数学人教A版 (2019)第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线精品当堂达标检测题

§3.3　抛物线

3．3.1　抛物线及其标准方程

学习目标　1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线方程．

知识点一　抛物线的定义

1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹．

2．焦点：定点F.

3．准线：定直线l.

思考　抛物线的定义中，为什么要加条件l不经过点F?

答案　若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．

知识点二　抛物线的标准方程

思考　抛物线方程中p(p>0)的几何意义是什么？

答案　p的几何意义是焦点到准线的距离．

1．到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线．(　×　)

2．抛物线的方程都是二次函数．(　×　)

3．抛物线y2＝2px(p＞0)中p是焦点到准线的距离．(　√　)

4．方程x2＝2ay(a≠0)表示开口向上的抛物线．(　 ×　)

一、求抛物线的标准方程

例1　分别求符合下列条件的抛物线的标准方程．

(1)经过点(－3，－1)；

(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．

解　(1)因为点(－3，－1)在第三象限，

所以设所求抛物线的标准方程为

y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．

若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，

则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝；

若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，

则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝.

故所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y.

(2)对于直线方程3x－4y－12＝0，

令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，

所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．

当焦点为(0，－3)时，＝3，所以p＝6，

此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；

当焦点为(4,0)时，＝4，所以p＝8，

此时抛物线的标准方程为y2＝16x.

故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.

反思感悟　用待定系数法求抛物线标准方程的步骤

注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数．

跟踪训练1　(1)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．

答案　2　x＝－1　

解析　因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以＝1，p＝2，准线方程为x＝－＝－1.

(2)求焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为____________．

答案　x2＝10y和x2＝－10y

解析　设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.

二、抛物线定义的应用

例2　(1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于(　　)

A．1  B．2  C．4  D．8

答案　A

解析　∵＋x0＝x0，∴x0＝1.

(2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．

解　由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．由图可知，

点P，点(0,2)和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小，

所以最小距离d＝ ＝.

延伸探究

1．若将本例(2)中的点(0,2)改为点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值．

解　将x＝3代入y2＝2x，

得y＝±.

所以点A在抛物线内部．

设点P为其上一点，点P到准线(设为l)x＝－的距离为d，

则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.

由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值是.

即|PA|＋|PF|的最小值是.

2.若将本例(2)中的点(0,2)换为直线l1：3x－4y＋＝0，求点P到直线3x－4y＋＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值．

解　如图，作PQ垂直于准线l于点Q，

|PA1|＋|PQ|＝|PA1|＋|PF|≥|A1F|min.

|A1F|的最小值为点F到直线3x－4y＋＝0的距离d＝＝1.即所求最小值为1.

反思感悟　 抛物线定义的应用

实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．

跟踪训练2　(1)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F1，若点A(2，－4)在抛物线上，则点A到焦点的距离为________．

答案　4

解析　把点(2，－4)代入抛物线y2＝2px，得16＝4p，即p＝4，从而抛物线的焦点为(2,0)．故点A到焦点的距离为4.

(2)设点A的坐标为(1，)，点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1的距离为d，则d＋|PA|的最小值为(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

答案　C

解析　由题意知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，点P到准线x＝－2的距离为d＋1，

于是|PF|＝d＋1，

所以d＋|PA|＝|PF|－1＋|PA|的最小值为|AF|－1＝4－1＝3.

抛物线的实际应用问题

典例　河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少m时，小船开始不能通航？

解　如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．

设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，

由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，

故p＝，得x2＝－y.

当船面两侧和抛物线接触时，船开始不能通航，

设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，

由22＝－yA，得yA＝－.

又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，

所以h＝|yA|＋0.75＝2(m)．

所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航．

[素养提升]　首先确定与实际问题相匹配的数学模型．此问题中拱桥是抛物线型，故利用抛物线的有关知识解决此问题，操作步骤为

(1)建系：建立适当的坐标系．

(2)假设：设出合适的抛物线标准方程．

(3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程．

(4)求解：求出需要求出的量．

(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题．

1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是(　　)

A．y2＝－8x

B．y2＝8x

C．y2＝－4x

D．y2＝4x

答案　B

2．已知抛物线y＝2px2过点(1,4)，则抛物线的焦点坐标为(　　)

A．(1,0)  B.  C.  D．(0,1)

答案　C

解析　由抛物线y＝2px2过点(1,4)，可得p＝2，

∴抛物线的标准方程为x2＝y，

则焦点坐标为，故选C.

3．准线为y＝－的抛物线的标准方程是(　　)

A．x2＝3y   B．y＝－x2

C．x＝3y2   D．x＝－y2

答案　A

解析　准线为y＝－的抛物线的标准方程是x2＝3y，故选A.

4．一动圆过点(0,1)且与定直线l相切，圆心在抛物线x2＝4y上，则l的方程为(　　)

A．x＝1   B．x＝

C．y＝－1   D．y＝－

答案　C

解析　因为动圆过点(0,1)且与定直线l相切，所以动圆圆心到点(0,1)的距离与它到定直线l的距离相等，又因为动圆圆心在抛物线x2＝4y上，且(0,1)为抛物线的焦点，所以l为抛物线的准线，所以l：y＝－1.

