12、初中数学.角、角平分线.第12讲

一、角的定义

定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.

角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段．

定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.

    (1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.

    (2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.

注意：由角的定义可知：

（1）角的组成部分为：两条边和一个顶点；

（2）顶点是这两条边的交点；

（3）角的两条边是射线，是无限延伸的.

（4）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部.

角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。

二、角的表示方法

①   利用三个大写字母来表示，如图1.1．

注意：顶点一定要写在中间．也可记为，但不能写成或等．

②     利用一个大写字母来表示，如图1.2．

注意： 用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个．

③ 用数字来表示角，如图2.1．

③   用希腊字母来表示角，如图2.2．

三、单位换算

1度＝60分()    1分=60秒()

四、角的度量

（1）度量角的工具常用量角器

用量角器注意：对中（顶点对中心）、重合（角的一边与量角器上的零刻度重合）、读数（读出角的另一边所在线的度数）

（2）角的度量单位及其换算

角的度量单位是度、分、秒．把平角分成等份，每一份就是一度的角，记做．把一度的角等分，每一份叫做分的角，记做．把一分的角等分，每一份叫做秒的角，记做．

角度之间的关系

周角=           平角＝        直角＝

周角＝平角         平角＝直角

角的分类：

锐角（），直角（），钝角（）．

五、两角的和、差、倍、分

（1）两角的和、差、倍、分的度数等于它们的度数的和、差、倍、分.

（2）从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线.

（3）角平分线的画法：①用量角器②用折叠法

在一张透明纸上画一个角，记为∠PQR，折线使射线QR与射线QP重合，把纸展开，以Q为端点，沿折痕画一条射线，这条射线就是∠PQR的平分线.说说为什么这条线平分∠PQR？

六、用尺规做已知角的平分线方法

作法：（1）以点为圆心，以任意长为半径，交角的两边于两点；

（2）分别以A、B两点为圆心，以大于长为半径画弧，画弧交于点；

（3）过C点作射线OC。

所以，射线OC就是所求作的。

七、余角、补角

（1）如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角.简称“互补”.

（2）如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，简称“互余”.

（3）补角、余角的性质：同角或等角的补角相等.同角或等角的余角相等.

八、 方位角

方位角一般以正北、正南为基准，描述物体运动方向.即“北偏东度”、“北偏西度”、“南偏东度”、“南偏西度”，方位角的取值范围.“北偏东45度”为东北方向、“北偏西45度”西北方向、“南偏东45度”为东南方向、“南偏西45度”为西南方向.

九、 钟表角度问题

时针12小时转动360度，每小时转动30度；

分针60分钟转动360度，每分钟转动6度。

秒针60秒钟转动360度，每秒钟转动6度。

一、角的概念及表示

【例1】角是由有　　　的两条射线组成的图形，两条射线的　　　是这个角的顶点，角也可以看成是由一条射线　　　　　　　　　　．

【例2】下列语句正确的是（   ）

①角的大小与边的长短无关。

②如果一个角能用一个大写字母表示，那么以为顶点的角只有一个

③如果一个角能表示为，那么以顶点为顶点的角只有一个。

④两条射线组成的图形叫做角

A  ①、②     B  ①、③     C  ①、④      D  ②、③

【例3】如图，角的顶点是          ，边是           ，

用三种方法表示该角分别为                    ．     

【巩固】              在右图中，角的表示方法正确的是（    ）

A．       B．       C．    D．

【巩固】              如图，以为顶点的角共有几个?请把它们写出来，以为顶点的角呢?

