【暑假提升】浙教版数学七年级（七升八）暑假-专题第20讲《一元一次不等式（组）的应用》预习讲学案

第20讲 一元一次不等式（组）的应用一、常见的一些等量关系1.行程问题：路程＝速度×时间 2.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， 4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率 6.数字问题：多位数的表示方法：例如：.二、列不等式（组）解决实际问题 列一元一次不等式（组）解应用题与列一元一次方程（组）解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤： (1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； (2)设：设出适当的未知数； (3)列：根据题中的不等关系，列出不等式； (4)解：解所列的不等式；(5)答：写出答案，并检验是否符合题意． 要点：(1)列不等式的关键在于确定不等关系；(2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来；(3)构建不等关系解应用题的流程如图所示．例1．某次知识竞赛共有 20 道题，规定每答对一题得 10 分，答错或不答都扣 5 分，小明得分要超过 120 分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对 x 道题，根据题意得（ ）A．10x﹣5（20﹣x）≥120 B．10x﹣5（20﹣x）≤120C．10x﹣5（20﹣x）＜120 D．10x﹣5（20﹣x）＞120【答案】D【解析】【分析】根据小明得分要超过 120 分，列出不等式即可解答；解：根据题意：小明答对x道，打错20-x道，∴10x+（﹣5）（20-x）＞120，∴10x﹣5（20-x）＞120，故选：D；【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意准确判断不等式符号是解题关键．例2．把一些书分给若干名同学，若每人分12本，则有剩余；若______．依题意，设有x名同学，可列不等式．则横线上的条件应该是（       ）A．每人分8本，则剩余 5本 B．每人分8本，则恰好可多分给5个人C．每人分5本，则剩余 8本 D．其中一个人分8本，则其他同学每人可分5本【答案】B【解析】【分析】根据不等式的意义即可求解．解：由可知条件为：每人分8本，则恰好可多分给5个人．故选：B【点睛】本题主要考查不等式的意义，学生们熟练掌握即可求解．例3．苹果的进价是每千克2.5元，销售中估计有5%的苹果正常损耗，要想不亏本，则售价至少应定为每千克（       ）A．元 B．元 C．元 D．5元【答案】A【解析】【分析】设商家应把售价定为元，利用利润售价销售数量进价购进数量，结合不亏本，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．解：设商家应把售价定为元，依题意得：，解得：，商家应把售价至少定为元．故选：A．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．例4．校团委计划用800元为毕业生到某超市购买纪念册，该超市推出优惠活动，若一次购买不超过15册，则按每册10元付款，若一次性购买15册以上，则超过部分按八折优惠．问最多能购买多少册？设能购买x册，则下列不等关系正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据题意可知，购买的纪念册超过15册，可根据一次性购买15册以上，则超过部分按八折优惠列出不等式即可．解：，所以应按第二种方式付款，则有，故选C．【点睛】本题主要考查了根据实际问题列不等式，正确得到付款方式是解答本题的关键．例5．小美将某服饰店的促销活动告诉小明后，小明假设某一商品的定价为x元，并列出关系式为，则下列哪项可能是小美告诉小明的内容？（       ）A．买五件等值的商品可减100元，再打3折，最后不到1000元B．买五件等值的商品可打3折，再减100元，最后不到1000元C．买五件等值的商品可减100元，再打7折，最后不到1000元D．买五件等值的商品可打7折，再减100元，最后不到1000元【答案】C【解析】【分析】根据题意，可以写出0.7（5x-100）＜1000表示的含义，从而可以解答本题．解：由题意可得，0.7（5x﹣100）＜1000表示买五件等值的商品可减100元，再打7折，最后不到1000元，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，写出题目中的关系式表示的含义．例6．将若干只鸡放入若干个笼，若每个笼里放4只则有一只鸡无笼可放；若每个笼放5只，则只有一笼未放满且每笼内都有鸡，那么笼的个数的范围是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据题意列出不等式0＜（4t+1）-5（t﹣1）＜5，求出t的范围，即可得到答案解：根据题意列不等式得，0＜（4t+1）-5（t﹣1）＜5，解得,故选：D．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题关键是准确理解题意，列出不等式组．例7．某种家用电器的进价为每件800元，以每件1200元的标价出售，由于电器积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最低可按标价的（       ）折出售A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】【分析】设按标价的x折出售，根据利润率不低于5%列，计算可得．