高中数学3.3 抛物线精品第2课时同步练习题

第2课时　 抛物线的方程及性质的应用

学习目标　1.会求一些与抛物线有关的轨迹方程问题.2.解决一些抛物线的综合问题．

知识点一　和抛物线有关的轨迹方程

根据定义，可以直接判定一个动点的轨迹是抛物线，求动点的轨迹方程．

知识点二　直线和抛物线

1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p.

2．抛物线的焦点弦

过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

①y1y2＝－p2，x1x2＝；

②＝x1＋x2＋p；

③＋＝.

1．若动点P与定点F(1,1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是(　　)

A．椭圆  B．双曲线  C．抛物线  D．直线

答案　D

解析　方法一　设动点P的坐标为(x，y)．

则＝.

整理，得x2＋9y2＋4x－12y－6xy＋4＝0，

即(x－3y＋2)2＝0，∴x－3y＋2＝0.

所以动点P的轨迹为直线．

方法二　显然定点F(1,1)在直线l：3x＋y－4＝0上，则与定点F和直线l距离相等的动点P的轨迹是过F点且与直线l垂直的一条直线．

2．已知动圆M与直线y＝3相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)

A．x2＝－12y   B．x2＝12y

C．y2＝12x   D．y2＝－12x

答案　A

解析　设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等．

由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.

3．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|等于(　　)

A．5  B．6  C．8  D．10

答案　C

解析　由抛物线的定义知|P1P2|＝y1＋y2＋p＝6＋2＝8.

4．P为抛物线y2＝2px的焦点弦AB的中点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|，|BB1|，|PP1|，则有(　　)

A．|PP1|＝|AA1|＋|BB1|

B．|PP1|＝|AB|

C．|PP1|>|AB|

D．|PP1|<|AB|

答案　B

解析　如图所示，根据题意，PP1是梯形AA1B1B的中位线，

故|PP1|＝(|AA1|＋|BB1|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|.

一、和抛物线有关的轨迹问题

例1　设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大.

(1)求点P的轨迹方程；

(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2，求实数k的值．

解　(1)过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则|PN|＝y，由题意知|PM|－|PN|＝，

∴＝y＋，化简得x2＝2y.故点P的轨迹方程为x2＝2y.

(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y化简得x2－2kx－2＝0，

∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.

∵|AB|＝·

＝·

＝2，

∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.

反思感悟　求轨迹问题的两种方法

(1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程．

(2)定义法： 若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解的曲线方程．

跟踪训练1　若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程．

解　设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2,0)，半径r＝1.

因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1.

又动圆M与已知直线x＋1＝0相切，

所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R.

所以|MC|＝d＋1.

即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离．

由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x＋2＝0为准线的抛物线，且＝2，p＝4，

故其方程为y2＝8x.

二、抛物线的综合问题

例2　如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N.

(1)求y1y2的值；

(2)连接MN，记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明：为定值．

(1)解　依题意，设AB的方程为x＝my＋2，

代入y2＝4x，得y2－4my－8＝0，从而y1y2＝－8.

(2)证明　设M(x3，y3)，N(x4，y4)，

＝×＝×＝，

设直线AM的方程为x＝ny＋1，

代入y2＝4x，消去x得y2－4ny－4＝0，

所以y1y3＝－4，同理y2y4＝－4，

＝＝＝，

由(1)知y1y2＝－8，所以＝2为定值．

反思感悟　解决抛物线综合问题的基本策略

对于抛物线的综合问题，可以从直线、抛物线的方程出发，结合解一元二次方程，经过逻辑推理和数学运算，从代数法的角度推证结论．

跟踪训练2　(1) 已知A(2,0)，B为抛物线y2＝x上的一点，则|AB|的最小值为________．

答案　

解析　设点B(x，y)，则x＝y2≥0，

所以|AB|＝＝＝＝.

所以当x＝时，|AB|取得最小值，且|AB|min＝.

(2)已知动点P在y轴的右侧，且点P到y轴的距离比它到点F的距离小1.

①求动点P的轨迹C的方程；

②设斜率为－1且不过点M的直线交C于A，B两点，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，求证：k1＋k2＝0.

①解　依题意动点P的轨迹是抛物线(除原点)，其焦点为F，准线为x＝－1，

设其方程为y2＝2px，则＝1，解得p＝2，

所以动点P的轨迹C的方程是y2＝4x.

②证明　设直线AB：y＝－x＋b，A，B，

由得y＝－＋b，即y2＋4y－4b＝0，

Δ＝16＋16b>0，所以b>－1，y1＋y2＝－4，因为x1＝，x2＝，

所以k1＋k2＝＋＝＋

＝＋＝＝0.

因此k1＋k2＝0.

