四川省自贡市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类

四川省自贡市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类

一．实数的运算（共2小题）

1．（2023•自贡）计算：|﹣3|﹣（+1）0﹣22．

2．（2021•自贡）计算：﹣|﹣7|+（2﹣）0．

二．一元一次方程的应用（共1小题）

3．（2023•自贡）某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位．求该客车的载客量．

三．解一元一次不等式组（共1小题）

4．（2022•自贡）解不等式组：，并在数轴上表示其解集．

四．一次函数与一元一次不等式（共1小题）

5．（2021•自贡）函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数y＝﹣的图象，并探究其性质．

列表如下：

（1）直接写出表中a、b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；

（2）观察函数y＝﹣的图象，判断下列关于该函数性质的命题：

①当﹣2≤x≤2时，函数图象关于直线y＝x对称；

②x＝2时，函数有最小值，最小值为﹣2；

③﹣1＜x＜1时，函数y的值随x的增大而减小．

其中正确的是 　     　．（请写出所有正确命题的序号）

（3）结合图象，请直接写出不等式＞x的解集 　             　．

五．平行四边形的判定与性质（共1小题）

6．（2023•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边AB，CD上，且AM＝CN．求证：DM＝BN．

六．矩形的性质（共1小题）

7．（2022•自贡）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．

（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得到，所以EB＝AB．我们还可以得到FC＝　     　，EF＝　     　；

（2）进一步观察，我们还会发现EF∥AD，请证明这一结论；

（3）已知BC＝30cm，DC＝80cm，若BE恰好经过原矩形DC边的中点H，求EF与BC之间的距离．

七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）

8．（2023•自贡）为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：

（1）测量坡角

如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡AB，BC，CD，山的高度即为三段坡面的铅直高度BH，CQ，DR之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．

如图2，同学们将两根直杆MN，MP的一端放在坡面起始端A处，直杆MP沿坡面AB方向放置，在直杆MN另一端N用细线系小重物G，当直杆MN与铅垂线NG重合时，测得两杆夹角α的度数，由此可得山坡AB坡角β的度数．请直接写出α，β之间的数量关系．

（2）测量山高

同学们测得山坡AB，BC，CD的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为24°，30°，45°；为求BH，小熠同学在作业本上画了一个含24°角的Rt△TKS（如图3），量得KT≈5cm，TS≈2cm．求山高DF．（≈1.41，结果精确到1米）

（3）测量改进

由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．

如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于MN的顶端，当MN与铅垂线NG重合时，转动直杆NP，使点N，P，D共线，测得∠MNP的度数，从而得到山顶仰角β1，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角β2；画一个含β1的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a1厘米，b1厘米，再画一个含β2的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a2厘米，b2厘米．已知杆高MN为1.6米，求山高DF．（结果用不含β1，β2的字母表示）

9．（2021•自贡）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，≈1.73）

八．条形统计图（共1小题）

10．（2023•自贡）某校为了解“世界读书日”主题活动开展情况，对本学期开学以来学生课外读书情况进行了随机抽样调查，所抽取的12名学生课外读书数量（单位：本）数据如下：2，4，5，4，3，5，3，4，1，3，2，4．

（1）补全学生课外读书数量条形统计图；

（2）请直接写出本次所抽取学生课外读书数量的众数、中位数和平均数；

（3）该校有600名学生，请根据抽样调查的结果，估计本学期开学以来课外读书数量不少于3本的学生人数．

九．列表法与树状图法（共1小题）

11．（2022•自贡）为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间t（单位：小时），学校采用随机抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按0≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜5，t≥5分为四个等级，分别用A、B、C、D表示．如图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决以下问题：

（1）求参与问卷调查的学生人数n，并将条形统计图补充完整；

（2）全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数；

（3）某小组有4名同学，A、D等级各2人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况．请用画树状图法或列表法求这2人均属D等级的概率．

