11、初中数学.直线、射线、线段.第11讲

直线、射线、线段的概念：

① 在直线的基础上定义射线、线段：

直线上的一点和这点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点．

直线上两点和中间的部分叫线段，这两个点叫线段的端点．

② 在线段的基础上定义直线、射线：

把线段向一方无限延伸所形成的图形叫射线，

把线段向两方无限延伸所形成的图形是直线．

点与直线的关系：点在直线上；点在直线外．

两个重要公理：

① 经过两点有且只有一条直线，也称为“两点确定一条直线”．

② 两点之间的连线中，线段最短，简称“两点之间，线段最短”．

两点之间的距离：两点确定的线段的长度．

⑴ 点的表示方法：我们经常用一个大写的英文字母表示点：，，，，……

⑵ 直线的表示方法：

①    用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示直线上的点，不分先后顺序，如直线AB，如下图⑴

也可以写作直线BA．

② 用一个小写字母来表示，如直线，如上图⑵．

注意：在直线的表示前面必须加上“直线”二字；用两个大写字母表示时字母不分先后顺序．

⑶ 射线的表示方法：

① 用两个大写字母来表示．第一个大写字母表示射线的端点，第二个大写字母表示射线上的点．如射线OA，如图⑶，但不能写作射线AO．

② 用一个小写字母来表示，如射线，如图⑷．

注意：在射线的表示前面必须加上“射线”二字．用两个大写字母表示射线时字母有先后顺序，射线的端点在前．

⑷ 线段的表示方法：

① 用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示线段的两个端点，无先后顺序之分，如线段AB，如图⑸，也可以写作线段BA．

② 也可以用一个小写字母来表示：如线段，如图⑹．

注意：在线段的表示前面必须加上“线段”二字．用两个大写字母表示线段时字母不分先后顺序．

直线、射线、线段的主要区别：

中点：把线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点．

模块一 直线、射线、线段的概念

【例1】         下列说法正确的是（  ）

A. 直线上一点一旁的部分叫做射线

B. 直线是射线的2倍

C. 射线与射线是同一条射线

D. 过两点可画出两条射线

【巩固】下列说法中正确的是（　）

A. 直线的一半是射线　

B. 延长线段至，使

C. 从北京到上海火车行驶的路程就是这两地的距离

D. 三条直线两两相交，有三个交点　

【例2】         下列语句准确规范的是(   )

A. 直线相交于一点   

B. 延长直线

C. 反向延长射线 (是端点) 

D. 延长线段到，使

【巩固】下面说法中错误的是(    )

A. 直线和直线是同一条直线

B. 射线和射线是同一条射线

C. 线段和线段是同一条线段

D. 把线段向两端无限延伸便得到直线

【巩固】下列叙述正确的是（   ）

A．孙悟空在天上画一条十万八千里的直线

B．笔直的公路是一条直线

C．点一定在直线上

D．过点、可以画两条不同的直线，分别为直线和直线

【例3】         根据直线、射线、线段各自的性质，如下图，能够相交的是（  ）

【巩固】下列四个图形中各有一条射线和一条线段，它们能相交的是（ ）

【巩固】下列叙述正确的是(     )

A．可以画一条长的直线 

B．一根拉紧的线是一条直线

C．直线AB经过C点

D．直线AB与直线BA是不同的直线

【例4】         如图所示根据要求作图：⑴连结AB；⑵作射线AC；⑶作直线BC．

模块二 直线公理

公理：两点确定一条直线

【例5】         如图，图中共有          条线段.

【巩固】平面上有三个点，经过两点画一条直线，则可以画几条直线?

模块三 线段的相关计算

【例6】         如图所示，是线段的中点，则，．

【巩固】判断：若，则说明是的中点．

【巩固】判断：已知，，三点在同一条直线上，，那么是的中点．

【例7】         如图，已知线段上依次有三个点把线段分成四个部分，，求的长度.

【巩固】已知，是上顺次两点，且，为的中点，为　的中点，求的长.

【例8】         如图，已知线段上依次有三个点把线段分成四个部分，分别是的中点，若求的长度.

【巩固】摄影组从市到市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到市吃饭，由于堵车，中 午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问两市相距多少千米？

模块四 两点之间线段最短

【例9】         从家到学校共有条路可以走，如图所示，若想走最近的路，应选择     （填序号）.

这是根据                                 ．

【例10】     如图，已知在直线的两侧，在上求一点，使最小；

【巩固】如图，有一个正方体的盒子，在盒子内的顶点处有一只蜘蛛，而在对角的顶点处有一只苍蝇。蜘蛛应沿着什么路径爬行，才能在最短的时间内捕捉到苍蝇？（假设苍蝇在处不动）

板块六　线段长度总和

数线段：

如果直线上有个点（含有条基本线段，把相邻两点间的线段叫做基本线段），

直线上的线段条数为：（条）.

【例11】     如图，直线上有三个不同的点，且，那么到三点距离的和最小的点（   ）

A．是点     B．是线段的中点     C．是线段外的一点      D．有无穷多个

【巩固】如图，是线段上一点，是线段的中点，已知图中所有线段的长度之和为，线段　的长度和线段的长度都是正整数，则线段的长度为__________。

【例12】     如图，线段厘米，那么图中所有线段长度之和等于多少厘米？

【巩固】已知是线段上顺次三点，，则这个图形中所有线段的长度之和为多少？

【例13】     一条直线从左到右依次排列着2004个点:已知点是线段的等分点中最靠近的那个分点.例如，点就是线段的五等份点中最靠近的那个点，如果线段的长度是1，线段的长度为，求证:

【例14】     是线段的中点，是线段上的一点，如图所示，若所有线段的长度都是正整数，且线段的所有可能数的乘积等于140，则线段的所有可能的长度的和等于

【巩固】如图，已知是线段上一点，是线段的中点，是线段的中点，为的中点，为的中点，则等于（      ）

A．1      B．2      C．3       D．4

【巩固】如图，是直线上的一个点，请你在点的右侧每隔1厘米取一个点，共取三个点，那么，

（1）用三个字母任意标在所取的三个点上，一共有_______中不同标法；

（2）在每种标法中，的长度与的长度的比分别是__________。

板块七　线段长短比较

（1）叠合法：比较两条线段、的长短，可把它们移到同一条直线上，使一个端点和重合，另一个端点和落在直线上（或）的同侧，若点、重合，则；若在线段上，则；若在线段外，则。

   （2）度量法：分别度量出每条线段的长度，再按长度的大小，比较线段的大小，线段的大小关系和它们长度的大小关系是一致的。

【例15】     如图，线段，是中点，是中点，试比较和的大小.

【巩固】如图，已知，是线段上的任意两点，是的中点，是的中点，

请你说明：.

１.　如图，是上任意一点，是的三等分点，是的三等分点，，求的长度.

２.　如图，已知在直线的同侧，在上求一点，使最小；

３.　如图，依次是线段上三点，已知，，则图中所有线段长度之和是多少？

４.　已知：如图，中，，，，均为边上的点，且，，，若，则图中所有三角形的面积之和为        ．