2021-2022学年北京市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷03含解析

2022年6月北京市普通高中学业水平合格性考试

数学仿真模拟卷03

第一部分 （选择题 共60分）

一．选择题（共20小题，每小题3分，共60分）

1．已知集合，，则　　

A．， B．， C．， D．，

【答案】

【详解 】，，

，，

故选：．

2．已知复数满足，则的虚部为　　

A．2 B． C．1 D．

【答案】

【详解 】复数满足，

则，

即的虚部为，

故选：．

3．函数的定义域为　　

A．， B． C．， D．

【答案】

【详解 】，

，解得，

函数的定义域是，，

故选：．

4．在中，已知，，，则　　

A．1 B． C．2 D．3

【答案】

【详解 】因为在中，已知，，，

所以由余弦定理，可得，整理可得，

则解得或（舍去）．

故选：．

5．角的终边过点，则　　

A． B． C． D．3

【答案】

【详解 】因为角的终边过点，

所以，

则．

故选：．

6．为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，，，，，，，，分组的频率分布直方图如图．该样本数据的分位数大约是　　

A．220 B．224 C．228 D．230

【答案】

【详解】由直方图的性质可得：，

解得，

由已知，设该样本数据的分位数大约是，由，

解得，

故选：．

7．已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则　　

A． B． C． D．3

【答案】

【详解 】，

所以，

所以．

故选：．

8．某中学高一年级有200名学生，高二年级有260名学生，高三年级有340名学生，为了了解该校高中学生完成作业情况，现用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则高二年级抽取的人数为　　

A．10 B．13 C．17 D．26

【答案】

【详解 】根据题意，抽取样本的比例是，

从高二学生中应抽取的人数为．

故选：．

9．若函数是奇函数，当时，，则　　

A．2 B． C． D．

【答案】

【详解 】函数是奇函数，当时，，

则，

故选：．

10．下列函数中，定义域与值域均为的是　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解 】的定义域为，值域为，错误，

的定义域为，值域为，错误，

的定义域与值域均为，正确，

的定义域与值域均为，，，错误．

故选：．

11．已知，则“”是“”的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】

【详解 】由，且，可得和是正数，且不相等，

故有，即有，故充分性成立．

由有，可得和是正数，且不相等，即且，不能推出，故必要性不成立，

“”是“”的充分而不必要条件，

故选：．

12．函数的图像与函数的图像关于轴对称，则　　

A．2 B． C．4 D．1

【答案】

【详解 】由函数的图像与函数的图像关于轴对称，

可得，

则，

故选：．

13．已知正方体的棱长为1，为上一点，则三棱锥的体积为　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解 】如图，

．

故选：．

14．在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首．北京2022年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧．墩墩同学要从24个节气中随机选取3个介绍给外国的朋友，则这3个节气中含有“立春”的概率为　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解 】墩墩同学要从24个节气中随机选取3个介绍给外国的朋友，

基本事件总数，

这3个节气中含有“立春”包含的基本事件个数，

则这3个节气中含有“立春”的概率为．

故选：．

15．已知函数若，则实数的值为　　

A． B． C．1 D．2

【答案】

【详解 】根据题意，函数

若，则有或，

解可得；

故选：．

16．若，且，则下列不等式一定成立的是　　

A． B． C． D．

【答案】见解析【详解 】对于：当，时，选项错误；

对于，故，故错误；

对于：由于，所以，故正确；

对于：当和都为负值时，选项错误．

故选：．

17．某公司一年需要购买某种货物4800吨，每次购买吨，运费为3万元次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是　　

A．20 B．30 C．45 D．60

【答案】

【详解 】由题可得共需购买次，

则一年的总运费与总存储费用之和为，

当且仅当即时取“”，

即每次购买60吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小，

故选：．

18．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列四个命题：

①若，，则；

②若，，则；

③若，，，则；

④若，，，，，则．

其中真命题的个数是　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】

【详解 】对于①，假设，，因为，所以，又，

所以，而，所以，正确；

对于②，若，，则或，故错误；

对于③，若，，则，又，所以在平面内一定存在一条直线，使，

而，所以，，则，正确；

对于④，由面面平行的判定定理，可以判断出是正确的．

故真命题有3个．

故选：．

19．在中，，是的中点，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解 】，设，

所以

．

故选：．

20．太阳高度角是太阳光线与地面所成的角（即太阳在当地的仰角）．设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射点纬度，为当地纬度值，那么这三个量满足．通州区某校学生科技社团尝试估测通州区当地纬度值取正值），选择春分当日测算正午太阳高度角．他们将长度为1米的木杆垂直立于地面，测量木杆的影长．分为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，测量结果如下：

