北京市房山区2023届高三第一次模拟考试数学试卷（含解析）

北京市房山区2023届高三第一次模拟考试数学试卷

一、单选题

1．已知集合，则满足的集合B可能是（    ）

A． B． C． D．

2．的展开式中的系数为（    ）

A．20 B．-40 C．40 D．-10

3．已知数列，，其中，且，是方程的实数根，则等于（    ）

A．24 B．32 C．48 D．64

4．在人类中，双眼皮由显性基因控制，单眼皮由隐性基因控制．当一个人的基因型为或时，这个人就是双眼皮，当一个人的基因型为时，这个人就是单眼皮．随机从父母的基因中各选出一个或者基因遗传给孩子组合成新的基因．根据以上信息，则“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，点M在抛物线上，且，则（    ）

A．1 B． C． D．3

6．点与圆的位置关系是（    ）．

A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．不能确定

7．下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是（    ）

A． B．

C． D．

8．在中，点D在边上，且.记，，则（    ）

A． B． C． D．

9．已知函数的图像与的图像关于直线对称，则（    ）

A． B．10 C．12 D．

10．如图，在正方体中，点是对角线上一动点，在点从顶点移动到顶点的过程中，下列结论中错误的有（    ）．

A．二面角的取值范围是

B．直线与平面所成的角逐渐增大

C．存在一个位置，使得平面

D．存在一个位置，使得平面平面

二、填空题

11．设为虚数单位，则复数对应的复平面内的点的坐标为___________.

12．已知，，用不等号将、、从小到大排列得____________

13．设，为双曲线：（）的左、右焦点，点为双曲线上一点，，那么双曲线的离心率为______.

14．函数f(x)的定义域为R，f(-1)＝2，为f(x)的导函数，已知y=的图象如图所示，则f(x)>2x+4的解集为____．

三、双空题

15．函数的定义域为___________，极大值点的集合为___________.

四、解答题

16．已知函数，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使的解析式唯一确定.

(1)求的解析式，并写出单调区间；

(2)设函数，求在区间上的最大值.

条件①：的最小正周期为；

条件②：为奇函数；

条件③：图象的一条对称轴为.

注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.

17．如图所示，在多面体中，梯形与正方形所在平面互相垂直，，，.

(1)求证：平面；

(2)求证：平面；

(3)若点在线段上，且，求异面直线与所成角的余弦值.

18．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均时间，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），.而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：

(1)当时，求该地上班族的人均通勤时间；

(2)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？

(3)求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义.

19．已知椭圆的长轴长为，且过点．

(1)求C的方程和离心率；

(2)过点与作直线l交椭圆C于点D、E（不与点A重合）．是否为定值?若是，求出该定值，若不是，求其取值范围．

20．已知函数，.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求函数的单调区间；

(3)证明：任意，.

21．已知数列，为从1到2022互不相同的整数的一个排列，设集合 ，中元素的最大值记为，最小值记为.

(1)若为：1，3，5，…，2019，2021，2022，2020，2018，…，4，2，且，写出，的值；

(2)若，求的最大值及最小值；

(3)若，求的最小值.

参考答案

1．D

【分析】根据并集定义计算，选出正确答案.

【详解】，A错误；

，B错误；

，C错误；

，D正确.

故选：D

2．C

3．D

【分析】根据题意，得到，，求得，推出，进而可求出，，从而可求出结果.

【详解】因为，是方程的实数根，

所以，，

又，所以；

当时，，所以，

因此，

所以.

故选：D.

【点睛】本题主要考查由数列的递推关系求数列中的项，属于常考题型.

4．A

【分析】根据充分不必要条件的概念判断即可.

【详解】若父母均为单眼皮， 则父母的基因一定为和， 孩子就一定是单眼皮．

若孩子为单眼皮， 则父母的基因可能是和，即父母均为双眼皮，

故“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的充分不必要条件．

故选：A

5．C

【分析】根据焦半径公式可求点M的横坐标，然后把横坐标代入抛物线方程即可求出点M的纵坐标，从而可求出的值.

【详解】设，因为，所以，即，

又在抛物线上，所以，

所以.

故选：C.

