新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 第4章 再练一课(范围：4.3.2)(含解析)

再练一课(范围：4.3.2)

1．计算：lg 2－lg－eln 2等于(　　)

A．－1  B.  C．3  D．－5

答案　A

解析　lg 2－lg－eln 2＝lg－2＝－1.

2．下列计算正确的是(　　)

A．(a3)2＝a9   B．log26－log23＝1

C．·＝0   D．log3(－4)2＝2log3(－4)

答案　B

解析　由题意，根据实数指数幂的运算，可得(a3)2＝a6，·＝a0＝1，所以A，C不正确；

由对数的运算性质，可得log26－log23＝log2＝log22＝1，所以B是正确的；

对于D中，根据对数的化简，可得log3(－4)2＝2log34，而log3(－4)是无意义的．

3．若3a＝2，则log38－2log36用含a的代数式可表示为(　　)

A．a－2   B．3a－(1＋a)2

C．5a－2   D．3a－a2

答案　A

解析　由3a＝2得a＝log32，

所以log38－2log36＝log323－2log3(2×3)

＝3log32－2(log32＋log33)＝3a－2(a＋1)＝a－2.

4.＋log3－log29·log32等于(　　)

A．－10  B．－8  C．2  D．4

答案　D

解析　＋log3－log29·log32

＝＋－1－log232·log32

＝＋－3＝4.

5．若log5·log36·log6x＝2，则x等于(　　)

A．9  B.  C．25  D.

答案　D

解析　由换底公式，得··＝2，

lg x＝－2lg 5，x＝5－2＝.

6．+log3＋2lg 5＋lg 4＋＝________.

答案　

解析　＋log3＋2lg 5＋lg 4＋

＝－＋＋2lg 5＋2lg 2＋

＝－4＋＋2＋2＝.

7．方程log2(4x－5)＝2＋log2(2x－2)的解x＝________.

答案　log23

解析　∵log2(4x－5)＝2＋log2(2x－2)，

∴4x－5＝4(2x－2)，即(2x)2－4·2x＋3＝0，

∴2x＝1或2x＝3；又∴2x＝3，∴x＝log23.

8．记A＝1×2×3×…×100，那么＋＋＋…＋＝________.

答案　1

解析　＋＋＋…＋

＝logA2＋logA3＋logA4＋…＋logA100

＝logA(2×3×4×…×100)＝1.

9．化简与求值：

(1)log327＋lg＋ln ＋；

(2)＋(log316)×.

解　(1)log327＋lg＋ln ＋

＝log333＋lg 10－2＋＋×

＝3log33－lg 102＋＋×3

＝3－2＋＋＝3.

(2) ＋(log316)×

＝＋×

＝－1＋×

＝－3－8＝－11.

10．(1)若log37·log29·log49a＝log4，求a的值；

(2)若xlog23＝1，求3x＋9－x的值．

解　(1)由已知得··＝，

所以lg a＝－lg 2＝lg，所以a＝.

(2)方法一　因为 xlog23＝1，

所以x＝＝＝log32，

所以3x＋9－x＝＋

＝＋＝＋

＝2＋＝.

方法二　因为xlog23＝1，所以log23x＝1，

所以3x＝2，

所以3x＋9－x＝3x＋(3x)－2＝2＋2－2

＝2＋＝.

11．log5(＋1)＋log2(－1)＝a，则log5(－1)＋log2(＋1)等于(　　)

A．1－a  B.  C．a－1  D．－a

答案　A

解析　∵(＋1)(－1)＝6－1＝5，

(－1)(＋1)＝2－1＝1，

∴－1＝＝5(＋1)－1，

＋1＝＝(－1)－1；

又log5(＋1)＋log2(－1)＝a，

∴log5(－1)＋log2(＋1)＝log5[5(＋1)－1]＋log2(－1)－1＝1－log5(＋1)－log2(－1)＝1－a.

12．(多选)设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么(　　)

A．ab＋bc＝2ac   B．ab＋bc＝ac

C.＝＋   D.＝－

答案　AD

解析　由题意，设4a＝6b＝9c＝k(k>0)，

则a＝log4k，b＝log6k，c＝log9k，

对于选项A，由ab＋bc＝2ac，可得＋＝2，

因为＋＝＋＝＋

＝log69＋log64＝log636＝2，故A正确，B错误；

对于选项C，＋＝＋

＝2logk4＋logk6＝logk96，

＝＝2logk9＝logk81，

故≠＋，即C错误；

对于选项D，－＝－

＝2logk6－logk4＝logk9，＝＝logk9，

故＝－，即D正确．

13．已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a，b的值分别为(　　)

A．a＝5，b＝2   B．a＝4，b＝2

C．a＝8，b＝4   D．a＝2，b＝

答案　B

解析　设t＝logab，则logba＝，b＝at，

所以t＋＝，解得t＝2或t＝，

因为ab＝ba，所以ab＝aat，即b＝at，

因为a>b>1，所以b＝a，代入ab＝ba得：

＝a⇒a＝4，

所以b＝2.

14．已知a>0，b>0，ab＝8，则log2a·log2(2b)的最大值是________．

答案　4

解析　因为a>0，b>0，ab＝8，

则log2a·log2(2b)＝(log28－log2b)·(1＋log2b)

＝(3－log2b)(1＋log2b)＝3＋2log2b－(log2b)2

＝4－(1－log2b)2≤4.

当且仅当b＝2时，函数取得最大值4.

15．设实数a，b，c满足a≥1，b≥1，c≥1，且abc＝10，alg a·blg b·clg c≥10，则a＋b＋c＝________.

答案　12

解析　因为a≥1，b≥1，c≥1，且abc＝10，

所以0≤lg a≤1,0≤lg b≤1,0≤lg c≤1，

所以(lg a)2≤lg a，(lg b)2≤lg b，(lg c)2≤lg c，

即(lg a)2＋(lg b)2＋(lg c)2≤lg a＋lg b＋lg c；

又alg a·blg b·clg c≥10，

所以lg(alg a·blg b·clg c)≥lg 10＝1，

即(lg a)2＋(lg b)2＋(lg c)2≥1＝lg(abc)＝lg a＋lg b＋lg c，

所以(lg a)2＝lg a，(lg b)2＝lg b，(lg c)2＝lg c，

则a＝10或1，b＝10或1，c＝10或1，

不妨令a＝10，则b＝c＝1，

因此a＋b＋c＝12.

16．(1)设正数a，b，c满足a2＋b2＝c2.

求证：log2＋log2＝1；

(2)已知2y·logy4－2y－1＝0，·log5x＝－1，试问是否存在一个正数P，使得P＝.

(1)证明　由于a2＋b2＝c2，

所以log2＋log2

＝log2

＝log2

＝log2＝log2

＝log22＝1.

(2)解　由2y·logy4－2y－1＝0，

得2y＝0，

∴logy4＝，即y＝16.

由·log5x＝－1，

得＝－，

即＝－logx5>0.

∴(logx5＋1)＝(logx5)2，

整理得2(logx5)2－logx5－1＝0，

解得logx5＝－(logx5＝1舍去)，∴＝25.

从而P＝＝＝3，

即存在一个正数P＝3，使得P＝成立．