08、初中数学.一元一次方程的应用题(一).第08讲

应用题是中学数学中的一类重要问题，一般通过对问题中量的关系进行分析，适当的设未知数，找出等量关系列出方程加以解决.很多同学见到应用题就发怵，觉得题目长，文字多，关系复杂，难以把握.其实应用题关键在于读题，弄懂题意.一些常见的问题，比如行程问题、工程问题、利率问题、浓度问题等等，其中的基本关系一定要深刻理解.

设未知数的方法一般来讲，有以下几种：

直接设未知数解应用题：

直接设未知数指题目问什么就设什么，它多适用于要求的未知数只有一个的情况；

间接设未知数解应用题：

设间接未知数，是指所设的不是所求的，而解得的间接未知数对确定所求的量起中介作用；

引入辅助未知数解应用题：

设辅助未知数，就是为了使题目中的数量关系更加明确，可以引进辅助未知数帮助建立方程.辅助未知数往往不需要求出，可以在解题时消去.

解应用题的方法多种多样，除此之外，还有运用逆推法解应用题、运用整体思想解应用题、运用图形图表法解应用题等等，单纯的背这些方法是没有意义的，关键还在于提高理解能力，大量练习，从而学会快速读懂题意，综合运用各种方法去求解问题.

列方程解应用题的步骤：

①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系

②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） 

③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系

④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程

⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值

⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）

模块一 和差倍分问题

【例1】         玻璃缸里养了三个品种的金鱼，分别是“水泡”“朝天龙”“珍珠”．“水泡”的条数是“珍珠”的3倍；“朝天龙”的条数是“珍珠”的2倍，且“朝天龙”比“水泡”少1条，这三种金鱼各有几条呢?

【巩固】甲队有32人，乙队有28人，现从乙队抽人到甲队，使甲队是乙队人数的2倍，依题意，列出方程为             .

【巩固】汽车若干辆装运货物一批，若每辆汽车装吨货物，这批货物就有2吨运不走；若每辆汽车装4吨货物，那么装完这批货物后，还可以装其他货物1吨，问汽车有多少辆?这批货物有多少吨？

【例2】         ⑴ 甲仓库有粮吨．乙仓库有粮吨．从甲仓库调运       吨到乙仓库，调剂后甲仓库存粮是乙仓库的一半．

⑵ 甲乙两个圆柱体容器，底面积比为，甲容器水深，乙容器水深，再往两个容器注入同样多的水，使两个容器的水深相等，这时水深多少厘米?     

【巩固】某公司有甲乙两个工程队，甲队人数比乙队人数的多人．现因任务需要，从乙队调走20人到甲队，这时甲队人数是乙队人数的2倍，则甲乙两队原来的人数分别是多少人？

【巩固】甲、乙、丙三条铁路共长千米，甲铁路长比乙铁路的倍少千米，乙铁路长比丙铁路少 千米，求甲铁路的长． 

【巩固】如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的．两根铁棒长度之和为，此时木桶中水的深度是    ．

【例3】         牧羊人赶着一群羊寻找一个草长得茂盛的地方，一个过路人牵着一只肥羊从后面跟了上来，他对牧羊人说：“你赶的这群羊大概有100只吧!”牧羊人答道：“如果这群羊增加一倍，再加上原来这群羊的一半，又加上原来这群羊一半的一半，连你这只羊也算进去，才刚好凑满100只．”问牧羊人的这群羊共有多少只?

模块二 行程问题

☞追击问题

解决追击问题的一个最基本的公式：追击时间速度差追击的路程．于此相关的问题都可以应用这一公式进行解答．

【例4】         敌我两军相距32千米，敌军以每小时6千米的速度逃窜，我军同时以每小时16千米的速度追击在相距2千米的地方发生战斗，问战斗是从开始追击后几小时发生的？

【巩固】环城自行车赛，最快的人在开始48分钟后遇到最慢的人，已知最快的人的速度是最慢的人速度的倍，环城一周是20千米，求两个人的速度。

【巩固】一个通迅员骑摩托车追赶前面部队乘坐的汽车，汽车的速度是每小时28千米，摩托车的速度是每小时42千米，通讯员出发4小时后追上汽车，求部队比通讯员早出发几小时？

【例5】         某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟，若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在此人打算在火车开车前10分钟到达火车站，则此人此时骑摩托车的速度应为多少？

【巩固】甲乙两列火车，甲车长160，乙车长120，甲车速度为20，乙车速度为；若乙车从后面追赶甲车，问从乙车追上甲车到乙车超过甲车的时间是多少？

☞相遇问题

解决相遇问题的基本公式为：速度和相遇时间路程．

【例6】         乙两站的路程为360千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶72千米；一列慢车从甲站开出，每小时行驶48千米．两列火车同时开出，相向而行，经过多少小时相遇？

【巩固】甲、乙两人从相距75的、两地相向而行，甲每小时行,乙每小时行，问：（1）两人同时出发，多少小时相遇？（2）甲先走2小时后乙出发，问乙出发几小时后两人相遇

【巩固】甲、乙两人从相距73的、两地相向而行，甲每小时行7,乙每小时行2，问：两人同时出发，多少小时相距1？

☞变速问题

【例7】         一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行525米，预计40分钟到达，但行到一半路程时，机器发生故障，用5分钟修理完毕，如果仍在预计的时间内到达，行驶余下的路程，每分钟比原来速度快多少米？

