北京市房山区2022届高三第二次模拟测试数学试题 （解析版）

北京市房山区2022届高三第二次模拟测试数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】求解，再求的交集和补集判断即可

【详解】由题，，故 ，

故选：B

2．双曲线的焦点坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据双曲线焦点坐标公式求解即可

【详解】双曲线的焦点在轴上，坐标为，即

故选：C

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分别和特殊值0，1比较大小，即可判断.

【详解】，，，

所以.

故选：A

4．已知是第一象限角，且角的终边关于y轴对称，则(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据cosα求出tanα，根据角的终边关于y轴对称可知．

【详解】∵是第一象限角，∴，，

∵角的终边关于y轴对称，∴．

故选：D．

5．已知数列满足为其前n项和.若，则（    ）

A．20 B．30 C．31 D．62

【答案】C

【分析】先利用等比数列的定义、通项公式得到公比和首项，再利用等比数列的求和公式进行求解.

【详解】因为，所以为等比数列，且，

又，所以，则.

故选：C.

6．已知函数，则不等式的解集为(    )

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据绝对值的定义和对数函数的单调性即可求解．

【详解】．

故选：C﹒

7．已知是两个不同的平面，直线，且，那么“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据空间线面位置关系，结合必要不充分条件的概念判断即可.

【详解】解：当直线，且，，则，或，与相交，故充分性不成立，

当直线，且，时，，故必要性成立，

所以，“”是“”的必要而不充分条件.

故选：B

8．如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD两边AB、AD向外分别作正方形ABEF、ADMN，其中，，，则(    )

A． B． C．0 D．

【答案】C

【分析】根据向量加法法则，，再利用数量积的运算法则计算即可.

【详解】

.

故选：C.

9．已知数列是公差为d的等差数列，且各项均为正整数，如果，那么的最小值为（    ）

A．13 B．14 C．17 D．18

【答案】B

【分析】根据题意可得，再结合为整数可求得，即可得解.

【详解】解：在等差数列中，因为，

则，即，

故或或或或

或或或，

所以的最小值为14.

故选：B.

10．下表是某生活超市2021年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表：

该生活超市本季度的总营业利润率为（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），给出下列四个结论：

①本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区；

②本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区；

③本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区；

④本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过.

其中正确结论的序号是（    ）A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④

【答案】D

【分析】根据表中数据以及营业利润率的概念逐项进行分析并判断.

【详解】由题中数据知，其它类营业收入占比，为最低的，故①错；

生鲜区的净利润占比，故②正确；

生鲜区的营业利润率为，故④正确；

熟食区的营业利润率为；

乳制品区的营业利润率为；

其他区的营业利润率为；

日用品区为，最高，故③正确．

故选：D.

二、填空题

11．抛物线的准线方程为__________．

【答案】

【分析】抛物线的准线方程为，由此得到题目所求准线方程.

【详解】抛物线的准线方程是.

【点睛】本小题主要考查抛物线的准线方程，抛物线的准线方程为，直接利用公式可得到结果.属于基础题.

12．复数满足，则__________．

【答案】

【详解】由题意得，

∴．

13．已知函数若函数在上不是增函数，则a的一个取值为___________.

【答案】-2(答案不唯一，满足或即可)

【分析】作出y=x和y=的图象，数形结合即可得a的范围，从而得到a的可能取值．

【详解】y=x和y=的图象如图所示：

∴当或时，y=有部分函数值比y=x的函数值小，

故当或时，函数在上不是增函数．

故答案为：-2．

14．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数.我们听到的声音是由纯音合成的，称为复合音.已知一个复合音的数学模型是函数.给出下列四个结论：

①的最小正周期是；

②在上有3个零点；

③在上是增函数；

④的最大值为.

其中所有正确结论的序号是___________.

【答案】②④

【分析】对①，分别计算和的最小正周期，再由其最小公倍数即可得到的最小正周期；

对②，直接求零点即可；

对③④，对求导，利用导数研究函数的单调性、极值和最值，即可判断

【详解】对①，因为：，

的最小正周期是，的最小正周期是，

所以的最小正周期是，故①不正确；

对②，即，即，故或，又，故，或，即在上有3个零点，故②正确；

对③由题，，

由，

令得，，，

当，，为增函数，

当，，为减函数，

当，，为增函数，

所以在，上单调递增，在上为单调递减，故③不正确；

由于，，所以的最大值为，所以④正确

综上，②④正确

故答案为：②④

三、解答题

15．在中，.

