北京市东城区2022届高三数学模拟测试试卷及答案

 高三数学模拟测试试卷

一、单选题

1．已知集合，，则（　　）

A． B．

C．或 D．或

2．已知，，，则a，b，c的大小关系为（　　）

A． B． C． D．

3．在的展开式中，第4项的系数为（　　）

A．-80 B．80 C．-10 D．10

4．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（　　）

A． B． C． D．

5．《周牌算经》中对圆周率有“径一而周三”的记载，已知两周率小数点后20位数字分别为14159   26535 89793   23846．若从这20个数字的前10个数字和后10个数字中各随机抽取一个数字，则这两个数字均为奇数的概率为（　　）

A． B． C． D．

6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P为C右支上一点．若的一条渐近线方程为，则（　　）

A． B． C． D．

7．已知，则“”是“”的（　　）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

8．已知点在直线上．则当变化时，实数a的范围为（　　）

A． B．

C． D．

9．已知等差数列与等比数列的首项均为－3，且，，则数列（　　）

A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项

C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项

10．如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（　　）

A．1 B． C． D．

二、填空题

11．已知复数满足，则　     　，　     　．

12．已知奇函数的定义域为R，且，则的单调递减区间为　          　；满足以上条件的一个函数是　                           　．

13．已知向量，，满足，且，，则　     　．

14．已知抛物线，为C上一点，轴，垂足为Q，F为C的焦点，O为原点．若，则　     　．

15．某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限，劳累程度，劳动动机相关，并建立了数学模型．

已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论：

①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高；

@甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高；

③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强：

④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱．

其中所有正确结论的序号是　     　．

三、解答题

16．在中，．

（1）求；

（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求c和的值．

条件①：，边上中线的长为；

条件②：，的面积为6；

条件③：，边上的高的长为2．

17．某部门为了解青少年视力发展状况，从全市体检数据中，随机抽取了100名男生和100名女生的视力数据．分别计算出男生和女生从小学一年级（2010年）到高中三年级（2021年）每年的视力平均值，如图所示．

（1）从2011年到2021年中随机选取1年，求该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的概率；

（2）从2010年到2021年这12年中随机选取2年，设其中恰有年女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值．求的分布列和数学期望：

（3）由图判断，这200名学生的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）

18．如图，平面平面，，，、分别为、的中点，，．

（1）设平面平面，判断直线l与的位置关系，并证明；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

19．已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，曲线在轴的上方，求实数a的取值范围．

20．已知椭圆的右顶点为，离心率为．过点与x轴不重合的直线l交椭圆E于不同的两点B，C，直线，分别交直线于点M，N．

（1）求椭圆E的方程；

（2）设O为原点．求证：．

21．对于数列，，…，，定义变换，将数列变换成数列，，…，，，记，，．对于数列，，…，与，，…，，定义．若数列，，…，满足，则称数列为数列．

（1）若，写出，并求；

（2）对于任意给定的正整数，是否存在数列，使得若存在，写出一个数列，若不存在，说明理由：

（3）若数列满足，求数列A的个数．

答案解析部分

1．【答案】C

2．【答案】A

3．【答案】A

4．【答案】B

5．【答案】D

6．【答案】C

7．【答案】B

8．【答案】B

9．【答案】A

10．【答案】D

11．【答案】1+2i；

12．【答案】（-1，1）；（答案不唯一）

13．【答案】-1

14．【答案】

15．【答案】①②④

16．【答案】（1）解：∵，

∴，即，

又，故，

∴；

（2）解：选①，设的中点为，在中，

由余弦定理可得，

∴，即，

解得或，

故有两组解，不合题意；

选②，由，的面积为6，

∴，

故，

由，

可得，

由，可得；

选③，∵，

∴，

∴，

又边上的高的长为2，

∴，

由，可得.

17．【答案】（1）解：由折线图可知：从2011年到2021年中，该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的共有3个；

所求概率.

（2）解：从2010年到2021年这12年中，女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值的年份有4个；

所有可能的取值为，

；；；

则的分布列为：

的数学期望.

（3）解：由折线图知：自2010年开始的连续三年男女生视力平均值接近且连续三年数据相差不大，

自2010年开始的连续三年，200名学生的视力平均值波动幅度最小，

则自2010年开始的连续三年，200名学生的视力平均值方差最小.

18．【答案】（1）证明：∵、分别为、的中点，∴在△APC中，DO∥PC，

∵DO平面BOD，PC平面BOD，∴PC∥平面BOD，

∵PC平面PBC，平面PBC∩平面BOD=l，∴根据线面平行的性质定理可知PC∥l；

（2）解：∵AB=BC，O是AC中点，∴BO⊥AC，

∵平面平面，平面平面=AC，BO平面ABC，

∴BO⊥平面APC，同理∵AP=PC，∴PO⊥AC，PO垂直平面ABC，

故OB、OC、OP三线两两垂直，故可以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系．

由题可知AC=8，AB=BC=，OA=OC=OB=4，OP=3，

则，，，，

则，，，

设平面BOD的法向量为，

则，取，则，则，

，

∴直线与平面所成角的正弦值．

19．【答案】（1）解：当时，，

∴，

∴，

∴曲线在点处的切线方程为 ；

（2）解：∵函数，

当时，由有，故曲线在轴的上方，

当时，，

由可得或（舍去），

∴当时，单调递减，当时，单调递增，

当即时，所以在上单调递增，

则，即曲线在轴的上方，

当即时，在上单调递减，在上单调递增，

则，

由时，曲线在轴的上方，

∴，解得，

所以；

综上，实数a的取值范围为.

20．【答案】（1）解：由题得

所以椭圆E的方程为.

（2）证明：要证，只需证，

只需证明只需证明

只需证明

设，只需证明只需证明.

设直线l的方程为，

联立椭圆方程得，

设，所以，

又三点共线，所以，同理，

所以，

所以

所以.

所以.

21．【答案】（1）解：由，

可得，

，

∴；

（2）解：∵，

由数列A为数列，所以，

对于数列，，…，中相邻的两项，

令，若，则，若，则，

记中有个-1，有个1，则，

因为与的奇偶性相同，而与的奇偶性不同，

故不存在适合题意的数列；

（3）解：首先证明，

对于数列，，…，，有，，…，，，

，，…，，，，，…，，，

，，…，，，，，…，，，

∵，

，

∴，

故，

其次，由数列为数列可知，，

解得，

这说明数列中任意相邻两项不同的情况有2次，

若数列中的个数为个，此时数列有个，

所以数列的个数为个.