2023新教材高中数学第3章函数的概念与性质微专题3函数性质的综合问题教师用书新人教A版必修第一册

微专题3　函数性质的综合问题

函数的性质(包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等)是高中数学的核心内容，也是日常考试的核心命题点之一，命题时常将多种性质结合在一起进行考查，或是探求函数性质，或是应用性质解决问题，侧重于函数性质的理解和应用．

类型1　函数性质的判断

【例1】　(1)对于函数f (x)＝的性质，下列描述：

①函数f (x)在定义域内是减函数；

②函数f (x)是非奇非偶函数；

③函数f (x)的图象关于点(1，1)对称．

其中正确的个数有(　　)

A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3

(2)设f (x)是定义在R上的增函数，F (x)＝f (x)－f (－x)，那么F (x)必为(　　)

A．增函数且是奇函数

B．增函数且是偶函数

C．减函数且是奇函数

D．减函数且是偶函数

(1)C　(2)A　[(1)∵f (x)＝＝1＋的定义域{x|x≠1}，在(－∞，1)，(1，＋∞)单调递减，但是在定义域内不是递减，故①错误；由于f (x)的定义域关于原点不对称，即f (x)为非奇非偶函数，②正确；

根据函数图象的平移可知，f (x)＝1＋的图象可由y＝的图象向右平移1个单位，向上平移1个单位，故函数的图象的对称中心(1，1)，③正确．故选C．

(2)∵F (－x)＝f (－x)－f (x)＝－F (x)，

∴F (x)为定义在R上的奇函数，

设x2>x1，则F (x2)－F (x1)＝f (x2)－f (－x2)－f (x1)＋f (－x1)，

∵x2>x1，∴－x2<－x1，

∵f (x)为定义在R的增函数，

∴f (x2)>f (x1)，f (－x1)>f (－x2)，

∴F (x2)－F (x1)＝[f (x2)－f (x1)]＋[f (－x1)－f (－x2)]>0，

∴F (x)为定义在R上的增函数．

综上所述，F (x)必为增函数且为奇函数．故选A．]

类型2　函数的奇偶性、单调性与最值

【例2】　设函数f (x)＝在区间[－2，2]上的最大值为M，最小值为N，则(M＋N－1)2 022的值为________．

1　[f (x)＝＝＋1，

设g(x)＝，则g(－x)＝＝－g(x)，可知函数g(x)为奇函数，

g(x)在区间[－2，2]上的最大值与最小值的和为0，

故M＋N＝2，∴(M＋N－1)2 022＝(2－1)2 022＝1 ．]

类型3　函数的奇偶性、单调性与比较大小

【例3】　(多选)定义在R上的奇函数f (x)为减函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f (x)的图象重合，设a>b>0，则下列不等式中成立为(　　)

A．f (b)－f (－a)<g(a)－g(－b)

B．f (b)－f (－a)>g(a)－g(－b)

C．f (a)＋f (－b)<g(b)－g(－a)

D．f (a)＋f (－b)>g(b)－g(－a)

AC　[函数f (x)为R上的奇函数，且为减函数，

偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f (x)的图象重合，由a>b>0，得f (a)<f (b)<0，f (a)＝g(a)，f (b)＝g(b)；

对于A，f (b)－f (－a)<g(a)－g(－b)⇔f (b)＋f (a)－g(a)＋g(b)＝2f (b)<0 (因为在a>0上f (a)＝g(a))，所以A正确；

对于B，f (b)－f (－a)>g(a)－g(－b)⇔f (b)＋f (a)－g(a)＋g(b)＝2f (b)>0，这与f (b)<0矛盾，所以B错误；

对于C，f (a)＋f (－b)<g(b)－g(－a)⇔f (a)－f (b)－g(b)＋g(a)＝2[f (a)－f (b)]<0，这与f (a)<f (b)符合，所以C正确；

对于D，f (a)＋f (－b)>g(b)－g(－a)⇔f (a)－f (b)－g(b)＋g(a)＝2[f (a)－f (b)]>0，这与f (a)<f (b)矛盾，所以D错误．故选AC．]

类型4　函数的奇偶性、单调性与解不等式

【例4】　(1)设定义在R上的奇函数f (x)满足，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2都有<0，且f (2)＝0，则不等式≥0的解集为(　　)

A．(－∞，－2]∪(0，2]

B．[－2，0]∪[2，＋∞)

C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

D．[－2，0)∪(0，2]

(2)设f (x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有>0．

①若a>b，试比较f (a)与f (b)的大小关系；

②若f (1＋m)＋f (3－2m)≥0，求实数m的取值范围．

(1)C　[由题意可得，函数的图象关于原点对称，

对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，

都有<0，

故函数在(0，＋∞)上单调递减，

故函数在(－∞，0)上也单调递减．

由不等式≥0可得≤0．

再由f (2)＝0可得f (－2)＝0，故由不等式结合图象可得x≥2，或x≤－2，故选C．

]

(2)[解]　①因为a>b，所以a－b>0，

由题意得>0，

所以f (a)＋f (－b)>0．

又f (x)是定义在R上的奇函数，

所以f (－b)＝－f (b)，

所以f (a)－f (b)>0，即f (a)>f (b)．

②由①知f (x)为R上的增函数，

因为f (1＋m)＋f (3－2m)≥0，

所以f (1＋m)≥－f (3－2m)，

即f (1＋m)≥f (2m－3)，

所以1＋m≥2m－3，所以m≤4．

所以实数m的取值范围为(－∞，4]．

类型5　抽象函数的性质应用

【例5】　设函数y＝f (x)是定义在(0，＋∞)上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x，y，都有f (xy)＝f (x)＋f (y)；②当x>1时，f (x)<0；③f (3)＝－1．

(1)求f (1)，f 的值；

(2)证明：f (x)在(0，＋∞)上单调递减；

(3)如果不等式f (x)＋f (2－x)<2成立，求x的取值范围．

[解]　(1)因为对任意正数x，y，都有f (xy)＝f (x)＋f (y)，f (3)＝－1，

令x＝y＝1，得f (1)＝f (1)＋f (1)，f (1)＝0，

令x＝y＝3，则f (9)＝f (3)＋f (3)＝－2，

令x＝，y＝9，则有f (1)＝f ＋f (9)＝0，f ＝－f (9)＝2．

(2)证明：令x1<x2，且x1，x2∈(0，＋∞)，

所以>1，f  <0，

f (x2)＝f ＝f (x1)＋f  <f (x1)，

所以f (x)在(0，＋∞)上单调递减．

(3)由已知不等式f (x)＋f (2－x)<2化为f (2x－x2)<f  ，

又f (x)在(0，＋∞)上单调递减，∴

解得1－<x<1＋．

所以，不等式解集为．

类型6　根据函数的奇偶性、单调性求参数

【例6】　已知函数f (x)＝是奇函数．

(1)求实数m的值；

(2)若函数f (x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

[解]　(1)设x<0，则－x>0，

所以f (－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x．

又f (x)为奇函数，所以f (－x)＝－f (x)．

于是x<0时，f (x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2．

(2)要使f (x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f (x)的图象(图略)知所以1<a≤3，

故实数a的取值范围是(1，3]．