(1)求；

(2)再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上的高.

条件①：；条件②：；条件③：的面积为.

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）方法一：根据正弦定理，结合内角和与两角和的正弦公式化简即可；方法二：利用余弦定理化简即可

（2）选①则不合题意；

选②：根据则可得，再根据两角和的正弦公式可得，再根据高计算即可；

选③：根据面积公式可得，进而用余弦定理求得，再结合面积公式求解高即可

【详解】（1）方法一：在中，因为，

所以由正弦定理可得.

因为，所以.

所以.

在中，，

所以，所以.

方法二：在中，因为，

由余弦定理

得，

整理得

所以，所以.

（2）选条件②：由（1）知

因为在中，，所以

又，所以

所以

设边上高线的长为h，则

.

选条件③：

因为

所以，

由余弦定理得

所以.

设边上高线的长为h，则

16．如图，在四棱锥中，底面.在底面中，，，，.

(1)求证：平面；

(2)若平面与平面的夹角等于，求点B到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据几何关系证明，根据底面得，进而证明结论；

（2）根据题意，两两互相垂直，进而建立空间直角坐标系，设，再根据坐标法求解即可.

【详解】（1）证明：设中点为E，连接，

易知为正方形，且

所以，

所以

因为底面底面，

所以

又面，

所以平面

（2）解：因为底面，在正方形中

所以两两互相垂直.

如图建立空间直角坐标系

设

则

所以，

设平面的法向量为，则

即

所以

由（1）知，平面的法向量为

因为平面与平面的夹角为，

所以，解得

设点B到平面的距离为d.

则

17．北京2022年冬奥会，向全世界传递了挑战自我､积极向上的体育精神，引导了健康､文明､快乐的生活方式.为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动.为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育实践活动时间（单位：分钟），得到下表：

(1)从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育实践活动时间在的概率；

(2)从参加体育实践活动时间在和的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望；

(3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育实践活动时间的平均数记为，初中､高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为，当m满足什么条件时，.（结论不要求证明）

【答案】(1)

(2)分布列答案见解析，数学期望：

(3)

【分析】（1）方法一：根据条件概率公式求解即可；方法二：根据古典概型的方法分析即可；

（2）方法一：根据相互独立事件同时发生的概率公式求解即可；方法二：根据二项分布的公式求解；

（3）补全初中段的人数表格，再分别计算关于的解析式，代入求解的范围即可

（1）

方法一：女生共有人，记事件A为“从所有调查学生中随机抽取1人，女生被抽到”，事件B为“从所有调查学生中随机抽取1人，参加体育活动时间在”

由题意可知，

因此

所以从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育活动时间在的概率为

方法二：女生共有人，记事件M为“从所有调查学生中随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，该学生参加体育活动时间在”

由题意知，从所有调查学生中随机抽取1人，抽到女生所包含的基本事件共45个，抽到女生且参加体育活动时间在所包含的基本事件共9个

所以

所以从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育活动时间在的概率为

（2）

方法一：X的所有可能值为0，1，2，时间在的学生有人，活动时间在的初中学生有人.

记事件C为“从参加体育活动时间在的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”，事件D为“从参加体育活动时间在的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”.由题意知，事件C､D相互独立，且

所以

所以X的分布列为：

故X的数学期望

方法二：X的所有可能值为0，1，2，

因为从参加体育活动时间在和的学生中各随机抽取1人是相互独立，且抽到初中学生的概率均为，故

所以

所以X的分布列为：

故X的数学期望

（3）

根据男女生人数先补全初中学生各区间人数：

内初中生的总运动时间，内高中生的总运动时间，

则由题，，又，，，由可得

，当时成立，故的取值范围

18．已知函数.

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)求函数在上的最小值.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）利用导数的几何意义，求切线方程；

（2）首先求函数的导数，化简为，再讨论和两种情况讨论函数的单调性，再求函数的最值.

【详解】（1）当时，

所以.