与抛物线有关的最值问题

典例　求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离．

解　方法一　设A(t，－t2)为抛物线上的点，

则点A到直线4x＋3y－8＝0的距离

d＝＝

＝

＝＝2＋.

所以当t＝时，d取得最小值.

方法二　如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0，

由

消去y得3x2－4x－m＝0，

∴Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－.

故最小距离为＝＝.

[素养提升]　求距离的最值，常见的解题思路：

一是利用抛物线的标准方程进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，以计算函数最值来解决，体现了数学计算的核心素养；

二是利用数形结合转化两平行线间距离求得，体现了逻辑推理素养，提升直观想象能力．

1．动点P(x，y)到点F(3,0)的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点的轨迹是(　　)

A．椭圆   B．双曲线

C．双曲线的一支   D．抛物线

答案　D

解析　依题意可知动点P(x，y)在直线x＋2＝0的右侧，设P到直线x＋2＝0的距离为d，则|PF|＝d＋1，所以动点P到F(3,0)的距离与到x＋3＝0的距离相等，其轨迹为抛物线.

2．已知动圆M经过点A(3,0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)

A．y2＝12x   B．y2＝－12x

C．x2＝12y   D．x2＝12y

答案　A

解析　设动点M(x，y)，⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，

则|MA|＝|MN|，

即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等，

∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3,0)为焦点，

以直线l：x＝－3为准线，

∴＝3，∴p＝6，

故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x.

3．设A，B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为16，则∠AOB等于(　　)

A．30°  B．45°  C．60°  D．90°

答案　D

解析　由|OA|＝|OB|，知抛物线上点A，B关于y轴对称，

设A，B，a>0.

S△AOB＝×2a×＝16，解得a＝4，

∴△AOB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°.

4．若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________．

答案　(4,2)

解析　由得x2－8x＋4＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，

故线段AB的中点坐标为(4,2)．

5．已知定点F(1,0)，动点P在y轴上运动，点M在x轴上，且·＝0，延长MP到点N，使得||＝||，则点N的轨迹方程是________．

答案　 y2＝4x

解析　由于||＝||，则P为MN的中点．设N(x，y)，则M(－x，0)，P，

由·＝0，得·＝0，所以(－x)·1＋·＝0，则y2＝4x，

即点N的轨迹方程是y2＝4x.

1．知识清单：

(1)和抛物线有关的轨迹问题．

(2) 抛物线的综合问题．

2．方法归纳：直接法、定义法、代数法．

3．常见误区：轨迹方程的等价性；数学运算的失误．

1．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为(　　)

A．抛物线   B．双曲线

C．椭圆   D．圆

答案　A

解析　设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r，由两圆外切可得，圆心C到点(0,3)的距离为r＋1，所以点C到点(0,3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹是抛物线．

2．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)

A．x＝1  B．x＝－1  C．x＝2  D．x＝－2

答案　B

解析　抛物线的焦点为F，

所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，

即x＝y＋，代入y2＝2px消去x，

得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，

由根与系数的关系得＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，

所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.

3．已知点(x，y)在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋y2＋3的最小值是(　　)

A．2  B．3  C．4  D．0

答案　B

解析　因为点(x，y)在抛物线y2＝4x上，所以x≥0，

因为z＝x2＋y2＋3＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，

所以当x＝0时，z最小，最小值为3.

4．(多选)已知抛物线C：y＝的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，且|AF|＝2y0，则x0等于(　　)

A．2  B．－2  C．－4  D．4

答案　CD

解析　∵抛物线C：y＝，∴x2＝8y，

∴焦点F(0,2)，准线方程为y＝－2.

∵A(x0，y0)是C上一点，且|AF|＝2y0，

由抛物线的定义，得y0＋2＝2y0，

∴y0＝2，∴x＝16，

∴x0＝±4.

5．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，·＝16，则p的值为(　　)

A．2  B．4  C．2  D．8

答案　C

解析　抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，

准线方程为x＝－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)

∴直线AB的方程为y＝x－，

代入y2＝2px可得x2－3px＋＝0，

∴x1＋x2＝3p，x1x2＝，

由抛物线的定义可知，＝x1＋，＝x2＋，

∴·＝

＝x1x2＋(x1＋x2)＋

＝＋p2＋

＝2p2＝16，

解得p＝2.

6．若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________.

答案　2

解析　双曲线x2－y2＝1的左焦点为(－，0)，

所以－＝－，故p＝2.

7．已知A，B为抛物线y2＝2x上两点，且A与B的纵坐标之和为4，则直线AB的斜率为________．

答案　

解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

∴y1＋y2＝4，

∵A，B在抛物线上，

∴相减得

y－y＝2(x1－x2)，

即＝＝＝.

8．已知抛物线C：y2＝2x，直线l的斜率为k，过定点M(x0，0)，直线l交抛物线C于A，B两点，且A，B位于x轴两侧，·＝3(O为坐标原点)，则x0＝________.