四川省自贡市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类

参考答案与试题解析

一．实数的运算（共2小题）

1．（2023•自贡）计算：|﹣3|﹣（+1）0﹣22．

【答案】﹣2．

【解答】解：原式＝3﹣1﹣4

＝﹣2．

2．（2021•自贡）计算：﹣|﹣7|+（2﹣）0．

【答案】﹣1．

【解答】解：原式＝5﹣7+1＝﹣1．

二．一元一次方程的应用（共1小题）

3．（2023•自贡）某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位．求该客车的载客量．

【答案】该客车的载客量为40人．

【解答】解：设该客车的载客量为x人，

根据题意得：4x+30＝5x﹣10，

解得：x＝40．

答：该客车的载客量为40人．

三．解一元一次不等式组（共1小题）

4．（2022•自贡）解不等式组：，并在数轴上表示其解集．

【答案】﹣1＜x＜2．

【解答】解：由不等式3x＜6，解得：x＜2，

由不等式5x+4＞3x+2，解得：x＞﹣1，

∴不等式组的解集为：﹣1＜x＜2，

∴在数轴上表示不等式组的解集为：

四．一次函数与一元一次不等式（共1小题）

5．（2021•自贡）函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数y＝﹣的图象，并探究其性质．

列表如下：

（1）直接写出表中a、b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；

（2）观察函数y＝﹣的图象，判断下列关于该函数性质的命题：

①当﹣2≤x≤2时，函数图象关于直线y＝x对称；

②x＝2时，函数有最小值，最小值为﹣2；

③﹣1＜x＜1时，函数y的值随x的增大而减小．

其中正确的是 　②③　．（请写出所有正确命题的序号）

（3）结合图象，请直接写出不等式＞x的解集 　x＜﹣2或0＜x＜2　．

【答案】（1）2，﹣；

（2）②③；

（3）x＜﹣2或0＜x＜2．

【解答】解：（1）把x＝﹣2代入y＝﹣得，y＝﹣＝2，

把x＝1代入y＝﹣得，y＝﹣＝﹣，

∴a＝2，b＝﹣，

函数y＝﹣的图象如图所示：

（2）观察函数y＝﹣的图象，

①当﹣2≤x≤2时，函数图象关于原点对称；错误；

②x＝2时，函数有最小值，最小值为﹣2；正确；

③﹣1＜x＜1时，函数y的值随x的增大而减小，正确．

故答案为②③；

（3）由图象可知，函数y＝﹣与直线y＝﹣x的交点为（﹣2，2）、（0，0）、（2，﹣2）

∴不等式＞x的解集为x＜﹣2或0＜x＜2．

五．平行四边形的判定与性质（共1小题）

6．（2023•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边AB，CD上，且AM＝CN．求证：DM＝BN．

【答案】见解析．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∵AM＝CN，

∴AB﹣AM＝CD﹣CN，

即BM＝DN，

又∵BM∥DN，

∴四边形MBND是平行四边形，

∴DM＝BN．

六．矩形的性质（共1小题）

7．（2022•自贡）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．

（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得到，所以EB＝AB．我们还可以得到FC＝　CD　，EF＝　AD　；

（2）进一步观察，我们还会发现EF∥AD，请证明这一结论；

（3）已知BC＝30cm，DC＝80cm，若BE恰好经过原矩形DC边的中点H，求EF与BC之间的距离．

【答案】（1）CD，AD；

（2）见解析过程；

（3）EF与BC之间的距离为64cm．

【解答】（1）解：∵把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变，

∴矩形ABCD的各边的长度没有改变，

∴AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，

故答案为：CD，AD；

（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，

∵AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，

∴BE＝CF，EF＝BC，

∴四边形BEFC是平行四边形，

∴EF∥BC，

∴EF∥AD；

（3）如图，过点E作EG⊥BC于G，

∵DC＝AB＝BE＝80cm，点H是CD的中点，

∴CH＝DH＝40cm，

在Rt△BHC中，BH＝＝＝50（cm），

∵EG⊥BC，

∴CH∥EG，

∴△BCH∽△BGE，

∴，

∴＝，

∴EG＝64，

∴EF与BC之间的距离为64cm．

七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）

8．（2023•自贡）为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：

（1）测量坡角

如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡AB，BC，CD，山的高度即为三段坡面的铅直高度BH，CQ，DR之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．

如图2，同学们将两根直杆MN，MP的一端放在坡面起始端A处，直杆MP沿坡面AB方向放置，在直杆MN另一端N用细线系小重物G，当直杆MN与铅垂线NG重合时，测得两杆夹角α的度数，由此可得山坡AB坡角β的度数．请直接写出α，β之间的数量关系．

