高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线优秀第1课时同步训练题

3．3.2　抛物线的简单几何性质

第1课时　 抛物线的简单几何性质

学习目标　1.掌握抛物线的几何性质.2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．

知识点一　抛物线的简单几何性质

知识点二　直线与抛物线的位置关系

直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．

当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．

当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点．

1．抛物线关于顶点对称．(　×　)

2．抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．(　√　)

3．抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．(　√　)

4．抛物线x2＝4y，y2＝4x的x，y的范围是不同的，但是其焦点到准线的距离是相同的，离心率也相同．(　√　)

5．“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件．(　√　)

一、抛物线的几何性质的应用

例1　(1)等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是(　　)

A．8p2  B．4p2  C．2p2  D．p2

答案　B

解析　因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.

由方程组

得或

不妨设A，B两点的坐标分别为(2p，2p)和(2p，－2p)．

所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝×4p×2p＝4p2.

(2)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，|AB|＝2，求抛物线方程．

解　由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上．

故可设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．

设抛物线与圆x2＋y2＝4的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)．

∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称，

∴点A与B关于x轴对称，

∴|y1|＝|y2|且|y1|＋|y2|＝2，

∴|y1|＝|y2|＝，代入圆x2＋y2＝4，

得x2＋3＝4，∴x＝±1，

∴A(±1，)或A(±1，－)，代入抛物线方程，

得()2＝±a，∴a＝±3.

∴所求抛物线方程是y2＝3x或y2＝－3x.

反思感悟　把握三个要点确定抛物线的简单几何性质

(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．

(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．

(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.

跟踪训练1　(1)边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　)

A．y2＝x   B．y2＝－x

C．y2＝±x   D．y2＝±x

答案　C

解析　设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．

又A(取点A在x轴上方)，则有＝±a，

解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x.故选C.

(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则抛物线的焦点坐标为(　　)

A．(2,0)   B．(1,0)

C．(8,0)   D．(4,0)

答案　B

解析　因为＝2，所以＝＝4，于是b2＝3a2，则＝，

故双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.

而抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，

不妨设A，B，

则|AB|＝p，又三角形的高为，

则S△AOB＝··p＝，

即p2＝4.因为p>0，所以p＝2，故抛物线焦点坐标为(1,0)．

二、直线与抛物线的位置关系

命题角度1　直线与抛物线位置关系的判断

例2　已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．

解　联立消去y，

得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)

当k＝0时，(*)式只有一个解x＝，∴y＝1，

∴直线l与C只有一个公共点，

此时直线l平行于x轴．

当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，

Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)．

①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，

l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；

②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；

③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离．

综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；

当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点；

当k>1时，l与C没有公共点．

命题角度2　直线与抛物线的相交问题

例3　已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝p，求AB所在的直线方程．

解　由题意知焦点F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

若AB⊥x轴，则|AB|＝2p≠p，不满足题意．

所以直线AB的斜率存在，设为k，

则直线AB的方程为y＝k，k≠0.

由

消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.

由根与系数的关系得y1＋y2＝，y1y2＝－p2.

所以|AB|＝

＝·＝2p＝p，

解得k＝±2.

所以AB所在的直线方程为2x－y－p＝0

或2x＋y－p＝0.

延伸探究

本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离．

解　如图，过A，B，M分别作准线x＝－的垂线交准线于点C，D，E.

由定义知|AC|＋|BD|＝p，

则梯形ABDC的中位线|ME|＝p，

∴M点到y轴的距离为p－＝p.

反思感悟　直线与抛物线的位置关系

(1)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论，求解交点时不要忽略二次项系数为0的情况．

(2)一般弦长：|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|.

(3)焦点弦长：设焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.

跟踪训练2　(1)过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有(　　)

A．4条   B．3条

C．2条   D．1条

答案　B

解析　如图，过P可作抛物线的两条切线，即y轴和l1均与抛物线只有一个公共点，过P可作一条与x轴平行的直线l2与抛物线只有一个公共点．

故过点P与抛物线只有一个公共点的直线共3条，故选B.

