新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 第5章 5.2.2 同角三角函数的基本关系(含解析)

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5．2.2　同角三角函数的基本关系学习目标　1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．知识点　同角三角函数的基本关系 关系式文字表述平方关系sin2α＋cos2α＝1同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1商数关系＝tan α同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 思考　同角三角函数基本关系中，角α是否是任意角？答案　平方关系中的角α是任意角，商数关系中的角α并非任意角，α≠kπ＋，k∈Z.1．已知α是第四象限角，cos α＝，则sin α＝        .答案　－解析　由题意知sin α＝－＝－＝－.2．sin2＋cos2＝        .答案　13．已知3sin α＋cos α＝0，则tan α＝        .答案　－解析　由题意得3sin α＝－cos α≠0，∴tan α＝－.4．若cos α＝，且α为第四象限角，则tan α＝        .答案　－2解析　因为α为第四象限角，且cos α＝，所以sin α＝－＝－＝－，所以tan α＝＝－2.一、已知一个三角函数值求其他三角函数值例1　(1)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．解　∵cos α＝－<0，∴α是第二或第三象限角．当α是第二象限角时，sin α>0，tan α<0，∴sin α＝＝＝，tan α＝＝－；当α是第三象限角时，sin α<0，tan α>0，∴sin α＝－＝－＝－，tan α＝＝.(2)已知α∈，tan α＝2，则cos α＝        .答案　－解析　由已知得由①得sin α＝2cos α代入②得4cos2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，又α∈，所以cos α<0，所以cos α＝－.(学生)反思感悟　已知一个三角函数值求其它三角函数值的方法(1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cos α＝±，求得cos α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值．(2)若已知cos α＝m，可以先应用公式sin α＝±，求得sin α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值．(3)若已知tan α＝m，可以应用公式tan α＝＝m⇒sin α＝mcos α及sin2α＋cos2α＝1，求得cos α＝±，sin α＝±的值．(4)注意要根据角终边所在的象限，判断三角函数的符号．跟踪训练1　已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值．解　∵sin α＋3cos α＝0，∴sin α＝－3cos α.又sin2α＋cos2α＝1，∴(－3cos α)2＋cos2α＝1，即10cos2α＝1，∴cos α＝±.又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号，∴角α的终边在第二或第四象限．当角α的终边在第二象限时，cos α＝－，sin α＝；当角α的终边在第四象限时，cos α＝，sin α＝－.二、利用同角三角函数的基本关系化简、证明例2　化简下列各式．(1)；(2)·.解　(1)原式＝＝＝＝1.(2)原式＝·＝·＝·＝·＝±1.反思感悟　利用同角三角函数基本关系化简、证明的常用方法(1)化切为弦，减少函数名称．(2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号．(3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简．跟踪训练2　求证：＝.证明　方法一　因为右边＝＝＝＝＝＝左边．所以原等式成立．方法二　因为左边＝＝，右边＝＝＝＝＝，所以左边＝右边，原等式成立．三、sin θ±cos θ型求值问题例3　已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，求sin θ－cos θ.解　方法一　由sin θ＋cos θ＝，得cos θ＝－sin θ.又sin2θ＋cos2θ＝1，代入得sin2θ＋2＝1，整理得sin2θ－sin θ－＝0，即＝0，解得sin θ＝－或sin θ＝.又θ∈(0，π)，所以sin θ>0，故sin θ＝.所以cos θ＝－sin θ＝－＝－，sin θ－cos θ＝－＝.方法二　因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，又sin θ＋cos θ＝，两边平方，整理得sin θcos θ＝－<0，所以cos θ<0，所以sin θ－cos θ>0，又(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1＋＝，所以sin θ－cos θ＝.反思感悟　sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系(1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ；(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ，利用该公式，已知其中一个，能求另外二个，即“知一求二”．(2)求sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值，要注意判断它们的符号．跟踪训练3　若sin θ－cos θ＝，则tan θ＋＝        .答案　－2解析　由已知得(sin θ－cos θ)2＝2，∴sin θcos θ＝－.∴tan θ＋＝＋＝＝－2.化切求值典例　已知tan α＝3，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)sin2α＋cos2α.解　(1)原式＝＝＝.(2)原式＝＝＝－.(3)原式＝＝＝＝.