所以曲线在处的切线方程为：.

（2）.

①当时，.

所以时，.

所以在上是增函数.所以.

②当时，令，解得（舍）

1°当，即时，时，.

所以在上是增函数.所以.

2°当，即时，

所以.

3°当，即时，时，.

所以在上是减函数.所以.

综上，当时，；

当时，.

当时，.

19．已知椭圆的一个顶点为，一个焦点为.

(1)求椭圆C的方程和离心率；

(2)已知点，过原点O的直线交椭圆C于M，N两点，直线与椭圆C的另一个交点为Q.若的面积等于，求直线的斜率.

【答案】(1)椭圆，离心率；

(2)或.

【分析】（1）根据题意得到，进而求出a，最后得到椭圆方程和离心率；

（2）设出直线PM的方程并代入椭圆方程然后化简，再设出点M,Q的坐标，进而表达出面积，然后结合根与系数的关系求出答案.

【详解】（1）由题设，得，则，所以椭圆C的方程为，离心率.

（2）设直线的方程为，由得，

解得.

设，则，，即同号.

根据椭圆的对称性知，，所以

，整理得，

解得，（满足）

所以，或.

【点睛】本题运算量较大，对于用“根与系数的关系”解决问题是个老套路，但本题对于面积的处理有一定的技巧，平常注意对此类题型的训练.

20．已知数集具有性质P：对任意的，使得成立.

(1)分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由；

(2)已知，求证：；

(3)若，求数集A中所有元素的和的最小值.

【答案】(1)不具有性质P，具有性质P，理由见解析；

(2)证明见解析；

(3)75．

【分析】(1)对于，，故可判断它不具有性质P；对于可逐项验证2、3、6均满足对任意的，使得成立，故可判断它具有性质P；

(2)根据题意可知，从而，故而可得，将这些式子累加即可得，从而可变形为要证的结论；

(3)根据题中已知条件可得该数集，，从而可得该数集元素均为整数，再根据可构造一个满足性质P的数集或，这两个数集元素之和为75，证明75是最小值即可．

【详解】（1）∵，∴不具有性质P；

∵，∴具有性质P；

（2）∵集合具有性质P：

即对任意的，使得成立，

又∵，

∴，∴，

即，

将上述不等式相加得，

∴，由于，

∴，∴；

（3）最小值为75．

首先注意到，根据性质P，得到，

∴易知数集A的元素都是整数．

构造或者，

这两个集合具有性质P，此时元素和为75．

下面，证明75是最小的和：

假设数集，满足(存在性显然，∵满足的数集A只有有限个)．

第一步：首先说明集合中至少有7个元素：

由(2)可知，…

又，∴；

∴；

第二步：证明；

若，设，∵，为了使得最小，在集合A中一定不含有元素，使得，从而；

假设，根据性质P，对，有，使得，

显然，∴，

而此时集合A中至少还有4个不同于的元素，

从而，矛盾，

∴，进而，且；

同理可证：；

(同理可以证明：若，则)．

假设．

∵，根据性质P，有，使得，

显然，∴，

而此时集合A中至少还有3个不同于的元素，

从而，矛盾，

∴，且；

至此，我们得到了，

根据性质P，有，使得，

我们需要考虑如下几种情形：

①，此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素，才能得到元素8，

则；

②，此时集合中至少还需要一个大于4的元素，才能得到元素7，则；

③，此时集合的和最小，为75；

④，此时集合的和最小，为75．

【点睛】本题第二问考察对题设条件的理解，根据数集要满足性质P，得到其元素之间应该满足的大小关系，利用数列的累加法思想即可得数集的“前n项和”的范围；本题第三问采用枚举法即可证明，根据题设信息不断地确定数集A中的具体元素，将抽象问题具体化，从而证明出结论，过程中需用反证法证明猜想．

四、双空题

21．已知圆和直线，则圆心坐标为___________；若点在圆上运动，到直线的距离记为，则的最大值为___________.

【答案】          ##

【分析】由圆的标准方程可得圆心坐标；根据直线过定点，可知当时，圆心到距离最大，则.

【详解】由圆的方程知：圆心坐标为；

由直线方程知：恒过点，则，

当时，圆心到距离最大，

又圆的半径，.