解：设按标价的x折出售，由题意得，解得，∴最低可按标价的七折出售，故选：B．【点睛】此题考查了一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．例8．研究表明，运动时将心率p（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值不应该超过（220﹣年龄）×0.8，最低值不低于（220﹣年龄）×0.6．以40岁为例计算，220﹣40＝180，180×0.8＝144，180×0.6＝108，所以40岁的年龄最佳燃脂心率的范围用不等式可表示为（　　）A．108≤p≤144 B．108＜p＜144 C．108≤p≤190 D．108＜p＜190【答案】A【解析】【分析】由题干中信息可得“不超过”即“≤”，“不低于”即“≥”，于是30岁的年龄最佳燃脂心率范围用不等式表示为114≤p≤152． 最佳燃脂心率最高值不应该超过（220-年龄）×0.8，， p≤144最佳燃脂心率最低值不低于（220-年龄）×0.6，，108≤p在四个选项中只有A选项正确.故选: A．【点睛】本题主要考查不等式的简单应用，能将体现不等关系的文字语言转化为数学语言是解决题目的关键．体现不等关系的文字语言有“大于”、“小于”、“不高于”、“不低于”等．例9．某学校准备购进单价分别为5元和7元的A、B两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的3倍，不少于B种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为（50﹣x）本，根据题意列出一元一次不等式组，然后求整数解即可．解：设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为（50﹣x）本，由题意得：，解得：33≤x≤37，∵x为正整数，∴x的取值为34、35、36、37，则不同的购买方案种数为4种，故选：D．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．例10．已知a，b为实数，且2a﹣b＝4，a≥﹣2b，小明和小红分别得出自己的结论，小明：点(a，b)必在第二象限；小红：有最大值为2；则对于他们的说法你的判断是（　　）A．小明说的不对，小红说的对B．小明说的对，小红说的不对C．两人说的都对D．两个说的都不对【答案】D【解析】【分析】先由条件求得a和b的取值范围，然后判断小明和小红的说法．解：∵2a−b=4，a⩾−2b，∴2a=4+b⩾−4b，a⩾−2(2a−4)，解得：，，∴点（a，b）在第四象限或在第一象限或x轴的正半轴上，小明说的不对；当时，由a⩾−2b，得，故，此时有最小值2；当时，由a⩾−2b，得，故，此时有最大值2；故小红说的也不对，故选：D．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，不等式的性质，解题的关键是利用消元法得到关于a或b的不等式，求得a和b的取值范围．例11．检测游泳池的水质，要求三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8．前两次检验，pH的读数分别是7.4，7.9，那么第三次检验的pH应该为多少才能合格？设第3次的pH为x，由题意可得（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据算术平均数的定义，并结合三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8可得，从而得出答案．解：根据题意知，故选：C．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，解题的关键是掌握算术平均数的定义．例12．某森林公园门票每张10元，只能一次性使用．在保留此种方法的基础上，公园推出A、B、C三种年票（每张仅一人使用，自购买日起，可使用一年），三类年票的具体情况如下：A类年票：每张120元，持票入园无须再购票；B类年票：每张60元，持票入园时须再购票，但每张2元；C类年票：每张40元，持票入园时须再购票，但每张3元．小军和小华根据自己的年入园次数需求，选择了最适合自己的年票．小军选择了C类年票，小华选择了A类年票，以下说法正确的是（　　）A．小军的年入园需求可能是25次B．小华的年入园次数需求多于小军C．小华的年入园需求可能是25次D．小华的年入园次数需求少于小军【答案】B【解析】【分析】需分类计论，设入园次数为x次，则购A类票所需费用为120元；购B类票所需费用为（60+2x）元；购C类票所需费用为（40+3x）元，通过计算分别算出当x为多少时哪种购票方式更合算，再对选项逐一判断即可．解：设入园次数为x次，则购A类票所需费用为120元；购B类票所需费用为（60+2x）元；购C类票所需费用为（40+3x）元，则依题意得：①当（60+2x）>120时，即x>30时，选A种购票方式更合算；②当x=30时，A，B两种购票方式一样；③当（40+3x）>60+2x且（60+2x）>120时，即30>x>20时，选B种购票方式更合算；④当x=20时，B，C两种购票方式一样；⑤当（40+3x）<60+2x时，即x<20时，选C种购票方式更合算；所以，如果小军的年入园需求可能是25次，那么小军应选B种购票方式更合算，而题中已知小军选的是C种购票方式，故A错误；因为小华选了A种购票方式，故小华的入园次数最多并且应多于30次，故B选项正确，C选项错误；小华的入园次数一定大于或等于30次，而小军的入园次一定小于等于20次，故小华的入园次数一定大于小军的入园次数，故D选项错误．故选B．