2021-2022学年北京市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷02含解析

2022年6月北京市普通高中学业水平合格性考试

数学仿真模拟卷02

第一部分 （选择题 共60分）

一．选择题（共20小题，每小题3分，共60分）

1．若全集，，，则　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】，，，

故选：．

2．若复数的实部与虚部相等，则实数　　

A． B．1 C． D．2

【答案】

【详解】复数的实部与虚部相等，

，解得．

故选：．

3．等于　　

A．1 B．2 C．5 D．6

【答案】

【详解】．

故选：．

4．下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的是　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】为非奇非偶函数，不符合题意；

为偶函数，不符合题意；

即为奇函数，

在上恒成立，故在上单调递减，符合题意，

在上单调递增，不符合题意．

故选：．

5．已知角以轴正半轴为始边，其终边在射线上，则　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，其终边在射线上，

取点，则，

所以，，

所以．

故选：．

6．在中，若，，，则　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】由正弦定理得，得，

，，即，

则，

故选：．

7．如图所示的时钟显示的时刻为，此时时针与分针的夹角为．若一个扇形的圆心角为，弧长为10，则该扇形的面积为　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】时钟显示的时刻为，此时时针与分针的夹角为，

，

一个扇形的圆心角为，弧长为，设其半径为，

则，

，

该扇形的面积，

故选：．

8．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，，则的值为　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】角以为始边，终边与单位圆交于点，，

，

．

故选：．

9．　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】．

故选：．

10．若，则下列不等式正确的是　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】根据题意可令、，

则，，， 错；

，，且，

，对．

故选：．

11．“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】

【详解】，，

，，

，，，

是的充分不必要条件，

故选：．

12．某学校组建了演讲、舞蹈、航模、合唱、机器人五个社团，全校3000名学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委从这3000名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制了如下不完整的两个统计图：

则选取的学生中参加机器人社团的学生数为　　

A．50 B．75 C．100 D．125

【答案】

【详解】由条形统计图得抽到50名同学演讲，

由扇形统计图片得抽到的学生中演讲同学占，

一共抽取的学生数为：（人，

抽到的学生中合唱学生占：，

选取的学生中参加机器人社团的学生数为：

（人．

故选：．

13．函数的零点所在的大致区间是　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】在上是增函数，

（1），（2），

（2）（1），根据零点存在性定理，可得函数的零点所在区间为．

故选：．

14．已知，是空间中两条不同的直线，，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是　　

A．若，则 B．若，，则 

C．若，，则 D．若，，则

【答案】

【详解】不妨设，

对于，若且，则，故错误；

对于，若，与相交且不垂直，交点分别为，，显然与不一定垂直，故错误；

对于，若，则或，又，故，故正确；

对于，由面面垂直的性质可知当时才有，故错误．

故选：．

15．已知不等式的解集为，则的取值范围是　　

A．， B． 

C．，， D．，，

【答案】见解析【详解】不等式的解集为，

所以△，

解得；

所以的取值范围是，．

故选：．

16．如图所示，在正方体中，是棱上任意一点，四棱锥

的体积与正方体的体积之比为　　

A． B． C． D．不确定

【答案】

【详解】由题意可得，平面，

所以点到平面的距离为点到平面的距离，

因为，，，，平面，

所以平面，

设正方体的棱长为，则正方体的体积，

四棱锥的体积为，

所以．

故四棱锥的体积与正方体的体积之比为．

故选：．

17．一个袋中装有大小、质地相同的3个红球和3个黑球，从中随机摸出3个球，设事件 “至少有2个黑球”，下列事件中，与事件互斥而不互为对立的是　　

A．都是黑球 B．恰好有1个黑球 

C．恰好有1个红球 D．至少有2个红球

【答案】

【详解】从装有大小和质地完全相同的3个红球和3个黑球的口袋内任取3个球，

在中，至少有2个黑球和都是黑球能同时发生，不是互斥事件，故错误，

在中，至少有2个黑球和恰有1个黑球不能同时发生，是互斥而不对立事件，故正确，

在中，至少有2个黑球和恰有1个红球能同时发生，不是互斥事件，故错误，

在中，至少有2个黑球和至少有2个红球事件不能同时发生，是对立事件，故错误．

故选：．

18．某学校高二年级选择“史政地”、“史政生”和“史地生”这三种组合的学生人数分别为210、90和60．若采用分层抽样的方法从中随机抽取12名学生，则从“史政生”组合中抽取的学生人数为　　

