2022届北京市房山区良乡中学高三模拟考试数学试题含解析

2022届北京市房山区良乡中学高三模拟考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先求解集合，再求集合的交集即可.

【详解】因为，

所以，又集合，

所以，

故选：B.

2．若z，则复数在复平面内对应的点在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】由复数除法运算法则，求出，即可求解.

【详解】，

在复平面内对应的点在第四象限.

故选:D.

【点睛】本题考查复数的代数运算及几何意义，属于基础题.

3．要得到函数的图象，只需将函数的图象

A．向左平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度

C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度

【答案】C

【解析】利用对数的运算法则先进行化简，结合函数的图象变换法则进行判断即可．

【详解】解：，

故只需将函数的图象向上平移1个单位长度，即可得到，

故选：．

【点睛】本题主要考查函数的图象与变换，结合对数的运算法则是解决本题的关键，属于基础题．

4．“函数f(x)＝sinx＋(a－1)cosx为奇函数”是“a＝1”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】首先看函数f(x)＝sinx＋(a－1)cosx为奇函数时，能否推出，反之，再看时函数f(x)＝sinx＋(a－1)cosx是否为奇函数，即可得答案.

【详解】函数f(x)＝sinx＋(a－1)cosx为奇函数,

则 ，

化简得： ，故，

当时，f(x)＝sinx是奇函数，

因此“函数f(x)＝sinx＋(a－1)cosx为奇函数”是“a＝1”充要条件，

故选:C.

5．如图所示的时钟显示的时刻为3：30，此时时针与分针的夹角为.若一个扇形的圆心角为a，弧长为10，则该扇形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出，再由弧长公式求出扇形半径，代入扇形面积公式计算即可.

【详解】由图可知，，

则该扇形的半径，

故面积.

故选：D

6．如图，正方形中,为的中点,若,则的值为(　　)

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】因为E是DC的中点，所以，∴，

∴，．

【解析】平面向量的几何运算

7．大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa，1Pa=1N/m2），大气压强（Pa）随海拔高度（m）的变化规律是（m-1），是海平面大气压强.已知在某高山两处测得的大气压强分别为，，那么两处的海拔高度的差约为（    ）

（参考数据：）

A．550m B．1818m C．5500m D．8732m

【答案】C

【分析】根据以及指数的运算即可求解.

【详解】在某高山两处海拔高度为，

所以，

所以，

所以（m）.

故选：C

8．已知抛物线的准线与圆相切，则（    ）

A．6 B．8 C．3 D．4

【答案】D

【分析】根据题意，求出圆的圆心为和半径为4，以及抛物线的准线方程，利用直线与圆相切的性质得出，即可求出的值．

【详解】由题可知，圆的圆心为，半径为4

抛物线的准线与圆相切

则有，解得：．

故选：D.

【点睛】本题考查圆的标准方程和抛物线的简单性质，以及直线与圆的位置关系的应用，是基本知识的考查．

9．把函数的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的一个可能值为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】∵函数

∴函数

∴把函数的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数解析式为.

∵函数

∴

∴

∴当时，

故选D.

10．A、B两种品牌各三种车型2017年7月的销量环比(与2017年6月比较)增长率如下表：

根据此表中的数据，有如下关于7月份销量的四个结论:①A1车型销量比B1车型销量多；②A品牌三种车型总销量环比增长率可能大于14.70%；

③B品牌三款车型总销量环比增长率可能为正；

④A品牌三种车型总销量环比增长率可能小于B品牌三种车型总销量环比增长率．

其中正确结论的个数是

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据表中数据，对关于7月份销量的四个结论，分析正误即可．

【详解】解：根据表中数据，对关于7月份销量的四个结论：

对于①，A1车型销量增长率比B1车型销量增长率高，但销量不一定多，①错误；

对于②，A品牌三种车型中增长率最高为14.70%，

所以总销量环比增长率不可能大于14.70%，②错误；

对于③，B品牌三款车型中有销量增长率为13.25%，

所以它的总销量环比增长率也可能为正，③正确；

对于④，由题意知A品牌三种车型总销量环比增长率，

也可能小于B品牌三种车型总销量环比增长率，④正确；

综上所述，其中正确的结论序号是③④．

故选B．

【点睛】本题考查了合情推理与命题真假的判断，也考查了销售量与增长率的应用问题，是基础题．

二、填空题

11．已知双曲线，则渐近线方程为______；离心率e为______.