【点睛】本题主要考查了不等式的应用，方案选择问题，对问题进行分类讨论是解题的关键．例13．某种出租车的收费标准是：起步价7元(即行驶距离不超过3千米都收7元车费)，超过3千米以后，超过部分每增加1千米，加收2.4元(不足1千米按1千米计)．某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x千米，那么x的取值范围是(       )A．1＜x≤11 B．7＜x≤8C．8＜x≤9 D．7＜x＜8【答案】B【解析】解：已知从甲地到乙地共需支付车费19元，从甲地到乙地经过的路程为x千米，从而根据题意列出不等式，从而得出7＜x≤8．故选B．【点睛】此题主要考查了不等式组应用，解题关键是理解不足1千米按1千米计这句话的含义.例14．有一间公司请水电工程厂商安装日光灯管，厂商提供两种方案如表所示．已知支功率皆为瓦的灯管都使用小时后消耗的电能（度），若每支灯管使用时间皆相同，且只考虑灯管消耗的电能并以每度5元计算电费，则两种方案相比，灯管使用时间至少要超过多少小时，采用省电方案所节省的电费才会高于两者相差的施工费用？　　A．12200 B．12300 C．12400 D．12500【答案】D【解析】【分析】根据题意可列不等式，求解即可．解：根据题意，得，解得，灯管使用时间超过12500小时，采用省电方案所节省的电费才会高于两者相差的施工费用，故选：D．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立一元一次不等式是解题的关键．例15．口味虾、臭豆腐、嗦螺和糖油粑粑是是长沙著名的小吃，某兴趣小组在班级发动了一项“舌尖上的长沙-我最喜欢的长沙小吃”调查活动，发现结果满足以下三个条件：（1）喜欢嗦螺的人数少于喜欢口味虾的人数；（2）喜欢嗦螺的人数多于喜欢臭豆腐的人数；（3）喜欢臭豆腐的人数的3倍多于喜欢口味虾的人数．若喜欢臭豆腐的人数为6，则喜欢嗦螺的人数的最大值为（        ）A．16 B．6 C．17 D．7【答案】A【解析】【分析】设喜欢嗦螺的人数是x，喜欢口味虾的人数是y，根据题意列出不等式组即可解答．设喜欢嗦螺的人数是x，喜欢口味虾的人数是y，根据喜欢臭豆腐的人数是6人，结合题意有：，且x和y都是正整数，解得：，且x和y都是正整数，即喜欢口味虾的人数最多为17人，则喜欢嗦螺的人数最多为16人，故选：A．【点睛】本题考查了不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解答本题的关键．例16．近年来，越来越多的游客到重庆来打卡麻辣鲜香的火锅，同时还会购买火锅底料作为伴手礼．洪崖洞某店计划在暑假期间推出三款礼盒，其中，A礼盒装有3袋鲜香清汤底料，3袋浓香牛油底料，5袋麻辣底料，B礼盒装有4袋鲜香清汤底料，4袋浓香牛油底料，3袋麻辣底料，C礼盒装有若干袋鲜香清汤底料，4袋浓香牛油底料，2袋麻辣底料，且每种礼盒的售价等于其所装火锅底料的售价之和．每个A礼盒售价为110元，每个B礼盒售价不低于100元，不高于120元，每个C礼盒售价为118元．已知每袋火锅底料的售价均为偶数，且每鲜香清汤底料的售价高于2元，不超过12元，则每个C礼盒中鲜香清汤底料有 _____袋．【答案】7【解析】【分析】设鲜香清汤底料，浓香牛油底料，麻辣底料的售价分别为元，每个C礼盒中鲜香清汤底料有袋，则A礼盒售价为元，礼盒售价为元，C礼盒售价为元，根据题意列出方程组，求得，根据每袋火锅底料的售价均为偶数，且每鲜香清汤底料的售价高于2元，不超过12元，求得的值．解：设鲜香清汤底料，浓香牛油底料，麻辣底料的售价分别为元，每个C礼盒中鲜香清汤底料有袋，则A礼盒售价为元，礼盒售价为元，C礼盒售价为元，依题意得且为偶数，，由①得④，④代入②得，解得，，当时，不是整数，舍去，当时， ，当时，不是整数，舍去，，，，即，，，，，，解得，故答案为：7．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组，根据题意列出不等式组与方程组是解题的关键．一、单选题1．小明借到一本有87页的图书，要在10天之内读完，开始两天每天只读5页，那么以后几天里平均每天至少要读多少页才能读完？设以后几天里平均每天要读x页，所列不等式为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】设以后每天读x页，根据小明借到一本有87页的图书，要在10天之内读完，开始2天每天只读5页，可列出不等式即可．解：根据题意，得：，整理得：．故选：D．【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，理解题意，列出不等式是解题关键．2．我县某初中举行知识抢答赛，总共50道抢答题．抢答规定：抢答对1题得3分，抢答错1题扣1分，不抢答得0分．小军参加了抢答比赛，只抢答了其中的20道题，要使最后得分不少于50分，那么小军至少要答对（       ）A．11题 B．15题 C．18题 D．20题【答案】C【解析】【分析】本题的关系式是：抢答对的题所得的分数-抢答错的所得的分数≥50，由此可得出自变量的取值，求出所要求的值．解：设小军答对x道题，依据题意得：3x−(20−x)≥50，解得：x≥17，∵x为正整数，∴x的最小正整数为18，故选：C．【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．3．近日，教育部正式印发《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并在今年9月份开学开始正式施行．某学校组织八年级同学到劳动教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完．