2021-2022学年北京市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试题01含解析

2022年6月北京市普通高中学业水平合格性考试

数学仿真模拟卷01

第一部分 （选择题 共60分）

一．选择题（共20小题，每小题3分，共60分）

1．已知集合，0，1，，，1，2，3，4，，则　　

A．，1， B．，4， 

C．，3，4， D．，0，1，2，3，4，

【答案】

【详解】集合，0，1，，，1，2，3，4，，

则，1，．

故选：．

2．已知点，，向量，则向量　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】，，

，

．

故选：．

3．已知某班英语兴趣小组有3名男生和2名女生，从中任选2人参加该校组织的英语演讲比赛，则恰有1名女生被选到的概率是　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】设恰有1名女生被选到为事件，

基本事件总数为，

事件包含的基本事件数为，

（A），

故选：．

4．已知函数为上的奇函数，当时，，则（3）等于　　

A． B． C．1 D．3

【答案】

【详解】根据题意，当时，，则，

又由为奇函数，则（3），

故选：．

5．北京时间2月20日，北京冬奥会比赛日收官，中国代表团最终以9枚金牌4枚银牌2枚铜共15枚奖牌的总成绩，排名奖牌榜第三，创造新的历史．据统计某高校共有本科生1600人，硕士生600人，博士生200人申请报名做志原者，现用分层抽样方法从中抽取博士生30人，则该高校抽取的志愿者总人数为　　

A．300 B．320 C．340 D．360

【答案】

【详解】根据题意知分层抽样比例为，

所以该高校抽取的志愿者总人数为（人．

故选：．

6．若复数满足，则　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】，

．

故选：．

7．已知一个球的表面积在数值上是它的体积的倍，则这个球的半径是　　

A．2 B． C．3 D．

【答案】

【详解】设球的半径为，则根据球的表面积公式和体积公式，

可得，，化简得．

故选：．

8．若不等式的解集为，则，的值分别为　　

A．， B．1，6 C．，6 D．6，1

【答案】

【详解】不等式的解集为，

所以和是方程的实数解，

由根与系数的关系知，，

解得，．

故选：．

9．计算的结果是　　

A．6 B．7 C．8 D．10

【答案】

【详解】，

故选：．

10．下列函数在上是增函数的是　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】由基本初等函数的单调性知，

在上是减函数，

在上是增函数，

在上是减函数，

在上是减函数，

故选：．

11．函数和函数的图象关于　　对称．

A．原点 B． C．轴 D．轴

【答案】

【详解】，

函数和函数的图象关于轴对称，

故选：．

12．已知，则的最小值为　　

A． B．2 C． D．4

【答案】

【详解】由，，

当且仅当，即时，取得等号，

故的最小值为，

故选：．

13．已知，，若，则　　

A． B． C． D．2

【答案】

【详解】根据题意，已知，，

若，则有，解可得；

故选：．

14．已知，，，为空间中任意四个点，则等于　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】．

故选：．

15．在中，，，，那么等于　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】，，，

由正弦定理可得，．

故选：．

16．已知函数，则　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】根据题意，函数，

则，

则，

故选：．

17．已知复数，则“”是“为纯虚数”的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】

【详解】因为为纯虚数且，所以“”是“为纯虚数”的必要不充分条件．

故选：．

18．如图，空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点，，分别是，，的中点，则　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】，

．

故选：．

19．设甲、乙、丙3人住在一个有4间卧室的套间内，每间卧室最多可以住2人．若每人都等可能地被分配到4间房间中的任意1间，则下列事件属于随机事件的是　　

A．恰好有1间空房 B．至多有2间空房 

C．至少有1间空房 D．3人不住同1间房

【答案】

【详解】根据题意，甲、乙、丙3人住在一个有4间卧室的套间内，每间卧室最多可以住2人．

有种情况，①三人各住一间卧室，则有1间空房，②三人有2人住一间卧室，剩下一人独自住一间卧室，则有2间空房，

据此分析现象：

对于，空房有1间或2间，则“恰好有1间空房”是随机事件，

对于，“至多有2间空房”即有没有空房、1间空房或2间空房，是必然事件，

对于，“至少有1间空房”是必然事件，

对于，每间卧室最多可以住2人，“3人不住同1间房”是必然事件，

故选：．

20．按照“碳达峰”、“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．于1898年提出蓄电池的容量（单位：，放电时间（单位：与放电电流（单位：之间关系的经验公式：，其中为常数．为了测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间．则该蓄电池的常数大约为　　

（参考数据：，．

A． B． C． D．2

【答案】

【详解】由题意可得，电池的容量为定值，

则，即，

两边取对数可得，，即，

故．

故选：．

第二部分 （非选择题 共40分）

二．填空题（共4小题，每小题3分，共12分）

21．函数的定义域是 　  　．

【答案】，

【详解】由，得．

函数的定义域是，．

故答案为：，．

22．已知向量、、在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则　　；　　．

【答案】0；

【详解】因为，所以，

又因为与的夹角为，且，，

所以．

故答案为：0；．

23．　  　．

【答案】

【详解】原式．

故答案为：．

24．如图，为圆的直径，点在圆周上（异于点，，直线垂直于圆所在的平面，点是线段的中点．有以下四个命题：

①平面；

②平面；

③平面；

④平面平面．

其中正确的命题的序号是　   　．

【答案】①④

【详解】①因为，平面，平面，所以平面；

②因为在平面内，所以②错误；

③因为垂直于圆所在的平面，所以．

又，，所以平面．因为空间内过一点作已知平面的垂线有且只有一条，所以平面不成立，③错误；

④由③知平面，且平面，所以平面平面．

正确命题的序号是①④．

故答案为：①④．

三．解答题（共4小题，每小题7分，共28分）

25．设函数．

（1）在给出的直角坐标系中画出函数在区间，上的图象；

（2）求出函数在，上的单调区间和最值．

【答案】见解析

【详解】（1）列表：

描点得图象：

（2）由图象可知的单调增区间：，，，，单调减区间：，，

函数的最大值是：1，函数的最小值是：．

26．已知函数，．

（Ⅰ）若，求的解集；

（Ⅱ）若方程有两个实数根，，且，求的取值范围．

【答案】见解析

【详解】若，则，

解得，

所以的解集，；

因为有两个实数根，，

所以△且，

解得或，

又，

所以，

解得，或，

综上的范围为或．

27．如图，在三棱锥中，，，，分别为，的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：．

【答案】见解析

【详解】（1）因为，分别为，的中点，

所以，

因为平面，平面，

所以平面．

（2）因为，所以，

又因为，所以，

因为，为的中点，

所以，

又，

所以：平面，

因为平面，

所以：．

28．已知函数．

（Ⅰ）用定义证明函数在区间上单调递增；

（Ⅱ）对任意，都有成立，求实数的取值范围．

【答案】见解析

【详解】（Ⅰ）证明：任取，

则

，

，

，，，

，即．

函数在上单调递增；

（Ⅱ）解：函数在，内为增函数，

函数在，内的最大值为（4），

在，上恒成立，

，

即实数的取值范围为，．