5．若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为________．

答案　(－9,6)或(－9，－6)

解析　由抛物线方程y2＝－2px(p＞0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x＝.设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即－(－9)＝10，得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.

由点M(－9，y)在抛物线上，得y＝±6，故点M的坐标为(－9,6)或(－9，－6)．

1．知识清单：

(1)抛物线的定义．

(2)抛物线的标准方程的四种形式．

(3)抛物线定义的应用．

2．方法归纳：待定系数法、定义法、转化化归．

3．常见误区：混淆抛物线的焦点位置和方程形式．

1．抛物线y＝－x2的准线方程为(　　)

A．x＝   B．x＝1

C．y＝1   D．y＝2

答案　C

解析　抛物线的标准方程为x2＝－4y，则准线方程为y＝1.

2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为(　　)

A．(－1,0)  B．(1,0)  C．(0，－1)  D．(0,1)

答案　B

解析　抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，

由题设知－＝－1，即p＝2，

故焦点坐标为.故选B.

3．(多选)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为(　　)

A．y2＝x   B. y2＝8x

C．y2＝－8x   D．x2＝－8y

答案　AD

解析　当开口向右时，设抛物线方程为y2＝2p1x(p1>0)，则(－2)2＝8p1，所以p1＝，所以抛物线方程为y2＝x.当开口向下时，设抛物线方程为x2＝－2p2y(p2>0)，则42＝4p2，p2＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y.

4．若抛物线y＝ax2的焦点与椭圆＋y2＝1的上顶点重合，则a等于(　　)

A.  B.  C．2  D．4

答案　B

解析　椭圆＋y2＝1的上顶点是 抛物线y＝ax2的焦点坐标为，

因为两点重合，所以＝1，

所以a＝.

5．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p等于(　　)

A．2  B．3  C．4  D．8

答案　D

解析　因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，

所以3p－p＝2，解得p＝8.

6．已知双曲线－y2＝1的右焦点恰好是抛物线y2＝8x的焦点，则m＝________.

答案　3

解析　由题意得m＋1＝22，解得m＝3.

7．在抛物线y2＝－12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是____________．

答案　(－6,6)或(－6，－6)

解析　由方程y2＝－12x，知焦点F(－3,0)，准线l：x＝3.设所求点为P(x，y)，

则由定义知|PF|＝3－x.

又|PF|＝9，所以3－x＝9，x＝－6，代入y2＝－12x，得y＝±6.

所以所求点的坐标为(－6,6)或(－6，－6)．

8．已知抛物线C：4x＋ay2＝0恰好经过圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心，则抛物线C的焦点坐标为________，准线方程为________．

答案　(1,0)　x＝－1

解析　圆M的圆心为(1,2)，代入4x＋ay2＝0得a＝－1，

将抛物线C的方程化为标准方程得y2＝4x，故焦点坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1.

9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．

解　方法一　如图所示，

设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点F，准线l：y＝，作MN⊥l，垂足为N，

则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋＝5，

即p＝4.所以抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.

由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±2.

方法二　设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F.

∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，

故解得

∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2.

10．花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，点P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计多少米？(精确到1 m)

解　如图所示，建立平面直角坐标系．

设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．

依题意有P(－1，－1)在抛物线上，代入得p＝.故得抛物线方程为x2＝－y.

又点B在抛物线上，将B(x，－2)代入抛物线方程得x＝，即|AB|＝ m，

则|O′B|＝|O′A|＋|AB|＝(＋1) m，因此所求水池的直径为2(1＋) m，约为5 m，

即水池的直径至少应设计为5 m.

11．已知抛物线y2＝4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

答案　B

解析　由题意，知抛物线的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x＝－1.因为抛物线y2＝4x上的一点P到焦点的距离为5，由抛物线的定义可知，点P到准线x＝－1的距离是5，则点P到y轴的距离是4，所以P(4，±4)，所以△PFO的面积为×1×4＝2.

12．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________.

答案　6

解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1,0)．

由＋＋＝0知(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，

即x1＋x2＋x3＝3，

||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋p＝6.

13．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________.

答案　

解析　根据抛物线的定义得1＋＝5，p＝8，则m＝±4，

不妨取M(1,4)，又A(－1,0)，则直线AM的斜率为2，

由已知得－×2＝－1，故a＝.

14．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________．

答案　2

解析　如图所示，

动点P到l2：x＝－1的距离可转化为到点F的距离，由图可知，距离和的最小值，即F(1,0)到直线l1的距离d＝＝2.

15．对标准形式的抛物线，给出下列条件：

①焦点在y轴上；

②焦点在x轴上；

③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；

④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．

其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)

答案　②④

解析　抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．

16．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．

(1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1,1)，求|PA|＋d的最小值；

(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．

解　(1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.

由抛物线的定义，知|PF|＝d，

于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值．

如图，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为＝.

(2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±，

因为>2，所以点B在抛物线内部．

自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)．

由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|，

则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4.

即|PB|＋|PF|的最小值为4.