6．A

【详解】将点代入圆方程，得．故点在圆外，

选．

7．B

【分析】根据指对幂函数的性质依次判断各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，函数为奇函数，在定义域上无单调性，故错误；

对于B选项，函数为奇函数，当时，为减函数，故函数在定义域内为减函数，故B正确；

对于C，由于函数均为增函数，故在定义域内为单调递增函数，故C错误；

对于D选项，函数为非奇非偶函数，故错误.

故选：B

8．A

【分析】根据平面向量的加减运算，即可求得答案.

【详解】由题意知，

所以，即，

故选：A.

9．C

【分析】由题意知两个函数互为反函数，求出的解析式，代值化简即可.

【详解】因为函数的图像与的图像关于直线对称，

所以函数与函数互为反函数，

所以，所以，

故选：C.

10．B

【分析】点由点移动到中点的过程中，二面角逐渐由减小至0，再由对称性即可判断A选项；

找特殊点，令点分别与点和点重合，找出相应位置的线面角，并比较二者大小即可判断B选项；

当点为平面与直线的交点时，根据空间中线面平行或垂直的判定定理与性质定理可判断C、D选项．

【详解】解：对于A，当与重合时，二面角为，点由点移动到中点的过程中，二面角逐渐减小至0，

由对称性可知，当由中点移动到点的过程中，二面角由0逐渐增大至，即A正确；

对于B，当点与重合时，即为所求，此时有，

当与重合时，连接，相交于点，则即为所求，此时有，

所以，即直线与平面所成的角并不是逐渐增大，所以B错误；

对于C，当点为平面与直线的交点时，连接，则，

又因为平面，平面，所以，

又，所以平面，所以．同理可得，．

因为，平面，平面，所以平面，即C正确；

对于D，当点为平面与直线的交点时，因为，平面，平面，所以平面，

同理可得，平面，又因为，平面，平面，所以平面平面，即D正确．

故选：B．

11．

【分析】将复数运用除法运算法则进行化简，进而得出结果.

【详解】解：复数，

则在复平面内的对应点的坐标为.

故答案为：.

12．x＜xy2＜xy

【分析】根据不等式的基本性质，分析三个式子的大小，可得答案．

【详解】解：∵x＜0，﹣1＜y＜0，

∴0＜y2＜1，xy＞0，

x＜xy2＜0，

即x＜xy2＜xy，

故答案为：x＜xy2＜xy

【点睛】本题考查实数大小的比较，考查不等式的性质，属于基础题.

13．

【分析】根据双曲线定义知，再由双曲线参数关系求得，即可求离心率.

【详解】由题意，则，

又，则，

所以双曲线的离心率为.

故答案为：

14．(-1，+∞)

【分析】令g(x)=f(x)-2x-4，利用导数探讨g(x)在R上的单调性，再将f(x)>2x+4转化为并借助单调性即可得解.

【详解】观察图象知，，

令g(x)=f(x)-2x-4，则，即g(x)在R上单调递增，

而g(-1)=f(-1)-2(-1)-4=0，即，于是得，

所以不等式f(x)>2x+4的解集为(-1，+∞).

故答案为：(-1，+∞)

15．         

【详解】依题意得，即，解得，

所以函数的定义域为；

，

由，即得，

时，，时，，于是得是极小值点，

时，时，

时，，时，，于是得是极大值点，

所以极大值点的集合为.

故答案为：；

16．(1)，单调增区间为，单调减区间为；

(2)

【分析】（1）若选①②，先由周期求得，再利用奇函数求出即可；若选①③，先由周期求得，再利用对称轴为求出即可；若选②③，举例说明解析式不唯一，不合题意；

（2）先由求出并化简，求出，再利用单调性求得最大值即可.

(1)

若选①②，则，解得，又，即，解得，

又，故，则，令，解得；

令，解得，

故单调增区间为，单调减区间为；

若选①③，则，解得，又一条对称轴为，可得，解得，

又，故，则，令，解得；

令，解得，

故单调增区间为，单调减区间为；

若选②③，和均是奇函数，且，可得均满足一条对称轴为，故解析式不唯一，不合题意；

(2)

由（1）知，，则，

由可得，故当时，有最大值，最大值为.

