2023新教材高中数学第4章数列4.2等差数列4.2.2等差数列的前n项和公式第1课时等差数列的前n项和公式教师用书新人教A版选择性必修第二册

4.2.2　等差数列的前n项和公式

第1课时　等差数列的前n项和公式

知识点1　等差数列的前n项和公式及推导

注：等差数列的前n项和的公式是用倒序相加法推导的．

思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和．               (　　)

(2)等差数列{an}的前n项和Sn＝． (　　)

(3)等差数列{an}的前n项和Sn都可以写成二次函数Sn＝An2＋Bn． (　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)×

[提示]　(1)正确．由前n项和的定义可知正确．

(2)正确．由a1＋an＝a2＋an－1可知其正确．

(3)错误．当公差为零时，Sn为一次函数．

知识点2　等差数列前n项和Sn的最值

(1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值．

(2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值．

特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值．

我们已经知道当公差d≠0时，等差数列前n项和是关于n的二次函数Sn＝n2＋n，利用二次函数的最值情况，等差数列的Sn何时有最大值？何时有最小值？

[提示]　由二次函数的性质可以得出：当a1<0，d>0时，Sn先减后增，有最小值；当a1>0，d<0时，Sn先增后减，有最大值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．

类型1　等差数列前n项和的有关计算

【例1】　(1)设Sn是等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S9＝________．

(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________．

(3)在等差数列{an}中，若a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，则公差d＝________．

(1)81　(2)15　(3)－171　[(1)设等差数列{an}的公差为d，则a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7，∴d＝2，

∴S9＝9a1＋d＝9＋×2＝81．

15　设等差数列{an}的公差为d，则

解得∴a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15．

(3)由Sn＝＝＝－1 022，得n＝4．

又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解得d＝－171．]

求数列的基本量的基本方法

求数列的基本量的基本方法是构建方程或方程组或运用数列的有关性质进行处理，(1)“知三求一”：a1，d，n称为等差数列的三个基本量，在通项公式和前n项和公式中，都含有四个量，已知其中的三个可求出第四个．

(2)“知三求二”：五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般列方程组求解．

1．(1)已知数列{an}为等差数列，Sn为前n项和，若a2＋a4＝4，a5＝8，则S10＝(　　)

A．125 B．115

C．105 D．95

(2)已知等差数列{an}的前n项的和为Sn，若S9＝27，a10＝8，则S14＝(　　)

A．154 B．153

C．77 D．78

(1)D　(2)C　[(1)⇒S10＝10×(－4)＋×3＝95．

(2)根据题意，等差数列{an}中，若S9＝27，即S9＝＝9a5＝27，解得a5＝3，又∵a10＝8，∴S14＝＝＝77．故选C．]

类型2　等差数列前n项和公式的实际应用

【例2】　某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？

判断是否构成了等差数列，公差是多少？尝试可用前n项和公式来解决．

[解]　从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：时)依次设为a1，a2，…，a25．由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－．

25辆翻斗车完成的工作量为a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480．

∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线．

遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：

(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型．

(2)深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n．

2．(2020·全国卷Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　)

A．3 699块 B．3 474块

C．3 402块 D．3 339块

C　[由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列，记为{an}，易知其首项a1＝9、公差d＝9，所以an＝a1＋(n－1)d＝9n．设数列{an}的前n项和为Sn，由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差数列，所以2(S2n－Sn)＝Sn＋S3n－S2n，所以(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝S2n－2Sn＝－2×＝9n2＝729，得n＝9，所以三层共有扇面形石板的块数为S3n＝＝＝3 402，故选C．]

类型3　等差数列前n项和Sn的最大(小)值

【例3】　数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2，

(1)求{an}的通项公式；

(2)求{an}的前多少项和最大？

(1)Sn与an间的关系是什么？能否利用这种关系求数列的通项公式？

(2)等差数列{an}的Sn为关于n的二次函数，是否可以利用二次函数求最值方法解决？

[解]　(1)法一(公式法)　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，

又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1，满足an＝34－2n．

故{an}的通项公式为an＝34－2n．

法二(结构特征法)　由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以{an}是等差数列，由Sn的结构特征知

解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n．

(2)法一(公式法)　令即

所以16≤n≤17．

又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大．

法二(函数性质法)　由y＝－x2＋33x的对称轴为x＝，

距离最近的整数为16,17．由Sn＝－n2＋33n的

图象可知：当n≤17时，an≥0，当n≥18时，an<0，

故数列{an}的前16项或前17项的和最大．

1．在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法

(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)值．

(2)借助二次函数的图象及性质求最值．

2．寻求正、负项分界点的方法

(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用或来寻找．

(2)利用到y＝ax2＋bx(a≠0)图象的对称轴距离最近的一侧的一个整数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点．

3．求解数列{|an|}的前n项和，应先判断{an}的各项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题．

3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＞0，S11＝S18．求当n为何值时Sn最大？

[解]　法一　由S11＝S18，得11a1＋d＝18a1＋d，

即a1＝－14d＞0，所以d＜0．

解不等式组

即得14≤n≤15．

故当n＝14或n＝15时Sn最大．

法二　由S11＝S18知，a12＋a13＋a14＋a15＋a16＋a17＋a18＝0，即7a15＝0，所以a15＝0．又因为a1＞0，所以d＜0，故当n＝14或n＝15时Sn最大．

1．等差数列{an}前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于(　　)

A．1 B．

C．2 D．3

C　[设{an}的公差为d，首项为a1，由题意得解得]