(2)设抛物线C：x2＝4y焦点为F，直线y＝kx＋2与C交于A，B两点，且·＝25，则k的值为(　　)

A．±2  B．－1  C．±1  D．－2

答案　A

解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线y＝kx＋2代入x2＝4y，

消去x得y2－(4＋4k2)y＋4＝0，

所以y1·y2＝4，y1＋y2＝4＋4k2，

抛物线C：x2＝4y的准线方程为y＝－1，

因为＝y1＋1，＝y2＋1，

所以·＝y1·y2＋(y1＋y2)＋1＝4＋4＋4k2＋1＝25⇒k＝±2.

1．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　)

A．－  B．－1  C．－  D．－

答案　C

解析　因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，且点A(－2,3)在准线上，所以＝－2，解得p＝4，所以y2＝8x，所以焦点F的坐标为(2,0)，故直线AF的斜率k＝＝－.

2．(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为(　　)

A．y2＝8x   B．y2＝－8x

C．x2＝8y   D. x2＝－8y

答案　CD

解析　设抛物线方程为x2＝2py或x2＝－2py(p>0)，

依题意得y＝，代入x2＝2py或x2＝－2py得|x|＝p，

∴2|x|＝2p＝8，p＝4.

∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y.

3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是(　　)

A．(2，±2)   B．(1，±2)

C．(1,2)   D．(2,2)

答案　B

解析　由题意知F(1,0)，设A，则＝，＝.

由·＝－4得y0＝±2，∴点A的坐标为(1，±2)，故选B.

4．抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，若|AB|＝4，则焦点F到直线AB的距离为________．

答案　2

解析　由抛物线的方程可知F(1,0)，由|AB|＝4且AB⊥x轴得y＝(2)2＝12，

∴xA＝＝3，

∴所求距离为3－1＝2.

5．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.

答案　0或1

解析　当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，

当k≠0时，联立方程消去y，得

k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，

由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，

∴k＝1.

1．知识清单：

(1)抛物线的几何性质．

(2)直线与抛物线的位置关系．

2．方法归纳：待定系数法、数形结合法、代数法．

3．常见误区：四种形式的抛物线性质混淆；忽略直线的特殊情况．

1．若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为(　　)

A．4  B．5  C．6  D．7

答案　A

解析　由题意，知抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，

∵抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2，

则P(3，±2)，

∴点P到抛物线的准线的距离为3＋1＝4，

∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A.

2．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线(　　)

A．有且仅有一条   B．有且仅有两条

C．有无穷多条   D．不存在

答案　B

解析　当斜率不存在时，x1＋x2＝2不符合题意．

当斜率存在时，由焦点坐标为(1,0)，

可设直线方程为y＝k(x－1)，k≠0，

由

得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，

∴x1＋x2＝＝5，

∴k2＝，即k＝±.

因而这样的直线有且仅有两条．

3．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|等于(　　)

A．4  B．8  C．8  D．16

答案　B

解析　由抛物线方程y2＝8x，可得准线l：x＝－2，焦点F(2,0)，设点A(－2，n)，

∴－＝，

∴n＝4.

∴P点纵坐标为4.

由(4)2＝8x，得x＝6，

∴P点坐标为(6,4)，

∴|PF|＝|PA|＝|6－(－2)|＝8，故选B.

4．抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于两点A与B，F是抛物线的焦点，则|FA|＋|FB|等于(　　)

A．2  B．3  C．5  D．7

答案　D

解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则|FA|＋|FB|＝x1＋x2＋2.

由得x2－5x＋4＝0，

∴x1＋x2＝5，x1＋x2＋2＝7.

5．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上的一点，则△ABP的面积为(　　)

A．18  B．24  C．36  D．48

答案　C

解析　不妨设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，

依题意，l⊥x轴，且焦点F，

∵当x＝时，|y|＝p，

∴|AB|＝2p＝12，∴p＝6，

又点P到直线AB的距离为＋＝p＝6，

故S△ABP＝|AB|·p＝×12×6＝36.

