第1讲有理数-北师大版暑假课程七年级数学上册讲义

第1讲  有理数

考点思维图

第1节>>>有理数的概念

（1）特点

 ①必须有具体数量；②两个量必须是同类量；③与一个量具有相反意义的量不止一个.

（2）常见的有相反意义的概念

 如果向北走6步记作+6步，那么向南走8步记作（    ）.【答案：B】

 A. +8步   B. -8步   C. +14步   D. -2步

 一袋大米标准质量为5千克，超过5千克记作正，不足5千克记为负，如：5.2千克记作+0.2千克，4.7千克记作-0.3千克，那么4.9千克应记作（    ）千克.

 A. +4.9    B. -4.9    C. +0.1   D. -0.1

【答案：D】

练习

1. 下列各组量中，具有相反意义的量是（    ）【答案：C】

 A. 节约汽油10升和浪费粮食   B. 向东走8公里和向北走8公里

 C. 收入300元和支出100元   D. 身高1.8米和身高0.9米

2. 下列各对量中，不具有相反意义的是（    ）【答案：C】

 A. 气温升高3℃与气温下降4℃  B. 收入9000元与支出2000元

 C. 向南走1公里与向西走1公里  D. 转盘逆时针转3圈与顺时针转5圈

3. 如果零上5℃记作+5℃，那么零下5℃记作（    ）【答案：C】

 A. -5    B. -10    C. -5℃   D. -10℃

（1）正数与负数的来源背景

 为了表示具有相反意义的量，我们把其中一个量规定为正的，用正数表示；把与这个量意义相反的量规定为负的，用负数表示.

（2）正数与负数的概念

 ①正数：像6，+3，+0.33，0.16等的数，叫做正数.在小学学过的数，除0外都是正数，

 ②负数：像-1，-3，-0.11，-0，36等在正数前加上“-”（读作负）号的数，叫做负数.

（3）精准理解

 ①正数就是大于0的数；

 ②负数都是小于0的数；

 ③0既不是正数也不是负数.

 在-0.5，-100，-，+0.3，，0，-7.16中，负数的个数为（    ）个.【答案：B】

 A. 3    B. 4    C. 5    D. 6

练习

1. 在-1，0.6，7，0，+6.12中，正数的个数一共有_________个.【答案：3】

2. 在﹣1，0，0.2，，3中，正数的个数一共有__________个．【答案：3】

3. 下列各数中，负数是（    ）.【答案：B】

 A. 34    B. -    C. 0    D. 2

（1）按有理数的定义进行分类

（2）按有理数的符号进行分类

 -4.5，6，0，2.4，π，，-0.313，3.14，-11以上各数中，____________属于负数，

 _____________属于非正数，______________属于非负有理数.

【答案：-4.5，，-0.313，-11；-4.5，0，，-0.313，-11；6，0，2.4，3.14】

 1是（    ）.【答案：B】

 A. 最小的整数  B. 最小的正整数 C. 最小的自然数 D. 最小的有理数

练习

1. 在15，-，0.15，-30，-12.8，中，负分数的个数是（    ）【答案：B】

 A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

2. 判断下列说法正确与否？【答案：从上到下是√××√】

   （    ）一个有理数不是整数就是分数   （    ）一个有理数不是正数就是负数

   （    ）一个整数不是正的就是负的   （    ）一个分数不是正的就是负的

3. 把下列各数填入表示它所在的数集的大括号里：

-21%，-6，-，0，，-2021，3.14，+4，

 正整数集合{_______________________________…};

 负分数集合{_______________________________…};

 有理数集合{_______________________________…}.

【答案】

正整数：+4   负分数：-21%，-，，-2021

有理数：-21%，-6，-，0，，-2021，3.14，+4

第2节>>>数轴与相反数

（1）数轴的概念

 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.

（2）数轴的三要素

 ①原点；②正方向；③单位长度.

（3）精准理解

 ①在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.

 ②正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数.

（4）示意图

 点A表示的数是-2，点B表示的数是2，点C表示的数是0……

 下列直线是数轴的是（    ）【答案：A】

 A.    B.

 C.   D.

                     解析过程

 指出如图所示的数轴上A、B、C、D、E、O各点分别表示什么数.

【答案】A是-2.5，B是1.5，C是3.5，D是-5，O是0.

 有理数在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是（    ）【答案】A

 A.    B.    C.    D.

练习

1. 如图所示，点M表示的数是（    ）【答案】C

 A. 2.5    B. -1.5   C. -2.5   D. 1.5

2. 请把下面不完整的数轴画完整，并在数轴上标出下列各数：-3，，4.