2．在等差数列{an}中，已知a2＋a5＋a12＋a15＝36，则S16＝ (　　)

A．288 B．144

C．572 D．72

B　[∵a1＋a16＝a2＋a15＝a5＋a12，∴由a2＋a5＋a12＋a15＝36，得2(a1＋a16)＝36，即a1＋a16＝18．∴S16＝＝8×18＝144．故选B．]

3．若数列{an}的通项公式an＝43－3n，则Sn取得最大值时，n＝(　　)

A．13 B．14

C．15 D．14或15

B　[由数列{an}的通项公式an＝43－3n，可得该数列为递减数列，且公差为－3，a1＝40，

∴Sn＝＝－n2＋n．

考虑函数y＝－x2＋x，易知该函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴为直线x＝．

又n为正整数，与最接近的一个正整数为14，故Sn取得最大值时，n＝14．]

4．已知等差数列{an}中，a1＝，d＝－，Sn＝－15，则n＝________．

12　[Sn＝n·＋×＝－15，整理得n2－7n－60＝0，解得n＝12或n＝－5(舍去)，即n＝12．]

5．在数列{an}中，an＝4n－，a1＋a2＋…＋an＝an2＋bn(n∈N*)，其中a，b为常数，则ab＝________．

－1　[由an＝4n－得a1＝4－＝．

∴a1＋a2＋…＋an＝＝＝2n2－n，∴a＝2，b＝－，即ab＝－1．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

(1)等差数列的前n项和公式有几种形式？

[提示]　Sn＝＝na1＋d．另有Sn＝An2＋Bn形式．

(2)等差数列{an}的前n项和Sn有哪几种求最大(小)值的方法？

[提示]　①通项法．

若a1＞0，d＜0，则Sn必有最大值，其中n可用不等式组来确定；

若a1＜0，d＞0，则Sn必有最小值，其中n可用不等式组来确定．

②二次函数法．在等差数列{an}中，由于Sn＝na1＋d＝n2＋n，则可用求二次函数最值的方法来求前n项和Sn的最值，其中，n值可由n∈N*及二次函数图象的对称性来确定．

③图象法．借助二次函数的图象的对称性来求解．

(3)常用的数列求和公式有哪些？

[提示]　1＋2＋3＋…＋n＝；

2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；

1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2．

牛顿的科学生涯

牛顿——伟大的科学家，牛顿力学理论体系的建立者，1643年1月4日诞生在英格兰的林肯郡．牛顿于1661年进入剑桥大学三一学院，1665年获得学士学位．

1665—1666年伦敦鼠疫流行，学校停课，牛顿回到故乡．牛顿在剑桥受到数学和自然科学的培养和熏陶，对探索自然现象产生了极浓厚的兴趣．就在躲避鼠疫这两年内，他在自然科学领域思潮奔腾，思考了前人从未想过的问题，创建了惊人的业绩．

1665年初，牛顿创立了级数近似法和把任何幂的二项式化为一个级数的方法，同年11月创立了微分学．次年1月，牛顿研究颜色理论，5月开始研究积分学．这一年内，牛顿还开始研究重力问题，并把重力与月球的运动、行星的运动联系起来考虑．他从开普勒行星运动定律出发，通过数学推导发现：使行星保持在它们轨道上的力，必定与行星到转动中心的距离的二次方成反比．由此可见，牛顿一生中最重大的科学思想，是在他二十多岁时思想敏锐的短短两年期间孕育、萌发和形成的．

牛顿于1684年8—10月先后写了《论运动》《论物体在均匀介质中的运动》，1687年出版了《自然哲学的数学原理》，1704年出版了《光学》．在科学方法上，他以培根的实验归纳方法为基础，又吸收了笛卡儿的数学演绎体系，形成了以下比较全面的科学方法．

(1)重视实验，从归纳入手．这是牛顿科学方法论的基础．牛顿本人在实验上具有高度的严谨性和娴熟的技巧，在《自然哲学的数学原理》一书中他描述了大量实验．

(2)为了使归纳成功，不仅需要可靠的资料与广博的知识，而且要有清晰的逻辑头脑．首先要善于从众多的事实中挑选出几个最基本的要素，形成深刻反映事物本质的概念，然后才能以此为基石找出事物之间的各种联系并得出结论．牛顿在谈到自己的工作方法的奥秘时说，要“不断地对事物深思”．

伽利略、笛卡儿和惠更斯等已经用位移、速度、加速度、动量等一系列科学概念代替了古希腊人模糊不清的自然哲学概念；牛顿的功绩是，在把它们系统化的同时贡献出两个关键性的概念：“力”和“质量”．他把质量与重量区别开来，并把质量分别与惯性和引力联系起来．牛顿综合了天体和地面上物体的运动规律，形成了深刻反映事物本质的科学体系．

(3)事物之间的本质联系只有通过数学才能归纳为能够测量、应用和检验的公式和定律．牛顿的数学才能帮助他解决了旁人解不开的难题．他把上述基本概念定义为严格的物理量，并且创造出新的数学工具来研究变量间的关系，从而建立了运动三定律和万有引力定律．

此外，牛顿勤奋学习的精神，积极思索、耐心实验，以及年复一年坚持不懈地集中思考某一问题等优秀品质，也是他取得伟大成就的内在因素．

1727年3月31日，牛顿在睡梦中溘然长逝，终年84岁．他被安葬在威斯敏斯特教堂，那是英国人安葬英雄的地方．