17．(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）首先根据面面平行的判定证明平面平面，再根据面面平行的性质即可得到答案.

（2）首先取的中点，连接，易证，，再利用线面垂直的判定即可证明平面.

（3）首先以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解即可.

【详解】（1）因为平面；平面；，

所以平面.

因为平面；平面；，

所以平面.

又因为平面，平面，，

所以平面平面；

又因为平面，所以平面.

（2）取的中点，连接，如图所示：

因为四边形为梯形，且，，

所以四边形为正方形，，.

所以，，

即，.

又因为平面平面，且平面，，

所以平面.

又因为平面，所以.

因为，，，平面，

所以平面.

（3）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

，，，，

，，

设异面直线与所成角为，则.

所以异面直线与所成角的余弦值为.

18．(1)37（分钟）

(2)

(3) ，单调性见解析.

【分析】（1）根据条件求S的人均通勤时间即可；

（2）根据题意，解不等式 即可；

（3）对x分类讨论，按照加权的方式算出 ，再根据 解析式分析其单调性.

【详解】（1）当 时，有 ，公交人群占S的比例为 ，

所以S的人均通勤时间为 （分钟）；

（2）解不等式 ，即 ，

化简得 （舍）或者 ，

所以当 时，公交群体的通勤时间小于自驾群体的通勤时间；

（3）公交群体占S的比例为 ，当 时，其平均通勤时间为 ；

当 时， 其平均通勤时间为 ；

，

当 时， 单调递减，当 时， 为开口向上的二次函数，对称轴 ，故单调递增；

综上，（1）人均通勤时间为37（分钟）；

（2）当 时，公交群体的通勤时间小于自驾群体的通勤时间；

（3），在 单调递减，在 单调递增.

19．(1)，

(2)是为定值，该定值为

【分析】（1）根据题目条件，结合公式，即可求得本题答案；

（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，斜率不存在时，求出点的坐标，计算；斜率存在时，设直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立消，列出韦达定理，计算出，由此即可得到本题答案.

【详解】（1）因为椭圆的长轴长为，所以，得，所以，

代入点，得，所以，所以，

所以椭圆的方程为，离心率；

（2）当直线垂直于轴时，，代入椭圆方程，

解得，

所以，即；

若为定值，则必为，

当直线的斜率存在时，设直线， ，

联立，整理得，

所以，

所以

，

，

所以，即，

综上所述，的大小为定值.

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

20．(1)

(2)单调递减区间为，单调递增区间为

(3)证明见解析

【分析】（1）利用导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程；

（2）求导后，根据的正负即可得到的单调区间；

（3）利用导数可求得的单调性，从而求得，根据最值不同时取得可得到结论.

【详解】（1），，又，

在点处的切线方程为.

（2），

当时，；当时，；

的单调递减区间为，单调递增区间为.

（3）由（2）得：当时，，；

，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，；

又与不同时取得，当时，.

21．(1)，

(2)最小值为6，的最大值为6063

(3)6069

【分析】（1）根据的定义即可求解，

（2）根据，即可求解，

（3）根据任意相邻的6项的和，求解，即可.

【详解】（1）当时，中的元素为中的三项相加，故最大元素，最小元素.

（2）最小值为6，的最大值6063.

证明：对于1，2，…，2021，2022的一个排列，

若，则中的每一个元素为 ，，

由题意 ，，

那么，对于任意的，总有.

同理，由题意 ，

那么，对于任意的，总有，

当时，满足：，.

（3）的最小值为6069.

由于，对于1，2，…，2021，2022的一个排列，

中的每一个元素为 ，，

由题意 ，，

对于任意的，都有

，

即，.

构造数列：，，，

对于数列，设任意相邻6项的和为，则

，或

若，则

，

若，则

，

所以，即对这样的数列，，

又，所以的最小值为6069.

【点睛】本题主要考查等差数列求和以及集合的表示，元素与集合的关系以及数学的化归思想。数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想，分类讨论的思想，数形结合的思想，建模思想等。做考查转化与化归思想题目时，要把题设中给的条件和性质进行分析，逐条分析，验证，运算，使得问题转化成常见的数学知识，充分利用化归思想将问题化难为简，本题的关键是将问题转化成数列的知识进行求解.