【答案】         

【解析】由已知得双曲线的焦点在轴上，故其渐近线方程为，离心率

【详解】由已知得双曲线的焦点在轴上，，

故其渐近线方程为，即，

离心率.

故答案为：①，②

12．已知展开式中的系数为，则实数a的值为_____.

【答案】-3

【分析】利用二项式定理公式的展开式中的通项,再令7-2r=5，求得r，再代入求解a的值，可得结果.

【详解】因为的展开式中的通项

令7-2r=5，可得r=1

故答案为-3

【点睛】本题考查了二项式定理，公式的熟练运用是解题的关键，属于基础题.

三、双空题

13．设Sn为公比q≠1的等比数列{an}的前n项和，且3a1，2a2，a3成等差数列，则q＝_____，_____.

【答案】     3     10

【分析】利用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式求出公比q，再利用等比数列的求和公式即可求解.

【详解】Sn为公比q≠1的等比数列{an}的前n项和，且3a1，2a2，a3成等差数列，

可得4a2＝3a1+a3，

即有4a1q＝3a1+a1q2，

即q2﹣4q+3＝0，解得q＝3，

故，，

则.

故答案为：3；10.

四、填空题

14．设是定义在上的单调递减函数，能说明“一定存在使得”为假命题的一个函数是_____．

【答案】

【分析】由题意原命题为假，则命题的否定为真，结合单调性，可得结果．

【详解】一定存在使得，即，为假命题，则命题的否定为真命题，即，为真命题，又是上的单调递减函数，故设．

【点睛】本题考查特称命题的否定，属基础题．

15． 设函数

（1）如果，那么实数 ___；

（2）如果函数有且仅有两个零点，那么实数 的取值范围是___.

【答案】或4；

【详解】试题分析：由题意 ，解得或；

第二问如图：

的图象是由两条以 为顶点的射线组成，当在A,B 之间（包括不包括）时，函数和有两个交点，即有两个零点．所以 的取值范围为 ．

【解析】1.分段函数值；2.函数的零点.

五、解答题

16．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，，AA1=4，AB⊥AC，BE⊥AB1交AA1于点E，D为CC1的中点.

(1)求证：BE⊥平面AB1C；

(2)求二面角C—AB1—D的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据直三棱柱的性质可得，，进而根据线面垂直的判定与性质得到，即可证明；

（2）由（1）知两两垂直，再建立空间直角坐标系求解即可.

【详解】（1）因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，又平面，所以.

因为，，平面，所以平面.

因为平面，所以.

因为，，平面，所以平面.

（2）由（1）知两两垂直，如图建立空间直角坐标系.

则，，，.

设，所以，

因为，所以，即.

所以平面的一个法向量为.

设平面的法向量为，

所以所以即

令，则，

所以平面的一个法向量为.

所以.

由已知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.

17．在△ABC中，已知，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．

(1)求；

(2)求△ABC的面积．

条件①：；条件②：．

【答案】(1)条件选择见解析，

(2)

【分析】（1）根据所选条件，应用平方关系、和角正弦公式或正弦定理求；

（2）由所选条件，应用正余弦定理求边，再由三角形面积公式求面积即可.

【详解】（1）选①：因为，，B，，

所以，．

所以．

所以．

选②：由，，可得．

由正弦定理得．

（2）选①：由正弦定理得．

所以．

选②：由余弦定理，得．

即，解得（负值舍），

所以．

18．某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表：

满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值.假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号《晓观数学》公众号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等.

（1）从所有的回访客户中随机抽取1人，求这个客户满意的概率；

（2）若以样本的频率估计概率，从Ⅰ型号和Ⅴ型号汽车的所有客户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为，求的分布列和期望；

（3）用“”，“”，“”，“”，“”分别表示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ型号汽车让客户满意，“”，“”，“”，“”，“”分别表示不满意.写出方差，，，，的大小关系.

【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3）.

【分析】（1）设“从所有的回访客户中随机抽1人，这个客户满意”为事件.求得回访客户的总数，及满意的客户人数，从而求得概率；

（2）由题知，，设“从Ⅰ型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”为事件，“从Ⅴ型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”为事件.根据题意，估计为0.5，估计为0.2，与相互独立.从而求得、、，列出分布列，求得期望；

（3）分别求得，比较大小即可.