则四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是　　

A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组

【答案】

【详解 】如图所示，地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射点纬度，为当地纬度值，

那么这三个量满足．

当且为正值，可得，即，

设木杆的影长为，得到，

因为为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，得到影长分别为0.82，0.80，0.83，0.85，

所以当时，取得最小值，此时取得最大值，所以四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是丁组．

故选：．

第二部分 （非选择题 共40分）

二．填空题（共4小题，每小题3分，共12分）

21．函数的定义域是　  　．

【答案】

【详解 】根据题意，由，得，

所以函数的定义域为，

故答案为：，

22．下表记录了某地区一年之内的月降水量．

根据上述统计表，该地区月降水量的中位数是 　56　；分位数是 　　．

【答案】56；64

【详解 】把表中数据按照从小到大顺序排列为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71；

计算中位数是；

因为，所以分位数是第10个数据，是64．

故答案为：56；64．

23．已知向量，在正方形网格中的位置如图所示．若网格上小正方形的边长为1，则　  　．

【答案】5

【详解 】建立如图所示的坐标系，

所以，，

则．

故答案为：5．

24．如图，在棱长为1的正方体中，点、、分别为棱、、的中点，是底面上的一点，若平面，则下面的4个判断

①点的轨迹是一段长度为的线段；

②线段的最小值为；

③；

④与一定异面．

其中正确判断的序号为 　  　．

【答案】①③

【详解 】分别连接，，，，

，，

同理，，，平面平面，

平面，且是底面上的一点，点在上，

点的轨迹是一段长度为的线段，故①正确；

当为中点时，，线段最小，

最小值为，故②错误；

在正方体中，平面，

又平面，，故③正确；

当与重合时，与平行，故④错误．

故答案为：①③．

三．解答题（共4小题，每小题7分，共28分）

25．已知函数．

（1）求的最小正周期及单调递增区间；

（2）求不等式的解集．

【答案】见解析

【详解 】（1）的最小正周期为．

令，，

解得，．

故的单调递增区间为．

（2）因为，

所以，

则，，

解得，．

故不等的解集为．

26．如图，在四棱锥中，平面，，，，点为棱的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面．

【答案】见解析

【详解 】（1）证明：取中点，连接，，因为为中点，为中点，

所以，且．

又因为，且，

所以，且．

所以四边形为平行四边形，

所以，

因为平面，平面，

所以平面．

（2）因为平面，平面，

所以，

又因为，，

所以，

又，、平面，

所以平面．

27．在中，，．

（Ⅰ）求的大小；

（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．

条件①：；

条件②：；

条件③：边上的高．

【答案】见解析

【详解 】（Ⅰ）因为，，

所以，所以，

由余弦定理知，

因为，所以．

（Ⅱ）若选①，，则，即，

因为△，

所以方程无解，不符合题意；

若选②，，由正弦定理可知，即，解得，

所以，即，解得，或（舍去），

所以；

若选③，边上的高，

在中，所以，即，

所以，即，解得，或，

所以存在两解，不符合题意．

28．已知函数．

（Ⅰ）若（1），求不等式的解集；

（Ⅱ）若（1），求在区间，上的最大值和最小值，并分别写出取得最大值和最小值时的值；

（Ⅲ）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】见解析

【详解 】（Ⅰ）因为且（1），所以，解得，

所以，

由，得，即，解得，

即原不等式的解集为，；

（Ⅱ）因为（1），所以，所以，

所以，

因为，，

所以函数在，上单调递减，在，上单调递增，

所以当时函数取得最小值；当时函数取得最大值；

（Ⅲ）因为对任意，不等式恒成立，

即对任意，不等式恒成立，

即对任意恒成立，

因为，当且仅当，即时取等号；

所以，即，

所以．