答案　3

解析　设直线l的方程为y＝k(x－x0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

与抛物线方程联立可得消y并整理可得，k2x2－(2k2x0＋2)x＋k2x＝0，

由根与系数的关系可得，x1x2＝x，则y1y2＝－＝－2x0，

∵·＝3，∴x1x2＋y1y2＝3，即x－2x0＝3，

解得x0＝3.

9．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．求曲线C1的方程．

解　方法一　设点M的坐标为(x，y)，由已知得|x＋2|＝－3.

易知圆C2上的点位于直线x＝－2的右侧，于是x＋2＞0，所以＝x＋5.

化简得曲线C1的方程为y2＝20x.

方法二　由题设知，条件“对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值”等价于“曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x＝－5的距离”．所以，曲线C1是以点(5,0)为焦点，直线x＝－5为准线的抛物线，所以曲线C1的方程为y2＝20x.

10．已知抛物线y2＝－8x的顶点为O，点A，B在抛物线上，且OA⊥OB，求证：直线AB经过一个定点．

证明　设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为－，则直线OA的方程为y＝kx，

由得A，

同理可得B(－8k2,8k)，

于是直线AB的方程为y－8k＝(x＋8k2)，整理可得y＝(x＋8)，

因此直线AB经过定点(－8,0)．

11．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　由题意可知，直线AB的方程为

y＝，

代入抛物线的方程可得4y2－12y－9＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则y1＋y2＝3，y1y2＝－，

故所求三角形的面积为××＝.

12．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为(　　)

A.  B．2  C．2  D．3

答案　C

解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.

由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y＝(x－1)．

联立方程组

解得或

∵点M在x轴的上方，

∴M(3,2)．

∵MN⊥l，

∴N(－1,2)．

∴|NF|＝＝4，

|MF|＝|MN|＝3＋1＝4.

∴△MNF是边长为4的等边三角形．

∴点M到直线NF的距离为2.

13．已知点A，B在抛物线y2＝4x上且位于x轴的两侧，·＝5(其中O为坐标原点)，则直线AB在x轴上的截距是(　　)

A．5  B.  C.  D．4

答案　A

解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B在抛物线上，所以y＝4x1，y＝4x2，

·＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝5，因为y1y2<0，所以y1y2＝－20.

设直线AB在x轴上的截距为m，

若AB斜率不存在，则y1＝－y2，所以y1＝2，从而x1＝5，m＝5，

若AB斜率存在，设直线AB方程为y＝k(x－m)，

由

得ky2－4y－4km＝0，

y1y2＝－4m＝－20，m＝5.

综上，直线AB在x轴上的截距是5.

14．过抛物线y2＝4x的焦点F且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，则|FA|·|FB|的值为________．

答案　8

解析　过抛物线y2＝4x的焦点F且倾斜角为的直线方程为y＝x－1，

联立得x2－6x＋1＝0，

Δ＝36－4＝32>0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1>0，x2>0，则x1＋x2＝6，x1x2＝1，F(1,0)，

|FA|·|FB|＝·

＝·

＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＝8.

15．已知直线l与抛物线y2＝6x交于不同的两点A，B，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且k1·k2＝，则直线l恒过定点(　　)

A．(－6，0)   B．(－3，0)

C．(－2，0)   D．(－，0)

答案　C

解析　设直线l为x＝my＋n，联立消去x可得y2－6my－6n＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y2＝－6n，

因为k1·k2＝，即·＝，所以＝＝＝，

所以n＝－2，

所以x＝my－2，

所以直线l一定过点

16．已知动圆E经过定点D(1,0)，且与直线x＝－1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)设过点P(1,2)的直线l1，l2分别与曲线C交于A，B两点，直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB的斜率为定值．

(1)解　由已知，动点E到定点D(1，0)的距离等于E到直线x＝－1的距离，由抛物线的定义知E点的轨迹是以D(1，0)为焦点，以x＝－1为准线的抛物线，故曲线C的方程为y2＝4x.

(2)证明　由题意可知直线l1，l2的斜率存在，倾斜角互补，则斜率互为相反数，且不等于零．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l1的方程为y＝k(x－1)＋2，k≠0.

直线l2的方程为y＝－k(x－1)＋2，

由

得k2x2－(2k2－4k＋4)x＋(k－2)2＝0，

已知此方程一个根为1，

∴x1×1＝＝，

即x1＝，

同理x2＝＝，

∴x1＋x2＝，x1－x2＝＝，

∴y1－y2＝[k(x1－1)＋2]－[－k(x2－1)＋2]

＝k(x1＋x2)－2k＝k·－2k＝，

∴kAB＝＝＝－1，

所以，直线AB的斜率为定值－1.