高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第一册 第3章 再练一课(范围：§3.1)(含解析)

再练一课(范围：§3.1)

1．若点A(a，1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是(　　)

A．－<a<

B．a<－或a>

C．－2<a<2

D．－1<a<1

答案　A

解析　由题意知＋<1，

解得－<a<.

2．若椭圆的焦距与短轴长相等，则此椭圆的离心率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　依题意，2c＝2b，

所以b＝c，所以a2＝b2＋c2＝2c2，

所以e2＝，又0＜e＜1，

所以e＝.

3．焦点在x轴上，短轴长为8，离心率为的椭圆的标准方程是(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

答案　C

解析　由题意，知2b＝8，得b＝4，所以b2＝a2－c2＝16.又e＝＝，

解得c＝3，a＝5.又焦点在x轴上，故椭圆的标准方程为＋＝1.

4．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(　　)

A．(0,1)   B.

C.   D.

答案　C

解析　∵·＝0，∴⊥，

∴点M在以F1F2为直径的圆上，

又点M总在椭圆的内部，

∴c<b，∴c2<b2＝a2－c2，即2c2<a2，

∴<，即<.

又0<e<1，∴0<e<.

5．若椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　依题意得＝，所以c＝2b，

所以a＝＝b，

所以e＝＝＝.

6．已知椭圆＋＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则它的离心率为________．

答案　

解析　由题意，得m2＝9＋42＝25，因为m＞0，所以m＝5，所以椭圆的离心率为.

7．已知椭圆的焦点在y轴上，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为__________．

答案　＋x2＝1

解析　由题意，知2a＝8,2c＝2，所以a＝4，c＝，所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.

又椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋x2＝1.

8．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为，则椭圆C的方程为__________．

答案　＋y2＝1

解析　由题意知＝，

可得a2＝4b2.

椭圆C的方程可化简为x2＋4y2＝a2.

将y＝x代入可得x＝±，

因此×＝，可得a＝2.

因此b＝1.

所以椭圆C的方程为＋y2＝1.

9．求满足下列条件的椭圆的标准方程．

(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；

(2)离心率为，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26.

解　(1)由焦距是4可得c＝2，又焦点在y轴上，则焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．

由椭圆的定义，知2a＝＋＝8，

所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.

所以椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)由题意，知2a＝26，即a＝13，

又e＝＝，所以c＝5，

所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，

因为焦点所在的坐标轴不确定，

所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.

10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，焦距为2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知椭圆C与直线x－y＋m＝0相交于不同的两点M，N，且线段MN的中点不在圆x2＋y2＝1内，求实数m的取值范围．

解　(1)由题意知e＝＝，2c＝2，解得a＝，c＝1，又a2－b2＝c2，所以a2＝2，b2＝1.

故椭圆的方程为＋y2＝1.

(2)联立

消去y可得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.

则Δ＝16m2－12(2m2－2)>0⇒－<m<.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－，

则y1＋y2＝.

所以MN的中点坐标为，

因为MN的中点不在圆x2＋y2＝1内，

所以2＋2≥1⇒m≥或m≤－，

综上，可知－<m≤－或≤m＜.

11．已知F为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，点F关于直线x＋y＝0的对称点A在椭圆C上，则椭圆C的离心率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　设F(－c，0)，由题意知点A的坐标为(0，c)，因为点A在椭圆C上，所以b＝c，

所以a2＝b2＋c2＝2c2，即a＝c，所以椭圆C的离心率为＝＝.故选B.

12．若直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为(　　)

A．2  B．1  C．0  D．0或1

答案　A

解析　由题意，得>2，所以m2＋n2<4，

所以点P(m，n)是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点，

所以点P(m，n)在椭圆＋＝1内，

则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1有2个交点．

故选A.

13．设F1，F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，则·的值等于(　　)

A．0  B．2  C．4  D．－2

答案　D

解析　由题意得c＝＝，

又＝2××|F1F2|·h(h为F1F2边上的高)，

所以当h＝b＝1时，取最大值，此时∠F1PF2＝120°.

所以·＝||·|| ·cos 120°＝2×2×＝－2.

14．已知椭圆＋＝1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是________．

答案　

解析　由题意知a＝2，所以|BF2|＋|AF2|＋|AB|＝4a＝8，

因为|BF2|＋|AF2|的最大值为5，所以AB的最小值为3，

当且仅当AB⊥x轴时，取得最小值，此时A，B，

代入椭圆方程得＋＝1，

又c2＝a2－b2＝4－b2，所以＋＝1，即1－＋＝1，所以＝，解得b2＝3，

所以b＝.

15．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是________．

答案　

解析　由消去y得，

(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.

设M(x1，y1)，N (x2，y2)，MN的中点为(x0，y0)，

则x1＋x2＝，

所以x0＝，

代入y＝1－x得y0＝.

由题意知＝，所以＝.

16．已知椭圆C：＋y2＝1.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)已知定点E(－1,0)，若直线y＝kx＋2(k≠0)与椭圆交于A，B两点，则是否存在实数k，使得以AB为直径的圆过点E？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

解　(1)由题意，知a2＝3，b2＝1，则a＝，c＝＝，

所以椭圆C的离心率为＝＝.

(2)假设存在实数k满足条件，

由得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0，

所以Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)＞0，即k＞1或k＜－1.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①

而y1·y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4.

要使以AB为直径的圆过点E(－1,0)，只需AE⊥BE，

即·＝0，即y1y2＋(x1＋1)(x2＋1)＝0，

所以(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝0.②

将①代入②，解得k＝，满足题意．

综上，存在k＝，使得以AB为直径的圆过点E.