6．抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为__________．

答案　

解析　设抛物线上点的坐标为(x，±)，此点到准线的距离为x＋，到顶点的距离为，由题意有x＋＝，∴x＝，∴y＝±，∴此点坐标为.

7．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则|FN|＝________.

答案　6

解析　如图，过点M作MM′⊥y轴，垂足为M′，|OF|＝2，

∵M为FN的中点，|MM′|＝1，

∴M到准线距离d＝|MM′|＋＝3，

∴|MF|＝3，∴|FN|＝6

8．已知点A到点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，点A的轨迹与过点P(－1,0)且斜率为k的直线没有交点，则k的取值范围是________．

答案　(－∞，－1)∪(1，＋∞)

解析　设点(x，y)，依题意得点A在以y2＝4x.

过点P(－1,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)，

由得ky2－4y＋4k＝0，当k＝0时，显然不符合题意；

当k≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k·4k<0，化简得k2－1＞0，解得k＞1或k＜－1，

因此k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．

解　设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，

设A(x0，y0)，由题意知M，

∵|AF|＝3，∴y0＋＝3，

∵|AM|＝，∴x＋2＝17，

∴x＝8，代入方程x＝2py0得，

8＝2p，解得p＝2或p＝4.

∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.

10．已知抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，O为坐标原点．

(1)求证：l与C必有两交点．

(2)设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值．

(1)证明　联立抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，可得2x2－kx－1＝0，

所以Δ＝k2＋8>0，所以l与C必有两交点．

(2)解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则＋＝1，①

因为y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1，代入①，

得2k＋＝1，②

由(1)可得x1＋x2＝k，x1x2＝－，代入②得k＝1.

11．若点M(1,1)是抛物线y2＝4x的弦AB的中点，则弦AB的长为________．

答案　

解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线y2＝4x，可得y＝4x1，y＝4x2，

两式相减，可得k＝＝＝2，

所以直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，

代入抛物线的方程得4x2－8x＋1＝0，则x1＋x2＝2，x1x2＝，

则＝·

＝＝，

即弦AB的长为.

12．已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点．若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程为________．

答案　x＝

解析　由抛物线的性质知A，B关于x轴对称．

设A(x，y)，则B(x，－y)，焦点为F.

由题意知AF⊥OB，则有·＝－1.

所以y2＝x，2px＝x.

因为x≠0.所以x＝.

所以直线AB的方程为x＝.

13．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.

答案　6

解析　抛物线的焦点坐标F，准线方程为y＝－.代入－＝1得＝ .

要使△ABF为等边三角形，则tan ＝＝＝，解得p2＝36，p＝6.

14．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为________．

答案　48

解析　由消去y得x2－10x＋9＝0，得x＝1或9，即或

所以|AP|＝10，|BQ|＝2或|BQ|＝10，|AP|＝2，所以|PQ|＝8，

所以梯形APQB的面积S＝×8＝48.

15．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若·＝0，则k等于(　　)

A.  B.  C.  D．2

答案　D

解析　由题意可知，抛物线的焦点为(2,0)．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝k(x－2)．

由得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，

则x1＋x2＝，x1x2＝4.

y1＋y2＝k(x1－2)＋k(x2－2)＝k(x1＋x2－4)＝，

y1y2＝－＝－16.

∴·＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)

＝(x1＋2)(x2＋2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋4

＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4－16－＋4＝0，

解得k＝2，故选D.

16．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．

(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；

(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．

解　(1)因为直线l的倾斜角为60°，

所以其斜率k＝tan 60°＝，

又F，所以直线l的方程为y＝.

联立

消去y得4x2－20x＋9＝0，

解得x1＝，x2＝，

故|AB|＝×＝2×4＝8.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由抛物线定义，知|AB|＝|AF|＋|BF|

＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，

所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，

又准线方程是x＝－，

所以M到准线的距离等于3＋＝.