【例4】下图中，以为顶点的角是_________。有一边与射线在同一条直线上的角有__________个。

【例5】判断

（  ）一条射线绕它的端点旋转一周所成的角是平角．

（  ）用倍的放大镜看的角，这个角就变成了．

（  ）由两条射线组成的图形叫做角．

（  ）延长一个角的两边．

（  ）平角就是一条直线；周角就是一条射线．

二、角的分类

【例6】下列语句正确的是（　　）

 A、平角就是一条直线      B、周角就是一条射线

 C、小于平角的角是钝角  D、一周角等于四个直角

【例7】如图，图中包含小于平角的角的个数有（　　）

 A、4个  B、5个

 C、6个  D、7个

【例8】如图，∠AOB是平角，则图中小于平角的角共有（　　）

 A、4个  B、7个

 C、9个  D、10个

【例9】如图，必须用三个大写字母表示且小于180°的角共有（　　）

 A、10个  B、15个    C、20个  D、25个

【例10】如图，∠CAE=90°，锐角有（　　）个，钝角至少有（　　）个．

 A、4，3  B、3，2

 C、6，3  D、4，2

三、角度的换算及运算

【例11】（1）

（2）

【巩固】          （1）；（2）；

（3）；（4）．

【例12】（1）。（2）

【巩固】              （1）；        （2）；

（3） ；（4）；

（5）；       （6）

（7）；          （8）

【例13】在小于平角的范围内，用一对普通的三角板能画出确定度数的角有（     ）个

A．4个    B．7个     C．11个      D．16个

【例14】如右图，是直线，，求的度数．

四、余角和补角

【例15】如图，于，，平分，则图中与互余的角有______个；互补的角有_________对；

【巩固】               如图，是直线上的一点，，，平分，则图中彼此互补的角共有______对．

【例16】如下图，，，在一条直线上，是锐角，则的余角是（   ）

A．                    B．

C．                   D．

【例17】一个角和它的余角的比是，则这个角的补角是     

【例18】一个锐角的一半与这个锐角的余角及这个锐角的补角的和等于平角，求这个锐角的度数．

【例19】如果一个角的补角与余角的和，比它的补角与余角的差大，求这个角的余角度数．

【巩固】               一个角与角之和的等于角的余角，求．

【巩固】               已知的余角是的补角的，并且，试求的度数．

【例20】已知两角互补，试说明：较小角的余角等于两角差的一半。

五、角平分线

【例21】从一个角的顶点出发，把它分成两个角的直线叫做这个角的平分线．　　（填“正确”或“错误”）

【例22】如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB=55°，则∠BOD的度数是（　　）

 A、35°  B、55°

 C、70°  D、110°

【例23】如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOC=80°，则∠AOE的度数是（　　）

 A、40°  B、50°

 C、80°  D、100°

【例24】如图所示，将一张长方形纸的一角斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，如果BD为∠ABE的平分线，则∠CBD=（　　）

 A、80°  B、90°

 C、100°  D、70°

【例25】如图，BE、CF分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，∠A=44°，那么∠BDC的度数为（　　）

 A、68°  B、112°

 C、121°  D、136°

【例26】下列说法正确的是（　　）

 A、两点之间直线最短  

B、用一个放大镜能够把一个图形放大，也能够把一个角的度数放大

 C、将一个角分成两个角的射线叫角的平分线  

D、直线l经过点A，那么点A在直线l上

六、方位角

【例27】下面图形中，表示北偏东的是（    ）

【巩固】               下列说法不正确的是（     ）

  A．方向是北偏东                 

  B．方向是北偏西

  C．方向是南偏西

  D．方向是东南方向

【例28】如图，平面内有两点

（1）分别画出点处北偏东的方向和点处北偏西的方向．

（2）点位于的什么方向（精确到）

【例29】如图，、、、是北京奥运会场馆分布图，请结合图形回答问题．

为了方便指明每个场馆的位置，以天安门为中心（即点的位置）建立了位置指示图，直线

相交于，，请按要求完成下列问题：

①若在图上测得，，，则可知场馆的位置是北偏西，据中心，可简记为（，北偏西）．据此方法，场馆的位置可简记为（_________，________）．

②可求得________；

③在现有的图形中（不增加新的字母），与_____________是互补的角．

七、共定点角的相关计算

【例30】如图，在直线上取一点，在同侧引射线，，，使和互余，射线和分别平分和，求证：．

【巩固】              如图，直线，相交于点，作，平分，若，求．

【例31】如图所示，，是内部的任意一条射线，若平分，平分，试求的度数．

【例32】如图，是一个平角

，求的度数．

【例33】已知：如图，是外的一条射线，平分．平分．

①若，，  问：

②若，求的度数并说明理由．

【例34】为外的一个锐角，射线、分别平分、．

（1），，求的度数；

（2），，求的度数；

（3），，还能否求出的度数吗？若能，求出其值，若不能，说明理由．

（4）从前三问的结果你发现了什么规律？

【例35】已知：、、是从点引出的三条射线，，求.

【巩固】               已知一条射线，若从点再引两条射线与，使，，求的度数.

【例36】已知都是钝角，计算，正确的结果只可能是（     ）

A．     B．     C．       D．

【巩固】、、中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算的值时，有三位同学分别算出了、、这三个不同的结果．其中确有一个是正确的答案，求的值．

【例37】在同一平面内有射线平分，的3倍比的2倍多，，求的度数.

【例38】以的顶点为端点引射线，使得，且，均小于，若，求的度数.

八、钟表角度问题

【例39】从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是（　　）

 A、30  B、60°

 C、90°  D、120°

【例40】下午2点30分时（如图），时钟的分针与时针所成角的度数为（　　）

 A、90°  B、105°

 C、120°  D、135°

【例41】由2点15分到2点30分，时钟的分针转过的角度是（　　）

 A、30°  B、45°

 C、60°  D、90°

【例42】钟面上从2点到4点有几次时针与分针夹成的角？分别是几点几分？

【例43】钟表在12点钟时三针重合，经过分钟后，秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分，则的值是多少?

1. 一个角的补角和它的余角的倍的和等于周角的，求这个角．

2. 下列图形中，表示南偏西的是（    ）

3. 下列说法中，正确的是（　　）

   A、一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线  

B、两个锐角的和为钝角

   C、相等的角互为余角  

D、钝角的补角一定是锐角

4. 一个角的余角的倍和它的补角的互为补角，求这个角的度数．

5. 已知一个角的补角等于这个角余角的倍，那么这个角等于多少？

6. 如图，平分，平分，若，，求的小．