（2）测量山高

同学们测得山坡AB，BC，CD的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为24°，30°，45°；为求BH，小熠同学在作业本上画了一个含24°角的Rt△TKS（如图3），量得KT≈5cm，TS≈2cm．求山高DF．（≈1.41，结果精确到1米）

（3）测量改进

由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．

如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于MN的顶端，当MN与铅垂线NG重合时，转动直杆NP，使点N，P，D共线，测得∠MNP的度数，从而得到山顶仰角β1，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角β2；画一个含β1的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a1厘米，b1厘米，再画一个含β2的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a2厘米，b2厘米．已知杆高MN为1.6米，求山高DF．（结果用不含β1，β2的字母表示）

【答案】（1）α+β＝90°；

（2）约为69米；

（3）（+1.6）米．

【解答】解：（1）∵铅直线与水平线垂直，

∴α+β＝90°，

故α，β之间的数量关系为：α+β＝90°；

（2）在Rt△ABH中，

∵AB＝40米，∠BAH＝24°，

sin∠BAH＝，

∴sin24°＝，

在Rt△TKS中，

∵KT≈5cm，TS≈2cm，∠TKS＝24°，

sin∠TKS＝，

∴sin24°＝，

∴＝，

解得BH＝16米，

在Rt△CBQ中，

∵BC＝50米，∠CBQ＝30°，

∴CQ＝CB＝25米，

在Rt△DCR中，

∵CD＝40米，∠DCR＝45°，

sin∠DCR＝，

∴DR＝CD•sin∠DCR＝40•sin45°＝（米），

∴DF＝BH+CQ+DR＝16+25+≈69（米），

答：山高DF约为69米；

（3）由题意，得tanβ1＝，tanβ2＝，

在Rt△DNL中，

∵tanβ1＝，

∴，

∴NL＝，

在Rt△DCR中，

∵tanβ2＝，

∴，

∴N'L＝，

∵NL﹣N'L＝NN'＝40（米），

∴﹣＝40，

解得DL＝，

∴山高DF＝DL+LF＝+1.6（米），

答：山高DF为（+1.6）米．

9．（2021•自贡）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，≈1.73）

【答案】见试题解答内容

【解答】解：由题意可知AB＝24米，∠BDA＝53°，

∴tan∠BDA＝＝≈1.33，

∴AD＝≈18.05（米）．

∵tan∠CAD＝tan30°＝＝＝，

∴CD＝18.05×≈10.4（米）．

故办公楼的高度约为10.4米．

八．条形统计图（共1小题）

10．（2023•自贡）某校为了解“世界读书日”主题活动开展情况，对本学期开学以来学生课外读书情况进行了随机抽样调查，所抽取的12名学生课外读书数量（单位：本）数据如下：2，4，5，4，3，5，3，4，1，3，2，4．

（1）补全学生课外读书数量条形统计图；

（2）请直接写出本次所抽取学生课外读书数量的众数、中位数和平均数；

（3）该校有600名学生，请根据抽样调查的结果，估计本学期开学以来课外读书数量不少于3本的学生人数．

【答案】（1）图形见解析过程；

（2）众数为4本，中位数为3.5本，平均数为本；

（3）本学期开学以来课外读书数量不少于3本的学生人数为450名．

【解答】解：（1）

，

（2）本次所抽取学生课外读书数量的众数为4本，

中位数为（本），

平均数为＝（本），

（3）（名），

答：本学期开学以来课外读书数量不少于3本的学生人数为450名．

九．列表法与树状图法（共1小题）

11．（2022•自贡）为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间t（单位：小时），学校采用随机抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按0≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜5，t≥5分为四个等级，分别用A、B、C、D表示．如图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决以下问题：

（1）求参与问卷调查的学生人数n，并将条形统计图补充完整；

（2）全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数；

（3）某小组有4名同学，A、D等级各2人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况．请用画树状图法或列表法求这2人均属D等级的概率．

【答案】（1）100；

（2）900；

（3）．

【解答】解：（1）n＝＝100，

∴D等级的人数＝100﹣40﹣15﹣10＝35（人），

条形统计图补充如下：

（2）学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数＝2000×＝900（人），

∴估计每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生为900人；

（3）设A等级2人分别用A1，A2表示，D等级2人分别用D1，D2表示，随机选出2人向老师汇报兴趣活动情况的树状图如下：

∴共有12种等可能结果，而选出2人中2人均属D等级有2种，

∴所求概率＝＝．