【详解】（1）设“从所有的回访客户中随机抽1人，这个客户满意”为事件.

由题意知，样本中的回访客户的总数是，

满意的客户人数是，

故所求概率为.

（2）.

设“从Ⅰ型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”为事件，

“从Ⅴ型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”为事件.

根据题意，估计为0.5，估计为0.2，与相互独立.

所以；

；

.

所以的分布列为

所以的期望.

（3）由题知：；

；；

；

故.

19．已知函数．

(1)若函数在点处的切线平行于直线，求切点P的坐标及此切线方程；

(2)求证：当时，．（其中）

【答案】(1)，切线方程为

(2)证明见解析

【分析】（1）由直线平行关系及导数的几何意义求切点坐标，进而写出切线方程；

（2）令，利用导数研究其在上的单调性得到恒成立，即可证结论.

【详解】（1）由题意得，，所以切线斜率，

所以，即，此时切线方程为；

（2）令，，则，

当时，，单调递增，当时，，单调递减，

又，，

所以，即恒成立，

所以当时，．

20．已知点到抛物线C：y2=2px准线的距离为2．

（Ⅰ）求C的方程及焦点F的坐标；

（Ⅱ）设点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与C交于两点A，B，直线PA，PB，分别交x轴于M，N两点，求的值．

【答案】(Ⅰ)C的方程为,焦点F的坐标为(1,0)；（Ⅱ）2

【解析】（Ⅰ）根据抛物线定义求出p，即可求C的方程及焦点F的坐标；

（Ⅱ）设点A(x1,y1),B(x2,y2),由已知得Q(−1,−2)，由题意直线AB斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y=k(x+1)−2(k≠0)，与抛物线联立可得ky2-4y+4k-8=0，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解|MF|•|NF|的值．

【详解】

(Ⅰ)由已知得，所以p=2.

所以抛物线C的方程为,焦点F的坐标为(1,0)；

(II)设点A(x1,y1),B(x2,y2),由已知得Q(−1,−2)，

由题意直线AB斜率存在且不为0.

设直线AB的方程为y=k(x+1)−2(k≠0).

由得，

则,.

因为点A,B在抛物线C上,所以

,.

因为PF⊥x轴，

所以

，

所以|MF|⋅|NF|的值为2.

【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程及直线与抛物线中的定值问题，常用韦达定理设而不求来求解，本题解题关键是找出弦长与斜率之间的关系进行求解，属于中等题.

21．若对任意的正整数，总存在正整数，使得数列的前项和，则称是“回归数列”.

（1）①前项和为的数列是否是“回归数列”?并请说明理由；

②通项公式为的数列是否是“回归数列”?并请说明理由；

（2）设是等差数列，首项，公差，若是“回归数列”，求的值；

（3）是否对任意的等差数列，总存在两个“回归数列”和，使得成立，请给出你的结论，并说明理由.

【答案】（1）①是；②是；（2）；（3）见解析.

【分析】（1）①利用公式和 ，求出数列的通项公式，按照回归数列的定义进行判断；

②求出数列的前项和，按照回归数列的定义进行判断；

（2）求出的前项和，根据是“回归数列”，可得到等式，通过取特殊值，求出的值；

（3）等差数列的公差为，构造数列，可证明

、是等差数列，再利用等差数列前项和，及其通项公式，回归数列的概念，即可求出.

【详解】（1）①当时，，

当时，，当时，，，所以数列是“回归数列”；

②因为，所以前n项和，根据题意，

因为一定是偶数，所以存在，使得，

所以数列{}是“回归数列”；

（2）设是等差数列为，由题意可知：对任意的正整数，总存在正整数，使得数列的前项和，即，取，得，解得，公差，所以，又；

（3）设等差数列=，

总存在两个回归数列，显然和是等差数列，使得，

证明如下：，

数列{}前n项和，

时，为正整数，当时，，

所以存在正整数，使得，所以{}是“回归数列”，

数列{}前n项和，存在正整数，使得，所以{}是“回归数列”，所以结论成立.

【点睛】本题考查了公式，等差数列的前项和、通项公式，考查了推理能力、数学运算能力.