初一数学秋季讲义第11讲角的计算与证明

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这是一份初一数学秋季讲义第11讲角的计算与证明，共12页。
原来如此！！！ 1. 角的定义、表示方法、分类．2. 角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，这条射线叫做这个角的角平分线．3. 余角和补角余角：如果两个角的和等于，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．补角：如果两个角的和等于，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．两个基本定理：① 同角（或等角）的余角相等．②同角（或等角）的补角相等．注意：暑期班提及过余角、补角、角分线相关知识但只是简单介绍，本讲深入了解，并让学生熟练掌握．对于角的基本概念、分类和表示方法等相关知识这里不再重复讲解，建议教师根据班级情况自行讲解. 【例1】 ⑴ 如果，而与互余，那么与的关系为（　　）A．互余 B．互补 C．相等 D．不能确定 ⑵ 已知是锐角，与互补，与互余，则的值等于（　　）A． B． C． D． ⑶如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：① ；②；③ ；④ ．正确的有（　　）A． 4个 B．3个 C．2个 D．1个 ⑷ 一个角的余角的倍和它的补角的互为补角，求这个角的度数．【解析】 ⑴ C；同角或等角的余角相等；⑵C；一个角的补角与这个角的余角的差等于90°；⑶B；⑷ 设这个角的度数为，则它的余角为，补角为，由题意，得：，解得：．【铺垫】⑴ 下列说法：①锐角的补角一定是钝角；②一个角的补角一定大于这个角；③如果两个角是同一个角的余角，那么它们相等；④锐角和钝角互补．其中正确的说法有（）A． 4个 B．3个 C．2个 D．1个⑵ 下列说法中，正确的是（　　）A．一个角的补角必是钝角B．两个锐角一定互为余角C．直角没有补角D．如果，那么，，三点在一条直线上⑶ 下列语句正确的是（　　）A．钝角与锐角的差不可能是钝角 B．两个锐角的和不可能是锐角 C．钝角的补角一定是锐角 D．和互补（），则是钝角或直角【解析】 ⑴ C; ⑵ D;⑶C. 【备选】⑴ 若一个角的余角是，则这个角是（）A． B． C． D．⑵ 互为补角的两个角度比是，这两个角是（　　）A．， B．， C．， D．，⑶ 对于互补的下列说法中：①∠A+∠B+∠C=90°，则∠A、∠B、∠C互补；②若∠1是∠2的补角，则∠2是∠1的补角；③同一个锐角的补角一定比它的余角大90°；④互补的两个角中，一定是一个钝角与一个锐角．其中，正确的有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个⑷如图，，，在一条直线上，是锐角，则的余角是（）A． B．C． D．【解析】⑴ B；⑵ A；⑶B；⑷C.【总结】复习余角与补角的基本概念【例2】 ⑴ 如右图，已知直线、相交于点，平分，若，则的度数是（）A． B． C． D． ⑵ 如右图，分别在长方形ABCD的边DC、BC上取两点E、F，使得AE平分∠DAF，若∠BAF = 60°，则∠DAE =（）． A．15° B．30° C．45° D．60° (东城区期末） ⑶ 如右图，平分，平分，若，，求 . 【解析】 ⑴ C；⑵ A；⑶．【例3】如图所示，是的平分线，是的平分线，⑴ 如果，，求出的度数；⑵ 如果，求出的度数；⑶ 如果的大小改变，的大小是否随之改变?它们之间有怎样的大小关系?请写出来.【解析】 ⑴ ∵平分∴∵平分∴∵∴∴；⑵ 同上；⑶ 的大小改变时的大小也随之改变当时，．当时，. 【拓展】已知点是直线上的一点，，是的平分线．①当点，，在直线的同侧（如图1所示）时．试说明；②当点与点，在直线的两旁（如图2所示）时，①中的结论是否仍然成立？请给出你的结论并说明理由；③将图2中的射线绕点顺时针旋转，得到射线．设，若，则的度数是　　（用含的式子表示）．【解析】 ①设，则，∵是平分线，∴，∴，即；②解：成立，设，则，∴，∴；③解：，故答案为：．定义示例剖析角度计算的分类讨论在平面上，已知角的一边和角度大小则角的另一边因为旋转有两种方向会产生不确定性．角的计数问题在计算角的个数时一种方法是按一定顺序累加，固定角的一边，数出另一边共有多少个．另一种方法是使用排列组合知识．【例4】 ⑴ 一条射线，从点再引两条射线与，使，，则．