2023年高考指导数学(人教A文一轮)课时规范练33 基本不等式及其应用

课时规范练33　基本不等式及其应用

基础巩固组

1.函数y=ex+e-x(x∈R)的最小值是(　　)

A.1 B.2

C.3 D.4

2.已知函数y=x+(x>1),则函数的最小值等于(　　)

A.4 B.4+1

C.5 D.9

3.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假设在平面内有一个三角形,边长分别为a,b,c,三角形的面积S可由公式S=求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦—秦九韶公式,现有一个三角形的边长满足a+b=10,c=6,则此三角形面积的最大值为              (　　)

A.10 B.12

C.14 D.16

4.已知函数f(x)=mex-2+n的图象过点(2,1),若对于任意的正数m,n,不等式≥A恒成立,则实数A的最大值为(　　)

A.9 B.3+2

C.7 D.4

5.(2023河北石家庄月考)若不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值是(　　)

A.2 B.3

C.4 D.

6.(2022江苏淮安期中)若∀x∈(0,+∞),≥m,则实数m的取值范围为　. 

7.已知函数f(x)=3x+的最小值为,则a=　　　　　　　. 

8.若实数a,b满足2a2+2b2=1,则的最小值为　　　　　　. 

9.若4x>y>0,则的最小值为　　　　　. 

综合提升组

10.(2022安徽马鞍山三模)若a>0,b>0,lg a+lg b=lg(a+3b),则a+b的最小值为(　　)

A.4 B.4+2

C.6 D.3+3

11.新冠病毒疫情期间,某灾区物资紧缺,一批口罩、食物等救灾物资随41辆汽车从某市以v km/h的速度匀速直达灾区.已知两地公路线长360 km,为安全起见,两辆汽车的间距不得小于 km(车长忽略不计),要使这批物资尽快全部到达灾区,则v=(　　)

A.70 km/h B.80 km/h

C.90 km/h D.100 km/h

12.已知a>0,b>0,向量m=(a+2b,-9),n=(8,ab),若m⊥n,则2a+b的最小值为 (　　)

A.9 B.8

C. D.5

13.若正实数a,b满足a+b=ab,则a+的最小值为　　　　. 

创新应用组

14.已知x>0,y>0,且x+2y=+7,则x+2y的取值范围是　　　　　. 

参考答案

课时规范练33　基本不等式

及其应用

1.B　因为ex>0,e-x>0,所以y=ex+e-x≥2=2,当且仅当ex=e-x,即x=0时,取等号,所以函数y=ex+e-x(x∈R)的最小值是2.

2.C　因为x>1,所以y=x+=(x-1)++1≥2+1=5,当且仅当x-1=,即x=3时,等号成立.故函数的最小值为5.

3.B　由题意,a+b=10,c=6,p==8,三角形满足a+c>b,即a+6>10-a,即a>2,则b=10-a<8,8-b>0,同理8-a>0,

所以S==12,当且仅当a=b=5时等号成立,所以此三角形面积的最大值为12.

4.A　由函数的图象过定点(2,1),可得m+n=1,又因为m>0,n>0,所以=(m+n)×=5+≥5+2=9,当且仅当m=,n=时,等号成立.所以A≤9,即A的最大值为9.

5.C　因为x>0,y>0,a>0,所以(x+y)=1+a+≥1+a+2,当且仅当时,等号成立,由题意得1+a+2≥9,即a+2-8≥0,得(+4)(-2)≥0,故≤-4(舍去)或≥2,得a≥4,则正实数a的最小值是4.故选C.

6.(-∞,12]　由题意可知,x∈(0,+∞),所以=4x+≥2=12,当且仅当4x=,即x=时取等号,则m≤12,即实数m的取值范围为(-∞,12].

7.　因为函数f(x)=3x+有最小值,所以a>0.因为3x+1>1,

所以f(x)=3x+=3x+1+-1≥2-1=2-1,

因为函数f(x)=3x+的最小值为,

所以2-1=,解得a=,当且仅当x=-1时取等号,满足题意.

8.6　实数a,b满足2a2+2b2=1,即a2+b2=,所以a2+(b2+1)=,

则×[a2+(b2+1)]·=×1+4+≥×5+2=×(5+4)=6,

当且仅当,即时,取得等号.故的最小值是6.

9.　因为4x>y>0,所以4x-y>0,

则≥2=2×,当且仅当4x-y=2y,即当3y=4x时,等号成立,

所以的最小值为.

10.B　由lg a+lg b=lg(a+3b),得lg(ab)=lg(a+3b),所以ab=a+3b.因为a>0,b>0,所以=1,所以(a+b)=4+≥4+2=4+2,当且仅当,即a=3+,b=1+时,等号成立,故选B.

11.C　由题意,第一辆汽车到达用 h,最后一辆汽车到达的时间为h,要使这批物资尽快全部到达灾区,即就是最后一辆汽车到达的时间最短,即求最小时汽车的速度,≥2=8,当且仅当,即v=90时,等号成立.

12.B　由题意m·n=8(a+2b)-9ab=0,又a>0,b>0,所以=1,所以2a+b=+×2=8,当且仅当,即a=b=时等号成立.所以2a+b的最小值为8.

13.15　由题设知1+=b,即=b-1,

∴a+=a+b-1+≥2-1=16-1=15,

当且仅当a+b=ab=8时,等号成立.故a+的最小值为15.

14.[8,+∞)　∵x+2y=+7,

∴x+2y-7=,∴(x+2y-7)(x+2y)=(x+2y),

∵x>0,y>0,∴(x+2y)=+4≥2+4=8,当且仅当x=2y时,等号成立,

设t=x+2y,则t>0,(t-7)t≥8,即t2-7t-8≥0,即(t+1)(t-8)≥0,

解得t≥8或t≤-1(舍去),

∴x+2y的取值范围是[8,+∞).