学校要求完成全部任务的时间不超过3小时，若他们在剩余时间内每小时平整土地，则x满足的不等关系为（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】设他们在剩余时间内每小时平整土地x m2，根据学校要求完成全部任务的时间不超过3小时得出不等式解答即可．解：设他们在剩余时间内每小时平整土地x m2，根据题意可得：，故选：C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，找准等量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．4．为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出17只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共（　　）只．A．55 B．72 C．83 D．89【答案】C【解析】【分析】设该村共有x户，则母羊共有（5x+17）只，根据“每户发放母羊7只时有一户可分得母羊但不足3只”列出关于x的不等式组，解之求得整数x的值，再进一步计算可得．设该村共有户，则母羊共有只，由题意知，解得：，∵为整数，∴，则这批种羊共有（只），故选C．【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的不等关系，并据此得出不等式组．5．校团委计划用800元为毕业生到某超市购买纪念册，该超市推出优惠活动，若一次购买不超过15册，则按每册10元付款，若一次性购买15册以上，则超过部分按八折优惠．问最多能购买多少册？设能购买x册，则下列不等关系正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据题意可知，购买的纪念册超过15册，可根据一次性购买15册以上，则超过部分按八折优惠列出不等式即可．解：，所以应按第二种方式付款，则有，故选C．【点睛】本题主要考查了根据实际问题列不等式，正确得到付款方式是解答本题的关键．6．将若干只鸡放入若干个笼，若每个笼里放4只则有一只鸡无笼可放；若每个笼放5只，则只有一笼未放满且每笼内都有鸡，那么笼的个数的范围是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据题意列出不等式0＜（4t+1）-5（t﹣1）＜5，求出t的范围，即可得到答案解：根据题意列不等式得，0＜（4t+1）-5（t﹣1）＜5，解得,故选：D．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题关键是准确理解题意，列出不等式组．7．已知某程序如图所示，规定：从“输入实数x”到“结果是否大于95”为一次操作如果该程序进行了两次操作停止，那么实数x的取值范围是　　A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】表示出第一次、第二次的输出结果，再由第二次输出结果可得出不等式，解出即可．第一次的结果为：，没有输出，则，解得：；第二次的结果为：，输出，则，解得：；综上可得：．故选C．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据结果是否可以输出，得出不等式．8．若定义一种新的取整符号［ ］、即［x］表示不小于x的最小整数．例如：［2.2］=3，［-1.9］=-1．则下列结论正确的是（       ）①［-3.1］+［2］=-1； ②［x］+［-x］=0；③方程［x］- x=的解有无数多个；④若［x+3］= 2，则x的取值范围-2＜x≤-1；⑤当-1≤x＜1时，则［x-1］+［x+1］的值为0、1或-2．A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤【答案】B【解析】【分析】①根据取整函数的定义，直接求出值；②取特殊值验证；③在0到1的范围内，找到一个特殊值，进而可以找到无数个解；④把方程问题转化为不等式问题；⑤分情况讨论，验证[x-1]+[x+1]的所有取值．解：由题意可知：[-3.1]+[2]=-3+2=-1，∴①结论正确；设x=a+b，其中a是x的整数部分，b是x的小数部分，∴[x]+[-x]=[a+b]+[-a-b]=（a+1）+（-a）=a+1-a=1∴②结论不正确；设x=a+b，其中a是x的整数部分，b是x的小数部分则方程[x]-x=可变形为：（a+1）-（a+b）=，解得：b=，∵a的值不能够确定，∴方程[x]-x=有无数多个解，∴③结论正确；∵[x+3]=2，∴1＜x+3≤2，解得：-2＜x≤-1，∴④结论正确；当-1≤x＜1时，-2≤x-1＜0，0≤x+1＜2，∴当x=-1时，x-1=-2，x+1=0，∴[x-1]+[x+1]=[-2]+[0]=-2+0=-2；当-1＜x≤0时，-2＜x-1≤-1，0＜x+1≤1，∴[x-1]+[x+1]=-1+1=0；当0＜x＜1时，-1＜x-1＜0，1＜x+1＜2，∴[x-1]+x+1]=0+2=2，∴⑤结论不正确．故正确的为①③④故选：B．【点睛】本题考查了取整函数与一元一次不等式，解题的关键在于能够把取整数的等式，转化为一元一次不等式问题去解决．9．口味虾、臭豆腐、嗦螺和糖油粑粑是是长沙著名的小吃，某兴趣小组在班级发动了一项“舌尖上的长沙-我最喜欢的长沙小吃”调查活动，发现结果满足以下三个条件：（1）喜欢嗦螺的人数少于喜欢口味虾的人数；（2）喜欢嗦螺的人数多于喜欢臭豆腐的人数；（3）喜欢臭豆腐的人数的3倍多于喜欢口味虾的人数．若喜欢臭豆腐的人数为6，则喜欢嗦螺的人数的最大值为（        ）A．16 B．6 C．17 D．7【答案】A【解析】【分析】设喜欢嗦螺的人数是x，喜欢口味虾的人数是y，根据题意列出不等式组即可解答．