A．7 B．6 C．3 D．2

【答案】

【详解】由题意可知，“史政地”、“电政生”和“史地生”这三种组合的学生人数分别为210，90和60，

故“史政生”所占的比例为，

由分层抽样是按比例抽取可得，“史政生”组合中抽取的学生人数为．

故选：．

19．如图，正方形中，为的中点，若，则的值为　　

A．3 B．2 C．1 D．

【答案】

【详解】由题意，因为为的中点，所以，

所以，即，所以，，

所以；

故选：．

20．大气压强，它的单位是“帕斯卡” ，大气压强随海拔高度的变化规律是，是海平面大气压强．已知在某高山，两处测得的大气压强分别为，，，那么，两处的海拔高度的差约为　　（参考数据：

A． B． C． D．

【答案】

【详解】设，两处的海拔高度分别为，，

则，

，

得．

，两处的海拔高度的差约为．

故选：．

第二部分 （非选择题 共40分）

二．填空题（共4小题，每小题3分，共12分）

21．函数的定义域是　   　．

【答案】，

【详解】由题意得：

，解得：，

故函数的定义域是，，

故答案为：，．

22．已知向量，，在正方形网格中的位置，如图所示，则　  　．

【答案】6

【详解】由题意向量，，，

，

则．

故答案为：6．

23．甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是　  　

【答案】甲

【详解】若甲正确，则乙、丙均错误，故丙是第一名，乙是第二名，甲是第三名，与“甲说：我不是第三名”正确相矛盾，

故甲错误，因此，甲为第三名；

于是乙、丙中必有一人正确，一人错误．

若丙错误（则乙正确），即丙是第一名，而甲是第三名，故乙是第二名，与乙正确“我是第三名”矛盾，

故丙正确，即丙不是第一名，为第二名；

故答案为：甲．

24．设棱长为2的正方体，是中点，点、分别是棱、上的动点，给出以下四个结论：

①存在；

②存在平面；

③存在无数个等腰三角形；

④三棱锥的体积的取值范围是，．

则所有结论正确的序号是 　  　．

【答案】③④

【详解】对于①：取中点，当点在上移动时，直线平面，

同时当点在直线上移动时平面，

因为，故与不可能平行，①错误．

对于②：如图，以为原点建立空间直角坐标系，

所以，0，，，2，，，2，，

设，，，，，，

所以，

设平面 的法向量为，，，

则 即，令，得，，

所以，

所以，故与平面不垂直，②错误．

对于③：令，即，化简得，

即，

因为，所以该式在，的范围中存在无数组解，

故说明有无数组与可使，故③正确．

对于④：根据等体积性质可知，

所以该三棱锥高可以看作，

所以体积的取值范围即底面积 的取值范围，

根据点位置的变化可知，当点在点时最小，

当点在点时最大，计算得，，

，

所以，故④正确．

故答案为：③④．

三．解答题（共4小题，每小题7分，共28分）

25．已知函数．

（Ⅰ）用函数单调性的定义证明在区间上是增函数；

（Ⅱ）解不等式．

【答案】见解析

【详解】（Ⅰ）证明：任取，，令，

则，

因为，，且，

所以，，

所以，

即，

所以在区间上是增函数；

（Ⅱ）因为，

所以，

即，

整理得，

等价于，

解得或，

所以不等式的解集为，，．

26．如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，，为正三角形，平面平面，为的中点．

（1）证明：平面；

（2）证明：．

【答案】见解析

【详解】证明：（1）连接，交于点，连接，

四边形为平行四边形，且，为的中点，

又在中，为的中点，．

平面，平面，

平面；

（2）平面平面，且平面平面，

，平面，

平面，

平面，，

为等边三角形，且为的中点，，

又，，平面，

平面，

平面，．

27．已知函数．

（Ⅰ）求，；

（Ⅱ）求在区间，上的最大值和零点．

解：（Ⅰ）　①　；

　　；

（Ⅱ）因为，，所以，，

所以当　　；即　　时，取得最大值，为 　　；

由和，得，，

所以在区间，上的零点为 　　．

【答案】见解析

【详解】函数．

（Ⅰ）；

．

（Ⅱ）．

因为，，所以，，

所以当；即时，取得最大值，为1；

由和，得，，

所以在区间，上的零点为．

故答案为：①；②；③；④；⑤．

28．科学研究表明：人类对声音有不同的感觉，这与声音的强度（单位：瓦平方米）有关．在实际测量时，常用（单位：分贝）来表示声音强弱的等级，它与声音的强度满足关系式：是常数），其中瓦平方米．如风吹落叶沙沙声的强度瓦平方米，它的强弱等级分贝．

（Ⅰ）　10　；

（Ⅱ）已知生活中几种声音的强度如表：

那么　　；

（Ⅲ）为了不影响正常的休息和睡眠，声音的强弱等级一般不能超过50分贝，求此时声音强度的最大值．

【答案】见解析

【详解】（Ⅰ）将 瓦平方米， 瓦平方米代入，

得；

（Ⅱ）由，则；

（Ⅲ）由题意知，，解得，

所以的最大值为瓦平方米．