⑵ 已知，从点引射线，若，求与的平分线所成的角的度数为．⑶ 若，，，求的度数．【解析】 ⑴ 或；⑵ 当在⑴区域，所求的角度数为；当在⑵区域，所求的角度数为；当在⑶⑷⑸区域，不符合．（不考虑优角） ⑶分四种情况如图1，= 如图2，= 如图3，= 如图4，= 【例5】如下图，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有个角；画2条射线，图中共有个角；画3条射线，图中共有个角，求画条射线所得的角的个数．【解析】 3,6，10，【拓展】已知直角，以为顶点，在的内部画出100条射线，则以、及这些射线为边的锐角共有多少个？若以为项点，在的内部画出条射线（的自然数），则、以及这些射线为边的锐角共有多少个？【解析】个，【提示】在的内部，以为顶点，画1，2，3，4条射线，数数各有多少个锐角，找出规律，再计算100条射线、条射线所构成的锐角的个数． 1. 方位角方位角一般以正北、正南为基准，描述物体运动方向.即“北偏东度”、“北偏西度”、“南偏东度”、“南偏西度”，方位角的取值范围.2. 钟表问题: ⑴ 分针每分钟转⑵ 时针每分钟转【例6】 ⑴ 如右图所示，下列说法中错误的是（）A．的方向是北偏西B．的方向是南偏西C．的方向是南偏东D．的方向是北偏东（西城区期末） ⑵ 如左下图所示的正方形网格中，． ⑶ 如右下图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点，则． ⑷ 如图，将两块三角板的直角顶点重叠在一起． ① 如图1，若，则 °　如图2，若，则 °如图3，若，则 °② 如图4，若，猜想与的数量关系为：（用式子表示）, 证明你的结论．【解析】 ⑴ D；⑵利用对称性得； ⑶；⑷ ①，，． ② ．证明：,, ∴, ∴ ．【例7】饭后，韩老师准备外出散步，出发时看了一下钟，时间是点多，时针与分针成角，散完步后回家，韩老师又看了一下钟，还不到点，而时针与分针又恰好成角，问韩老师外出多少分钟？【解析】钟表上相邻两个数字之间有个小格，每个小格表示分钟，如与角度联系起来，每小格，秒针每分钟转过，分针每分钟转过，时针每分钟转过．设小明外出时，时间为点分，又设小明回家时是点分．由题意得，，解得，．【备选】⑴,都是钝角，甲、乙、丙、丁计算，的结果依次为，，，，其中有正确的结果，则计算一定正确的是（　　）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁⑵已知、、中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算的值时，有三位同学分别计算出了、、这三个不同的结果，其中有一个是正确答案，则______.【解析】 ⑴ A；⑵．因为，故，所以三个结果中是正确的，所以．训练1. ⑴下列图中的角表示方法正确的个数有 ( ) A．个 B．个 C．个 D．个⑵把换算成度、分、秒的结果是．⑶用度表示；⑷计算 ____________.⑸计算 = ．【解析】 ⑴B；⑵；⑶；⑷；⑸ . 训练2. 如图，，OE平分，OF平分，比的4倍少，则（精确到秒）【解析】．训练3. 从下午13：00到当天下午13:50，时钟的分针转过的角度为度．（西城区期末）【解析】 300．训练4. 如图，OC是∠AOB的平分线，且∠AOD＝90°．⑴ 图中∠COD的余角是；⑵ 如果∠COD=，求∠BOD的度数．【解析】 ⑴，；⑵解：．因为是的平分线，所以．所以．题型一余角、补角及角分线的简单运算巩固练习【演练1】如果一个角的补角与余角的和，比它的补角与余角的差大，求这个角的余角度数．【解析】设这个角为，则它的补角和余角分别为和，，所以，所以这个角的余角的度数为．【演练2】如图，为直线上一点，，平分，．⑴ 请你数一数，图中有多少个小于平角的角；⑵ 求出的度数；⑶ 请通过计算说明是否平分．【解析】 ⑴ 图中共有个小于平角的角；⑵ ；⑶，，所以，即平分．题型二角度计算中的分类讨论巩固练习【演练3】已知，，求的度数. 【解析】等于或．【演练4】已知：、、是从点引出的三条射线，，，求．【解析】注意分情况讨论，容易得到答案：或．题型三角的综合应用巩固练习【演练5】如图，OA的方向是北偏东，OB的方向是北偏西，OD是OB的反向延长线.若OC是的平分线，则的度数为____________，OC的方向是________________. 【解析】；北偏东．【演练6】钟表在点分时，时钟上的时针与分针之间的夹角为（）A．60° B．70° C．75° D．85°（顺义区期末）【解析】 C．