设喜欢嗦螺的人数是x，喜欢口味虾的人数是y，根据喜欢臭豆腐的人数是6人，结合题意有：，且x和y都是正整数，解得：，且x和y都是正整数，即喜欢口味虾的人数最多为17人，则喜欢嗦螺的人数最多为16人，故选：A．【点睛】本题考查了不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解答本题的关键．10．台州沿海高速的开通，大大方便了椒江人民的出行，高速上的平均速度限定不小于60千米/小时，不超过100千米/小时．李师傅家住在距离高速进口站约4千米的地方，工作单位在出口站附近，距离出口站约6千米，某天李师傅开车从家去单位上班，准备从家出来是早上7：00整．单位规定早上7：40以后到就属于迟到，若从家到进站口和从出站口到单位的平均速度为50千米/小时，假如进收费站、出收费站及等待时间共需6分钟，李师傅在高速路段需行驶38千米，为了确保不迟到，请你通过计算判断李师傅从家里出发时间至少提前（　　）分钟．A． B． C．16 D．19【答案】A【解析】【分析】设李师傅从家里出发时间应提前x分钟，根据路程=速度×时间结合高速的限定速度，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，取其中的最小值即可得出结论．解：从早上7：00整到早上7：40共40分钟，即小时．设李师傅从家里出发时间应提前x分钟，依题意，得：解得：.故选：A．【点晴】本题考查了一元一次不等式组的应用-路程问题，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．二、填空题11．某生鲜超市以4元/千克的进价购进一批水果，销售时按标价八折出售，为了避免亏本，标价至少应定为______元/千克．【答案】5【解析】【分析】设商家把售价应该定为每千克x元，销售时按标价八折出售，根据题意列出不等式即可．解:设商家把售价应该定为每千克x元，根据题意得，解得，故为避免亏本，商家把标价应该至少定为每千克5元．故答案为：5．【点睛】此题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，正确列出不等式即，是解题的关键．12．小明想用自己节省的零花钱买一辆自行车，他现在已存了50元，计划从现在起每月节省30元，直至他至少有300元．设个月他至少可存300元，可列不等式____．【答案】【解析】【分析】设x个月后他至少有300元，根据总钱数=每月节省的钱数×月份数+50结合总钱数不少于300元，即可得出关于x的一元一次不等式，此题得解．解：设x个月后他至少有300元，根据题意得：30x+50≥300．故答案为：30x+50≥300．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．13．某大型超市从生产基地购进1000千克水果，每千克5元，运输过程中质量损失了10%．不计超市其他费用，如果超市至少要获得400元的利润，那么这种水果的售价最低应在进价的基础上提高______%．【答案】120【解析】【分析】设售价应在进价的基础上提高元，则售价为元，根据题意建立不等式求解即可．解：设售价应在进价的基础上提高元，则售价为元，由题意，，解得：，即：这种水果的售价最低应在进价的基础上提高，故答案为：20．【点睛】本题考查不等式的实际应用，审清题意，准确建立不等式并求解是解题关键．14．某宾馆底层客房比二楼少2间，某旅游团有45人要求住宿．如全安排底层，每间住3人房间不够，每间住4人有房间没住满．又若全安排二楼，每间住2人房间不够，每间住3人有房没住满．求该宾馆底层有客房________间．【答案】14【解析】【分析】设宾馆底层有客房间，根据若全部住底层，每间3人，房间不够；每间住4人，有房间没有住满5人.若全部安排在二楼，每间住2人，房间不够；每间住3人，有房间没有住满4人，即可列不等式组求解．设宾馆底层有客房x间，则二楼有客房（x+2）间，根据题意得：解得13＜x＜15∵x取整数，∴x=14故答案为：14．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题意，找准不等关系列出不等式组是解题的关键．15．有一个两位数，它的个位数字比十位数字小2，并且这个两位数在60和84之间，则这个两位数是________．【答案】64和75【解析】【分析】设这个两位数的个位数字为 则十位数字为： 则可得＜＜，再解不等式组可得答案.解：设这个两位数的个位数字为 则十位数字为： 则＜＜， ＜＜， ＜＜， ＜＜，为非负整数，或 所以这个两位数为：64和75.故答案为：64和75.【点睛】本题考查的是数字问题，一元一次不等式组的应用，准确理解题意列出不等式组是解题的关键，注意这里未知数的值为非负整数.16．某车间经过技术改造每天生产的汽车配件比原来多10个，因而8天生产的配件超过200个，第二次技术改造后，每天又比第一次技术改造后多做配件27个，这样只做了4天，所做配件个数就超过了第一次改造后8天所做配件的个数．则这个车间原来每天生产配件________个．【答案】16【解析】【分析】设原来每天生产配件x个，分别用x表示出第一次技术改造后与第二次技术改造后每天做的数量，再根据数量关系列出不等式组求解．解：设原来每天生产配件x个，根据题意，得，解得.是整数，x的值为16.故答案为：16．【点睛】本题考查了不等式组的应用，理解题意，根据数量关系建立不等式组是解题的关键．17．某商家需要更换店面的地砖，商家打算用1500元购买单色和彩色两种地砖进行搭配，并且把1500元全部花完．已知每块单色地砖15元，每块彩色地砖25元，根据需要，购买的单色地砖数要超过彩色地砖数的3倍，并且单色地砖数要少于彩色地砖数的4倍，那么符合要求的一种购买方案是_______．