【答案】

（1）相反数的概念

 只有符号不同的两个数，称其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数.

（2）精准理解

 ①0的相反数是0；②相反数是成对出现的，不能单独存在；③相反数只有符号不同，其余完全相同.

（3）相反数的几何意义

 一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等.

（4）求解相反数

 求一个数的相反数，只要在这个数的前面填上“-”（负号）；

 求一个式子的相反数，需要改变式子中每个数的符号；

 一个减法的式子求相反数，需要把减数和被减数互换.

 下列互为相反数的是（    ）【答案】D

 A. -8和8.5  B. 和0.5  C. 0    D. 和0.125

练习

（1）8的相反数是_________，-8的相反数是_________；【答案】-8；8

（2）字母的相反数可以表示为_________，的相反数是_________；【答案】；

（3）-（-6）表示_____________________，等于________；【答案】-6的相反数；6

（4）-（+5）＝__________，-[-（-3）]＝__________.【答案】-5；-3

 有理数在数轴上的对应点的位置如图，把按从小到大的顺序排列（    ）

 A.       B.

 C.       D.

【答案】C

练习

1. 数轴上的点A到原点的距离是5，则点A表示的数为 （    ）【答案】C

 A．-5    B．5    C．5或-5   D．2.5或-2.5

2. 下列说法正确的是（    ）【答案】C

 A. 一个数的相反数一定是负数   B. 和3.14互为相反数

 C. 所有的有理数都有相反数   D. 13和31互为相反数

3. 如下图所示，数轴（单位长度为1）上有三个点A，B，C.若点A、B对应的数互为相反数，则图中点C对应的数是（    ）【答案】A

 A. 1    B. 0    C. -2    D. -1

4. 在下面给出的数轴中，回答下面的问题：

（1）A、B之间的距离是_________；

（2）观察数轴，与点A的距离为5的点表示的数是：_________；

（3）若将数轴折叠，使点A与-3表示的点重合，则点B与数_______表示的点重合；

（4）若数轴上M、N两点之间的距离为2012（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M、N两点表示的数分别是：M＝_________，N＝_________．

                     解析过程

【答案】（1）3；（2）6或-4；（3）0；（4）-1007，1005

限时训练

1．如果体温上升记作，那么体温下降记作（    ）

 A．0℃   B．+0.5℃   C．-0.5℃    D．-1℃

【答案】C

2．一种巧克力的质量标识为“100±0.5克”，则下列质量合格的是（    ）

 A．95克  B．99.8克   C．100.6克   D．101克

【答案】B

3．下面表示数轴的图中，正确的是（    ）

 A．   B．

 C．   D．

【答案】A

4．把下列各数填在相应的括号内：

-19，2.3，-12，-0.92，，0，，0.563，π

 正数集合：{_______________________________...}；

 负数集合：{_______________________________...}；

 负分数集合：{_______________________________...}；

 非正整数集合：{_______________________________...}．

【答案】

正数：2.3，，0.563，π   负数：-19，-12，-0.92，

负分数：-0.92，    非正整数：-19，-12，0

5．已知下列有理数：-（-3）、-4、0、+5、

（1）这些有理数中，整数有_______个，非负数有________个．

（2）画数轴，并在数轴上表示这些有理数．

（3）把这些有理数用“＜”号连接起来．

_________________________________________________

【答案】（1）4,3；（2）略（3）-4＜＜0＜-（-3）＜+5

课后练习

1．下列说法中，正确的是（    ）【答案】B

 A．没有最大的正数，但有最大的负数

 B．最大的负整数是-1

 C．有理数包括正有理数和负有理数

 D．一个有理数的平方总是正数

2．如果存入1000元表示为+1000元，则-300元表示___________．

【答案】取出300元，或，支出300元

3．点A在数轴上表示+2，从点A沿数轴向左平移5个单位到点B，点B表示的数是________.【答案】-3

4．相反数等于它本身的数是________．【答案】0

5．把下列各数填入相应的大括号内：

-13，0.1，-2.23，+27，0，，-15％，，

 正数集{____________________...}，负数集{____________________...}，

 分数集{____________________...}，非负整数集{____________________...}．

【答案】

正数：0.1，+27，      负数：-13，-2.23，，-15％，

分数：0.1，-2.23，，-15％，，  非负整数：+27，0

6．下列说法正确的是（    ）【答案】D

 A．一个数前面加上“”号，这个数就是负数 

 B．π是分数 

 C．若是正数，则不一定是负数 

 D．零既不是正数也不是负数