 50°，

∴原式＝cos 70°sin 50°－(－sin 70°)cos 50°

＝sin(50°＋70°)＝sin 120°＝．

(2)∵θ是第二象限角且sin θ＝，

∴cos θ＝－＝－，

∴cos(θ＋60°)＝cos θ－sin θ

＝×－×

＝－．]

(3)[解]　原式＝(tan 10°－tan 60°)

＝

＝·

＝－2．

解决给角求值问题的策略

(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．

(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，变形后注意进行约分，解题时要逆用或变用公式．

提醒：在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求．

[跟进训练]

1．化简求值：

(1)；

(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)．

[解]　(1)原式＝

＝

＝＝sin 30°＝．

(2)设α＝θ＋15°，

则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－cos α

＝＋－cos α＝0．

类型2　给值求值问题

【例2】　(1)已知P，Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，且分别位于第一象限和第四象限，点P的横坐标为，点Q的横坐标为，则cos∠POQ＝________．

(2)已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈，求cos(2α－β)的值．

(1)　[由题意可得，cos∠xOP＝，

所以sin∠xOP＝．

再根据cos∠xOQ＝，

可得sin∠xOQ＝－，

所以cos∠POQ＝cos(∠xOP＋∠xOQ)＝cos∠xOP·cos∠xOQ－sin∠xOP·sin∠xOQ＝×－×＝．]

(2)[解]　因为α，β∈，

所以α－β∈，又sin(α－β)＝＞0，

所以0＜α－β＜，

又因为cos α＝，所以sin α＝＝，

cos(α－β)＝＝，

cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]

＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)

＝×－×＝．

给值求值问题的解题策略

在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：

(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差．

(2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．

[跟进训练]

2．已知锐角α，β满足cos α＝，sin(α－β)＝－，求sin β的值．

[解]　因为α，β是锐角，即0＜α＜，0＜β＜，

所以－＜α－β＜，

因为sin(α－β)＝－＜0，

所以cos(α－β)＝，

因为cos α＝，所以sin α＝，

所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×＋×＝．

类型3　给值求角问题

【例3】　已知sin α＝，sin β＝，且α和β均为钝角，求α＋β的值．

能否求得α＋β的取值范围？依据α＋β的范围如何选择公式求三角函数值？

[解]　因为α和β均为钝角，sin α＝，sin β＝，

所以cos α＝－＝－，

cos β＝－＝－．

由α和β均为钝角，得π<α＋β<2π，

所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝．

所以α＋β＝．

已知三角函数值求角的方法

已知三角函数值求角，在选三角函数时，可按以下原则：一般地，已知正弦、余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围为，选正弦函数和余弦函数都可；若角的范围是，选正弦函数比余弦函数好；若角的范围是(0，π)，选余弦函数比正弦函数好．

[跟进训练]

3．若sin α＝－，cos β＝，且α∈，β∈，求α＋β的值．

[解]　因为α∈，β∈，且sin α＝－，cos β＝，所以cos α＝，sin β＝，因此sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝－×＋×＝，

又因为α∈，β∈，

所以α＋β∈，故α＋β＝．

1．化简：sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°等于(　　)

A．　　　B．－　　　C．　　　D．－

D　[原式＝sin(21°－81°)＝－sin 60°＝－．故选D．]

2．sin 105°的值为(　　)

A． B．

C． D．

D　[sin 105°＝sin(45°＋60°)

＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°

＝×＋×

＝．故选D．]

3．化简cos x－sin x等于(　　)

A．2sin B．2cos

C．2sin D．2cos

D　[cos x－sin x＝2

＝2

＝2cos．故选D．]

4．若cos α＝－，α∈，则cos＝________．

－　[因为cos α＝－，α∈，

所以sin α＝＝＝，

所以cos＝cos αcos －sin αsin ＝－×－×＝－．]

5．cos βcos(α－β)－sin βsin(α－β)＝________．

cos α　[cos βcos(α－β)－sin βsin(α－β)＝cos[β＋(α－β)]＝cos α．]

回顾本节知识，自主完成以下问题：

1．公式C(α－β)、C(α＋β)、S(α＋β)、S(α－β)间存在怎样的联系？

[提示]　

2．根据三角函数值求角时，一般的步骤是什么？

[提示]　根据三角函数值求角时，一般先求出该角的某个三角函数值，再确定该角的取值范围，最后得出该角的大小．