【答案】购买单色地砖65块，彩色地砖21块（或购买单色地砖70块，彩色地砖18块）【解析】【分析】设购买单色地砖x块，则购买彩色地砖（60−x）块，根据“购买的单色地砖数要超过彩色地砖数的3倍，并且单色地砖数要少于彩色地砖数的4倍”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x，（60−x）均为正整数，即可得出各购买方案，任取其中的一种购买方案即可得出结论．解：设购买单色地砖x块，则购买彩色地砖块，依题意得：，解得：，又∵x，（60−x）均为正整数，∴x＝65或70．当x＝65时，；当x＝70时，．∴共有两种购买方案：方案1：购买单色地砖65块，彩色地砖21块；方案2：购买单色地砖70块，彩色地砖18块．故答案为：购买单色地砖65块，彩色地砖21块（或购买单色地砖70块，彩色地砖18块）．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．18．某咖啡店提供三种咖啡，其对应两种容量的价格如下表所示：咖啡店开展回馈活动，凡自备容器购买咖啡者，每种中杯咖啡价格可减免2元、大杯咖啡价格可减免5元．请根据上述信息，回答下列问题：（1）店长收到顾客反映，有的咖啡品种在自备容器后，同种大杯咖啡的每毫升价格还是比中杯的贵，请问是表中的______品种（填“”，“”或“”）；（2）若要让所有咖啡品种在自备容器后，同种大杯咖啡的每毫升价格都比中杯的便宜，则应将大杯咖啡的价格至少减免______元（减免的钱数为整数）．【答案】     B     8【解析】【分析】（1）分别计算每种咖啡每毫升的单价，再比较大小即可；（2）设大杯的折扣都至少改成x元，分对于A，B，C三种品牌，分别列不等式，求解x的取值范围，再取三个不等式解集的公共部分，再确定最小整数解即可．解：（1）自备容器购买咖啡者，对于A：中杯每毫升的价格为： 大杯每毫升的价格为 所以中杯的比大杯的贵，对于B：中杯每毫升的价格为： 大杯每毫升的价格为 所以大杯的比中杯的贵，对于C：中杯每毫升的价格为： 大杯每毫升的价格为 所以中杯的比大杯的贵，故选B（2）设大杯的折扣都至少改成x元，由（1）可得自备容器购买咖啡者，对于A：中杯每毫升的价格为：（元），则 解得： 由（1）可得自备容器购买咖啡者，对于B：中杯每毫升的价格为：（元），则 解得： 由（1）可得自备容器购买咖啡者，对于C：中杯每毫升的价格为：（元），则 解得： 综上：要让所有咖啡品种在自备容器后，同种大杯咖啡的每毫升价格都比中杯的便宜，则 又x为整数，则x的最小整数值为 故答案为：8【点睛】本题考查的是有理数的混合运算的实际应用，一元一次不等式的应用，理解题意，确定不等关系是解本题的关键．三、解答题19．水果店购进一箱橘子需要a元，已知橘子与箱子的总质量为，箱子的质量为，为了不亏本，这箱橘子的零售价至少应定为每千克多少元？【答案】这箱橘子的零售价至少定为每千克元．【解析】【分析】根据题意，可以列出相应的不等式，从而可以求得零售价的取值范围，本题得以解决．解：设这箱橘子的零售价定为x元，（m-n）x≥a，解得，x≥，答：这箱橘子的零售价至少定为每千克元．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式，求出零售价的最小值．20．某弹簧测力计的测量范围是0至，小明未注意弹簧测力计的测量范围，用弹簧测力计测量了一个物体，取下物体后，发现弹簧没有恢复原状．你知道这个物体的重力在什么范围吗？【答案】这个物体的重力大于．【解析】【分析】根据已知得出弹簧测力计的测量范围是0至，再根据已知用弹簧测力计测量一个物体，取下物体后，发现弹簧没有恢复原状得出答案即可．解：∵弹簧测力计的测量范围是0至，用弹簧测力计测量一个物体，取下物体后，发现弹簧没有恢复原状，∴这个物体的重力大于．【点睛】本题考查了不等式的定义，能根据题意得出不等式是解此题的关键．21．某班同学去春游花了230元包租了一辆客车，如果参加春游的同学每人交7元钱租车费，还不太够，怎样表示出上述关系？【答案】设参加春游的同学为x人，则．【解析】【分析】本题是关于不等式的题,根据“每人交7元钱租车费，还不太够”，可得参加春游的同学的人数乘以7 <230，列出不等式即可．解:设参加春游的人数为x,根据题意,得7x＜230.【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，理解题意找到关系式是解题的关键.22．小明利用课余时间回收废品,将卖得的钱去购买5本大小不同的两种笔记本,要求共花钱不超过28元,且购买的笔记本的总页数不低于340页,两种笔记本的价格和页数如下表.为了节约资金,小明应选择哪一种购买方案?请说明理由.【答案】购买1本大笔记本和4本小笔记本；理由见详解.【解析】【分析】设买大笔记x本，根据共花钱不超过28元，且购买的笔记本的总页数不低于340页，列不等式组；解不等式组，根据x取正整数即可得到满足题意的x值，进而可得不同的方案，再结合表格中的单价进行计算，得到不同方案所对应的花费，然后比较即可求出节约资金的一种方案．解:设小明购买大笔记本x本,则购买小笔记本(5-x)本.根据题意,得解不等式组,得1≤x≤3,故整数解有1,2,3,∴小明的购买方案共有三种:第一种:大笔本1本,小笔记本4本,需花费资金1×6+4×5=26(元);第二种:大笔记本2本,小笔记本3本,需花费资金2×6+3×5=27(元);第三种:大笔记本3本,小笔记本2本,需花费资金3×6+2×5=28(元).∵26<27<28,∴小明应选择第一种购买方案,即购买1本大笔记本和4本小笔记本.故答案为购买1本大笔记本和4本小笔记本；理由见详解.【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用.23．某地为促进淡水养殖业的发展，决定对淡水鱼的养殖提供政府补贴，以使淡水鱼的价格控制在6~12元之间．