[素养提升]　(1)已知tan α＝m，可以求或的值，将分子分母同除以cos α或cos2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的．(2)对于asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值．(3)齐次式的化切求值问题，体现了数学运算的核心素养．  1．已知sin φ＝－，且|φ|<，则tan φ等于(　　)A．－  B.  C．－  D.答案　C解析　∵sin φ＝－，∴cos2φ＝1－sin2φ＝1－2＝，又|φ|<，即－<φ<，∴cos φ>0，∴cos φ＝，从而tan φ＝＝＝－.2．若tan α＝2，则的值为(　　)A．0  B.  C．1  D.答案　B解析　＝＝.3．已知sin α－cos α＝－，则sin αcos α等于(　　)A.  B．－  C．－  D.答案　C解析　由题意得(sin α－cos α)2＝，即sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝，又sin2α＋cos2α＝1，∴1－2sin αcos α＝，∴sin αcos α＝－.4．化简：的值为(　　)A．tan    B．－C．1   D．－1答案　D解析　原式＝＝＝－1.5．若2sin α＋cos α＝0，则－＝        .答案　－解析　2sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－，原式＝＝＝＝－2tan2α＝－.1．知识清单：(1)同角三角函数基本关系．(2)利用同角三角函数的基本关系化简与证明．(3)sin α±cos α型求值问题．(4)齐次式的化切求值．2．方法归纳：整体代换法．3．常见误区：求值时注意α的范围，如果无法确定一定要对α所在的象限进行分类讨论．1．若sin α＝，则sin2α－cos2α的值为(　　)A．－  B．－  C.  D.答案　B解析　因为sin α＝，所以cos2α＝1－sin2α＝，则原式＝－＝－.2．若α是第四象限角，tan α ＝－，则sin α等于(　　)A.  B．－  C.  D．－答案　D解析　因为tan α＝＝－，sin2α＋cos2α＝1，所以sin α＝±.因为α是第四象限角，所以sin α＝－.3．化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是(　　)A.  B.  C．1  D.答案　C解析　原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)＝sin2α＋cos2α＝1.4．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sin θcos θ的值为(　　)A.  B．－  C.  D．－答案　A解析　θ为第三象限角，则sin θ<0，cos θ<0，sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2sin2θcos2θ＝，∴sin2θcos2θ＝，又sin θcos θ>0，∴sin θcos θ＝.5．(多选)已知α是三角形内角，若sin α＋cos α＝，则sin α－cos α的值为(　　)A．－  B．－  C.  D.答案　BC解析　∵α是三角形内角，∴α∈(0，π)，又∵(sin α＋cos α)2＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋2sin αcos α＝2，解得2sin αcos α＝，∵sin αcos α>0且α∈(0，π)，∴sin α>0，cos α>0，∴sin α－cos α符号不确定，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－＝，∴sin α－cos α＝±.6．若α是第三象限角且cos α＝－，则sin α＝        ，tan α＝        .答案　 －　解析　∵α是第三象限角且cos α＝－，∴sin α＝－＝－，∴tan α＝＝.7．已知＝，则tan α＝        .答案　－解析　方法一　上下同除以cos α得＝，解得tan α＝－.方法二　＝，即16(sin α＋2cos α)＝5(5cos α－sin α)，整理得21sin α＝－7cos α，∴tan α＝－.8．已知cos θ＝，则sin θ的值为        ．答案　3解析　原式＝sin θ＝sin θ·＝＝3.9．已知tan α＝，求下列各式的值：(1)＋；(2).解　(1)＋＝＋＝＋＝.(2)＝＝＝.10．(1)化简：tan α (其中α为第二象限角)；解　因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0.原式＝tan α＝tan α＝tan α＝·＝·＝－1.(2)求证：·＝1.证明　·＝·＝·＝＝＝1.11．若θ是△ABC的一个内角，且sin θcos θ＝－，则sin θ－cos θ的值为(　　)A．－  B.  C．－  D.答案　D解析　由题意知θ∈，所以sin θ－cos θ>0，sin θ－cos θ＝＝＝.12．化简：(1－cos α)的结果是(　　)A．sin α   B．cos αC．1＋sin α   D．1＋cos α答案　A解析　原式＝(1－cos α)＝(1－cos α)＝＝＝sin α.13．已知＝，则等于(　　)A.  B．－  C．2  D．－2答案　B解析　因为＝，所以＝＝＝＝－.14．已知tan α＝cos α，那么sin α＝        .答案　解析　由于tan α＝＝cos α，则sin α＝cos2α，所以sin α＝1－sin2α，解得sin α＝.又sin α＝cos2α>0，所以sin α＝.15．化简：＝        .答案　sin2α解析　原式＝＝＝＝＝sin2α.16．设α是第三象限角，问是否存在实数m，使得sin α，cos α是关于x的方程8x2＋6mx＋2m＋1＝0的两个根？若存在，求出实数m；若不存在，请说明理由．解　假设存在实数m满足条件，由题设得，Δ＝36m2－32(2m＋1)≥0，①∵sin α<0，cos α<0，∴sin α＋cos α＝－m<0，②sin αcos α＝>0.③又sin2α＋cos2α＝1，∴(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝1.把②③代入上式得2－2×＝1，即9m2－8m－20＝0，解得m1＝2，m2＝－.∵m1＝2不满足条件①，舍去；m2＝－不满足条件③，舍去．故满足题意的实数m不存在．