【巩固】某人以每小时8千米的速度上山，以每小时12千米的速度下山，共用5小时。问上山需要用多少时间？

【巩固】Cenrrie带着宠物狗“旺财”去玩接“飞盘”的游戏，Cenrrie站一个小山坡的脚下，当Cenrrie扔出“飞盘”，“旺财”从Cenrrie身边同时跑出去速度为6，接到“飞盘”后以9的速度跑回Cenrrie身边，问整个过程中“旺财”的平均速度是多少？

【例8】         某人有急事，预定搭乘一辆小货车从A地赶往B地．实际上，他乘小货车行了三分之一路程后改乘一辆小轿车，车速提高了一倍，结果提前一个半小时到达．已知小货车的车速是36千米／小时，求两地间路程.

【巩固】一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，从乙港返回甲港需航行多少小时？

☞流水问题

流水问题的常用公式：

【例8】         一小船由A港到B港顺流需行6小时，由B港到A港逆流需行8小时，一天，小船从早晨6点由A港出发顺流行至B港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立即返回，1小时后找到救生圈.问：

⑴若小船按水流速度由A港漂流到B港需多少小时？

⑵救生圈是何时掉入水中的？

【巩固】甲、乙两港相距360千米，一轮船往返两港需35小时，逆流航行比顺流航行多花了5小时，现有一机帆船，静水中速度是每小时12千米，问这机帆船往返两港要多少小时？

模块三 工程问题

【例9】         某车间原计划每周装配台机床，预计若干周完成任务．在装配了三分之一以后，改进操作技术，工效提高了一倍，结果提前一周半完成任务．求这次任务需装配机床总台数．

【巩固】某工程，甲工程队单独做天完成，乙工程队单独做需要天完成，若乙工程队单独做天后，甲、乙两工程队再合作天完成．列方程为          ．

【例10】     一水池，装有甲、乙两个进水管和一个出水管丙，如果单独开发甲管4小时注满水池；单独开放乙管3小时可注满水池；单独开放丙管8小时可以把满池水放完。问三管一齐开放，几小时注满水池？

【巩固】有一个水池，用甲抽水机抽水小时可以把全池水的抽完，用乙抽水机小时可以把全池水的抽完，若两台抽水机同时工作，几小时可将全池的水抽完？

模块四、配套问题

1．在配套问题中，配套的物品之间具有一定的数量关系，这个数量关系可以作为列方程的依据．

2．配套问题中的基本数量关系：若m个A和n个B配成一套，则，可得等量关系：m×B的数量=n×A的数量．

3．审题时，要注意对题目中“恰好”“最多”等关键词的理解．

【例1】佳福服装公司为学校加工一批校服，3米长的布料可制作上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用600米长的布料加工校服，请你帮该公司计算一下，分别用多少布料生产上衣和裤子，才能配套？共能加工多少套校服？

模块五、比赛中的积分问题

在比赛积分问题中，基本相等关系有：

某个队的参赛场数=该队的胜场数+该队的负场数+该队的平场数；

某个队的总积分=该队的胜场积分+该队的负场积分+该队的平场积分．

【例4】篮球比赛规定：胜一场得3分，负一场得1分，某篮球队共进行了6场比赛，得了12分，该队获胜的场数是

A．2          B．3    

C．4          D．5

1. 甲乙两人从相距米的两地同时相对而行，甲每分钟行米，乙每分钟行米．几分钟后，甲乙二人相遇？如果甲带了一只狗和甲同时出发，狗以每分钟米的速度向乙跑去，遇到乙后立刻回头向甲跑去。这样，狗在甲乙二人之间来回奔跑，直到两人相遇时为止。求这只狗跑了多少路？

2.在一次有12个队参加的足球循环赛中(每两队之间比赛一场)，规定胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．某队在这次循环赛中所胜场数比所负场数多2场，结果共积19分．问：该队在这次循环赛中战平了几场？

3．程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：

一百馒头一百僧，大僧三个更无争，

小僧三人分一个，大小和尚得几丁．

意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人，下列求解结果正确的是

A． 大和尚25人，小和尚75人    B． 大和尚75人，小和尚25人

C． 大和尚50人，小和尚50人    D． 大、小和尚各100人

1.  一个两位数，十位数字是个位数字的倍，如果把十位数字与各位数字交换，所成的新数比原数少，求原数.

2. 一个两位数，十位数字比个位数字的倍多．将两个数字调换位置后，所得的数比原数小，求原来的两位数．

3. 船在静水中的速度为每小时千米，水流速是每小时千米，船从上游乙港到下游甲港航行了小时，从甲港返回乙港需要多少小时？

4．某市中学生运动会篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得3分，负一场得1分，已知某篮球队在七场比赛中共得到15分，则该篮球队在这七场比赛中获胜了

A．六场         B．五场   

C．四场         D．三场