据市场调查，如果淡水鱼的市场价格为a元，政府补贴为t元，那么要使每日市场的淡水鱼供应量与需求量正好相等，t与a应满足关系式．为使市场价格不高于10元，政府补贴至少应为多少？【答案】政府补贴至少应为0.4元【解析】【分析】先将t与a应满足关系式100（a＋t−8）＝270−3a化为，然后根据市场价格，列出不等式求出最小值．提示：由题设，解得，根据题意，得．解：∵t与a应满足关系式100（a＋t−8）＝270−3a，∴，则有，解得：0.4≤t≤4.52．答：政府补贴至少应为0.4元/kg．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，列出不等式组，求解不等式．24．某镇组织20辆汽车装运A,B,C三种脐橙共100 t到外地销售.按计划,20辆汽车都要装运,每辆汽车只能装运同一种脐橙,且必须装满,根据下表提供的信息,解答以下问题.(1)设装运A种脐橙的车辆数为x,装运B种脐橙的车辆数为y,求y与x之间的关系式.(2)如果装运每种脐橙的车辆都不少于4辆,那么车辆的安排方案有几种?写出所有的安排方案.【答案】(1) y=-2x+20；(2)有5种，所有的安排方案见详解.【解析】【分析】（1）设装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，利用共有20辆车可表示出装运C种脐橙的车辆数为（20-x-y）辆，再利用三种脐橙共100吨，可列得二元一次方程为6x+5y+4（20-x-y）=100，然后用含x的式子表示y；（2）利用装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆分别列不等式，然后解不等式组，再写出整数x的值即可得到方案解:(1)根据题意,装运A种脐橙的车辆数为x,装运B种脐橙的车辆数为y,那么装运C种脐橙的车辆数为(20-x-y),则有6x+5y+4(20-x-y)=100,整理得y=-2x+20.(2)由(1)知装运A,B,C三种脐橙的车辆数分别为x,-2x+20,x.由题意,得-2x+20≥4,解得x≤8.又因为x≥4,且x取正整数,所以x的值为4,5,6,7,8,所以安排方案共有5种.方案一:装运A种脐橙的汽车4辆,B种脐橙的汽车12辆,C种脐橙的汽车4辆;方案二:装运A种脐橙的汽车5辆,B种脐橙的汽车10辆,C种脐橙的汽车5辆;方案三:装运A种脐橙的汽车6辆,B种脐橙的汽车8辆,C种脐橙的汽车6辆;方案四:装运A种脐橙的汽车7辆,B种脐橙的汽车6辆,C种脐橙的汽车7辆;方案五:装运A种脐橙的汽车8辆,B种脐橙的汽车4辆,C种脐橙的汽车8辆.故答案为(1) y=-2x+20；(2)有5种，所有的安排方案见详解.【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用.25．为了对学生进行爱国主义教育，某校组织学生去看演出，有甲乙两种票，已知甲乙两种票的单价比为4：3，单价和为42元.（1）甲乙两种票的单价分别是多少元？（2）学校计划拿出不超过750元的资金，让七年级一班的36名学生首先观看，且规定购买甲种票必须多于15张，有哪几种购买方案？【答案】（1）甲乙两种票的单价分别是24元、18元；（2）①甲种票买16张，乙种票买20张； ②甲种票买17张，乙种票买19张，【解析】【分析】（1）设甲票价为4x元，乙为3x元，根据单价和为42元得到x的一元一次方程，解方程得x的值，然后分别计算4x与3x即可；（2）设甲种票有y张，则乙种票（36-y）张，根据购买的钱不超过750元和购买甲种票必须多于15张得到两个不等式，求出它们的公共部分，然后找出其中的整数，即可得到购买方案．解：（1）设甲票价为4x元，乙为3x元，∴3x+4x=42，解得x=6，∴4x=24，3x=18，所以甲乙两种票的单价分别是24元、18元；（2）设买甲种票a张，则买乙种票（36-a）张，，解得：15＜a≤17，∴a取16、17，所以有两种购买方案：甲种票16张，乙种票20张；甲种票17张，乙种票19张．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系或不等关系，列出方程或不等式组是解题的关键.26．小康放学回家后，问爸爸、妈妈火箭队与太阳队篮球比赛的结果，爸爸说：“本场比赛太阳队的奥尼尔比火箭队的姚明多得了12分”，妈妈说：“姚明得分的两倍与奥尼尔得分的差大于10；奥尼尔得分的两倍比姚明得分的3倍还多”，爸爸又说：“姚明得分超过20分，则火箭队赢，否则太阳队赢”．请你帮小康分析一下，究竟是哪个队赢了，本场比赛姚明、奥尼尔各得了多少分？【答案】火箭队赢了，姚明得了23分，奥尼尔得了35分【解析】试题分析：设本场比赛姚明得了分，则奥尼尔得分为 找出题目中的不等关系列出不等式,求解即可.试题解析：设本场比赛姚明得了分，则奥尼尔得分为 根据题意得： 解得： ∵是整数， ∴火箭队赢了，姚明得了23分，奥尼尔得了35分.27．现有A，B两种商品，买2件A商品和1件B商品用了90元，买3件A商品和2件B商品用了160元．（1）求A，B两种商品每件各是多少元？（2）如果小亮准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过350元，但不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？【答案】(1) A商品每件20元，B商品每件50元;(2) 有两种购买方案，购买A商品6件，B商品4件费用最低．【解析】（1）设A商品每件x元，B商品每件y元，根据关系式列出二元一次方程组．（2）设小亮准备购买A商品a件，则购买B商品（10﹣a）件，根据关系式列出二元一次不等式方程组．求解再比较两种方案．解：（1）设A商品每件x元，B商品每件y元，依题意，得，解得．答：A商品每件20元，B商品每件50元．（2）设小亮准备购买A商品a件，则购买B商品（10-a）件，解得，根据题意，a的值应为整数，所以a=5或a=6．方案一：当a=5时，购买费用为20×5+50×（10-5）=350元；方案二：当a=6时，购买费用为20×6+50×（10-6）=320元；∵350＞320∴购买A商品6件，B商品4件的费用最低．答：有两种购买方案，方案一：购买A商品5件，B商品5件；方案二：购买A商品6件，B商品4件，其中方案二费用最低．“点睛”此题主要考查二元一次方程组及二元一次不等式方程组的应用，根据题意得出关系式是解题关键．28．我市某商场型冰箱的售价是2190元，每日耗电量为1千瓦·时，最近商场又进回一批型冰箱，其售价比型冰箱高出10%，但每日耗电量为0.55千瓦·时．为了减少库存，商场决定对型冰箱降价销售．请解答下列问题：（1）已知型冰箱的进价为1700元，商场为保证利润率不低于3%，试确定型冰箱的降价范围；（利润率）（2）如果只考虑价格与耗电量，那么商场将型冰箱的售价打几折时，消费者购买两种冰箱才一样合算．（两种冰箱的使用期均为10年，每年365天，每千瓦时电费按0.4元计算）【答案】（1）大于0元，小于或等于439元；（2）折【解析】【分析】（1）设应降价x元，依题意得3%≤ ＜，解不等式组，即可求得取值范围；（2）设将A型冰箱的售价打y折时，消费者购买两种冰箱才一样合算，依题意得2190• ＋3650×0.4×12190（1＋20%）＋3650×0.4×0.55，解不等式即可．解：（1）设应降价x元，依题意得3%≤ ＜，解不等式组得0＜x≤439，所以A型冰箱的降价范围是0＜x≤439；（2）设将A型冰箱的售价打y折时，消费者购买两种冰箱才一样合算，依题意得2190•＋3650×0.4×12190（1＋10%）＋3650×0.4×0.55，解之得y8，所以将A型冰箱的售价打8折时，消费者购买两种冰箱一样合算．【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．准确的找到不等关系列不等式是解题的关键．29．在近期“抗疫”期间，某药店销售、两种型号的口罩，已知销售800只型和450只型的利润为210元，销售400只型和600只型的利润为180元．（1）求每只型口罩和型口罩的销售利润；（2）该药店计划一次购进两种型号的口罩共2000只，其中型口罩的进货量不少于型口罩的进货量且不超过它的3倍，设购进型口罩只，这2000只口罩的销售总利润为元．①求关于的函数关系式，并求出自变量的取值范围；②该药店购进型、型口罩各多少只，才能使销售总利润最大？【答案】（1）元，元；（2）①；②只，只【解析】【分析】（1）首先设出每只型口罩的利润为元、每只型口罩的利润为元，分析题意找到等量关系式，列出方程组解答即可得解；（2）①根据题意列出关于自变量的不等式组，解不等式组可得其取值范围，再根据题意可列出关于的函数关系式即可得解；②结合①中的结论根据一次函数的增减性进行解答即可．解：（1）设每只型口罩的利润为元，每只型口罩的利润为元，根据题意得：解得答：每只型口罩的利润为元，每只型口罩的利润为元．（2）①∵根据题意得：∴的取值范围是∵根据题意得：∴关于的函数关系式为：．②∵关于的函数关系式为：∴∴随的增大而减小∴当取最小值时，可取利润最大值∵的取值范围是∴，答：该药店购进型、型口罩分别为只、只时，才能使销售总利润最大．【点睛】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是认真审题能根据已知条件找到等量或不等量关系、能利用函数的增减性和自变量取值范围求最值．30．某公司推出一款桔子味饮料和一款荔枝味饮料，桔子味饮料每瓶售价是荔枝味饮料每瓶售价的倍．4月份桔子味饮料和荔枝味饮料总销售60000瓶，桔子味饮科销售额为250000元，荔枝味饮料销售额为280000元．(1)求每瓶桔子味饮料和每瓶荔枝味饮料的售价？(2)五一期间，该公司提供这两款饮料12000瓶促销活动，考虑荔枝味饮料比较受欢迎，因此要求荔枝味饮料的销量不少于桔子味饮料销量的；不多于枯子味饮料的2倍．桔子味饮料每瓶7折销售，荔枝味饮料每瓶降价2元销售，问：该公司销售多少瓶荔枝味饮料使得总销售额最大？最大销售额是多少元？【答案】(1)每瓶桔子味饮料的售价为10元，每瓶荔枝味饮料的售价为8元；(2)当m＝7200时，销售额最大，w最大值是76800元【解析】【分析】（1）找到题中等量关系，根据等量关系列分式方程求解即可；（2）根据题中不等关系列出不等式组求出解集，再列出销售数量与销售额的函数关系式，在求出的解集的范围内求销售额的最大值即可．(1)解：设每瓶荔枝味饮料的售价为x元，则每瓶桔子味饮料的售价为元，依题意，得：，解得：x＝8，经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意，∴＝10（元），答：每瓶桔子味饮料的售价为10元，每瓶荔枝味饮料的售价为8元．(2)解：设销售荔枝味饮料m瓶，则销售桔子味饮料（12000﹣m）瓶，依题意，得：，解得：7200≤m≤8000，设总销售额w元，则∵w是m的一次函数，且k＝﹣1＜0∴当m＝7200时，销售额最大，w最大值是76800元【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、不等式组的应用和一次函数求最值的应用问题，能找出等量关系和不等关系列出分式方程和不等式组是做出本题的关键．方案施工内容施工费用（含材料费）基本方案安装90支日光灯管45000元省电方案安装120支日光灯管60000元咖啡品种中杯（）大杯（）30元/杯45元/杯34元/杯55元/杯45元/杯65元/杯大笔记本小笔记本价格(元/本)65页数(页/本)10060脐橙品种ABC每辆汽车运载量/t654